CC BY
160
Вестник РУДН Серия Математика. Информатика. Физика. № 2. 2009. С. 90-95
УДК 517.583
Об определении эллиптических функций Якоби
К. Н. Анахаев
Федеральная служба по гидрометеорологии и мониторингу окружающей среды Государственное учреждение «Высокогорный геофизический институт» пр. Ленина, 2, г. Нальчик, КБР, Россия, 360030
В работе получены упрощённые аналитические зависимости, выраженные элементарными функциями, позволяющие при решении прикладных (инженерных) задач с высокой степенью точности (^ 1%) определять значения эллиптических функции Якоби, что открывает новые возможности для расширения теоретических методов исследований задач математической физики, механики и др.
Ключевые слова: эллиптические функции Якоби, эллиптический синус (синус амплитуды), эллиптический косинус (косинус амплитуды), дельта амплитуды, комплексная переменная, функция комплексной переменной.
Эллиптические функции Якоби — функции обратные к эллиптическим интегралам, являются двоякопериодичными мероморфными функциями комплексного переменного. Они играют чрезвычайно важную роль в теории функции комплексного переменного и непосредственно используются при аналитических решениях множества задач математической физики, механики, в том числе, в теории фильтрации, гидро- и аэродинамике, теории упругости, механике сплошной среды, термодинамике, электромагнетизме, микроэлектронике и т.д.
В качестве примеров ниже перечислены лишь некоторые из многочисленных расчётных схем фильтрационных потоков в теле и основаниях гидросооружений, решения которых выражаются через эллиптические функции Якоби:
— фильтрация под прямоугольной подошвой бетонной плотины при неограниченной и ограниченной мощности проницаемого основания [1];
— фильтрация через земляные плотины на проницаемом основании при прямолинейном и криволинейном очертании водоупора [2];
— фильтрация из каналов при ограниченной мощности проницаемого основания [1];
— фильтрация через земляные плотины с дренажной призмой на непроницаемом основании [2] и др.
В то же время следует отметить, что эллиптические функции Якоби в общем виде не выражаются через элементарные функции, а потому определение их значений представляет собой весьма сложный и трудоёмкий процесс, связанный, в частности, с использованием вспомогательных более быстросходящихся тэта-функций, понижающего (повышающего) преобразований Ландена, интерполяции (прямой и обратной) табличных данных по двум переменным, разложений в ряды по параметру Якоби и степеням комплексного переменного, метода арифметико-геометрического среднего с итерационным расчётом и др. [3-5]. Кроме этого, трудоёмкость представления эллиптических функций Якоби через элементарные ограничивает возможности аналитического выражения взаимосвязи физических параметров решаемых задач при заданных граничных условиях, рассмотрения более сложных расчётных схем, а также использования их при создании программ для ЭВМ.
Изложенное существенно сдерживает развитие теоретических методов исследований инженерных задач, связанных с движением потенциальных потоков в самых различных областях техники.
В данной работе приводится новый, практически точный, метод определения значений эллиптических функций Якоби путём выражения их через элементарные. Как известно [6,7], эллиптический синус Якоби (синус амплитуды) 8п(Ж, А) даёт точное конформное отображение прямоугольника с горизонтальной 2К и
Статья поступила в редакцию 3 февраля 2009 г.
Об определении эллиптических функций Якоби
91
вертикальной К' сторонами в комплексной области Ш = ф + гф на полуплоскость
С = С + ^ (Рис- !), т-е-
С = вП^, А) = вП^, (1)
где ф и ^ — соответственно, координаты областей Ш и £; К = К (А) и К' = К'(А') — полные эллиптические интегралы первого рода при модуле Л и дополнительном модуле А', равном А' = \/1 — А2.
VI — Л.'
Рис. 1. Конформное отображение (точное) прямоугольника на полуплоскость эллиптическим синусом Якоби вп(ЭД,А): а) комплексный прямоугольник 1-2-3-4
Ш = ¡р + г-ф; б) комплексная полуплоскость £ = £ + г^; К и К' — полные эллиптические интегралы первого рода при модуле Л и дополнительном модуле
л' = VI - л2
Для определения функции £ можно также использовать расчётные зависимости (7) и (12), полученные в [8] в результате конформного отображения элементарными функциями прямоугольника, имеющего сторону с незначительной выпуклостью, на полуплоскость. Причём максимальная погрешность, вносимая этой выпуклостью, соответствует прямоугольнику с равными сторонами — квадрату (2^ = 1 или А = 0,171259) и составляет 0,118%. При увеличении же одной из сторон указанная погрешность становится исчезающе малой, например, при отношении сторон прямоугольника, равном 1, 35-0,01%; 1, 67-0, 001%; 2, 0-0, 0001% [8].
