CC BY
27
_МАШИНОСТРОЕНИЕ_
УДК 51: 621. 891 + 06
гидродинамический расчет радиального подшипника
с адАптированным профилем опорной поверхности
© 2012 г. М.А. Мукутадзе
Ростовский государственный университет Rostov State Transport
путей сообщения University
На основе анализа уравнения Рейнольдса для случая сжимаемой вязкопластичной смазки дается расчет радиального подшипника с адаптированным (некруговым) контуром его опорной поверхности. Рассмотрен экстремальный случай, когда параметр сжимаемости стремится к бесконечности, и случай промежуточных значений этого параметра. В результате установлен такой профиль опорной поверхности подшипника, который обеспечивает подшипнику по несущей способности свойство подшипника «двойного действия». Дана оценка параметра сжимаемости и параметра, характеризующего вяз-копластичные свойства смазки на основные рабочие характеристики подшипника.
Ключевые слова: гидродинамический расчет; адаптированный профиль; сжимаемая жидкость; вязкопластичная жидкость.
Calculation of radial bearing with the adapted profale of its surface is made on the basis of the analysis of Reinolds equation for the case of compressed visco-plastic liquid. An extreme case that is the case of big values of angle speed of shaft movement and also the case of intermediate values are studied. Optimal for bearing capacity values of the parametr characterizing the adapted profile of bearing surface and the parametr stipulated by visco-plastic properties of lubricant are found.
Keywords: hydrodynamic calculation; adapted profile; compressed liquid; visco-plastic liquid.
Подшипники с жидкостным трением конструируются в расчете на разные виды смазочных материалов. Применяемые в настоящее время жидкие смазочных материалы (масла) состоят из масляной основы (базового масла) и композиции присадок, придающих маслу необходимый уровень функциональных свойств. Добавки полимеров дают маслам «неньютоновские» свойства, в частности вязкопластичные свойства. Математическая модель несжимаемой вяз-копластичной смазки подшипников скольжения приведена в работах [1 - 4].
Основной целью данной работы является разработка метода расчета радиального подшипника, работающего на сжимаемой вязкопластичной смазке с адаптированным профилем его опорной поверхности.
Постановка задачи
Рассматривается установившееся движение сжимаемой вязкопластичной смазки в зазоре радиального подшипника с адаптированным профилем его опорной поверхности.
Вал вращается с угловой скоростью Q, а вкладыш неподвижен. В полярной системе координат с полюсом в центре вала уравнения контуров вала и подшипника записываются в виде
г' = r0, г'= r1 + ecos6-asinro*6,
где г0 - радиус вала; г1 - радиус кругового вкладыша; г - эксцентриситет; a и ю ' соответственно амплитуда и частота контурных возмущений. В дальнейшем предполагается, что е и а одного порядка малости.
Рис. 1. Схематическое изображение шипа в радиальном подшипнике с адаптированным (некруговым) профилем опорной поверхности
За исходные берется система безразмерных уравнений движения сжимаемой вязкопластичной смазки для случая «тонкого слоя», уравнение неразрывности и уравнение состояния:
д2и 1 dp . дри Зри „ . 2тп52
— =--^ + А, + = 0, р = р, А = —Ц- (1)
дг2 л de дг дб р цОт02
Здесь размерные величины u' , u', p' , r', р ' связаны с безразмерными u, u, p, r, р соотношениями:
f h _ Ah3_ 1 2 12
_ с ^ 0.
u' = Qr0u, о'=5Qo0,
Р = PaP> Р = Р Р>
r ' = r0 +5r, 5 = r _ r0, Л =
r02^
Рд 5 2'
*
Р =
2 Рд
XQ 2 r02
Р =
XQ 2 r02 , 2 p,
A
É9
h3 dp Aph3 ph 12Л Pd 9 12 2
= 0.
(4)
Однократным интегрированием уравнения (4) получим
dp de
12Л
h3 p
(
Ah
з 1
12
где с - постоянная интегрирования.
При больших угловых скоростях вращения вала, таких как О^го (Л^ю) градиент гидродинамического давления остается ограниченным при условии
Используя граничное условие р(0) = р(2я) = = р / ра, с точностью до членов 0(4^), будем иметь
p=
Л - параметр сжимаемости; и', и' - компоненты вектора скорости; р' - плотность; ц - динамический коэффициент вязкости; т0 - предельное напряжение сдвига; А - параметр пластичности; рд - давление подачи смазки; р' - гидродинамическое давление в смазочном слое.
Поскольку скорость движения направляющей считается достаточно большой, а поверхности рассматриваемой пары трения являются шероховатыми, то ситуация соответствует так называемой квадратичной области течения жидкости, в которой потери давления на трение пропорционально квадрату скорости (формула Вейсбаха - Дарси) [5]
1 A q „ Tb . -
-----1 cos 9 + —sin ю9 + —
2 12 2 2 2
1 _ A
2 12
(5)
При промежуточных значениях Л (Л^го) точное автомодельное решение системы (1), удовлетворяющее граничным условиям (2), ищется в виде:
ри = + и (ги 9), ри = -^ + V (г, 9);
су 1 59
у = у(5), U = u(5,9), V = о(5,9)h'(9);
p dp + pA _ ~ (9) + с2
с2 = const, 5 = ■
Л d9 h2(9) h3(9) 2 "" " h(0) Подставляя (6) в (1) и (2), получим
. (6)
где X - коэффициент потерь на трение, определяется экспериментально.
