Гидромеханический расчет воронки выброса при импульсном воздействии на поверхность грунта Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 502/504:517.54:532.031 К.Н. АНАХАЕВ

Федеральное государственное бюджетное учреждение «Высокогорный геофизический институт» Росгидромета (ФГБУ «ВГИ»), г. Нальчик, Кабардино-Балкария

ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ВОРОНКИ ВЫБРОСА ПРИ ИМПУЛЬСНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ НА ПОВЕРХНОСТЬ ГРУНТА

Дано новое гидромеханическое решение расчета воронки выброса при проведении земляных работ в области гидроэнергетического и водохозяйственного строительства по выемке котлованов и каналов с использованием импульсного воздействия на поверхность грунта силовой нагрузки в виде взрыва, что особенно актуально при наличии твердых трудноразрабатываемых пород, мерзлых грунтов и т.д. Принято известное допущение о приобретении грунтом под воздействием энергии взрыва, при импульсных скоростях, больших некоторой критической величины, свойств идеальной несжимаемой жидкости. Для решения указанной задачи используется метод последовательных (11) конформных отображений физической области потенциального потока, представленной в виде области обратной величины годографа скорости (комплекса Кирхгоффа), на область комплексного потенциала -прямоугольника. Разработана новая методика построения геометрического образа комплексного потенциала при наличии в области течения «фокусной» точки со скачкообразными изменениями напорной функции и направления скорости потока. Полученные аналитические зависимости позволяют определить очертание воронки выброса грунта и все необходимые гидромеханические характеристики потенциального потока: напорную функцию, функцию тока, скорости течения и др. Приведен численный пример расчета тестовой задачи, частный результат которого в виде очертания воронки выброса полностью совпадает с полученным профилем воронки в решении Лаврентьева-Кузнецова.

Импульсное воздействие на грунт, воронка выброса, потенциальный поток,

комплексная переменная, конформные отображения, комплекс Кирхгоффа.

Введение. В области гидроэнергетического и водохозяйственного строительства при проведении земляных работ по выемке котлованов и каналов, в особенности при наличии твердых трудноразрабатываемых пород, мерзлых грунтов и т.д., нередко применяется импульсное воздействие на поверхность грунта силовой нагрузки в виде взрыва. При этом важное значение имеет правильное определение как профиля ожидаемой воронки выброса, так и динамических характеристик потенциального потока в ней (для оценки области разлета осколков пород).

Задача по определению очертания воронки выброса при взрыве шпурового заряда на поверхности грунта рассматривалась в работах [1, 2] в плоской постановке с принятием допущения о приобретении грунтом под воздействием взрыва (при скоростях, больших некоторой критической скорости Укр) свойств идеальной несжимаемой жидкости.

Материалы и методы. Ниже дается новое гидромеханическое решение ука-

(40

занной задачи методом последовательных (11) конформных отображений физической области течения х = х + 1у (рис. 1, 2 а), представленной в виде комплекса Кирхгоффа ^ =4 + щк (рис. 2 б) [3], на область комплексного потенциала Ш = ф +у (рис. 3 а), где х,у и 4- текущие координаты областей х и 4, ф и у - напорная (потенциальная) функция и функция тока.

С учетом симметричности области течения рассматривается только правая половина воронки выброса грунта ЛБСРБ с расположением осей координат х и у по рисунку 1.

При этом имеем следующие граничные условия [1, 2, 4, 5]:

- вдоль очертания криволинейного участка воронки выброса БРС значение полной скорости потока V равно величине критической скорости V = Укр, соответственно внутри воронки выброса V > Vкр и снаружи - V < ;

- по линии осевой симметрии (непроницаемой границы) ЛВ и очертанию кри-

№ 5' 2016

волинейного участка воронки выброса БРС функция тока равна нулю ц = 0 ;

- напорная (потенциальная) функция равна на линии заряда АВ полному (единичному) напору Н, т.е. ф = Н = 1 (в усл. ед.), а на выходном участке ВС — линии выброса грунта, ф = 0 .

