Гидродинамическое моделирование околоскважинных зон пласта Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 622.276

Н. А. Шевко

Пермский государственный технический университет

ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОКОЛОСКВАЖИННЫХ ЗОН ПЛАСТА

Разработана детальная численная модель околоскважинной зоны пласта, базирующаяся на несогласованных нерегулярных неортогональных разностных сетках различное топологии и позволяющая детально описывать сложные пространственные течения потоков флюидов с учетом геометрик стволов скважин и неоднородности првекважинных зон.

Гидродинамическое моделирование процесса фильтрации флюидов в околоскважинных зонах пласта (ОЗП) с детальным учетом их неоднородности повышает точность определения расчетных показателей работы добывающих скважин. Особенно это актуально при прогнозировании результатов различных геолого-технических воздействий (ГТВ) на пласт и ОЗП, проводимых с целью регулирования и повышения эффективности разработки залежей. Уровень достоверности при прогнозировании показателей эффективности ГТВ увеличивается при применении постоянно действующих моделей (ГЩМ) залежей за счет более полного учета имеющейся геолого-промысловой информации на стадии выбора и планирования технологий ГТВ. Однако использование моделей пластов в рамках существующих ПДМ, основанных на традиционных конечно-разностных методах, не позволяет детально учесть геометрию ствола скважины, неоднородность ОЗП, сложность околоскважинных потоков и особенности изменения гидродинамического состояния ОЗП в результате ГТВ.

Внутренний диаметр стенок скважин много меньше размеров ячеек, используемых в моделях пластовых систем, что создает большие трудности при гидродинамическом моделировании ОЗП. Это обусловило создание специальных разностных схем с моделированием скважины в узле (блоке) разностной сетки. При этом параметры потока на стенке скважины определяются через параметры потока в блоке, интегрально характеризующего некоторую область возле скважины. Приток к «точечкой» скважине по ребрам сетки (через грани блоков) при таком подходе неадекватно описывает приток к реальной скважине (не учитывается, например, радиальность притока флюидов). В области разработки этих схем можно выделить два основных подхода, учитывающих особенности течения возле «точечной» скважины: введение поправочных множителей в коэффициенты разностных уравнений, относящихся к скважине, и локальное сгущение сетки в окрестности скважины.

Первый подход, названный CCF-метод (Completion Connection Factor), развитый в работах Г.Г. Вахитова, А.А. Писмана, В.Г. Карея, A.M. Каземи, основан на нахождении связи между забойным давлением скважины и

давлением в ячейке численной модели и на предположении, что течение в области возле скважины одномерное радиальное стационарное однофазное. Однако такие предположения не всегда выполняются (например, предположение о стационарности и однофазности потока не выполняется при высоких скоростях изменения насыщенностей в околоскважинной области, а предположение о радиальном притоке - при наличии неоднородности околоскважинной области), что приводит к существенным ошибкам при определении расчетных значений обводненности, газового фактора и дебита скважины.

Альтернативным первому подходу является LGR-метод (Local Grid Refinement), основанный на предположении, что погрешность любой дискретной схемы прямо пропорциональна размеру использованных блоков (О. К. Розенберг, В. В. Освальдо и др.). В этом случае декартова сетка для залежи используется совместно с «произвольной» (радиальной, эллиптической) детальной ортогональной сеткой в околоскважинной области, которая расположена в одном или более блоках декартовой сетки. Детальные модели скважин, основанные на LGR-методе, используются многими исследователями, в том числе в зарубежных и отечественных коммерческих программных продуктах по гидродинамическому моделированию, в следующих случаях:

моделирование локальных эффектов (конусобразование воды и газа, обводнение);

моделирование горизонтальных скважин; получение скважинных псевдофункций;

получение корректного распределения давления возле скважины; детальный учет изменения каких-либо свойств в ОЗП;

проведение детализации исследуемой области без нежелательного измельчения глобальной сетки.

