Гомотопическая инвариантность возмущений квантовых дифференциальных модулей Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лапин С. В. Doo-дифференциальные £?оо-алгебры и спектральные последовательности расслоений / С. В. Лапин // Мат. сб. - 2007. - Т. 198, № 10. - С. 3-30.

2. Смирнов В. А. О коцепном комплексе топологического пространства / В. А. Смирнов // Мат. сб. - 1981. - Вып. 115, № 1. - С. 146-158.

3. Смирнов В. А. Гомотопическая теория коалгебр / В. А. Смирнов // Изв. АН СССР. Сер. Математика. - 1985. - Т. 49, № 6. - С. 1302-1321.

4. Смирнов В. А. Гомологии В-конструкций и ко-В-конструкций / В. А. Смирнов // Изв. РАН. Сер. Математика. - 1994. - Т. 58, № 4. - С. 80-96.

5. Chataur D. Operadic description of Steenrod operations / D. Chataur, M. Livernet // arXiv : math.AT/020936. - 2002. - Vol. 2, № 25. - P. 1-27.

6. May J. P. A general algebraic approach to Steenrod operations / J. P. May // Lect. Notes in Math. -1970. - Vol. 168. - P. 153-231.

Поступила 28.10.10.

ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ВОЗМУЩЕНИЙ КВАНТОВЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МОДУЛЕЙ*

С. В. Лапин

В данной работе вводится понятие возмущения квантового дифференциального модуля и устанавливается свойство гомотопической инвариантности возмущений квантовых дифференциальных модулей.

В работах Гугенхейма, Ламбе, Сташеф-фа [1-4] было введено понятие «возмущения дифференциального модуля» и установлено свойство гомотопической инвариантности возмущений дифференциальных модулей. С другой стороны, в работе [1] было введено понятие квантового дифференциального модуля или, по-другому, Боо-дифференциального модуля, которое является гомотопически инвариантным аналогом понятия дифференциального модуля, а также рассмотрена связь между понятиями возмущения дифференциального модуля и квантового дифференциального модуля.

Пусть К - любое коммутативное кольцо с единицей. Все рассматриваемые ниже модули и отображения модулей являются, если не оговорены дополнительные условия, К-модулями и отображениями К-модулей.

Напомним сначала, что дифференциальным модулем (X, в,) называется модуль X, рассматриваемый вместе с некоторым фиксированным отображением модулей (1 : X —> —> X, которое называется дифференциалом модуля X и для которого выполнено условие (12 — ¿сI = 0. Отображением / : (X, (1) —> (У, ¿) дифференциальных модулей называется отображение модулей / : X У, удовлетворяющее условию = /с1. Гомотопией между отображениями /, д : (X, ¿) —> (У, ¿) дифференциальных модулей называется отображение модулей к : X У, для которого выполнено равенство ¿¡г + Н(1 = / — д. При помощи понятия гомотопии между отображениями дифференциальных модулей стандартно определяется понятие гомотопической эквивалентности дифференциальных модулей.

© С. В. Лапин, 2010

0

* Работа выполнена в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 гг.» проекта «Построение гомотопически устойчивого аналога сглмплициального объекта».

Возмущением дифференциального модуля (X, <1) называется отображение модулей Ь : X —> X, для которого пара (Х,с1 -Ь Ь ) является дифференциальным модулем, т. е. для отображения модулей <1+£ : X X выполнено условие (<1 + £) =0. Легко видеть, что это

С%

условие эквивалентно условию <11+ 1<1 = —Ь .

Напомним теперь [4], что квантовым дифференциалом модуля X называется семейство отображений модулей {<2* : X -> X | г £ Ж, г > 0}, которые для каждого целого числа к > 0 удовлетворяют следующему соотношению:

£ ^

0.

(1)

Квантовым дифференциальным модулем

л

(X, сГ) называется произвольный модуль X, рассматриваемый вместе с некоторым фиксированным квантовым дифференциалом {<1г : X X} этого модуля.

Рассмотрим соотношения (1) для малых значений к > 0. При к = 0 соотношение (1) имеет вид

0.0

<14

0.

Это говорит о том, что пара (X, с£°) является дифференциальным модулем. При к — 1 соотношение (1) принимает вид

+ =0.