Для принятых граничных условий построение геометрического образа области комплексного потенциала Ш = ф + Ц (прямоугольника) осложняется наличием в физической

области течения z = х + 1у «фокусной» точки В со скачкообразными условиями изменения потенциала (от 1 до 0) и направления скорости потока (на противоположное). Указанная трудность преодолевается введением в непосредственной близости от точки В некоторой огибающей кривой т-п [4, 5] (рис. 2 а), очертание которой в области комплекса Кирхгоффа =+ (рис. 2 б) соответствует полуокружности радиуса г << 1 =д ( ).

Укр к(кр)

Рис. 1. Расчетная схема потенциального потока в воронке выброса в момент взрыва заряда на поверхности грунта:

1 — шпуровой заряд; 2 — грунтовое основание; 3 — очертание воронки выброса грунта; 4, 5 — эпюры распределения входных значений функций тока ц и скорости Уу по линии заряда Ат; 6, 7 — эпюры распределения выходных значений функций тока ц и скорости Уу по линии поверхности грунта п С; 8, 9 — эпюры распределения напорной функции ф и скорости Уу на осевой линии воронки выброса АБ; 10, 11, 12, 13 — эпюры распределения напорной функции ф и соответственно скоростей Ух, Уу, V вдоль криволинейного участка очертания воронки выброса грунта БРС

Вышеизложенное позволяет получить образ комплексного потенциала Ш = ф + щ/ в виде прямоугольника ЛтпСБ (рис. 3 а) шириной Н=1 и высотой, равной полному значению функции тока ц = д (определяемого в процессе решения задачи).

Область комплекса Кирхгоффа является обратной величино_й области годографа сопряженной скорости V

1

• = ^ = 1 _ ^+ = - V - У - у

(1)

где Ух и Уу — горизонтальная и вертикальная составляющие полной скорости, равные

№ 5' 2016

(41)

V =-

£ + л1

У =-

Лк

£ + ^1

; у ^ лУХ^^У?". (2)

ке в физической области течения z = х + 1у, а длина вектора численно равна обратному значению модуля скорости |У| [3, 6]. Образ же области течения z = х + 1у представ-Всякий вектор, проведенный из цен- ляется в области комплекса Кирхгоффа тра координат области комплекса Кирхгоф- ^ = £ + 1Лк в виде правого полукруга радиу-фа Ск = £ + щк к рассматриваемой точке, по- са 4(кр) = Кр с «вырезанным» в центре малым казывает направление скорости в этой точ- полукругом радиуса г <<|к(кр) (рис. 2 б).

Рис. 2. Схемы последовательных конформных отображений, устанавливающих аналитическую взаимосвязь между физической областью течения z = х + 1у , представленной в виде области комплекса Кирхгоффа £к = £к + .

и связующей полуплоскостью в =в1 + 1в2

Для получения замкнутого решения задачи в виде V = f(Ш) последовательно отобразим области £к =£ + щк (рис. 2 б) и Ш = ф + Ц (рис. 3 а) на единую связующую полуплоскость в =в1 + в2 (рис. 2 ж), используя для этого нижеследующие промежуточные комплексные области с соответствующими отображающими функциями:

а) при конформном отображении области комплекса Кирхгоффа £к =£ + щк на по-

луплоскость в =в-1 + гв2\ 5 = 51 +1§2, т = г*! + т2, t = ¿1 + , в = в1 + в2, (рис. 2, б-ж) с функциями

а • х 1 , 1 а , Ъ( а + Ъ) 5 = -^ Т = 5 + -, t = -, в = t +-. _ _

г 5 Т t±ф

., в = в1 - в2 (3)

(а2 - Ъ2)

(«плюс» при t > 0, «минус» при t < 0);

б) при конформном отображении области (прямоугольника) комплексного потенциала Ш = ф + Ц на полуплоскость в =в1 + 1в2

[4,5,7,8]: Ш =фф + у, ^ = ^1 + , ст = о-1 + гст2, 5 = 5 + 1Б2, С = 4 + "7 (рис. 3 б-е) с функциями