LGR-метод дает более реалистичное представление о геометрии течения и происходящих процессах вблизи скважины, однако при его использовании возникает ряд проблем:

необходимо использовать другую систему координат и метод дискретизации дифференциальных уравнений, отличный от метода, используемого для регулярной глобальной ортогональной сетки, что усложняет алгоритмы получения потоковых коэффициентов между узлами (блоками); нужно использовать простые способы сопряжения сеток различной геометрии и различных размеров, что затруднительно при сложных траекториях и форме стенки скважины;

наличие блоков малых размеров вблизи скважины существенно ограничивает временной шаг, необходимый для сходимости уравнений или обеспечения заданной точности решения в задачах многофазной фильтрации;

при большом числе скважин может быть получено слишком большое число блоков, что существенно увеличит размерность задачи и затруднит вычисления.

Для создания модели околоскважинной зоны пласта как объекта воздействия необходимо использовать подход, который позволяет более

эффективно описать геометрию ствола скважины, неоднородность ОЗП, особенности изменения гидродинамического состояния ОЗП в результате ГТВ. Это возможно при использовании разностных схем на нерегулярных разностных сетках (A.A. Самарский). На необходимость отказа от регулярных сеток и применения методов типа конечных или граничных элементов указывалось многими исследователями. Данный подход не имеет части проблем, связанных с простой геометрией блоков сетки в LGR-методе, а именно: для дискретизации дифференциальных уравнений (ДУ) на сетке с различной геометрией блоков используется один метод, учитывающий форму, размеры и неортогональность разностных ячеек; при построении гибридной сетки можно согласовывать ее геометрию с ожидаемой конфигурацией течения и формой стенки скважины и пласта, что позволяет меньшим числом блоков описать особенности фильтрации при заданной точности; сопряжение сеток различной геометрии и различных размеров производится значительно проще в силу большего произвола в выборе формы и размеров блоков локальной сетки.

Сложность решения задач с подобными сетками связана со сгущением их в окрестности скважины, а также с произвольной их геометрией: более сложный метод дискретизации ДУ (получения потоковых коэффициентов); наличие нерегулярной структуры разряженной матрицы при решении системы линейных алгебраических уравнений и применение специальной схемы ее хранения; применение высокоэффективных методов решения систем нелинейных ДУ многофазной фильтрации.

Эти недостатки ограничивали широкое применение метода, однако он применялся многими исследователями для моделирования комплексных (сложных) резурвуаров в двумерной двухфазной постановке (О.О. Чавент, A.B. Кохен, М.П. Джефри. Л.В. Юмарт, Д.Р. Форсайт, A.A. Дарлов и др.), в однофазной трехмерной (В.В. Гурчан), трехмерной многофазной постановке (A.C. Фунг, В.О. Хайберт, В.II Йотов). Реализация современных эффективных численных методов и использование высокопроизводительной вычислительной техники позволили применить данный подход для создания модели околоскважинной зоны пласта, рассматриваемой в настоящей работе.

Для математического описания большинства физических процессов, происходящих в нефтяных залежах при их разработке, применима модель трехмерной изотермической трехфазной трехкомпонентной нестационарной фильтрации сжимаемого флюида в неоднородной анизотропной по проницаемости деформируемой пористой среде, реализованная во многих коммерческих программных продуктах но гидродинамическому моделированию (ECLIPSE, MORE, VIP, FRAGOR, LAURA) - модель «нелетучей» нефти, полученная из обобщенных уравнений фильтрации Маске га-Мереса при пренебрежении растворимостью отдельных компонентов ,! фазах. В рамках модели «нелетучей» нефти возможен учет гравитационных, капиллярных и вязкостных сил, зависимости свойств фаз (плотность, вязкость, доля компонентов в фазах) и пористой среды (абсолютная и относительная проницаемость, пористость) от давления в фазах и насыщенностей фазами пористой среды. Данная модель фильтрации используется в модели ОЗП:

V • \у„ = т ° (т„р. 5»).....£>; В О х (О, Г],

«о = ~кКУ{ра

V• >у„ = т ° {т РЛ)-в ^ х

V• уу= т ° (т^лч+%рл)-ег-ец в ах (о,г].

