Гибридная нелинейно преобразованная система прямого адаптивного управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Для максимального режима работы ГТД минимальный шаг квантования к = 1, 4 с; при этом шаге квантования амплитуды импульсов длительностью к оптимального управляющего воздействия следующие: то = 2, 665 ;

т1 = -1, 799 ; т2 = 0, 016 ; т3 = 0 .

Для среднего (крейсерского) режима работы ГТД минимальный шаг квантования к = 1, 8 с; при этом шаге квантования амплитуды импульсов длительностью оптимального управляющего воздействия следующие: т0 = 1, 947 ; т1 = -1, 162 ; т2 = 0, 004 ; т3 = 0 .

В режиме малого газа не удается уменьшить перерегулирование, которое составляет примерно 35 % при шаге квантования к = 20 с; при этом управляющее воздействие представляет собой один импульс т0 = 0, 29 .

ВЫВОДЫ

Как показывают расчеты и моделирование, время регулирования на максимальном режиме работы ГТД составляет примерно 2,2с, на среднем (крейсерском)

режиме время регулирования составляет примерно 2,6 с. Без компенсации динамических свойств термопары время регулирования в указанных режимах составляет примерно 7 с. Таким образом, система автоматического управления температурой газа двухвального двухконтурного газотурбинного двигателя при компенсации динамических свойств термопары обладает почти в 3,2 раза (на максимальном режиме) и почти в 2,7 раза (на среднем режиме) более высоким быстродействием, чем та же система без компенсации динамических свойств термопары. Если учесть, что технически компенсацию динамических свойств термопары выполнить очень просто и она дает большой эффект по быстродействию системы управления, то применение такой компенсации является весьма целесообразным.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Гостев В.И., Маглюй С.А., Иванченко В.А. Оптимальное управление температурой газа двухвального двухконтурного газотурбинного двигателя на базовых режимах работы // Мехашка та машинобудування. - 2000. - №2. - С. 154-158.

2. Гостев В.И., Худолий Д.А., Баранов А.А. Синтез цифровых регуляторов систем автоматического управления. - К.: Радюаматор, 2000. - 400 с.

УДК 681.31

ГИБРИДНАЯ НЕЛИНЕЙНО ПРЕОБРАЗОВАННАЯ СИСТЕМА ПРЯМОГО АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Е.Л.Еремин, Д.Г.Шевко

The method of constructing of a hybrid system of control for is a priori of acritical continuous plants grounded on the introducing in a routine of synthesizing of non-linear transforming of phase coordinates and resting on usage of the vehicle of a theory of buckling and a positiveness of dynamic systems is esteemed.

Рассматривается метод построения гибридной системы управления для априорно неопределенного непрерывного объекта, основанный на введении в процедуру синтеза нелинейного преобразования фазовых координат и опирающийся на использование аппарата теории гиперустойчивости и положительности динамических систем.

ВВЕДЕНИЕ

Проблема синтеза высокоэффективных гибридных систем управления (ГСУ) по-прежнему остается достаточно актуальной. Известно [1], что для одного класса непрерывных систем управления функционирующих в условиях априорной неопределенности задача построения быстродействующих алгоритмов может быть решена за счет применения метода нелинейного преобразования координат, разработанного Р.У. Брокеттом [2]. Эти результаты можно применить и для ГСУ. Действительно, если опираться на результаты синтеза аналоговых

алгоритмов, то с помощью метода непрерывных моделей [3], можно построить соответствующие дискретные алгоритмы. Однако недостатком такого подхода к синтезу ГСУ является относительно малый шаг дискретизации алгоритмов управления и адаптации.

В свою очередь, рассматривая синтез дискретных адаптивных регуляторов как самостоятельную задачу [4], приходится констатировать тот факт, что непосредственный перенос нелинейных преобразований Р.У. Брокетта на решение задачи синтеза высокоэффективных дискретных алгоритмов для ГСУ встречает ряд ограничений. Основные трудности при решении такой задачи возникают уже на этапе получения эквивалентного математического описания системы управления, у которой осуществлено степенное преобразование дискретных фазовых координат линейной части системы [5]. Действительно, если для линейной части непрерывной системы после степенного преобразования ее переменных пространства состояния этот же фрагмент системы (нелинейно преобразованный) можно вновь сделать линейным, в частности, за счет расширения пространства состояний и формирования нового базиса [2], то для дискретной системы аналогичные преобразования не дают

Е.Л.Еремин, Д.Г.Шевко: ГИБРИДНАЯ НЕЛИНЕЙНО АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ

ПРЕОБРАЗОВАННАЯ СИСТЕМА ПРЯМОГО

желаемого результата [5].