Подставляя в формулу (1) величину £ из [8, формулы (7), (12)], получим значения эллиптического синуса Якоби в виде:
2
= ХК
в1П
( ^ \
У 2К )
1 + Л-2 81П2
К'
(при — > 1 или А < 0,171259); 2К
вп^ =
^-(С* — ")(1 — т) , 0 (при < 1 или А > 0,171259),
с * (1 + т — 2п) + п (1 + т) — 2т ^ 2К '
(2)
в которых
К = еЬ
пК' ~2К
= еЬ^ ;
V к 'Г
т
2 еЬ [^ (^ + К)] г ^ 1 + г-2 еЬ2 [(№ + К)] еЬ (^)
2г
1 + г
2
2
п = -г
(3)
1 + г-2 еЬ2
Отделяя в формулах (2) и (3) вещественную и мнимую части, окончательно получим расчётные зависимости для определения эллиптического синуса Якоби вп^ = + гф, А) в виде:
*
с
г
92
Анахаев К. Н.
- для А< 0,141259
мт , -и 2 а2а3 + Мз
яп^ = а1 + го1; = • " '
АЛ
+ &2 '
61 = АЛ
2 Й263 - азЬ2
+ &2
«2 = 1 + (а3 - 62)Л-2; аз = йп(||) еь(|£|
(4)
62 = 2аз№2; 6з = еая вЬ ;
- для А > 0,141259
яп^ = с1 + id1;; с1 =
С2С3 + d2d 3 с2 + d3
-, «4
d^ =
С3^2 - C2dз ; с3 + d'2 '
с2 = (с4 — п)(1 — т); с3 = с4(1 + т - 2п) + п(1 + т) - 2т;
С4
2 С5С6 + d5d6 г с2 + dl
; С5 = 1 + (с6 - d^)r-2; Сб = еЬ (^ + К^ еа^^ ;
(5)
d2 = й4(1 - т); d3 = й4(1 + т - 2п); d4 = -
2 C5>d6 - С6^5
г с;
+ <15
d5 = 2сб^б^ 2; d6 = яЬ ^^ + ^ ят ^^^ .
Эллиптический косинус (косинус амплитуды) еп^ и дельта амплитуды dпW выражаются через яп^ известными соотношениями [5-7,9]:
( епW = у/1 - зп2^; 1 ёп^ = л/1 - А2яп2^.
(6)
Парами основных периодов функций яп^, еп^ и ёпШ являются [5,6], соответственно: 4К и г2К4К и 2К + г2К2К и г4К', используя которые аргумент эллиптической функции, взятый в любой точке комплексной области, приводится к значению, расположенному в области прямоугольника.
По найденным значениям функции яп^, еп^ и могут быть определены
и другие девять эллиптических функций Якоби [3]:
sеW =
яё^ =
её^ =
яп^
еп^; яп^
ёп^; еп^ ёп^;
еяШ =
=
ёе^ =
еп^
dnW ^
ёп^ еп^ ;
пё^ =
пе^ =
1
пя^ =
ёп^' 1 _
1
(7)
В табл. 1 приведено сравнение результатов подсчёта значений различных эллиптических функций Якоби по предлагаемым зависимостям с известными базовыми данными, полученными весьма сложными и трудоёмкими методами расчёта [3-5].
Для определения модуля А при известных значениях К и К' может быть рекомендована также зависимость [8] А = 2Д/(1 + В?) , где К находится по формуле (3).
а
Таблица 1
Сравнение расчётных значений различных эллиптических функций Якоби с результатами известных базовых решений
№ п/п Заданные значения УУ = (/) + #, Л, К и К' Базовые значения эллиптических функций Якоби по [3—5] Значения эллиптических функций Якоби (по автору) Погрешность %
1 2 3 4 5
1 = 0,20; К = 1,654617; А = -,/0,19; К'= 2,280549 с1п(Х,А) = 0,996253 на основе понижающего преобразования Ланде-на [3, с. 393] А) = 0, 996253 0,000
2 Ж = 0,20; К = 2,280549; Л = 0,9; К' = 1,654617 А) = 0,98406 на основе понижающего преобразования Ландена и аппроксимации гиперболическими функциями [3, с. 393] А) = 0, 984056 0,000
3 = 0,20; К = 2,280549; Л = 0,9; К' = 1,654617 А) = 0,980278 на основе повторного (двойного) повыш. преобразования Ландена [3, с. 393] сп(Ж, А) = 0, 980278 0,000
4 = 0,672; К = 1,750754; Л = 0,6; К' = 1,995303 А) = 1,1740 на основе арифметико-геометрического среднего и итерации табличных данных [3, с. 393-394] с1с(^,А) = 1,174018 +0,001
5 \¥ = 0, 536016; К = 1,608049; Л = 0,3; К' = 2,627773 сз(И/, А) = 1,691808 на основе разложения в ряд по параметру Якоби [3, с. 394] св^А) = 1,692037 +0,013
6 = 0,61802; К = 1,854075; Л = К' = 1,854075 А) = 0,56458 на основе тета-функций и интерполяции табличных данных [3, с. 394] 8п(]¥, А) = 0, 564575 0,000
7 = 0,61802; К = 1,854075; Л = К' = 1,854075 8с(И^, А) = 0,68402, получено как и в п. 6 [3, с. 394-395] вс^А) = 0,684018 0,000
Таблица 1
Сравнение расчётных значений различных эллиптических функций Якоби с результатами известных базовых решений (окончание)