Система дополняется следующими соотношениями:

--/>!> = Л (-О,

и уравнением состояния породы и фаз

К = К(.т.)■ к'(ро), ка - к(Л'а), и, =цО?„), та = т(ра), Р„ »р(р„), = ■'*(/>,,)■ Граничные условия на стенке добывающей Г ^ и нагнетательной Г. скважин:

Рп = Рг" на при на

К-п) = ?Г наГ^.Г^,

(\у; ■ п) — о',: на Г"„г'оа-, начальные условия ра = р™, 5„ = 5""', 5 = .

Детальное описание околоскважинных особенностей посредством разностных ячеек малого размера обусловливает чрезвычайно большие временные и вычислительные затраты, связанные со снижением устойчивости численных схем при наличии в области моделирования ячеек с малыми размерами. Обычное применение в этом случае неявных схем решения (1МР1Л51Т-методов), являющихся «безусловно» устойчивыми, сопряжено со значительными вычислительными затратами при обращении нерегулярной разрешающей матрицы с блочными элементами, с наличием ограничений на временные шаги из соображений точности аппроксимации по времени и обеспечения устойчивости итераций по нелинейности в связи со значительными нелинейностями коэффициентов уравнений при временных шагах, значительно превышающих условия устойчивости явных методов. Это существенно снижает эффективность неявных схем. Однако, учитывая тот факт, что изменение давления в ячейках сетки за временной шаг, ограниченный по условию устойчивости численной схемы, незначительно по сравнению с изменением насыщенностей в этих ячейках, имеет смысл разделить временные шаги для уравнений по давлению и насыщенности. Подобные подходы применялись на всем протяжении развития математических методов расчета процессов фильтрации при ограниченных вычислительных мощностях. Поэтому схема пространственно-временной дискретизации математических уравнений модели ОЗП основана на модификации явного (¡МРЕБ) и неявного последовательного (5ЕС>) методов (рассмотренных в работах Г.Б. Азиза,

Л.А. Сеттари, Б.В. Шалимова, М.М. Максимова, Л.II. Рыбицкой, В.А. Рождественского и др.), позволяющих разделить решение уравнений для давления (общего потока) и насыщенностей (долей фаз в патоке). Проведенные численные исследования подтвердили эффективность такой модификации численной схемы МРЕБ и БЕС^-методов для задач фильтрации в околоскважинном пространстве.

Для дискретизации трехмерной области вблизи скважины с некоторыми особенностями (трещина ГРП, перфорационные отверстия) автором разработаны специальные алгоритмы, позволяющие разбить область на тетраэдры, четырехугольные и треугольные гексаэдры. В общем случае, например при многозабойной скважине и сложной траектории стволов, на основе метода Делоне разработан способ разбиения ОЗП на тетраэдры (рис. 1). Реализация алгоритма дискретизации в этом случае сводится к следующему:

1) задается первый набор узлов, описывающих внешние границы области;

2) по данному набору узлов проводится первая (граничная) дискретизация;

3) задается окончательный набор узлов, учитывающий геометрию потоков флюидов и стенки ствола скважины;

4) по этим точкам дискретизации окончательно строятся тетраэдры. Такой подход позволяет строить экономичную дискретизацию со сгущающимися разностными сетками возле скважины.

Рис. 1. Сшивка сетки ОЗП скважины сложной траектории с регулярной сеткой пласта

Для построения разностных аналогов дифференциальных уравнений на неортогональных нерегулярных сетках существуют несколько обших методов, таких как вариационный (метод Ритца), вариационно-проекционный (метод Галеркина, метод наименьших квадратов, метод коллокаций и др.).