Тем не менее, при синтезе ГСУ можно воспользоваться иной последовательностью разработки алгоритмов адаптивного управления, а именно осуществляя:

- во-первых, нелинейное преобразование и новое (расширенное) пространство состояния линейной непрерывной части;

- во-вторых, дискретизацию элементов расширенного вектора пространства состояния;

- в-третьих, синтез дискретных алгоритмов адаптивного регулятора с помощью критерия гиперустойчивости.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ГСУ С

ЯВНОЙ ЭТАЛОННОЙ МОДЕЛЬЮ

Пусть объект управления (ОУ) описывается уравнением

x(t) = Ax(t) + bu(t),

A = A(%), b = bф,

uk = Xkrk + ckxk -

порядка

u (t) = uk при tk ^ t < tk + i

xM( t) = AMxM( t) + bMr(t) -

циентов Хк, ск таким образом, чтобы в системе (1), (3)-(5) при любом наборе е в, при любых начальных условиях Хо, Со обеспечивалось достижение целевых условий заданных предельными соотношениями вида

lim (xM( t) - x (t)) = 0, iim%k = x* = const, t k

limck = c * = const,

k

(6)

(1)

где х({) е Я" - полностью измеряемый вектор состояния;

и(г) е Я1 - управляющее воздействие; А и Ь - матрицы заданного размера соответственно состояния и управления.

Функционирование ОУ (1) происходит в условиях априорной неопределенности, уровень которой задан в виде

где (*) - индекс, обозначающий установившиеся значения соответствующих переменных скалярной или векторной функций.

СТАДИЯ СИНТЕЗА НЕПРЕРЫВНОЙ ЧАСТИ ГСУ

Пусть е(г) - рассогласование между векторами состояний объекта управления (1) и эталонной модели (5), т.е.

e( t) = xM( t) - x(t),

(7)

(2)

где ^ - набор неизвестных параметров, принадлежащий известному множеству В .

Присоединим к объекту управления (1) дискретный регулятор, структуру которого зададим выражением

(3)

где Хк е Я1 , Си е Я" - настраиваемые коэффициенты регулятора, алгоритмы настройки которых подлежат определению; г к е Я1 - задающее воздействие;

Хк = х (г и) , г к = кТ, Т > 0 - шаг дискретизации,

к = 0, 1, 2, ...

Континуализация управляющего воздействия осуществляется с использованием экстраполятора нулевого

а обобщенный выход описывается следующим образом:

V(г) = gTe(г), (8)

где g - некоторый постоянный вектор, значения элементов которого подлежат выбору.

Получение эквивалентного описания системы

Используя уравнения (1), (5), (7) и учитывая (8), получим следующую эквивалентную систему с обратной связью (ОС):

е(г) = Аме(г) + Ь^(г), V(г) = gTe(г), (9)

\^к= (Х*- Хк)гк +(с*- ск)Тхк, г) = Н при

tk ^t < tk +1-

(10)

(4)

Желаемое поведение ОУ зададим с помощью эталонной модели (ЭМ)

(5)

где уравнения (9) определяют линейную стационарную часть (ЛСЧ), а уравнение (10) - нелинейную нестационарную часть (ННЧ).

Этап нелинейных преобразований

Рассмотрим нелинейное преобразование координат исходной системы (9), (10). Воспользуемся приемом, рассмотренным в работе [6], и осуществим переход от

переменных е(г) е Я" к переменным е[2](г) е Яс помощью выражения

Н(г) = е(г)еТ(г),

(1)

где Хм(г)е Я" ; г(г) = гк при гк < г < гк +1.