Другими словами, отображения (1° и (I1 являются антикоммутирующими. Из этого следует, что композиция <11 (11 : X —У X является эндоморфизмом дифференциального модуля (X, <1°). При к = 2 соотношение (1) записывается в виде

<1°<12 + <12<10 = 0-<1г(11

Это означает, что отображение модулей <12 : X X является гомотопией между нулевым отображением дифференциальных модулей и отображением дифференциальных модулей <11<11 : САГ,«*0) -> Таким об-

разом, отображение модулей в,1 : X —> X является дифференциалом с точностью до го-мотопии.

Простыми нетривиальными примерами квантовых дифференциальных модулей служат модули, которые снабжены двумя антикоммутиру ющими дифференциалами. В самом деле, если задан произвольный модуль X с двумя антикоммутирующими дифференциалами в!, в!1 : X —> X, то определен квантовый дифференциальный модуль где

а0 = = 2.

Многочисленные примеры квантовых дифференциальных модулей можно получить отправляясь от конструкции дифференциального модуля с фильтрацией. Пусть над произвольным полем задан дифференциальный модуль (X, в) с возрастающей фильтрацией {X71}, п > 0. Обозначим через Уп подмодуль модуля Хп, для которого Xй — У71 ф Хп~1 При помощи условия <1{Хп) С Хп определим отображение

<1п : Уп Уп_\ г > 0 как компоненту дифференциала

¿:У

П

X

п

Vй ¿П у*1-* д\ (Т\ у0

I ОУ Ш ^ чХ? ... чх/ л

Легко видеть, что семейство отображений {сР = фп>о<# : X X > 0} является

квантовым дифференциалом модуля X, поскольку условие <12 = 0 в рассматриваемом случае эквивалентно соотношениям (1).

Морфизмом квантовых дифференциаль-

■> »

ных модулей / : (X, йг) —>■ (У,<1г) называется семейство отображений модулей / = {Г : X У |г € Z, г > 0}, удовлетворяющих для каждого целого числа к > О следующему соотношению:

V

г+з—к

Рассмотрим соотношения (2) для начальных значений к > 0. При к = 0 соотношение (2) имеет вид

т. е. определено отображение дифференциальных модулей : -> При к = 1 соотношение (2) записывается в виде

/°<*1 - <¿7° = в.0}1 - Это означает,

что отображение /1 : X У служит гомотопией между нулевым отображением и отображением - с/1/0 : .-> (У,<*°), которое антикоммутирует с дифференциалами. Другими словами, отображение /0 относительно <11 является с точностью гомотопии отображением дифференциальных модулей. Композиция морфизмов / = {/*} : X —> У

и 9 = {9г} : У -> ^ квантовых дифференциальных модулей определяется формулой

Ш)

]Г дп/т:Х->г, г > 0

Непосредственные вычисления показывают, что семейство отображений модулей

9/ = {(<?/)1} является морфизмом квантовых дифференциальных модулей. Легко также проверяется, что операция композиции морфизмов квантовых дифференциальных модулей ассоциативна. Тождественным морфизмом 1х = {1х} Для квантового диффе-

ренциалыюго модуля (X, сГ) служит семейство отображений \х = {1х : X —> X}, где

1гх =0? г > 0, и 1х - тождественное отображение модуля X. Таким образом, класс всех квантовых дифференциальных модулей и их морфизмов образует категорию.

Гомотопией между морфизмами /,<7 : (X, ¿г) —> (У, сГ) квантовых дифференциальных модулей называется семейство Н = {кг : X —> У |г 6 Ъ, г > 0} отображений модулей, которые для каждого целого числа к > 0 удовлетворяют следующему соотношению:

Я

(3)

г+з=к

Легко видеть, что отношение между морфизмами квантовых дифференциальных модулей, определяемое наличием гомотопии между ними, является отношением эквивалентности. При помощи этого отношения эквивалентности стандартно определяется понятие гомотопической эквивалентности квантовых дифференциальных модулей.

Важнейшими частными случаями понятия гомотопической эквивалентности квантовых дифференциальных модулей являются понятия сильной деформационной ретракции и ЗБЯ-ситуации квантовых дифференциальных модулей. Рассмотрим эти понятия более детально, поскольку они потребуются ниже. Пусть заданы произвольные квантовые дифференциальные модули (Х,сР) и

ф

(У, сР). Кроме того, пусть заданы морфиз-мы квантовых дифференциальных модулей {<П*} : (X, ) ^ (У, <Г) : {С} и задана гомо-

9 * *

топия {Кг : (Х,сР) -> (У,<Г)}, для которых выполнены следующие условия:

£ = (м

53 с1'к*+к'(1* = 53 хУ,

8 + Ь=1

з

г > 0.