вариационно-операторные (метод опорных операторов, разработанный A.A. Самарским, A.B. Колдоба, Ю.А. Повещенко) и проекционно-сеточные методы, которые позволяют строить консервативные разностные схемы. Наиболее экономичным с точки зрения скорости и простоты вычисления элементов матрицы разностного аналога ДУ является метод опорных операторов. Поэтому консервативный разностный аналог ДУ для случая многофазной фильтрации строится (H.A. Шевко) на основе метода опорных операторов с использованием так называемого смешанного конечно-элементного метода (mixed finite element metod). В качестве опорного оператора выбран оператор GRAD, который аппроксимируется непосредственно. Для получения определяемого оператора DIV используют соотношения векторного анализа. Для рассматриваемой системы уравнений с учетом неортогональности и возможной несогласованности сеток (несоответствия узлов сеток на поверхности соприкосновения элементов из-за различной топологии или детальности) численный алгоритм (для lMPES-метода) будет иметь следующий вид. Пусть

(v,,v,,v,),vt -контравар. комп, непрерывные на я(ш,,.)|.

W, '

puAr, =а,ае R|,

е V,

(р,Г!' рС > Р^о Рг»,рг,,я,, е IVш.

1. По заданным на и-м временном слое рассчитывается общее давление на п Н-м слое с шагом, равным с1ТГ/. по уравнениям для давления:

(рГ1 , V ■ и)- {рг„ , и • И) - , и - п)г. - (Я;,, и • п)л , (\у", ,у|= V• и,¥бУл,.,

G ", е) = (z, V • е), eeVM,

+ (V • G", (У) + (qсо), Ф e Wllk,

(wu-n,£>) r,=(qu,0)rX, 0^Whk,

для всех ^еГ,пГг,

где

£2 л(т,, )еГ

2. Расчет значений насыщенностей на конец у-го шага размером Л5 п-го временного шага, используя давление р^1 для расчета общих потоков

уупт+1 = к

и насыщенностей для расчета долей фаз в потоке по уравнениям для водонасыщенности

(<;'>")= (/Г'-^Т1, и)- - - и), и газонасыщенности

{Сь/ , ф)= (V ■ , ф)-{/3^тРв,ф)~ Д гр,е, ф)~

Расчет насыщенностей производится до достижения равенства суммы шагов по насыщенности и шага по давлению

V

3. Проверка допустимости ошибки материального баланса компонентов с использованием давлений и насыщенностей =5'^' при соблюдении (1). В случае превышения допустимой величины ошибки шаг (б(/",/л+|) считается недопустимым, результаты расчета отбрасываются и величина нового шага уменьшается пропорционально величине превышения фактической ошибки над допустимой. При благоприятном исходе осуществляется переход на следующий временной шаг.

При аппроксимации ДУ при расчете потоков в неоднородной среде коэффициент т и компоненты К брались средневзвешенными по объему, фазовая проницаемость бралась «вверх по потоку».

Решение системы линейных алгебраических уравнений осуществляется градиентным методом (ЖТОМШ (усеченный метод ортонормированного

минимума) с предобусловливанием методами Irregular Nested Factorization или ILU.

Рассматриваемая модель реализована в программном продукте WELLSIM. Для проверки правильности программной реализации алгоритмов однофазной и многофазной фильтрации использовались известные аналитические решения стационарной и нестационарной фильтрации. Условные обозначения:

а - индекс, обозначающий нефтяную, водную и газовую фазы (о, w, g): K(.v,), т'(х,) - полный тензор абсолютной проницаемости и коэффициент

пористости породы в точке пласта с координатами Х!; к\р) - множитель к коэффициенту проницаемости как функция давления; ра, кп, р;, Liit. т а , S , /' - соответственно давление, относительная проницаемость, плотность, вязкость, относительная пористость, насыщенность и доля к-го компонента в а-й фазе; 1 ■ время; Т - продолжительность временного интервала; 0'с мощность источника (стока) к-го компонента, Q" > О - источник, QI <0 -сток; капиллярное давление между фазами а и В, используем р[ео, р1 ; g -