Требуется определить алгоритмы адаптации коэффи-

где Н(г) - симметричная матрица, элементами которой являются попарные произведения элементов вектора е( г). Дифференцируя выражение (11) и учитывая первое из

уравнений (9), находим И(г) = ЛМИ(г) + И(г)Л^ + г)(Ьет(г) + е{г)Ьт). (12)

Если уравнение ННЧ нелинейно преобразованной системы, выполняя преобразование выражения (12) по аналогии с [6], определить соотношением

Ц2](t) = t)e(t),

(13)

а уравнение состояния ЛСЧ нелинейно преобразованной системы записать в виде

е[2](г) = (Лм\2]е[2](г) + Ь[2^2](г), (14)

где е[2](г) - вектор размера (М^* 1); = 0, 5п(п + 1) ; ^2 ](г) - вектор размера (п*1); (Лм)г2] и Ь-2] - матрицы

размера, соответственно, (МП*М2) и (М2*п) ; то для

выхода нелинейно преобразованной системы можно записать уравнение

V*-2](г) = е(г)ет(г)в = gT2]е[2](г), (15)

где gT)] - матрица размера п*(0, 5п(п + 1)) , элементы которой удовлетворяют соотношению

T

g[2] =

gT 0 . . 0

0 gT. . 0

0 0 . • gT

Определение условий положительности ЛСЧ системы

Для передаточной функции ЛСЧ системы, имеющей

вид

W(s) = g[2](sE-AM)-^b{2] ,

(16)

где s = jffl; j = -1 ; E - единичная матрица соответствующего размера, необходимо обеспечить выполнение условий ее строгой положительности и вещественности.

Для исходной эквивалентной системы (9), (10) передаточная функция имеет вид

W(s) = gT{sE - AM)-1b = № = g[(sE - ^ + b w 5 v M' S(s) det(sE - AM)

, (17)

где (sE - Am) + - присоединенная матрица матрицы

(sE - am) .

Известно [1], что любой положительной вещественной

функции (17) исходной системы, всегда отвечает некоторая положительная вещественная функция (16) нелинейно преобразованной системы. Следовательно, если выполнить условие, что передаточная функция (17) положительная, то этого достаточно для того, чтобы существовала некоторая функция (16), обладающая свойством положительности и вещественности. Таким образом, достаточно, чтобы передаточная функция (17) была бы положительной вещественной функцией. Известно [1], что эта задача разрешима тогда и только тогда, когда полином р(] ю) гурвицев с положительными коэффициентами и имеет степень (п-1), т.е. достаточно вектор g выбрать таким образом, чтобы в условиях априорной неопределенности (2) полином р(]'ю) был бы гурвицевым степени (п-1) с положительными коэффициентами .

СТАДИЯ СИНТЕЗА ДИСКРЕТНОЙ ЧАСТИ ГСУ

Согласно теореме об асимптотической гиперустойчивости [4] для эквивалентной системы с ОС (9), (10) необходимо, чтобы эквивалентный блок ОС (10) удовлетворял бы неравенству

П( 0, k1) = - £ ц kvk > -y2 = const, Vk1 > 0, k = 0

Vk = v(tk) . (18)

Используя результаты нелинейного преобразования координат исходной системы (9), (10), рассмотрим вместо неравенства вида (18) его модификацию вида

Ц(°, k1) =- £ (Mk2])Tvk2] = -£ VkZk > -y2 = cons^ k= 0 k= 0

Vk1 > 0, (19)

где zk = z(tk); z(t) = gTe(t)eT(t)e(t). Используя уравнение (10), получим

£ ((Ck- c*)TXk + (Xk - X*)rk)zk > -Y02. (20) k = 0

Теперь положим

Xk = Xk -1 + <V(zk), ck = ck -1 + ф( zk),

Xk = £ ф(Z1) + X-l, l = 0

(21) (22)

k

k1 k1

k

k

ck = I Ф(zl) + c-l

(24)

l = 0

Тогда получим неравенство

kl ' k

П(0, kl) = I

k = 0

kl ( k + I z

k

I Ф(zi) + X-1 - X*

% l = 0

( t

rk +

I ф(zj) + c-l - c *

xk > -V

(25)

которое будет выполняться, если оба члена левой части удовлетворяют неравенству того же типа. Чтобы найти решения для ф и ф , приводящие к выполнению таких неравенств, применим следующее соотношение [4]:

ki ' k

I fk k = 0

I fl + C % l = 0

' k

= 0, 5

( 2

I fk + C % l = 0

+ 051 л -l = 0

- 0, 5C2 > -0, 5C2, C = const.