№ п/п Заданные значения УУ = (/) + #, Л, К и К' Базовые значения эллиптических функций Якоби по [3—5] Значения эллиптических функций Якоби (по автору) Погрешность %
1 2 3 4 5
8 \¥ = 0, 75342; К = 2, 075363; Л = 7?-, К' = 1,713889 8п(И^,А) = 0,65137 на основе прямой и обратной интерполяции данных разных таблиц [3, с. 395], [2, с. 417]; вп^А) = 0,651373 0,000
9 = 0, 247351 + г ■ 0,153802; Л = К = 1,854075; К' = 1,854075 вп^, Л) = 0, 247824 + г ■ 0,147707 на основе разложения в ряды с определением степеней комплексных чисел рекуррентными формулами [5, с. 672-677] вп^, Л) = 0, 247824 + ъ • 0,147707 0,000
10 = 0, 247351 + г ■ 0,153802; Л = К = 1,854075; К' = 1,854075 сп2(И/,Л) = 0, 960401 -г-0, 073210, получено как и в п. 9 [5, с. 677] сп2(И/,Л) = 0,960401-г- 0,073211 0,000
11 = 0, 247351 + г ■ 0,153802; Л = К = 1,854075; К' = 1,854075 ёп2(И/,Л) = 0,980200 - г ■ 0,036605, получено как и в п. 9 [5, с. 677] с1п2(И/, Л) = 0,980200-г ■ 0,036605 0,000
>
з!
X
Л И
Я 3
Об определении эллиптических функций Якоби
95
Как видно из таблицы, предлагаемые достаточно простые расчётные зависимости для определения эллиптических функций Якоби, основанные на элементарных функциях, дают весьма близкое совпадение результатов (^ 1%) с известными базовыми значениями, полученными на основе сложных и трудоёмких методов расчёта. Это позволяет существенно расширить теоретические методы исследований потенциальных потоков и открывает большие возможности для аналитического решения множества прикладных задач математической физики, механики и др.
Заключение
Решение большого количества прикладных задач математической физики и механики определяется через эллиптические функции Якоби, аналитическое выражение которых представляет собой весьма сложный и трудоёмкий процесс. Это существенно затрудняет выявление роли отдельных факторов в структуре полученного общего решения, а также ограничивает возможности развития теоретических исследований для решения более сложных задач и т.д. Для восполнения указанного пробела в работе предложены упрощённые аналитические зависимости на основе элементарных функций, позволяющие при решении прикладных (инженерных) задач с достаточно высокой степенью точности (^ 1%) определять значения всех (12-ти) эллиптических функции Якоби.
Литература
1. Павловский Н. Н. Движение грунтовых вод // Собрание сочинений. — М.-Л.: АН СССР, 1956. — Т. 2. — 771 с.
2. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. — М.: Наука, 1977. — 664 с.
3. Милн-Томсон Л. Эллиптические функции Якоби и тэта-функции // Справочник по специальным функциям (пер. с англ.). — М.: Наука, 1979. — С. 380-400.
4. Милн-Томсон Л. Эллиптические интегралы // Справочник по специальным функциям (пер. с англ.). — М.: Наука, 1979. — С. 401-441.
5. Фильчаков П. Ф. Справочник по высшей математике. — Киев: Наукова думка, 1973. — 743 с.
6. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функции комплексного переменного. — 4 издание. — М.: Наука, 1973. — 736 с.
7. Лаврик В. И., Савенков В. Н. Справочник по конформным отображениям. — Киев: Наукова думка, 1970. — 252 с.
8. Анахаев К. Н. О расчёте потенциальных потоков // ДАН. — 2005. — Т. 401, № 3. — С. 337-341.
9. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции (пер. с нем.). — 3 издание. — М.: Наука, 1977. — 342 с.
UDC 517.583
On Definition of Jacobian Elliptic Functions
K.N. Anakhaev
The Federal Service for Hydrometeorology and Environmental Monitoring State Institution "High-mountain Geophysical Institute" Lenin's prospectus, 2, Nalchik, KBR, Russia, 360030
Simple analytical approximations of Jacobian elliptic functions by the elementary functions is suggested. The high degree accuracy of the approximation 1%) permits to apply it to various problems of mathematical physics, mechanics, etc.