Ж (Щ - 0,5Н), у = 81пШ1, и = ^, 5 = -1,

1 НУ ' Г 1 Я ст

9 2 ^ й) тРд +1

в которых

^ (а + Ь)Л-в

Е = ----т, в = 0,5 +

(а + Ь)-Жт т '

2Я

(а + 6)6

0,5 + у!0,25 - (а2 - 62)

(4)

, (5)

• 11

2 =-г- , Я ек-, а = — , Ь = — ,

1 + Я2 ар

а = ^к(кр) + г р = дк( кр)__г_

ё"к( кр)

ё"к( кр)

В формулах (3) очертание эллипсовидной кривой БРС в области г = г1 + и2 при-

нято по полуэллипсу с полуосями а и Ь -по аналогии [9].

Аналитическую взаимосвязь дк = f(Ш) между областями комплекса Кирхгоффа Ск = 4 + Щк (рис. 2 б) и комплексного потенциала Ш = ф + у (рис. 3 а) устанавливаем с учетом значений функции Ш, у, о, й, в , в, г, т, 8, определяемых по зависимостям (3) и (4) в виде

= 4 + Щ = -Г N-1 + >/ N-2 -1),

ав - (а + Ь)2

N = 2-

(6)

в которых

5 = -

Я

0,5 • (5 + 5-1) + Е 11 + 0,5 • Е(5 + 5-1),

Я

Б1П

(Ж - 0,5Н)

Б1П

Н

(ф + 1у- 0,5Н)

. (7)

4

Г я

* *

№ учу

•ф .

ж

«

7Г

г\ 4 •

• . Г

- * #

С *

т

а —

а

2 и

-'/я

1

С л Щ

№ ¿А Ч У^'

\ ; • \ • ■

Рис. 3. Схемы последовательных конформных отображений, устанавливающих аналитическую взаимосвязь между областями комплексного потенциала (прямоугольника) IV = ф + у и связующей полуплоскостью в =в1 + в2 (рис. 2 ж)

№ 5' 2016

Е

Разделяя в (6) и (7) действительную и мнимую части и преобразовывая, получим окончательные выражения для определения значений текущих координат комплекса Кирхгоффа = £ (Ф,Ц) +^к (Ф,Ц):

£ ц = г52 , Vк (ф,ц = -г51,

(8)

где

, 1 „ , 1 „ л + Л2

5 = ¿т + Л1, 52 = -т + в^ Л1 2 2 2—2

в Iл/Л| + В2 - Л2

(9)

. = Т1 Т2 4 в = Т1 ' Т2 Т = ¿1 Т =- ¿2 2 4 'В2 2 'Т1 + ¿22' Т2 + ¿22'

¿1 =

ав1 ± ЪЛ3 а + Ъ

(«плюс» при в1 > 0, «минус» при в1 < 0),

ав„ + ЪВ„

а + Ъ

Л3 =

14Л[+ВА + аа , в ^ 4Л[7Щ - Л4

Л4 = в12 -в22 - (а + Ъ)2, В4 = 2в1в2,

в1 =в

(1 + ^£)( F + £ + ¥г?

в2 =-Ч~

(1 + + ^)2 ' (1 -£)(1 - ^)

■ , (в1 =в1 , в2 = -в2),

(1 + + (

5[1 + (52 + 5|)-1 ], V = 5-[1 - (52 + 5|)-1 ] ,

О = 5 = а2

2 2 > °2

„2 . 2 ' 2 9 2

+СТ2 СТ1 +СТ2

= 71 , СТ2 = 7Г , 7 = ' С}ЦЦ1 , 7 = СОвф1 ' , К К

ф1=к(ф- 05Н^ Ц1=к^.

Результаты и обсуждение. Полученное решение рассматриваемой задачи в виде аналитической взаимосвязи V = f (Ш), с учетом известных зависимостей для движе-

глт „ Лц Лф ния потенциального потока [6] V =—?- = —,

Сх <Су у Сх Су

Ух = V2 — и V, = V2 — позволяет определять Сф сСф

как геометрические размеры и очертание воронки выброса грунта, так и все необходимые гидромеханические характеристики

потенциального потока в ней: напорную функцию (потенциалы), функцию тока, скорости потока и др.