Эта ситуация записывается в виде

({П1} : (Х)£Г)^(Г,<Г) : {О, (И) и на-

зывается сильной деформационной ретракцией квантовых дифференциальных модулей.

При выполнении дополнительных условий

Т л'л

1+3=к

0, к > 0

i+j=:k

указанная сильная деформационная ретракция квантовых дифференциальных модулей называется 8Б11-ситуацией квантовых дифференциальных модулей.

Большое количество примеров ЗБЯ-ситуаций квантовых дифференциальных модулей можно получить при рассмотрении заданных над полем квантовых дифференциальных модулей и их гомологий относительно начальной компоненты квантового дифференциала. Действительно, пусть (X, с?1) -произвольный заданный над полем квантовый дифференциальный модуль, и пусть Н(Х) — Кет (1° /1т с1° - гомологический модуль дифференциального модуля (X, Тогда, как показано в работе [1], на гомологическом модуле Н(Х) возникает квантовый дифференциал {¿1 : Н(Х) -> Я(Х)}, где = 0, и, более того, возникает БОЯ-ситуация

({7/1} : {Н{Х)Х) ■ {£},{*!})

квантовых дифференциальных модулей. Квантовый дифференциальный модуль (Н(Х),с11) называется гомологическим квантовым дифференциальным модулем заданного над полем квантового дифференциального модуля

ш

(X, сГ). Указанная выше ББИ-ситуация

({<} : (Х,#)^(Н(Х)Л) ■ {й},Ш) на-

зывается гомологической БОЯ-ситуацией заданного над полем квантового дифференциального модуля (X, сГ).

Определение. Возмущением кваито-

■

вого дифференциального модуля (X, сГ) назовем семейство отображений модулей {¿г:Х-»Х|г£2£,г > 1, = 0}, которые для каждого целого числа к > 1 удовлетворяют следующему отношению:

53 Ы = - 53 Ы (4)

г+З—к

1+3—к

1+3—к

Рассмотрим соотношения (4) для малых значений к > 1. При /с = 1 соотношение (4) принимает вид

Это говорит о том, что отображения и Ь1 являются антикомму тирующими, т. е.

= -Ьг(10 При к = 2 соотношение (4) записывается в виде

Таким образом, можно считать, что отображение модулей Ь1 : X X является с точностью до гомотопии возмущением отображения сI1 : X —> X, которое, как было сказано выше, является дифференциалом с точностью до гомотопии.

Простейшие примеры возмущений квантовых дифференциальных модулей возникают в ситуации, когда задан произвольный модуль с двумя антикоммутирующими дифференциалами и, кроме того, задано любое дифференциальное возмущение одного из дифференциалов, которое антикоммутирует с другим дифференциалом. В самом деле, как было указано выше, модуль X с двумя антикоммутирующими дифференциалами в!, в!' : X —> X определяет квантовый дифференциальный модуль где

в} = в!' и dг = 0, г > 2. Если теперь задано дифференциальное возмущение £ : X -л X дифференциального модуля (X, с^1), т. е. выполнено условие ¿"4 4- tdl — — ¿2, антикомму-тирующее с дифференциалом й0, т. е. выполнено условие (I t+td0 = 0, то определено воз-

♦

мущение {£г} квантового дифференциально-

го модуля (X, dl), которое задается формулами

t

о

0,t

t и t

О, >2.

Приведем примеры возмущений квантовых дифференциальных модулей, которые возникают при рассмотрении возмущений дифференциальных модулей с фильтрациями. Пусть над произвольным полем задан дифференциальный модуль с возрастающей фильтрацией {Хп}, <1(Хп) С Хп, п > О и пусть задано дифференциальное возмущение дифференциального модуля (X, бI),

удовлетворяющее условию Ь(Хп) С Хп_1, п > 1. Так же, как и выше, обозначим через У71 подмодуль модуля Хп, для которого Хп = У71 $ Хп~1. При помощи условия с£(Л"п) С Хп, как было ранее показано, определяется квантовый дифференциальный модуль (X, йг). Теперь при

опре-

yn—i

t : уп —> хп~1 = у^е — шу^е — еу0

t1

п>О Ьг>

помощи условия £(ХП) С Хп 1

делим отображение tln : Уп г > 1 как компоненту возмущения

Легко видеть, что семейство отображений {Ь*:Х->Х | г > 0 }, где = 0, f = 0 _

г > 1, является возмущением указанного квантового дифференциального модуля

я

(X,dl), поскольку условие dt + td = —t в рассматриваемом случае эквивалентно соотношениям (4).

