Продолжение операции умножения в eоо-алгебрах до Аоо-морфизма Еоо-алгебр и картановские объекты в категории алгебр Мэя Текст научной статьи по специальности «Математика»

Алгебра и геометрия

ПРОДОЛЖЕНИЕ ОПЕРАЦИИ УМНОЖЕНИЯ В Еоо-АЛГЕБРАХ ДО ДИМОРФИЗМА Е^-АЛГЕБР И КАРТАНОВСКИЕ ОБЪЕКТЫ В КАТЕГОРИИ АЛГЕБР МЭЯ*

С. В. Лапин

В работе получен положительный ответ на указанный выше открытый вопрос о картановских объектах в категории алгебр Мэя. Получено новое доказательство формулы Картана для операций Стинрода в гомологиях произвольных Еоо-алгебр.

В работе [6] при изучении алгебраической природы возникновения операций Стинрода в когомологиях топологических пространств Мэй определил категорию, объектами которой являются дифференциальные модули, снабженные некоторым специальным действием резольвенты симметрической группы. Главным свойством объектов этой категории, которые называются алгебрами Мэя, является то, что на их гомологиях всегда имеется функториальное действие операций Стинрода. Для того чтобы операции Стинрода в гомологиях алгебр Мэя имели свойства, аналогичные свойствам операций Стинрода в когомологиях топологи .еских пространств, в [6] были введены понятия адемовского объекта и картановского объекта в категории алгебр Мэя. Более того, в [б] было показано, что для операций Стинрода в гомологиях адемовских алгебр Мэя справедливы соотношения Адема, а для операций Стинрода в гомологиях картановских алгебр Мэя имеет место формула Картана.

С другой стороны, в работе Смирнова [2] было введено понятие Еоо-алгебры в категории дифференциальных модулей, являющееся гомотопически инвариантным аналогом понятия ассоциативной и коммутатив-

ной дифференциальной алгебры. По своему определению структура ^оо-алгебры, заданная на дифференциальном модуле, каноническим образом определяет на этом дифференциальном модуле структуру адемов-ской алгебры Мэя. Таким образом, операции Стинрода в гомологиях произвольной Еоо-алгебры удовлетворяют соотношениям Адема. В работе [5] Чатаур и Ливернет при помощи свойства кофибрантной порожденно-сти категории Еоо-алгебр показали, что дая операций Стинрода в гомологиях любой Еоо-алгебры справедлива формула Картана. Однако вопрос о том, является ли алгебра Мэя, происходящая из произвольной Еоо-алгебры, картановским объектом в категории алгебр Мэя, остался открытым.

В данной статье при помощи гомотопической теории ^оо-коалгебр из работы Смирнова [3] показано, что операция умножения и : X ® X —> X в произвольной Еоо-алгебре продолжается до Лоо-морфизма из Еоо-алгебры Х®Х в £оо-алгебру X. Как следствие получено, что каждая алгебра Мэя, происходящая из произвольной Еоо-алгебры, является картановским объектом в категории алгебр Мэя. Другими словами, в работе получен положительный ответ на указанный выше от-

© С. В. Лапин, 2010

* Работа поддержана грантом Президента Российской Федерации «Ведущие научные школы» (НШ-1562.2008.1).

крытый вопрос о картановских объектах в категории алгебр Мэя и, следовательно, получено новое по сравнению с [5] доказательство формулы Картана для операций Стиирода в гомологиях произвольных ¿со-алгебр. Перейдем теперь к строгим определениям и формулировкам.

Напомним сначала для введения терминологии и обозначений необходимые определения и конструкции, связанные с понятиями операды и алгебры над операдой из работ [2-

4].

Симметрическим семейством £ = £(з)->г

называется любое семейство дифференциальных градуированных Е^*-модулей £(.?), где - симметрическая группа степени 3. Морфизмом симметрических семейств / : £' —> £" называется произвольное семейство Е^-эквивариантных отображений дифференциальных градуированных моду-лей / = (Д.?) : £'{]) ->

Для заданных симметрических семейств £' и £" рассмотрим симметрическое семейство £' х £" ~ (£' х £//)0')^>1> гДе

(£' х £")0) - фактор-модуль -свободного дифференциального градуированного модуля, порожденного дифференциальным градуированным модулем

£ £'(к)®£"и х)®...®£"Цк),

31+...+Эк -з

по отношению эквивалентности которое определяется следующими соотношениями:

' х-к " /гх х-х

х а <g> хг (g)... (g) хк

r^j

~ X ®х"-цг) <g>... <8>x"-i(k)a(ji,...,jk),

(к)

х ® х[аг <g> ... <8> х^Ок

r>*J

~ х <8> х[ 0 ... <8) x'k(cri X ••• X

Здесь cr(ji,...9jk) ~ перестановка j элементов, получающаяся при разбиении множества из j элементов на к блоков по ji9—,jk элементов и воздействием на эти блоки перестановкой сг, и cri х ... х crfc - образ элемента (ai, ...,<Тк) при вложении Е^ 0 ... ф Ejfc ~> Еj. Ясно, что рассмотренное х-произведение ассоциативно, т. е. для произвольных симметрических семейств £, £', £" имеется изоморфизм £ х (£' х £") « (£ х £') х £" в категории симметрических семейств.

Операдой (£,7г) называется симметрическое семейство £ — £(j)}j> рассматривае-

мое вместе с морфизмом симметрических семейств 7г : £ х £ —>■ £, для которого выполнено условие 7Г(7Г X 1) = 7г(1 X 7г). Морфизм симметрических семейств 7г : £ х £ —>• £ наг зывается умножением операды (£,тг). Морфизмом операд / : (£',7г') (£",7г") называется морфизм симметрических семейств /:£'—>£", для которого вьшолнено условие /тг' = *"(/ х /).

Операда (£,7г) иазьшается свободной, если эта операда, рассматриваемая как градуированная операда, т. е. рассматриваемая без дифференциала, является свободным объектом в категории градуированных операд. Операда (£, 7г) называется Е-свободной (со-ответствешю ацикличной), если для каждо-го 3 > 1 дифференциальный градуированный модуль £(з) является Егсвободным (соответственно ацикличным).

Одной из важнейших операд в алгебраической топологии является построенная в работе [2] операда (Еоо,7г). По своему построению операда (Еоо, 7г) является свободной, Е-свободной и ацикличной операдой. Например, дифференциальный градуированный модуль £оо(2) является Ег-свободным ацикличным цепным комплексом с образующими и* € Еоо (2) размерности г > 0 и дифференциалом

Напомним теперь понятие алгебры над операдой. Пусть заданы произвольный дифференциальный градуированный модуль X и некоторое симметрическое семейство £ = {£{з)}з>1- Рассмотрим дифференциаль-ный градуированный модуль

£ ж X = 0 £0) X«

где симметрическая группа Е^ действует на

Х®° перестановками сомножителей в тензорном произведении с обычным соглашением о знаках. Легко видеть, что для любых симметрических семейств £', £" и любого дифференциального градуированного модуля X имеет место изоморфизм £' х (£" хХ)« (£' х£") хX в категории дифференциальных градуированных модулей.

Алгеброй над операдой (£,7г), или просто £-алгеброй, называется дифференциальный градуированный модуль X, рассматривав емый вместе с фиксированным отображением дифференциальных градуированных модулей ¡л : £ х X —> X, для которого выпол-

нено условие /х(7г х 1) — /х(1 х /х). Отображением £-алгебр / : (X ,/х7) -> (Х",/х77) называется отображение дифференциальных градуированных модулей / : X7 X", удовлетворяющее условию /х"(1 х /) = //х7.

В работе [2] при помощи метода ацикличных моделей было показано, что на сингулярном коцепном комплексе С* {X) любого топологического пространства X имеется естественная структура Еоо'-алгебры /х : Еоо х С*(Х) —> С*(Х), удовлетворяющая условию /х(ио) = и, где Цэ € £оо(2)о

и и : С*(Х) ® С*(Х) С*(Х) - умножение в коцепном комплексе С*(Х), индуцированное диагональным отображением топологических пространств X —» 1x1. Кроме того, в [2] было показано, что любое непрерывное отображение топологических пространств / : X —> У индуцирует отображение

Еоо-алгебр С*(/) : С* (У) С*(Х).

Лсо-морфизмом / : X —> У алгебр над операдой (£, 7г) называется семейство отображений / = {/п : £ХпхХ->У | /п((£Хпх х X).) С У#+П,п € п > 0}, которые для каждого целого числа п > — 1 удовлетворяют соотношению

#„+1 + (-1 )"/„+!<* = (-1)>(1 X /п)-

п

/п(1 X ... X 1 X /х) + 1х

X... X 1 X 7Г X 1 X ... X 1 X 1 ),

где £ - номер места, на котором стоит тс.

