CC BY
1
УДК 514.76
Н. А. Елисеева1 , Ю. И. Попов2
1 Калининградский государственный технический университет, Россия 2 Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия 1 ne2705@gmail.com, 2 yurij.popoff2015@yandex.ru с1ог 10.5922/0321-4796-2023-54-1-8
Гиперполосное распределение, оснащенное полем сопряженных плоскостей
Рассматривается гиперполосное распределение аффинного пространства, оснащенное полем сопряженных плоскостей относительно асимптотического пучка тензоров базисной поверхности. Приведено задание изучаемого гиперполосного распределения в аффинном пространстве относительно репера 1-го порядка и доказана теорема существования. Построены инвариантные поля геометрических объектов 1-го и 2-го порядка. В дифференциальной окрестности 2-го порядка построены поля нормалей Трансона 1-го и 2-го рода. Найдены условия совпадения нормалей Трансона и нормалей Бляшке.
Ключевые слова: гиперполоса, регулярная гиперполоса, гиперполосное распределение, аффинное пространство, нормализация
§1. Задание гиперполосного распределения, оснащенного полем сопряженных плоскостей, в я-мерном аффинном пространстве Ап
В работе используется следующая схема индексов:
],К,Ь = 1, п; ¿,у, к = 1,т; р, д, г,5,Ь = 1, г; а, Ь,с^ = = г + 1, т; а,р = т + 1,п — 1; а, ¡3 = т + 1, п.
Поступила в редакцию 8.05.2023 г. © Елисеева Н. А., Попов Ю. И., 2023
Обзор работ по теории гиперполос в трехмерных пространствах с фундаментальными группами дан в статье А. В. Столярова [12]. В. В. Вагнер [4] обобщил введенное В. Бляшке [3] понятие полосы: га-мерной гиперполосой Нт в п-мерном цен-троаффинном пространстве А° он называет поверхность Цп (т<п — 1), оснащенную полем касательных гиперплоскостей. При этом поверхность Ут называется базисной поверхностью гиперполосы Нт, а касательное оснащение гиперплоскости — главными касательными гиперплоскостями гиперполосы Нт.
В настоящей работе используются метод внешних дифференциальных форм Э. Картана [2; 14; 16] и теоретико-групповой метод Г. Ф. Лаптева [5; 7].
Рассмотрим гиперполосное распределение [13] аффинного пространства Ап [15], для которого в каждом центре А базисной поверхности Ут заданы г-мерная плоскость Лг = Л и сопряженная ей (т — г)-мерная плоскость Ьт_г = Ь относительно асимптотического пучка тензоров базисной поверхности Цп. Такой специальный класс гиперполосных распределений аффинного пространства Ап будем обозначать символом Ят(7). Отнесем п-мерное аффинное пространство Ап к подвижному реперу Я = {М, ёу}, дифференциальные уравнения инфинитезимального перемещения которого имеют вид
dM = , йё} = ш^ёк,
где = шь Ла>1, = .
Совместим вершину М репера Я с текущей точкой А базисной поверхности Ут. Векторы {ёр} поместим в касательную плоскость Л(.Д), а векторы {ёа} — в (т — г)-мерную плоскость Ь(А). Векторы {ёа} расположим в характеристике Хп-т_1{А) гиперполосного распределения Нт(7), а вектор ёп пусть занимает произвольное положение, образуя с векторами {ёр,ёа,ёа} репер {Л, ёу} пространства Ап. Выбранный таким
образом репер является репером 1-го порядка К1, относительно которого гиперполосное распределение Нт(7) задается следующими уравнениями и соотношениями:
= Ь%чшЧ, = Ь£ьшь, (а)
< = < = Ь%ьшь, ^ =Лар1о)1, (1.1)
...Р _ ТР ,.Л /..а _ та
-'РЧ ~ > аЬ — иаЫ
(Ь)
ЧЪ$ч + = 1ЪааЪ + = Ь£ыа>1, (1.2)
где
= 0, й^] = 0, Ака[1Ь]\к = 0. (1.3)
В дальнейшем будем изучать только регулярные гиперполосные распределения Нт(£), то есть такие гиперполосные распределения, для которых характеристика Хп_т_1(А) и касательная плоскость Тт(А) находятся в общем положении:
Хп_т_1(А)ПТт(А) = А,[Хп_т_1(А),Тт(А)]=т(А).
Известно [1], что необходимым и достаточным условием сопряженности плоскостей Л(.Д) и Ь(А) является обращение в нуль тензора }, то есть Ь%а = 0 и Ь%р = 0.