На рисунке 1 представлены результаты решения тестовой задачи [1, 2] по предлагаемым расчетным зависимостям при заданных исходных значениях ширины заряда I = 1, критической скорости

УкР = — = 0,0955 (при г, равной г = 0,01 -дкт).

п

В частности, рассчитанные местоположения характерных точек В(хв = 0; ;ув =-1,4437 ), Р(хР = 1,3760 ; ;уР =-2,2902 ), С( хс = 3,5 ; уС = 0) и очертание воронки выброса грунта дают полное совпадение с результатами строгого решения Лаврентьева-Кузнецова [1, 2].

Кроме этого, предложенное решение позволило также получить и другие гидромеханические характеристики потенциального потока в воронке выброса грунта, в том числе:

- значение полного расхода д = 1,257 и эпюры распределения функций тока ц по линиям заряда Ат и выходного участка пС воронки выброса (рис. 1) (кривые 4, 6);

- значения напорной функции (потенциала) ф в характерных точках В и Р, равные фв = 0,5018 и фр = 0,3344 , а также эпюры распределения напорной функции (р по осевой линии АВ и очертанию воронки выброса ВРС (рис. 1) (кривые 8, 10);

- значения скоростей потока Ух ,Уу и V в характерных точках А, В, Р, С, равные для точек А ^ V, = 0, V = - 0,5516; В ^ V = 0, V = - 0,0955; Р V V = 0,0955,

X ' у ' ' X ' '

V =0; С ^ V = 0, V = 0.0955, и распределение их по линиям заряда Ат, выходного участка пС, осевой линии АВ и очертанию воронки выброса грунта ВРС (рис. 1) (соответственно кривые 5, 7, 9, 11-13).

Выводы

Дано новое гидромеханическое решение расчета воронки выброса при проведении земляных работ с использованием импульсного (взрывного) воздействия на поверхность грунта. Принято известное допущение о приобретении грунтом под воздействием энергии взрыва свойств идеальной несжимаемой жидкости. Для решения указанной задачи используется метод последовательных (11) конформных отображений физической области потенциального потока, представленной в виде области обратной величины го-

(44

№ 5' 2016

дографа скорости (комплекса Кирхгоф-фа), на область комплексного потенциала - прямоугольника. Разработана новая методика построения геометрического образа комплексного потенциала при наличии в области течения «фокусной» точки со скачкообразными изменениями напорной функции и направления скорости потока. Полученные аналитические зависимости позволяют определить очертание воронки выброса грунта и все необходимые гидромеханические характеристики потенциального потока: напорную функцию, функцию тока, скорости течения и др. Приведен численный пример расчета тестовой задачи, частный результат которого в виде очертания воронки выброса полностью совпадает с полученным профилем воронки в решении Лаврентьева-Кузнецова.

Библиографический список

1. Кузнецов В.М. О форме воронки выброса при взрыве на поверхности грунта // ПМТФ. - 1960. - № 3. - С. 152-156.

2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. - М.: Наука, 1977. - 407 с.

3. Анахаев К.Н. Гидромеханическое решение задачи фильтрации через перемычку с пластовым дренажем // Гидросооружения. - 2011. - № 1. - С. 27-30.

4. Анахаев К.Н. Гидромеханический расчет потенциального потока при ударе плиты о воду // ДАН. - 2012. - Т. 445. № 4. - С. 407-411.

5. Anakhaev K.N. Hydromechanical calculation of Potential Flow at plate blow about Water // Doklady Physics. 2012. V. 57. № 8. P. 307-311.

6. Павловский Н.Н. Собрание сочинений. Т. 2. Движение грунтовых вод. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956. - 771 с.

7. Анахаев К.Н. О расчете потенциальных потоков // ДАН. - 2005. - Т. 401. № 3. -С. 337-341.

8. Anakhaev K.N. Calculation of Potential Flows // Doklady Physics. 2005. V. 50. № 3. P. 154-157.

9. Анахаев К.Н. О фильтрационном расчете перемычки // Математическое моделирование. - 2011. - Т. 23. № 2. - С. 148-158.