Легко видеть, что каждое отображение £-алгебр / : X —> У можно считать Зооморфизмом £-алгебр {/п} : X —> У, если положить /о = / и /п = 0, п > 0.

Гомотопией ¡г : X ^ У между Лоо-мор-физмами £-алгебр /,д : X -» У называется семейство отображегай/г — {/гп : —>

—> У#+Т1_|_1 | п Е Ъ,п > 0}, которые для каждого целого числа п > — 1 удовлетворяют соотношению

(1Нп+1 + (—1)п+1кп+к1 =

= /п+1 - ^п+1 4- /гп(1 х ... х 1 х /х) +

п

+(- 1)п/х(1 х /г„) + ^(-1)'+п+1/гп(1х

¿ = 1

X... X 1 X 7Г X 1 X ... X 1 X 1),

где Ь - номер места, на котором стоит тс.

При помощи понятия гомотопии между Лоо-морфизмами £-алгебр стандартно определяется понятие Аоо-гомотопической эквивалентности £-алгебр.

Пусть заданы Аоо-морфизмы £-алгебр г? : X ^ У : £, для которых выполнено условие 7?£ = 1у, и пусть задана некоторая го-мотопия /г : X -> X между Лоо-морфизмами £-алгебр 1х и удовлетворяющая услови-ям Н^ = 0, т]Н — 0, НН — 0. Рассмотреть ситуация традиционно записывается в виде (77 : Х^У : £,/г) и называется Аоо-БВК-ситуацией 5-алгебр.

Напомним, что операда (Еоо, тс) является операдой Хопфа [2], т. е. дая операды (£оо,тг) в категории симметрических семейств имеется ассоциативное коумножеиие V : Еоо Еоо 0 Еоо,

где (Яоо 0 = ^оо и) 0 Ясс СО,

7 > 1, которое является морфизмом операд. При помощи этого коумножения V определяется тензорное произведение (X 0 У, /х) произвольных Е'оо-алгебр (X, /х7) и (У, /х77) со структурным отображением /х : Еоо х (X <8> У) —> X <8> У, которое задается формулой /х = (¡1 0 /х7)Т(У х 1), где

Т:(Еоо®Еоо)*(Х®У) (х^^^ооХУ)-

очевидное перестановочное отображение.

Рассмотрим теперь для произвольной Е"оо-алгебры (X, /х) дифференциальную алгебру (X, и), операция умножения и : (X 0 X). —> X. которой задается формулой и = ц(и0®1хх), где и0 е £оо(2)0. Так как в операде (Еоо, к) имеется соотношение ¿(их) = и0-и0Т, где Ых € £?оо(2)1,ТеЕ2,то операция умножения и является гомотопиче-ски коммутативной. Кроме того, операция умножения и является гомотопически ассоциативной, поскольку в операде (Еоо, тс) содержится [2] подоперада Сташеффа (Аоо,тс) и, следовательно, в операде (Еоо, тс) имеется соотношение

фп) = тг(и0 <8) и0 0 1) - тг(и0 0 10 и0),

где тс\ е Лоо(3)1 С Еоо(3)г. Отметим теперь, что если для произвольной £оо-алгебры (X, /х) рассмотреть соответствующую ей Еоо-алгебру (X 0 X, /х), то операция умножения и : (X 0 X). Х#, вообще говоря, не является отображением Еоо-алгебр. Однако, как показывает следующее утверждение, для любых £оо-алгебр, заданных над полем операцию умножения и всегда можно продолжить до Аоо-морфизма Еоо-алгебр.

Теорема. Для каждой Еоо-алгебры (X,/х); заданной над полем Ъъ, существует Аоо -морфизм Еоо -алгебр

ф = (Е*пхХ®2). -> Х.+п | п б Ж, п >

> 0}; начальная компонента 1ро : (Х®Х)ш —>

toX9 которого совпадает с операцией умножения U = fí(Uo 0 l|2) : (X 0 X). -> X..

