ГНЕЗДО ВОЛЬТЕРРА И ОПЕРАТОР Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таким образом, можно сделать вывод, что моделирование процесса получения газойля коксования по каждому выходу дает лучшие результаты, погрешности в большинстве случаев не превышают 4% по сравнению с моделью, реализованной по всем выходам, средняя погрешность которой около 35%. Однако, реализация виртуального анализатора на основе нейронной сети по каждому показателю качества продукции является трудоемким процессом, требующий глубокого анализа процесса, поэтому на сегодняшний день это труднореализуемая задача.

Список литературы:

1. Боровиков В.П. Нейронные сети. Statistica Neural Networks. Методология и технологии современного анализа данных. - М.: Горячая линия -Телеком, 2008. - 392 с.

2. Гордиенко Е.К., Лукьяница А.А. Искусственные нейронные сети. I Основные определения и модели // Изв. РАН. Техническая кибернетика. -1994. - № 5. - С. 79-92.

3. Костенко А.В. Виртуальный анализатор сырьевых потоков / А.В. Ко -стенко, А.А. Мусаев, А.В. Тураносов // Нефтепереработка и нефтехимия. -2006. - № 1. - С. 35-44.

4. Короткий С.Г. Нейронные сети: алгоритм обратного распространения. - BYTE / Россия. - 2000. - № 5. - С. 26-29.

5. Стрижов В.В., Крымова Е.А. Методы выбора регрессионных моделей. - М.: ВЦ РАН, 2010. - 60 с.

6. Терехов В.А. Нейросетевые системы управления: учебное пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 2002. - 183 с.

ГНЕЗДО ВОЛЬТЕРРА И ОПЕРАТОР © Маркина А.В., Тодоровская Я.В.1

Курский государственный университет, г. Курск

Вольтерровские операторы являются важным составным элементом в структуре операторов весьма общего типа. Первые глубокие результаты в области оператора и гнезда Вольтерра были получены в начале 60-х годов И.Г. Крейном и его учениками, а также Рингроузом. В последнее время эта тема не только остаётся актуальной, но и занимает важное место в функциональном анализе.

В работе были определены и рассмотрены операторы Вольтерра, гнездо Вольтерра, компактные операторы, действующие в сепарабель-ном гильбертовом пространстве.

Ключевые слова: гильбертово пространство, оператор Вольтерра, Теорема Рингроза, гнездо Вольтерра.

1 Студент кафедры Математического анализа (специальность ПМИ).

Рассмотрим классический оператор неопределенного интегрирования, определенный в ¿2(0, 1) в виде

1

у/ с) = | / (х)№х.

Пусть N - гнездо инвариантных пространств для V. Оператор V принадлежит Т( N) Поскольку N - непрерывная совокупность, диагональное отображение Д является нулевым. Отсюда по теореме Рингроуза оператор V является квазинильпотентным. Кроме того для скалярного произведения двух произвольных функций £ g пространства Ь2(0, 1) имеет место следующее равенство:

(УУ, §) = (/, у§) = } /(о} §(х)хг = 11 ]гт §(х№

0 г

А из последнего интеграла, следует, что

У У (х) = )/ (г

где V - оператор, сопряжённый к вольтерровскому оператору А. В частности,

п+1

У * хп = -

п +1

Поскольку многочлены плотны в пространстве ¿2(0, 1), следует, что 1 является циклическим вектором для оператора V*.

Лемма 1. V является неприводимым (т.е. {XV*}- С1). Доказательство. 2Яв V = V + V* является одноранговым оператором 1®1 , так как

1

(у + у ')/ (г) = ! / (г № =< / ,1 > 1(г).

0

Если Р - это функция проектор, коммутирующая с V, то Р коммутирует с V + V* и, таким образом, С1 является инвариантным. Таким образом, Р1 = 1

или 0. Если Р1 = 1, вместо этого рассмотрим Р1. Таким образом, Р1 = 0. Тогда

хп

Р— = РУ п1 = У пР1 = 0. п!

0 Ч 0

0

Таким образом, Р = 0.

Лемма доказана.

Оператор Т является вполне ненормальным, если он не содержит такого ненулевого приводящего подпространства М, при котором Т\М является нормальным. Согласно Лемме 1, оператор Вольтерра является полностью ненормальным [2].

Лемма 2. Допустим, р является таким вполне ненормальным нильпо-тентным оператором, при котором р + р* является одноранговой проекцией е®е . Тогда р является компактным и неразложимым, а е является циклическим вектором для р и р*.

Доказательство. Поскольку Q - Q* = 2^ - & + Q*), существенный спектр - Q*) = {0}. Но Q - Q* является нормальным, таким образом, Ш - Q*e|| = - Q*) = 0. Значит, Q - Q* является компактным. Отсюда,

р = 1/2(Q + Q*) + 1/2(Q - Q*), является компактным. Для любого вектора х,

Я х = (Я + Я*)х - Ях = (х, е)е - Ях.

Таким образом, наименьшее инвариантное подпространство М для р, содержащего е, также является наименьшим инвариантным подпространством для р*. Отсюда М приводит Q. Поскольку Q + Q*M± = 0, QM1 является кососопряженным. Однако, р является вполне ненормальным. Таким образом, М = уЛ, а е цикличен для р и р*. Если кратко, то любая проекция Р, коммутирующая с р, должна удовлетворять Ре=Р или 0. Поскольку е цикличен, имеем PQne = О'Ре = 0, подразумевая во втором случае Р = 0. В первом случае Р = 1. Поэтому р является неразложимым. Теорема доказана.

Лемма 3. Допустим, р является вполне ненормальным нильпотентным оператором, при котором Q + Q* является одномерный проектор е®е . Пусть М будет максимальное гнездо инвариантных подпространств для р. Тогда М является непрерывной совокупностью, параметризованной строго возрастающей непрерывной функцией

^М) = (Р(М )е, е).