Из (1.1.а) и (1.2) следует, что система функций образует невырожденный тензор 1-го порядка — основной фундаментальный тензор гиперполосного распределения Нт(7), который распадается на два невырожденных симметрических тензора 1-го порядка ЬрЯ и Назовем тензор 1-го порядка ЬрЯ главным фундаментальным тензором гиперполосного распределения Нт(7), ассоциированным с расслоением Л(!^п), а тен-
зор — главным фундаментальным тензором гиперполосного распределения Нт(7), ассоциированным с расслоением КУт).
Замечание. Расслоение Л(ут) плоскостей Л(^) и расслоение Ь(ут) плоскостей Ь(А) в дальнейшем будем соответственно называть Л-подрасслоением и 1-подрасслоением, а расслоение касательных плоскостей назовем Г-подрассло-ением гиперполосного распределения Нт (7).
Таким образом, имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Регулярное гиперполосное распределение Ят(7) в репере 1-го порядка задается дифференциальными уравнениями (1.1), (1.2) и соотношениями (1.3).
§ 2. Теорема существования
Теорема 2. В аффинном пространстве Ап гиперполосное распределение Ят(7) существует и определяется с произволом 2г(т — г) + (п — т) +т(п — т— 1) функций т аргументов.
Доказательство. Все уравнения, входящие в чистое замыкание системы (1.1), можно представить в виде
ДЬ^ Аш? = 0, ДА^ Аш1 = 0,
АЬ£ьЛшь = 0, ДЯ^А^ = 0, (2.1)
ДЬ^Аш4 = 0, ДХаа1Аш1 = 0,
ДЪ*ъ Ашь = 0, ДЛр. Аш' = 0,
где
= , ДАар1 = ^ + ДЬ$„ = ЩЧ + ДХаа1 = МХаа1,
ДЬааъ = ЧЬааЬ + ЬпаЬ<, =
Исследуем систему (2.1). Количество независимых функций, входящих в эту систему, равно
q = т.2 + 2т2(п — т — 1) + 2г т(т — г).
Введем обозначения: А = 2sr + т(п — т — 1), s = т — г. Найдем характеры системы (2.1):
S-l = rangM1 = r(n — т) +s(n — т) + А,
S2 =rangM2 —rangM1 = (г — 1)(n — т) + (s — 1)(n — т) + А,
= (r~ 2)(n — т) + (s — 2)(п — т) +А,
Sr = 1(п — т) + (т — 2r + 1)(n — т) +А, Sr+1 = (т — 2 r)(n — т) +А,
Sm = 1(п — т) + А. Подсчитаем число Картана для системы (2.1): Q= St + 2S2 + 3S3 + ••• + mSm =
r(1+r)
m(1 + m) +2rs----Vm
(2.2)
Abnab = bnabcü>c, AAaai=Aaaij^,
A baab = baabc^c, .
Найдем число линейно независимых функций, стоящих в правых частях системы (2.2):
г(1+г) 5(1+5) Ы = г(п — т)-^--\-sin-m)-^--^
т(1 + т) т(1 + т) +2гз-^---2-(п — т — 1).
Таким образом, Q = N. Данная система находится в инволюции [2; 14; 16]. Следовательно, в аффинном пространстве Ап гиперполосное распределение Нт (7) существует и определяется с произволом 2г(т — г) + (п — т) +т(п — т—1) функций т аргументов.
§3. Построение инвариантных полей геометрических объектов 1-го и 2-го порядка гиперполосного распределения Нт(1)
Для невырожденных тензоров и (§ 1) можно построить обратные им тензоры Ь1^4 и , компоненты которых удовлетворяют условиям
ьцчь? = , + = 0, (3.1)
ЬпаЬЬьпс = 8са, ЧЬьпс + й*ай^й^ = 0.
Построим геометрические объекты 1-го порядка, ассоциированные с Л-, 1-подрасслоениями гиперполосного распределения Нт (£):
л а _ 1 иа иРЧ та _ 1 иа иаЬ 1\п гирцип 5 ^п т_гиаЪип 5
удовлетворяющие в силу (1.2.Ь) и (3.1) уравнениям
УЛ£ + <=Л^, + 0)% = ьап1ш1. (3.2)
Предварительно заметим, что, замыкая уравнения (1.2.b), получим
Vb^ -вдх -Ь^Д'Х = b;qija>j (3.3)
чьпаЫ -ВДХ -ВДХ -ьжА = Kbija>i.