Xk = Xk -1 + hi zkrk, ck = ck - 1 + H2zkxk .

целей аналитическую стадию решения задачи синтеза ГСУ можно считать завершенной. Здесь имеется в виду то обстоятельство, что требуют определения коэффициенты к1 , Н2 , числовые значения которых назначаются окончательно лишь в процессе имитационного моделирования.

Если теперь от математического описания ГСУ, представленного в эквивалентном виде, вернуться к исходному, т.е. записать исходные уравнения объекта управления, эталонной модели и адаптивного регулятора, то синтезированная ГСУ будет иметь следующий вид:

х(г) = Ах(г) + Ъи(г), X(г) е Я" , и(г) е Я1 , (31) X(г) = Амхм(г) + ъмт(г), хм(г) е Я", г(г) е Я1, (32)

е(г) = Хм(г) -X(г), г(г) = gTe(г)ет(г)е(г),

gT = (gl, g2,..., g") , (3)

uk Xkrk + ckxk >

(34)

(26)

ck = ck- 1 + H2zkxk > H2 = diag{h2i} > h2i = const>°> i = ТТЙ , (35)

Используя (26), получим решения для ф и ф в виде ф(г^) = hizkrk, Н^ = const > 0, (27)

ф(гк) = , H2 = diag{h2i} , h2i = const > 0,

i = ТТЙ . (28)

Т.е. искомые алгоритмы настройки коэффициентов адаптивного регулятора примут вид

Xk = Xk -1 + hlzkrk > h1 = const>0 > zk = z (tk) >

xk = x (tk) -u(t) = Uk при tk ^ t < tk + 1 .

(36)

(37)

(29)

(30)

ДОСТИЖИМОСТЬ ПОСТАВЛЕННЫХ ЦЕЛЕЙ УПРАВЛЕНИЯ И АДАПТАЦИИ

Из выполнения условий положительности системы (9), (10) следует ее асимптотическая устойчивость

lim(xM(t) - x(t)) = lime(t) = 0 t ^ <» t ^ <»

а это подтверждает выполнение первого из условий (6). При этом, с учетом явного вида алгоритмов самонастройки коэффициентов регулятора Xk и Ck, очевидно, что будут выполнены предельные соотношения

limXk = const, limck = const,

kk

совпадающие с требованиями соответствующих целевых условий (6).

Таким образом, в силу достижения сформулированных

УПРОЩЕНИЕ СТРУКТУРЫ ГСУ НА ОСНОВЕ

ПРИНЦИПА ТЕХНИЧЕСКОЙ

ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Следует отметить, что синтезированная ГСУ (31)-(37) имеет сложную техническую реализацию, поскольку функциональные возможности аналоговой вычислительной техники весьма ограничены. Для удобства последующего изложения будем вышеуказанную ГСУ называть технически сложной (ГСУТС). Кроме того, ГСУ с простой технической реализацией будем называть технически простой (ГСУТП).

Определение

Две замкнутые ГСУ, состоящие из объекта управления и аналогового цифро-аналогового блока (АЦАБ), будем считать технически эквивалентными системами, если в каждой из них уравнения связи типа вход-выход как для ОУ, так и для АЦАБ имеют идентичный вид.

Будем полагать, что на вход АЦАБ ГСУ поступают переменные состояния х(г) непрерывного объекта управления, а на его выходе формируется управляющее воздействие и^.

Для ГСУТС (31 )-(37) требуется построить ГСУТП, а именно обеспечить упрощение структуры АЦАБ ГСУТС таким образом, чтобы он и структура полученного АЦАБ ГСУТП, описывались бы одним и тем же уравнением.

81ши1тк-модель [7] ГСУ (31)-(37) представлена на рис. 1.

z

k

k

Рисунок 1 - БШиПпк-диаграмма модели системы управления (31)-(37)

Блок-диаграмма цифрового вычислительного устройства (ЦВУ) системы управления (31)-(37) изображена на рис. 2.