Доказательство. Напомиим сначала, что в работе [3] для любой Е©о-алгебры X, заданной над полем Z2, фуикториальным образом была построена симплициальная коммутативная коалгебра Е(Х), обладающая тем свойством, что соответствующая ей Е^-алгебр a N*(F(X)) нормализованных коцепей с коэффициентами в Z2 и исходная Еоо-алгебра X являются Лоо-гомотопически эквивалентными Еж-алгебрами. Так как симплициальная коалгебра Е(Х) коммутативна,

то коумножение V : F(X) Е(Х)®2 этой симплициальной коалгебры является отображением симплициальных коалгебр и, следовательно, индуцирует отображение Е^-

алгебр N*(V) : ЛГ(Е(Х)®2) N*(F(X)). В [2] (см. также [1]) было показано, что отображение Эйленберга-Зильбера ф : ЛГ(Е(Х))®2 АГ(Е(Х)®2), являющееся гомотопической эквивалентностью дифференциальных модулей, можно продолжить до Аоо-гомотопической эквивалентности Еоо-алгебр

Ф = Ш : N*(F(X)f2 N*(Е(Х)®2),

Фо = Ф-

Из этого следует, что для Еоо-алгебры (N*(F(X)),fj) операция ассоциативного умножения

U = Uo 0101) = iV*(V)^ : iV*(>(X))®2

]

N'(F(X))

продолжается до Лоо-морфизма Еоо-алгебр

7 = Ы*(У)ф = Ш : N*(F(X))®2

->JNT(E(X)), 70 = U. Пусть Лоо-морфизмы Еоо-алгебр / = {/п} :

: X^N*(F(X)) : {gn} = 9 являются вза-имообратными Л оо-гомотопическими эквиваг лентностями Еоо-алгебр над полем Ъг. Тогда легко видеть, что имеет место соотношение dt+td = U(/о 0/o)+/oU, где t = /1 (U0 0101), U = fi(Uo 0101), и, следовательно, справедливо соотношение dh+hd = <7o(U(/o0/o))+U,

где h — got + sVnds + sd=lx + gofo- Таким образом, имеется морфизм Ло©-морфизм Ео©-алгебр

У

Z = 9l(f®f) = {Sn}:X®X-+X,

= Зо(U(/о ® /о)),

для которого выполнено равенство <11г + Н<1 — £о + и, т. е. отображения дифференциальных модулей £о • X®2 X и и : X®2 —> X являются гомотопными. Покажем, что в этой ситуации отображение дифференциальных модулей и : X®2 X продолжается до Аоо-морфизма Еоо-алгебр

ф = {фп} : X®2 X, ^о = и и, кроме того, имеется гомотопия г = {гп}7 го = /1, между Аоо-морфизмами Еоо-алгебр

£ = {£„} :Х®*->Хиф = {фп} : X®2 X.

Определим семейства ' отображений

ф = {фп: (Е£? х X®2). -> Х.+п} и г = =^гп : (Е£п х X®2). Х.+п+1}, полагая

Фо = и, фг= х/1), фп = £п, п > 2,

го — /г, гп = 0, п > 1.

Прямые вычисления показывают, что семейство отображений ф = {^п} является Лоо-морфизмом Еоо-алгебр и семейство отображений г — {г*п} является гомотопией между Аоо-морфизмами Е^-алгебр £ = {£п} и ф = {фп}- Таким образом, для любой Еоо-алгебры (Х,д), заданной над полем ^2, операция умножения и = /¿(ио0101) : X®2 X продолжается до Аоо-морфизма Еоо-алгебр

{фп} : X®2 -> X, фо = и.

Рассмотрим теперь категорию (£2,^2)-алгебр Мэя. Эта категория была введена в работе [6] как подкатегория категории дифференциальных модулей, на гомологиях объектов которой естественным образом действуют операции Стинрода.

Напомним, что (£2^2)-алгеброй Мэя называется пара (X, $), где X - произвольный дифференциальный модуль над полем и : Еоо (2) 0е2 X®2 X -отображение дифференциальных модулей, для которого индуцированное отображение и = 1Я(и0 0 1|2) : X®2 -> X является го-мотопически ассоциативным умножением на дифференциальном модуле X. Здесь считается, что группа £2 действует на X®2 перестановкой сомножителей в тензорном произведении. Морфизмами (£г,Й2)-алгебр Мэя / : (Х,$') —> называются отображе-

ния дифференциальных модулей / : X У, для которых отображения $"(1 0 /®2) и являются гомотопными отображениями дифференциальных модулей.