Введем [9] в рассмотрение функции 2-го порядка:
0 _ un uVq L _ ип uba
Dí ~ upqíun ' uí ~ abiun э
для которых в силу (1.2.b), (3.1), (3.3) выполняются условия
VB¿ = 2й£< + rbfjtojl + Bij0)j, (3.4)
Vb¿ = 2Й>£ + (т — r)b?jü)]n + bijü)j. Составим величины
Fp = г+2 Ьsqpbn — r+2 Вр, tp = m_r babpbn ~ (3 5)
F = — hn h^ = — ~R t = 1 hn hbc = 1 h ra — rupqaun r _ s+2UcbaUn s+2^°'
удовлетворяющие в силу (3.4) уравнениям
VFp = bpSMn + Fpia)1, Vtp = bpqM% + tpia)1, (3.6)
VFa = Ь£сш£ +Faiú)1, Vta = Ь£сш£ + taiú)1.
Величины 2-го порядка Fi — и ti — соглас-
но (3.6), удовлетворяют соответственно уравнениям
VF¿ = + рИш1, Ví¿ = ЙМ + .
Используя величины 2-го порядка (3.5), построим [9] геометрические объекты следующего вида:
Fv = -bvqF tp = -bpqt
1 п ип 1 q¿ Ln ип
ра __uab р 4-а __uab f гп ип rb? Ln ип
где
^^п , ^п , (3.7)
VFJf + < = , УС« + < = .
Геометрические объекты ^, , , порождают в дифференциальной окрестности 2-го порядка квазитензоры:
^ = VFJг¿ + < = , (3.8)
В результате имеет место теорема 3.
Теорема 3. 5 дифференциальной окрестности 1-го порядка поля (3.2) квазитензоров {Л%}, задают, соответственно, поля нормалей 1-го рода распределения характеристик гиперполосного распределения Нт(1).
Поля (3.7), (3.8) квазитензоров {#}, {ф, ,{#}, задают в дифференциальной окрестности 2-го порядка соответственно поля нормалей 1-го рода Л-, 1-, Г-подрасслоений гиперполосного распределения Нт (7).
§ 4. Нормализация Трансона гиперполосного распределения Нт(1)
Согласно теореме Трансона [6], для регулярных гиперполос аффинные нормали всех плоских сечений гиперповерхности (г + 1)-мерными плоскостями, проходящими через плоскость Л(.Д), лежат в (п — г)-мерной плоскости Тп-Г(_А) = = [Л, ёа, ёа, ёп + +Т%ёр\, то есть в нормали Трансона Л-под-расслоения. Аналогичным образом нормалью Трансона Л-под-расслоения оснащенного гиперполосного распределения Нт(£) является (п — б) -мерная плоскость Тп_3{А) = = [А, ёа, ёр, ёп + Т£ёа], где я = т-г.
Введем в рассмотрение квазитензоры {7^} = }, {Л^}:
ЧП + 0& = тЬа>1, ОД + < , (4.1)
где
= = (4.2)
та = ^ (иРЧ т,а \иаЬ та \ лп — т \ип ' ип лаЬ)-
Определение 1. Нормалью Трансона гиперполосного распределения Нт(£) назовем (п — т)-мерную плоскость Тп-т(А) = Тп-г(А) ПТп-3(А) — плоскость пересечения нормалей Трансона Л-, 1-подрасслоений. Прямую Т^А) = [А, Тп], где Тп = Трёр + Т£ёа + + ёп, назовем прямой Трансона гиперполосного распределения Ят(7) в точке А.
Из определения 1 вытекает строение нормали Трансона гиперполосного распределения Ят(7): Тп_т(А) = [А, ёа,Тп].
Известно [10], что между нормалями 1-го и 2-го рода гиперполосного распределения Нт(£) существует соответствие Бомпьяни — Пантази
VI = + , = у1кшк.
Определение 2. Нормаль 2-го рода гиперполосного распределения Ят(7), определяемую квазитензором
Ъ = Ь?кТ* + , МТ, = Т1к0)к, (4.3)
назовем нормалью Трансона 2-го рода гиперполосного распределения Нт (£).
Уравнение (4.2) можно расписать на две группы уравнений, ассоциированных соответственно с Л-,1-подрасслоениями:
Тр = Ь$Х + 1Р, VТР = Трк^к, (4.4)
Та = ЪпасТ< + Ьа, МТа = Тако>к. (4.5)
Из дифференциальных уравнений (4.1)—(4.5), согласно приведенным выше определениям вытекает теорема 4.
Теорема 4. Поля геометрических объектов {Тр,Тр},
{Т£,Та} задают в дифференциальной окрестности 2-го порядка поля нормализаций в смысле Трансона гиперполосного распределения Ят(£) и Л-,Ь-подрасслоений соответственно. При этом нормализация Трансона {Т^1,Т1} гиперполосного распределения Ят(£) порождает нормализации Трансона Л-, Ь-под-расслоений. Верно и обратное утверждение.
