Гибридизация определяющего соотношения линейной вязкоупругости и нелинейной модели вязкоупругопластичности типа Максвелла и анализ сценариев эволюции коэффициента поперечной деформации при ползучести Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Гибридизация определяющего соотношения линейной вязкоупругости и нелинейной модели вязкоупругопластичности типа Максвелла и анализ сценариев эволюции коэффициента поперечной деформации при ползучести

А.В. Хохлов1,2,3

1 НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 119192, Россия 2 Московский центр фундаментальной и прикладной математики, Москва, 119991, Россия 3 Институт естественных наук СВФУ им. М.К. Аммосова, Якутск, 677027, Россия Сформулировано обобщение физически нелинейного определяющего соотношения (ОС) вязкоупругопластичности типа Максвелла с четырьмя материальными функциями, общие свойства и область применимости которого исследованы ранее в цикле статей автора. Чтобы расширить круг описываемых им реологических эффектов и материалов, предложено добавить в него третью компоненту деформации, выражаемую линейным интегральным оператором Больцмана-Вольтерры с произвольными функциями сдвиговой и объемной ползучести. Для общности и удобства управления моделью, для ее настройки на разные материалы и списки моделируемых эффектов в ОС введен весовой множитель (степень нелинейности), позволяющий «скрещивать» исходное нелинейное соотношение и оператор линейной вязкоупругости в произвольных пропорциях и регулировать выраженность моделируемых ими разных наборов эффектов. Выведены уравнения семейств кривых ползучести (объемной, сдвиговой, продольной и поперечной), порождаемых предложенным ОС с шестью произвольными материальными функциями, и выражение для коэффициента поперечной деформации в зависимости от времени. Аналитически исследованы их общие свойства и влияние на них параметров на-гружения и характеристик всех материальных функций, проведено их сопоставление со свойствами аналогичных зависимостей, порожденных двумя скрещиваемыми ОС по отдельности. Выявлены новые качественные эффекты, которые дает возможность описывать новое ОС по сравнению с исходными, проверено, что обобщение устраняет ряд недостатков ОС вязкоупругопластично-сти типа Максвелла, но сохраняет его ценные качества. Доказано, что предложенное ОС способно моделировать знакоперемен-ность, монотонное и немонотонное изменение поперечной деформаций и коэффициента поперечной деформации под действием постоянного напряжения, их стабилизацию с течением времени. Получены общие точные оценки для диапазона изменения коэффициента Пуассона, условия его монотонности и немонотонности и критерий его отрицательности на некотором интервале времени. Доказано, что пренебрежение объемной ползучестью (постулат объемной упругости), упрощающее ОС, радикально обедняет спектр возможных сценариев эволюции коэффициента поперечной деформации во времени: он возрастает и не может иметь точек экстремума и перегиба. Проведенный анализ показал, что предложенное ОС дает широкие возможности для описания разнообразных свойств кривых ползучести и восстановления материалов и всевозможных сценариев эволюции коэффициента поперечной деформации при ползучести, позволяет значительно расширить круг описываемых реологических эффектов и область применимости соотношения вязкоупругопластичности типа Максвелла и заслуживает дальнейшего исследования и применения в моделировании.

Ключевые слова: вязкоупругопластичность, ползучесть, физическая нелинейность, линейная вязкоупругость, кривые ползучести и восстановления, объемная ползучесть, кривые осевой и поперечной ползучести, параметр вида деформированного состояния, коэффициент Пуассона, ауксетики, индикаторы применимости, полимеры, композиты DOI 10.55652/1683-805X_2024_27_1_20-48

Hybridization of the linear viscoelastic constitutive equation and a nonlinear Maxwell-type viscoelastoplastic model, and analysis of evolution scenarios of the transverse strain coefficient under creep