Теорема 1. Каждый нильпотентный, вполне ненормальный оператор р, при котором Q + Q* является одномерным проектором, унитарно эквивалентен оператору Вольтерра V [1].

Теорема 2. ЬМ(У) = N = {^, 0 < t < 1}.

Доказательство. Две этих теоремы будут доказаны вместе.

Пусть М будет максимальной совокупностью инвариантных подпространств для р. Пусть е®е = Q + Q*, и пусть t(M) будет функцией Леммы 3. Пронумеруем М в виде {М{. 0 < t < 1} так, чтобы t(Mt) = t. Во-первых, положим, что е является циклическим вектором для М". Чтобы увидеть это, пусть Р будет ортогональной проекцией на замкнутую линейную оболочку

{Ме: 0 < / < 1}. Это инвариантно для М, поэтому Р принадлежит к М'. Оператор Т = Q - PQP принадлежит к Т(М). Помимо этого, поскольку

Ре = е, то

т+т = q+£ - р(<0, + q )р = 0.

Отсюда Т является компактным нормальным оператором в Т(М ).По Теореме Рингроуза o(Q) = {0}, отсюда Т = 0. Отсюда следует, что Р коммутирует с р. По Лемме 2 Р = I, поэтому е цикличен для М" [3].

Определим линейное отображение и от ¿2(0, 1) на Н следующим образом. Пусть f будет ступенчатой функцией; т.е. имеются 0 = /0 < ^ < ... < 4 = 1, х, яв-

п

ляются характеристическими функциями [/¿_ь /,], а f имеет форму 2 ах I .

1=1

Определим Е = Р(М- Р(М{) - Р(М1 ), и положим

п

и/ = 2 аЕе.

1=1

Ясно, что данное выражение выполняется, поскольку при любом разбиении {/,} получится одна и та же сумма. Таким образом, И является линейным оператором на плотном подпространстве ступенчатых функций. Пусть f и g являются двумя ступенчатыми функциями, записанными в виде

п п

/ = 2и g = 2ЬХ1 относительно общего подразделения {¿¿}в [0, 1].

1=1 1=1

Тогда

(и/и) = [ЦаЕе,] = £аД(Ее,е) = 2аМ> -=

n

]aj

j i=i i=i in n Л

= Z ab (X > X) = Z aX Zb

1=1

jxj

\ i=1 J=1 j

=(f, g).

Таким образом, U является изометрическим и поэтому расширяется на изометрию, которую мы также обозначаем U от L2(0, 1) на H. Диапазон U охватывает {Mte: 0 < t < 1}, будучи плотно расположенным в H (см. предыдущий абзац). Таким образом, U является унитарным.

Операторы V и Q можно представить в виде:

V = j P(N)(V + V* )dN = lim Uf (1 <E> 1);

N f

Q = jP(M)(Q + Q*)dM = limUg(e® e ) [3].

Пусть/ = N1 и положим разбиение 0 = t0 < ^ < ... < tn = 1. Пусть / = {Щ} и / = {Мч} будут соответствующими конечными подсовокупностями N и М.

Положим, что V содержит инвариантное пространство Ь. Пусть I. будет максимальным гнездом инвариантных пространств V, содержащих Ь. Согласно вышеописанным результатам, получаем такой унитарный и, что UV = 'УИ, а И Ь = N для некоторых 0 < 1 < 1. Тогда И является скалярным, отсюда Ь принадлежит к N. Таким образом, N содержит все инвариантные подпространства V

Теорема доказана.

Следствие 1. V унитарно эквивалентно V [5].

2

Теорема 3. Собственные значения (V V)12 соответствуют ^^—

для п > 1. В частности, у = 2 / л.

Теорема 4. Каждый оператор в {V }' является пределом последовательности многочленов в V в сильной операторной топологии. Поэтому {V }' совпадает со слабыми и слабыми* замкнутыми алгебрами, порожденными V .

Следствие 2. {V}' совпадает со слабой* замкнутой алгеброй А(У) порождённой V

Теорема 5. Единичный шар алгебры, генерируемой {V, Мх}, сильно плотен в единичном шаре Т( N). В частности, Т( N) порождается {уМх} в качестве слабой* замкнутой алгебры [5].

Доказательство. Легко увидеть, что многочлены р(М) = Мр с |р||м < 1 сильно* плотно в единичном шаре {Мх}' = N'. Пусть N будет элементом N, а f и g будут любыми ограниченными функциями в ¿2(0, 1) таким образом, что Р(Щ/=£ а Р(Щ^ = g. Тогда

М^УМ!1 = М/Р( N )УР(И )М = М/Р(М)(У + V *)Р(И)1М!1 = =м/ (1 ®l')мg = / < я*.

Пусть рп и дп будут такими последовательностями многочленов, что МРп и МЦп сильно* сходятся к М/и Поскольку V компактен, Мр¥сходится нормально к Му, а МуМ9п сходится нормально к МуМ9. Таким образом, /<3 g* принадлежит нормальной замкнутой алгебре, генерируемой {Мх, V}.

Теорема доказана.

Список литературы:

1. Хелемский А.Я. Лекции по функциональному анализу. - М.. МЦНМО, 2004. - С. 554.

2. Богачев В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ. - М.: РХД, 2009. - С. 724.

3. Derivations of non-separable C*-algebras // J. Func. Anal. 33 (1979), 311-331.

4. Мерфи Д. С*-алгебры и теория операторов. - М.: Факториал, 1997. -С. 336.

5. Arvesоn W.B. Interpolation problems in hestalgebros // I. Funct. Anal. 1975. Vol. 20. P. 208-233.