Выясним условия совпадения [11] нормалей Трансона Тп_т(А) и Бляшке Вп_т(А) гиперполосного распределения
Нщ СЮ.
Нормаль Бляшке [3; 4] Вп_т(А) = [А, ёа,Ьп] гиперполосного распределения Ят(7), где Ьп = + Ь%ёа + Ас^ёа + ёп, в дифференциальной окрестности 2-го порядка определяется квазитензорами
К = -¿7 й£ = -±й™й£,сй-. (4.6)
Прямую Вг(А) = [А, йп] назовем прямой Бляшке гиперполосного распределения Нт($) в точке А. Тогда нормаль Бляшке Вп_т{А) в каждой точке А натянута на характеристику Хп_т_г(А) и прямую Бляшке Вг(А), то есть = [В1(А),Хп.т.1(А)].
Пусть нормаль Трансона Тп_т(А) гиперполосного распределения Нт(7) совпадает с нормалью Бляшке Вп_т(А). Тогда Тп = Ьп, что равносильно условиям = Ь= й". Используя (4.2), (4.6), запишем:
1 1
т_г°п иЬйдип — г + 2°п "^Ч0™ ,
11
__иРЯ ип иса ___иЬйип иса
^ ип ирдсип 5 + 2 ип ,
что равносильно соотношениям
Учитывая (3.5), получим
(4.7)
Таким образом, приходим к следующей теореме. Теорема 5. Нормаль Трансона Тп_т(А) гиперполосного распределения Ят(7) совпадает с нормалью Бляшке Вп_т(А) [6] тогда и только тогда, когда выполняются условия (4.7).
1. Акивис М. А. О строении двухкомпонентных сопряженных систем // Тр. Геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 7—31.
2. Акивис М. А., Розенфельд Б. А. Эли Картан (1869—1951). М., 2014.
3. Бляшке В. Введение в дифференциальную геометрию. М., 1957.
4. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос // Тр. семин. по векторнрму и тензорному анализу. М., 1950. Вып. 8. С. 197—272.
5. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. матем. об-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382.
6. Лисицына И. Е. Нормализация Тренсона гиперполосы Нт аффинного пространства // ДгМФ. 1998. Вып. 29. С. 38—40.
7. Остиану Н. М., Рыжков В. В., Швейкин П. И. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева // Тр. Геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1975. Т. 4. С. 7—70.
8. Попов Ю. И. Гиперполосное распределение аффинного пространства // Итоги науки и техн. Соврем. матем. и ее прилож. Темат. обзоры. 2021. Т. 203. С. 84—99.
9. Попов Ю. И. Гиперполосные распределения аффинного пространства. Калининград, 2021.
10. Попов Ю. И. Введение в теорию регулярного гиперполосного распределения аффинного пространства // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2013. № 10. С. 49—56.
Список литературы
11. Попов Ю. И. Специальные классы гиперполосного распределения аффинного пространства. Калининград, 2021.
12. Столяров А. В. Дифференциальная геометрия полос // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1978. Т. 10. С. 25—54.
13. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения да-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1975. Т. 7. С. 117—151.
14. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в диффренци-альной геометрии. М. ; Л., 1948.
15. An-Min L., Udo S., Guosong Zh., Zejun H. Global Affine Differential Geometry of Hypersurfaces. De Gruyter, 2015 (Expositions in Mathematics ; vol. 11).
16. Ivey Th. A., Landsberg J. M. Cartan for Beginners: Differential Geometry Via Moving Frames and Exterior Differential Systems. Amer. Math. Society, 2003 (Graduate Studies in Mathematics ; vol. 61).
Для цитирования: Елисеева Н.А., Попов Ю. И. Гиперполосное распределение, оснащенное полем сопряженных плоскостей // ДГМФ. 2023. № 54 (1). С. 78—91. https://doi.org/10.5922/0321-4796-2023-54-1-8.