Легко видеть, что каждая Е^-алгебра (Х,/г), заданная над полем ^2, имеет структуру (£2,^2)-алгебры Мэя (Х,19), где структурное отображение дифференциальных модулей # : Еоо (2) 0е2 X®2 X определяется

как ограничение отображения дифференциальных модулей /х : Еоо х X X на подмодуль Еоо (2) X®2 дифференциального модуля Еоо X X.

Напомним теперь, что тензорным произведением (£2,^2)-алгебр Мэя (Х,1?') и (У, •д") называется (Е2^2)-алгебра Мэя (X 0 У, 29), структурное отображение

г? : Еоо(2) <8>е2 (X 0 у)®2 X ® У которой определяется равенством

0 = (0' 0 0")(1 0^0 1)0? 0

где ^ : (Х0У)®2 Х®20У®2, Т : Еоо(2)0е2

0е2 X®2 X®2 <8>е2 Еоо (2) - оче-

видные перестановочные отображения и

V : Еоо(2) Е(2) 0 Еоо(2) - ограничение указанного выше морфизма операд

V : Еоо —>■ Еоо ® Еоо на дифференциальный градуированный Е2-модуль Еоо (2). В частности, для каждой (Е2^2)-алгебры Мэя (Х,1?')

определена (Е2>22)-алгебра Мэя (Х®2,^).

Картановским объектом категории (Е2,22)-алгебр Мэя называется произвольная (Е2,^2)-алгебра Мэя операция

умножения и = 0(ио 0 1|2) : х®2 X которой является морфизмом (Е2^2)-алгебр Мэя.

Следствие 1. Для произвольной Еоо-алгебры (X, /х); заданной над полем Z2? соответствующая ей (Е2, Й2)-алгебра Мэя (X, 1?) является картановским объектом категории (Е2,^2)-алгебр Мэя.

Доказательство. В теореме для произвольной Еоо-алгебры (X, /х) был построен Аоо-морфизм Е^-алгебр

ф = {фп: (Е*пхХ®2). -> Х.+п \п е г,п > 0},

начальная компонента фо : (X 0 X). —> X• которого совпадает с операцией умножения

и = /х(и0 0 1|2) : (X 0 X). -> X.. Из

соотношений в определении Аоо-морфизма Еоо-алгебр получаем, что для компоненты ф 1 : (Еоо х X®2)« —> Х.+1 имеет место равенство ¿ф\ + ф\(1 = /х(1 х и) — и(1 х /х). Если определить теперь отображение К : (Еоо(2) 0Е2 (X®2 0 X®2). -> Х.+1 как ограничение отображения ф\ на подмодуль еоо (2) 0е2 (X®2 <8> X®2) дифференциального градуированного модуля Еоо х X®2, то для (Е2^2)-алгебр Мэя (Х,1?)

и (Х®2,т9), которые соответствуют Еоо-ал-гебрам (X,/х) и (Х®2,/х), получим равенство дк + Ы = 0(1 (8) и®2) - иЛ Это равенство означает, что /г является гомото-пией между отображениями 0 и®2) и и<0 и, следовательно, операция умножения

и = 0(ио 0 1|2) : (Х®2,0) (Х,0) является морфизмом (Е2,^2)-алгебр Мэя. Таким образом, (Е2,й2)-алгебра Мэя (Х,?9), соответствующая Еоо-алгебре (X, /х), является картановским объектом категории (Е2,Йг)-алгебр Мэя.

Напомним теперь конструкцию операций Стинрода в гомологиях (Е2, Z2)-алгебр Мэя и, в частности, в гомологиях Еоо-алгебр. Пусть задана произвольная (Е2^2)-алгебра Мэя (X, г9), которую будем рассматривать с

верхней градуировкой, полагая Хк = к € Ъ. Образующие ип 6 Еоо(2)п, п > 0, дифференциального Z2[E2]-мoдyля Еоо (2) определяют отображения

ип = 1?(ип®112) : (Х0Х)в->Х—п, п > 0,

связанные между собой соотношениями

<*(IV) = ип-1 + (-1)п ип-х Г, п > 1,

¿(ио) = 0. Операция гомотопически коммутативного и гомотопически ассоциативного умножения и = ио : (X 0 X)" —> X* индуцирует на гомологическом модуле Я(Х) коммутативное и ассоциативное умножение и : Я(Х) 0 Я(Х) -> Я(Х). Кроме этого умножения, указанные вьпне отображения ип, п > 0 определяют естественные по аргументу X отображения Z2-модулей