A.V. Khokhlov1,2,3

1 Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119192, Russia 2 Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics, Moscow, 119991, Russia 3 Ammosov North-Eastern Federal University, Yakutsk, 677027, Russia In this work, a generalization of a physically nonlinear Maxwell-type viscoelastoplastic constitutive equation with four material functions is formulated, whose general properties and range of applicability were discussed in a series of our previous studies. In order to expand the range of rheological effects and materials that can be described by the equation, it is proposed to add a third strain component expressed by a linear integral Boltzmann-Volterra operator with arbitrary functions of shear and volumetric creep. For generality and for the convenience of using the model, as well as for fitting the model to various materials and simulated effects, a weight factor (degree of nonlinearity) is introduced into the constitutive equation, which allows combining the original nonlinear equation and the linear viscoelastic operator in arbitrary proportions and controlling the degree of different effects simulated. Equations are derived for families of creep curves (volumetric, shear, longitudinal and transverse) induced by the proposed constitutive equation with six arbitrary material functions, and an expression is obtained for the transverse strain coefficient as a function of time. Their general properties and dependence on loading parameters and characteristics of all material functions are studied analytically and compared with the properties of similar relations generated by two combined constitutive equations separately. New qualitative effects are identified which can be described by the new constitutive equation in comparison with the original ones, and it is verified that the generalization eliminates some shortcomings of the Maxwell-type viscoelastoplastic constitutive equation, but retains its valuable features. It is confirmed that the proposed constitutive equation is capable of simulating sign alternation, monotonic and nonmonotonic changes in transverse deformation and transverse strain coefficient under constant stress, and their stabilization over time. Generally accurate estimates are obtained for the variation range, monotonicity and nonmonotonicity conditions of Pois-son's ratio, and its negativity criterion over a certain time interval. It is proven that neglecting volumetric creep (the postulate of volumetric elasticity), which simplifies the constitutive equation, greatly limits the range of possible evolution scenarios of the transverse strain coefficient in time: it increases and cannot have extremum and inflection points. The analysis shows that the proposed constitutive equation provides ample opportunities for describing various properties of creep and recovery curves of materials and various evolution scenarios of the transverse strain coefficient during creep. It can significantly expand the range of described rheological effects, the range of applicability of the Maxwell-type viscoelastoplastic equation, and deserves further research and application in modeling.

Keywords: viscoelastoplasticity, creep, physical nonlinearity, linear viscoelasticity, creep and recovery curves, volumetric creep, axial and transverse creep curves, deformation mode parameter, Poisson's ratio, auxetics, applicability indicators, polymers, composites

© Хохлов А.В., 2024

1. Введение

Для выбора адекватных определяющих соотношений (ОС) для вязкоупругопластичных материалов, определения арсенала возможностей и области применимости ОС, для корректной обработки опытных данных и разработки методик идентификации материальных функций и параметров выбранного ОС необходимо системное аналитическое изучение общих свойств кривых нагружения и разгрузки, релаксации, ползучести при ступенчатых программах нагружения, порождаемых ОС с произвольными материальными функциями [1-10], необходимо исследование влияния параметров нагружения и характеристик материальных функций, выявление необходимых условий (индикаторов) применимости ОС к моделируемому материалу.

В цикле работ [4-10 и др.] такой анализ проведен для физически нелинейного определяющего соотношения

г

) = Е (о(г)) + п"11V (о(т))ат, или

о (1)

е = Е"1[^'(о)6 + т"1V(о)], I > 0,

связывающего (в одномерном случае) деформацию е(0 с историей изменения напряжения о(т), т е [0; г], в изотермических процессах деформирования стабильных реономных материалов (напряжение и время предполагаются безразмерными). В определяющее соотношение (1) входят две возрастающие материальные функции ^(х), V(x), х е М (ограничения на них приведены в п. 2) и две постоянные: Е, п > 0. Модуль упругости Е и коэффициент вязкости п явно выделены из материальных функций для учета влияния температуры в форме Е=Е(Т), п = п(Т [5]. Определяющее соотношение (1) основано на разложении полной деформации в сумму упругой и вязкопласти-ческой компонент: е = ее + еу, ее = ^(о)/Е, еу = V (о)/ п. Оно нацелено на описание комплекса эффектов, типичных для нестареющих материалов, обладающих наследственностью и пластичностью, высокой скоростной чувствительностью и, возможно, разносопротивляемостью. Определяющее соотношение (1) сочетает относительную простоту и широту области применимости: оно обобщает ряд классических моделей (за счет произвольности материальных функций ^(х) и V(x)) и описывает весьма широкий круг реологических эффектов, типичных для многих реономных материалов, проявляющих вязкоупругие и пластичес-

кие свойства [4-10]. Обобщение определяющего соотношения (1) на трехосное напряженное состояние приведено в [9] (см. определяющее соотношение (7) ниже).