ускорение свободного падения; г - глубина залегания пласта; Q - исходная

область; Ol: - отдельная ячейка сетки, со..у - узел, ад...... грань, XR - ребро, где

индексы Е, N, В, R определяют глобальный порядок нумерации

соответствующих дескрипторов сетки; <о(ПЕ) ..... узлы, принадлежащие ячейке

Qg, ю„(Ор) - конкретный узел, где индекс п определяет локальный порядок-нумерации узлов и т.п. Д* ~{kaPj'a)l' Р* - подвижность компонента к в а-й фазе; f"'Lv = 4 )Аг (р.Г' ) - доля воды в потоке,

/Г!'У ~ - доля газа в потоке,

4 = Ы;: + сл°е + вц + в XI)", о" = (aqz + о°0 + bq* + bq* )",

где верхний индекс и - /2-й временной шаг; Г,, Г, - поверхности соприкосновения несогласованных (гибридных) сеток;

С« =т{т'рр*Х С« Со = "rWpP'o + т'^Ро)8"'

Д/ ¿S.t /\t

tf = ft («„А, г1. Cf = [п'р {pjs У + < (p'jf + рГГ/ к. ^ ^к^лГ с? =^пРр; + cs/

P.,, =- с"т/с!:, > fir = АС~ ссо - BC!i" - вс~х. PSo = cg°r/cga,

= с;<7 /с*,. A = i/c:> , в = i/csg<, С = fi - с* /с-;-1let'.

Рассматриваемая модель реализована в программном продукте WELLSIM, правильность программной реализации алгоритмов которой проверена аналитическими решениями однофазной и многофазной, стационарной и нестационарной фильтрации.

На основе созданной модели околоскважинной зоны пласта стало возможным решение следующих прикладных задач: приток флюидов к скважинам сложной траектории; приток к многозабойным скважинам и вторым стволам; приток к трещине гидроразрыва; приток к перфорационным каналам; приток при детальном учете неоднородности пласта и прискважинной области; проверка результатов интерпретации гидродинамических исследований скважин.

Получено 08.07.03 УДК 622.276 A.A. Щинанов Перм НИПИн ефть

МОДЕЛЬ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ДЕФОРМИРУЕМОМ ТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТОМ ПЛАСТЕ

Представлена модель двойной пористости/проницаемости, которая позволяет моделировать высокоскоростную фильтрацию по системе трещин и учитывает динамическую деформацию трещинно-порового коллектора, возникающую при изменении пластового давления. Классическая модель единичной пористости сопоставлена с моделью двойной пористости/проницаемости. С помощью математического моделирования определены некоторые особенности фильтрации в трешиновато-пористой среде и влияние обмена между матрицей и трещинами на скорость фильтрации.

В работе рассматривается модель двухфазной фильтрации в среде с двумя видами пустотности, которая известна также как модель двойной пористости/проницаемости [1-3]. Базовой для данной модели является модель фильтрации в среде с одним видом пустотности (единичной пористости), широко известная как модель фильтрации в пористой среде [4].

Уравнения течения однородной жидкости в трещиновато-пористой среде с двумя видами пустотности были сформулированы Г.Н. Баренблаттом и др. [5] исходя из континуального подхода (условия непрерывности). По Баренблатту, обе среды - система трещин и блоки пористой матрицы - рассматриваются как две сплошные среды, вложенные одна в другую, причем параметры движения жидкости и среды определяются в каждой математической точке. Уравнения движения и сохранения массы записываются независимо для каждой среды. Переток жидкости из одной среды в другую учитывается введением функции источника-стока в уравнениях сохранения массы. Подход Г.Н. Баренблатта был распространен на случай многофазной фильтрации X. Каземи [2].