Рисунок 3 - Б1шиНпк-диаграмма модели системы управления (38)-(44)

Рисунок 2 - Блок-диаграмма цифрового вычислительного устройства системы управления (31)-(37)

Очевидно, что ГСУтс (31 )-(37) имеет эквивалентную техническую реализацию в виде ГСУтп ^тиНпк-модель ГСУТП показана на рис. 3, а блок-диаграмма ЦВУ - на рис. 4), основанную на следующей математической модели:

х(г) = Лх(г) + Ьи(г), х(г) е яп, и(г) е л1, (38)

хк + 1 = РМхк + йМгк , хк е Кп , гк е кХ,

(39)

ек = хк - хк , 2к = gTekekek , gT = (gl, g2' gn) (40)

ик = Хкгк+4х к (41)

ск = ск- 1 + И22кхк, И2 = к21} , к21 = СОп81>0,

г = ТТп , (42)

Хк = Хк -1 + Н12кгк, к1 = , (43)

и(г) = ик при гк< г < гк +1, (44) где Рм = ехР(Амт), йм = Лм( Рм - Е) Ьм.

Рисунок 4 - Блок-диаграмма цифрового вычислительного устройства системы управления (38)-(44)

Проверка технической эквивалентности ГСУТС (31)-(37) и ГСУТП (38)-(44), имеющих различные по структуре АЦАБ, опирается на результаты вычислительного эксперимента.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Вычисления проводились с использованием средства визуального моделирования 81МиЬШК математического пакета МЛТЬЛБ [7]. На рис. 5 представлена 81тиНпк-модель, отражающая суть эксперимента.

Рисунок 5 - Simulink-модель эксперимента

Рисунок 6 - Результаты эксперимента

Результаты моделирования приведены на рис. 6, где левый график - рассогласование между значениями элементов вектора состояния ОУ систем (31)-(37) и (38)-(44), а правый - рассогласование между значениями управляющих воздействий в ГСУ вида (31)-(37) и (38)-(44).

Представленные графики были получены при следующих исходных данных:

0 1 0 0 0 1 0 0

A = 0 0 1 , b = 0 , AM 0 0 1 , bM = 0

_1 -23 -9 _1 -15 -23 -9 _1_

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В соответствии с требованиями цели управления, поставленной в условиях априорной неопределенности, решена задача синтеза гибридной системы управления. В рамках вычислительного эксперимента показано, что две гибридные системы отличающиеся структурой аналоговых цифро-аналоговых блоков, но имеющие идентичные уравнения связи вход-выход, с точки зрения технической реализации могут считаться эквивалентными. Анализируя полученные результаты имитационного моделирования, можно сделать вывод о целесообразности первоначального синтеза системы управления в виде ГСУТС, с последующим ее упрощением до вида ГСУТП.

gT = (8 6 1), xT(0) = (0 0 0), ck(0) = (0 0 0):

X0 = 0, h1 = 280, H2 = diag {110000 ;10000;200000 },

rk = 0, 1 sin(kk) + 1 , T = 1, 6.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Еремин Е.Л., Цыкунов A.M. Синтез адаптивных систем управления на основе критерия гиперустойчивости. Бишкек: Илим, 1992.

2. Брокетт P.V. Алгебры Ли и группы Ли в теории управления // Математические методы в теории систем / Под ред. Ю.Н. Журавлева. М.: Мир, 1979. С. 174-220.

3. Цыкунов A.M. Адаптивное управление объектами с последействием. М.: Наука, 1984.

4. Landau I.D. Adaptive control systems: the model reference approach. N.Y.: Marsel Dekker, 1979.

5. Баркин А.И., Зеленцовский А.Л., Пакшин П.В. Абсолютная устойчивость детерминированных и стохастических систем управления. М.: МАИ, 1992.

6. Баркин А.И. Оценки качества нелинейных систем регулирования. М.: Наука, 1982.

7. Гультяев А.К. MATLAB - 5.2. Имитационное моделирование в среде Windows: практическое пособие. М.: Наука, 2000.