Бя" : Яв(Х) -> Яв+п(Х), п > 0,

Sqn{ж} = {х ид-п х},

где х £ Xя и через {х}, {х ид_пх} обозначены соответствующие классы гомологий циклов х и х ид-п х. Отображения 22-модулей Sqrг, п > 0 называются операциями Стинрода в гомологиях (Е2, Z2)-aлгeбpы Мэя (X, г9). Операциями Стинрода в гомологиях Еоо-алгебры (X,/х) называются операции Стинрода в гомологиях (Е2^2)-алгебры Мэя (X, которая соответствует Еоо-алгебре (Х,/х). В [6] было показано, что если (£2^2)-алгебра Мэя X является картановским объектом категории (Е2,22)-алгебр Мэя, то для операций

Стинрода Бд" : Я'(Х) Яв+п(Х) в гомологиях Я*(Х) этой (Е2^2)-алгебры Мэя справедлива формула Картаиа. Из этого, применяя следствие 1, получаем следующее утверждение.

Следствие 2. Для операций Стинрода Sqn : Яв(Х) Яв+п(Х) б гомологиях Я*(Х) любой Еоо-алгебры (X,/х), заданной над полем Z2, справедлива формула Картана

8Ч"(х и у) =53 Эч^х) и х,у& Н'(Х).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лапин С. В. Doo-дифференциальные £?оо-алгебры и спектральные последовательности расслоений / С. В. Лапин // Мат. сб. - 2007. - Т. 198, № 10. - С. 3-30.

2. Смирнов В. А. О коцепном комплексе топологического пространства / В. А. Смирнов // Мат. сб. - 1981. - Вып. 115, № 1. - С. 146-158.

3. Смирнов В. А. Гомотопическая теория коалгебр / В. А. Смирнов // Изв. АН СССР. Сер. Математика. - 1985. - Т. 49, № 6. - С. 1302-1321.

4. Смирнов В. А. Гомологии В-конструкций и ко-В-конструкций / В. А. Смирнов // Изв. РАН. Сер. Математика. - 1994. - Т. 58, № 4. - С. 80-96.

5. Chataur D. Operadic description of Steenrod operations / D. Chataur, M. Livernet // arXiv : math.AT/020936. - 2002. - Vol. 2, № 25. - P. 1-27.

6. May J. P. A general algebraic approach to Steenrod operations / J. P. May // Lect. Notes in Math. -1970. - Vol. 168. - P. 153-231.

Поступила 28.10.10.

ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ВОЗМУЩЕНИЙ КВАНТОВЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МОДУЛЕЙ*

С. В. Лапин

В данной работе вводится понятие возмущения квантового дифференциального модуля и устанавливается свойство гомотопической инвариантности возмущений квантовых дифференциальных модулей.

В работах Гугенхейма, Ламбе, Сташеф-фа [1-4] было введено понятие «возмущения дифференциального модуля» и установлено свойство гомотопической инвариантности возмущений дифференциальных модулей. С другой стороны, в работе [1] было введено понятие квантового дифференциального модуля или, по-другому, Боо-дифференциального модуля, которое является гомотопически инвариантным аналогом понятия дифференциального модуля, а также рассмотрена связь между понятиями возмущения дифференциального модуля и квантового дифференциального модуля.

Пусть К - любое коммутативное кольцо с единицей. Все рассматриваемые ниже модули и отображения модулей являются, если не оговорены дополнительные условия, К-модулями и отображениями К-модулей.

Напомним сначала, что дифференциальным модулем (X, в,) называется модуль X, рассматриваемый вместе с некоторым фиксированным отображением модулей (1 : X —> —> X, которое называется дифференциалом модуля X и для которого выполнено условие (12 — ¿сI = 0. Отображением / : (X, (1) —> (У, ¿) дифференциальных модулей называется отображение модулей / : X У, удовлетворяющее условию = /с1. Гомотопией между отображениями /, д : (X, ¿) —> (У, ¿) дифференциальных модулей называется отображение модулей к : X У, для которого выполнено равенство ¿¡г + Н(1 = / — д. При помощи понятия гомотопии между отображениями дифференциальных модулей стандартно определяется понятие гомотопической эквивалентности дифференциальных модулей.

© С. В. Лапин, 2010

0

* Работа выполнена в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 200д~2013 гг.» проекта «Построение гомотопически устойчивого аналога сглмплициального объекта».