Система уравнений (1) решается при следующих граничных условиях:
u = 1, u = 0 при r = 0; u = 0, u = 0 при r = h(9) = 1 + гcos9 -гц sinю9, (2)
где г = e / S, г1 = a / S; p(0) = р(2л) = 1, рд - давление питания в случае подшипника конечной длины.
Интегрируя первое уравнение системы (1) с учетом (4), получим
d3 у ~ 5 2u ~ 5о 5u 5u
^ = C2, 552 = ~(9), ^ + ^_5^ = 0, (7)
55 5x
dx
у = 0 при 5 = 0,5 = 1; u = p, о = 0 при 5 = 0;
u = 0, о = 0 при 5 = 1;
1
p(0) = р(2л) = 1; Ju(5,9)d5 = 0.
(8)
1 йрг2 1 Аг2 (Ah 1 ^ , _
и =--^----+--1— + -| г +1. (3)
Л d9 2 Л а9 2 2 ^ 2 h)
В системе уравнений (1), интегрируя уравнение неразрывности от 0 до ^9), с учетом (3) приходим к следующему уравнению:
Решение задачи (7), (8) легко находится непосредственным интегрированием. В результате будем иметь
у= C2(52 _5), u(5,9) = ~
2
2
2+pу
V у
5 + p,
где с1 = 6р, а с2 в дальнейшем определяется из условия р(0) = р(2я) = 1.
Для определения гидродинамического давления приходим к следующему нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка:
p±+pA=ép+
Л d9 F h2 h3
(9)
Уравнение (9) решается численно при следующих граничных условиях р(0) = р(2л) = 1.
Компоненты поддерживающей силы, силы трения, а также расход смазки определяются выражениями:
2л 2л
Ry = —оРа J pcos9d9, Лх = -Гоpa J psin9d9,
о 0
*
r
— с
Ц^о
^тр =я J
s o p
I 4
__4P
2h2 h
de,
(lo)
e = Qro5|4/ ' ©d
В экстремальном случае (т.е. при Л^ю) для компонент поддерживающей силы и силы трения, согласно (5) и (3), получим следующие выражения:
Ry = l
ropô I -Пл
A I 2
nl
22
cos(ra - 1)2л -1 + cos(ra + 1)2л -1
ю-1
ю +1
R =
-r
o pô I -П1
x 1 - A I 2 2 2
sin(o-1)2 л sin(ю +1)2 л
ю -l
ю+1
Lw = g
A(1 + ncose-nl sinюС) 2
;(ll)
способность, но и меньшие габариты по сравнению с подшипником с круговой (ю = 0) опорной поверхностью.
Рис. 2. Зависимостью-составляющей безразмерной несущей способности от параметров <в и q: 1 - A = 0, Л^го; 2 - A = 0,4, Л = 100; 3 - A = 0,6, Л = 100
l
1 + n cos С - nl sin юС
de .
Ниже на рис. 2 приведены результаты численного анализа.
Численный анализ аналитических выражений (10) и (11), приведенных на рис. 2 зависимостей показывает:
1. При ю = 1/2 условие периодичности гидродинамического давления (условие замкнутости смазочного слоя) выполняется. При этом значение ю несущей способности подшипника на 40 - 50 % выше, чем при ю = 0.
2. С увеличением значения параметра пластичности А несущая способность подшипника резко возрастает.
3. При ю = 1/2 предложенная конструкция подшипника с адаптированным профилем опорной поверхности имеет не только повышенную несущую
Литература
1. Ахвердиев К.С. Нелинейная задача о неустановившемся движении вязкопластичной жидкости между шипом и подшипником // Докл. АН АзССР. 1977. Т. 33. № 11. С. 19 - 25.
2. Ахвердиев К.С. Нелинейные эффекты воздействия вязко-пластичной смазки на шип подшипника скольжения // Докл. АН АзССР. 1977. Т. 33, № 12.
3. Ахвердиев К.С. О движении вязко-пластичной смазки в подшипнике // Докл. АН АзССР. 1977. Т. 33, № 3. С. 7 - 13.
4. Ахвердиев К.С. Нелинейные эффекты воздействия вязко-пластичной смазки на устойчивость движения шипа в подшипнике // Вестн. Моск. ун-та. Серия 1. Математика, механика. 1978. № 5. С. 86 - 92.
5. Башта Т.М., Руднев С.С., Некрасов Б.Б. Гидравлика, гидромашины и гидроприводы: учебник для машиностроительных вузов. М., 1982.
2
Поступила в редакцию 3 ноября2011 г.
Мукутадзе Мурман Александрович - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Высшая математика-2», Ростовский государственный университет путей сообщения. Тел. (863) 272-62-63. E-mail: [email protected]
Mukutadze Murman Alexandrovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Higher Mathematics-2». Rostov State Transport University.Ph. (863) 272-62-63. E-mail: [email protected]_