Материал поступил в редакцию 10.05.2016 г.

Сведения об авторе

Анахаев Кошкинбай Назирович,

доктор технических наук, профессор, заместитель директора по селевой проблематике Федерального государственного бюджетного учреждения «Высокогорный геофизический институт» Росгидромета (ФГБУ «ВГИ»), 360030, г. Нальчик, пр-кт Ленина, 2, ФГБУ «ВГИ»; е-mail: [email protected]

K.N. ANAKHAEV

Federal state budget institution «High mountain geophysical institute» of Roshydromet (FSBI «VGI»), Nalchik

HYDROMECHANICAL CALCULATION

OF THE EMISSION FUNNEL AT PULSE IMPACT

ON THE SOIL SURFACE

There is given a new hydro mechanical solution of calculation of an emission funnel when carrying out earthwork operations in the field of hydropower and water economic construction when ditching pits and channels with usage of pulse action of power loading on the soil surface in the form of explosion that is especially actual with the availability of hardly drilled rocks, frozen soil, etc. The known assumption on the soil acquisition under the influence of explosion energy is accepted under pulse speeds, big of some critical value, properties of ideal incompressible liquid. For the solution of the specified task there is used a method of sequential (11) conformal mapping of the physical area of a potential flow presented in the form of the area of the inverse value of the speed locus of (Kirchhoff's complex) on the area of the complex potential - a rectangle. The new technique of creation of a geometrical image of complex potential with the availability in the area of flow of a "focal" point with spasmodic changes of pressure head function and direction of the flow speed is developed. The received analytical dependences allow to define an outline of the soil emission funnel of and all necessary hydro mechanical characteristics of the potential flow: pressure head function, function of current, flow speed etc. There is given a numerical example of calculation of a test task which particular result in the form of an emission

funnel outline completely coincides with the received funnel profile in the Lavrentyev-Kuznetsova's decision.

Pulse impact on soil, emission funnel, potential flow, complex variable, conformal mapping, Kirchhoff's complex.

Reference

1. Kuznetsov V.M. O forme voronki vybro-sa pri vzryve na poverhnosti grunta // PMTF. -1960. - № 3. - S. 152-156.

2. Lavrentjev M.A., Shabat B.V. Proble-my gydrodinamiki i ih matematicheskie mod-eli. - М.: Nauka, 1977. - 407 s.

3. Anakhaev K.N. Gydromehanicheskoe reshenie zadachi filjtratsii cherez peremychku s plastovym drenazhem // Gydrosoooruzheni-ya. - 2011. - № 1. - S. 27-30.

4. Anakhaev K.N. Gydromehaniches-kiy raschet potentsialjnogo potoka pri udare plity o vodu // DAN. - 2012. - ^ 445. № 4. -S. 407-411.

5. Anakhaev K.N. Hydromechanical calculation of Potential Flow at plate blow about Water // Doklady Physics. 2012. V. 57. № 8. P. 307-311.

6. Pavlovsky N.N. Sobranie sochineniy. T. 2. Dvizhenie gruntovyh vod. - М.-L.: Izd-vo AN SSSR, 1956. - 771 s.

7. Anakhaev K.N. Анахаев К.Н. О расчете потенциальных потоков // ДАН. — 2005. — Т. 401. № 3. - С. 337-341.

8. Anakhaev K.N. Calculation of Potential Flows // Doklady Physics. 2005. V. 50. № 3. P. 154-157.

9. Anakhaev K.N. Анахаев К.Н. О fil-jtratsionnom raschete peremychki // Matem-aticheskoye modelirovanie. - 2011. - Т. 23. № 2. - S. 148-158.

The material was received at the editorial office

on 10.05.2016

Information about the author

Anakhaev Koshkinbaj Nazirovich, doctor of technical sciences, professor, deputy director on the mud-flow problem, Federal state budget institution «High mountain geophysical institute» of Roshydromet (FSBI «VGI»), 360030, Nalchik, pr-t Lenina, 2, FSBI «VGI»); е-mail: [email protected]