7J5T—0-[ПРЕДСТАВЛЕНО ДЛЯ ВОЗМОЖНОЙ ПУБЛИКАЦИИ В ОТКРЫТОМ ДОСТУПЕ В СООТВЕТСТВИИ С УСЛОВИЯМИ
¿^^иУЛИЦЕНЗИИСКЕАНУЕСОМНОМЗАТТ^ВиТЮЧгеСВУХНТТРУ/СНЕАТ^ЕСОММОЧЗ.ОВеЛЮЕНгЕЗ/ВУМ.О/)
MSC 2010: 58A05, 53A20
N. A. Eliseeva] , Yu. I. Popov2 1 Kaliningrad State Technical University 1, Sovietsky Prosp., Kaliningrad, 236022, Russia
2 Immanuel Kant Baltic Federal University 14, A. Nevskogo St., Kaliningrad, 236041, Russia 1 ne2705@gmail.com, 2 yurij.popoff2015@yandex.ru doi: 10.5922/0321-4796-2023-54-1-8
Hyperband distribution equipped with a field of conjugate planes
Submitted on May 8, 2023
In this paper, we study a special class of hyperbands, i.e., a framed hyperband distribution. The study of hyperbands and their generalizations in spaces with different fundamental groups is of great interest in connec-
tion with numerous applications in mathematics and physics. A special place is occupied by regular hyperstrips, for which the characteristic planes of families of principal tangent hyperplanes do not contain directions tangent to the basal surface of the hyperstrip. In this paper, we use the method of external differential forms of E. Cartan and the group-theoretic method of G. F. Laptev.
We consider a regular hyperband distribution of an affine space equipped with a field of conjugate planes with respect to an asymptotic bundle of tensors of the basic surface. The definition of the studied hyperband distribution in the affine space with respect to the 1st order frame is given and the existence theorem is proved. A sequence of fundamental geometric objects of the 1st and 2nd order of a hyperband distribution equipped with a field of conjugate planes is constructed. Fields of quasitensors are constructed that define the fields of normals of the first kind of the distribution of the characteristics of the hyperband distribution. In a differential neighborhood of the 2nd order, the fields of Transon normals of the 1st and 2nd kind are constructed. The conditions for the coincidence of the Transon normal and the Blaschke normal are found.
Keywords: hyperband, regular hyperband, hyperband distribution, affine space, normalization
References
1. Akivis, M.A.: On the structure of two-component conjugate systems. Tr. Geom. Sem., 1, 7—31 (1966).
2. Akivis, M.A., Rosenfeld B.A.: Eli Cartan (1869—1951). Moscow (2014).
3. Blaschke, V.: Introduction to differential geometry. Moscow (1957).
4. Vagner, V. V.: The theory of the field of local hyperbands. Tr. Semin. Vectorn. Tensorn. Anal., 8, 197—272 (1950).
5. Laptev, G. F.: Differential geometry of imbedded manifolds. Group theoretical method of differential geometric investigations. Tr. Mosk. Mat. Obs., 2, 275—382 (1953).
6. Lisitsina, I. E.: Transon normalization of a hyperband Hm of an affine space. DGMF, 29, 38—40 (1998).
7. Ostianu, N.M., Ryzhkov, V. V., Shveikin P. I.: Outline of scientific research by German Fedorovich Laptev. Tr. Geom. Sem., 4, 7—70 (1973).
8. Popov, Yu.I.: Hyperband distribution of an affine space. Itogi Nau-ki i Tekhn. 203, 84—99 (2021).
9. Popov, Yu.I.: Hyperband distributions of affine space. Kaliningrad (2021).
10. Popov, Yu.I.: Introduction to the theory of a regular hyper-band distribution of an affine space. IKBFU's Vestnik. 10, 49—56 (2013).
11. Popov, Yu.I.: Special classes of hyperband distribution of an affine space. Kaliningrad (2021).
12. Stolyarov, A. V.: Differential geometry of stripes. Problems of Geom., 10, 25—54 (1978).
13. Stolyarov, A. V.: Projective-differential geometry of a regular hyperband distribution of m-dimensional linear elements. Problems of Geom. 7, 117—151 (1975).
14. Finikov, S.P.: Cartan's exterior form method in differential geometry. Moscow (1948).
15. An-Min, L., Simon, U., Guosong, Zh., Zejun, H.: Global Affine Differential Geometry of Hypersurfaces, De Gruyter (Expositions in Mathematics, 11) (2015).
16. Ivey, Th.A., Landsberg, J.M.: Cartan for Beginners: Differential Geometry Via Moving Frames and Exterior Differential Systems, Amer. Math. Soc. (Graduate Studies in Mathematics, 61) (2003).
For citation: Eliseeva, N. A., Popov, Yu.I. Hyperband distribution equipped with a field of conjugate planes. DGMF, 54 (1), 78—91 (2023). https://doi.org/10.5922/0321-4796-2023-54-1-8.
--1 SUBMITTED FOR POSSIBLE OPEN ACCESS PUBLICATION UNDER THE TERMS AND CONDITIONS OF THE CREATIVE
COMMONS ATTRIBUTION (СС BY) LICENSE (HTTPjrcREATIVECOMMONS.ORe/LICENSES/BYrt.O/)