Установим теперь основные гомотопические свойства возмущений квантовых дифференциальных модулей. Для этого заметим, что задание некоторого возмущения »

{t1} квантового дифференциального модуля

л

(X,dl) эквивалентно, как следует из соотношений (4), введению на модуле X нового квантового дифференциала

{D1 = (Г +f\ieZ, г > 0}.

Поведение возмущений квантовых дифференциальных модулей при гомотопических эквивалентностях типа сильных деформационных ретракций описывается в следующем утверждении.

Теорема 1. Пусть задана произвольная сильная деформационная ретракция квантовых дифференциальных модулей ({г,*} : (X, d*)^ (Y, dl) : {Г}, (И) кро-

ме того, пусть задано любое возмущение {;t1 : X —> X} квантового дифференциального

я

модуля (X,dl). Тогда на квантовом дифференциальном модуле (y,dl) возникает возмущение {t1 : У —У У}, определяемое формулами

?

О,

t

£ о>

31 4.11

tn)(hnt'2)...(h:ktlk)ek+\ (5)

l<fc<l ¿1 + —Mfc +

=г

i > 1.

Более того, возникает сильная деформационная ретракция квантовых дифференциальных модулей

(ОТ} : {Х,<Г + + е) : {?},{&'}),

которая задается следующими формулами:

= = (hjltil)(hj2ti2)...{hjktik)ek+\ г>1, (6)

1 <k<i

-о

V

О

V j

(fyilt<1)(hiat<a)...(fcifctifc)/iJfc+». г > 1,

(7)

i<fc<t -----bjfc-f-1 =»

h

о

/i°, = (hhth)(hi2ti2)...(hjktik)hik+\ i> 1.

(8)

l<fc<i

-----l-*fc +

+JiH-----h7fc+l=i

Если сильная деформационная ретракция квантовых дифференциальных модулей

является ЗИЯ-ситуацией квантовых дифференциальных модулей, то сильная деформационная ретракция квантовых дифференциальных модулей

({<П : (X, + (У, <Г + ?) : {Л*}),

получаемая по формулам (5)-(8), также является БОЯ-ситуацией квантовых дифференциальных модулей.

Если для любого заданного над полем квантового дифференциального модуля рассмотреть его гомологическую ЗБЯ-ситуацию

и применить теорему 1 к произвольному возмущению этого квантового дифференциального модуля, то получим следующее утверждение.

Следствие 1. Пусть квантовый дифференциальный модуль (Х,(1г) задан над полем и, кроме того, пусть задано любое возмущение {£* : X X} этого квантового дифференциального модуля. Тогда на гомологическом квантовом дифференциальном модуле (Н(Х),<11) возникает возмущение {1г : Н(Х) —> Н(Х)}, определяемое формулами (5) и, более того, возникает БОЯ-ситуация квантовых дифференциальных модулей

(ОТ) : (X, *(Н(X), £+?) : {*'}, {*'}),

задаваемая по формулам (6)-(8).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Лапин С. В. Дифференциальные возмущения и Doo-дифференциальные модули / С. В. Лапин // Мат. сб. - 2001. - Т. 192, № 11. - С. 55-76.

2. Gugenheim V. К. А. М. On a chain complex of a fibration / V. К. А. М. Gugenheim // Illinois J. Math. - 1972. - Vol. 3. - P. 398-414.

3. Gugenheim V. К. A. M. Perturbation theory in differential homological algebra I / V. К. A. M. Gugenheim, L. A. Lambe // Illinois J. Math. - 1989. - Vol. 33, № 4. - P. 566-582.

4. Gugenheim V. К. A. M. Perturbation theory in differential homological algebra II / V. К. A. M. Gugenheim, L. A. Lambe, J. D. Stasheff // Illinois J. Math. - 1991. - Vol. 35, № 3. - P. 357-373.

Поступила 05.10.10.