Определяющее соотношение (1) обобщает (включает) классические степенные модели вязкого течения и ползучести (обзор и библиографию по этим темам см. в работах [4, 5, 8]), реологические модели Гершеля-Балкли и Шведова-Бингама и частный случай модели Соколовского-Малверна. В случае ^(х) = 0, V(x)=х|х|п-1, п > 1, определяющее соотношение (1) дает степенной закон течения (модель Нортона-Бейли), самый популярный (в силу простоты) в теории ползучести, вязкопластичности, гидродинамике неньютоновых жидкостей и реологии полимеров [11-41]. Он используется для моделирования зависимости скорости установившейся ползучести от напряжения [11-19, 24, 25, 29], течений степенных жидкостей [20-24], сверхпластического течения материалов [32-40], движения лавин и селей [41]. Задав ^(х) = х и V(x)=х|х|п-1, получим модель с линейной упругостью и степенной вязкостью, которая применялась в ряде работ для моделирования ползучести и сверхпластичности и решения конкретных задач [8-10, 13, 34, 42-45]. В статьях [46, 47] определяющее соотношение, родственное ОС (1), положено в основу модели сдвигового течения тиксотропных вязкоупругих жидкостей, учитывающей влияние эволюции структуры на вязкость и модуль сдвига и влияние процесса деформирования на эту эволюцию. Общая тензорная формулировка нелинейных определяющих соотношений максвелловского типа для больших деформаций вязкоупругих сред, родственных ОС (1), описание кинематики, термодинамические аспекты и способы конкретизации ОС изучались в работах [48-53]. В них внимание было сосредоточено на описании поведения жидкостей, обсуждении экспериментов и эффектов, присущих жидкостям (расплавам и растворам полимеров и т. п.), авторы не рассматривали кривые ползучести, релаксации и деформирования, порождаемые определяющим соотношением, не ставили многих вопросов, специфичных для механики деформируемого твердого тела, не анализировали соответствующие феноменологические ограничения на материальные функции и параметры ОС (1) и способы их идентификации. Определяющее соотношение (1) с произвольными материальными функциями Дх) и V(x) до работ [4-10] системному исследованию и аттестации не подвергалось.

Таким образом, определяющие соотношения (1), (7) обобщают несколько общеупотребительных моделей и описывают широкий круг реологических эффектов (см. подробнее п. 2 и [4-10]). Однако наряду со многими достоинствами у соотношений (1), (7) есть и особенности, ограничивающие область применимости: определяющее соотношение (1) не способно описывать некоторые наблюдаемые эффекты. Например, в [7-9] доказано, что: 1) определяющее соотношение (1) моделирует только ползучесть с постоянной скоростью (установившуюся ползучесть, характерную для многих пластичных металлов и для полимеров в вязкотекучем состоянии) и не способно описывать стадии замедленной и ускоренной ползучести, а также ограниченную ползучесть, свойственную, например, многим полимерам; 2) определяющее соотношение (1) не описывает восстановление после полной разгрузки («обратную ползучесть», «упругое последействие»), т.е. процесс постепенной релаксации накопленной деформации с выходом на некоторый постоянный уровень при г ^ да, как это наблюдается в испытаниях многих материалов (например для сетчатых полимеров, для костной ткани); определяющее соотношение (1) описывает только мгновенное восстановление упругой части деформации, «высокоэластичная» компонента деформации, обеспечивающая постепенность убывания, полностью отсутствует в модели (1); 3) определяющее соотношение (7) не может моделировать материалы, у которых наблюдается немонотонность коэффициента поперечной деформации при постоянной нагрузке как функции времени (даже линейная теории вязкоупругости способна описывать наличие точек экстремума у коэффициента поперечной деформации [9]); 4) при циклическом нагружении за пределом упругости определяющее соотношение (1) всегда дает рэтчетинг с постоянной скоростью — «неограниченное» нарастание пластической деформации без стабилизации и приспособляемости, циклическое разупрочнение.

В связи с обилием достоинств и возможностей определяющего соотношения (1) и наличием нескольких недостатков, целесообразно обобщить ОС так, чтобы сохранить достоинства, но устранить отмеченные недостатки и расширить круг описываемых им реологических эффектов и его область применимости. В этом заключается основная задача данной статьи (см. п. 3).

Важнейшими видами одноосных испытаний, позволяющих выявить и исследовать разные ас-

пекты поведения материала, обнаружить признаки нелинейности в его поведении и собрать достаточно богатую информацию для выбора и идентификации определяющего соотношения, являются испытания на ползучесть при постоянной нагрузке и восстановление после разгрузки (обратную ползучесть) [4, 7, 11-17, 54, 55] для разных уровней напряжения и длительностей стадии нагружения ô, T > 0, т.е. изучение отклика материала (образца) s(t; ô, T) на прямоугольный импульс напряжения

ô(t; ô, T) = ô [h(t) - h(t — T)], t > 0, (2) где h(t) — функция Хевисайда, мгновенную разгрузку и выдержку при o(t) = 0, t > T.

Еще одна задача статьи — вывести уравнения семейства кривых ползучести и восстановления, порождаемых новым определяющим соотношением (10) с шестью произвольными материальными функциями при одноосных нагружениях вида (2) (при растяжении, сжатии и сдвиге), и выражение для коэффициента поперечной деформации при ползучести в зависимости от времени, аналитически исследовать их общие свойства и влияние на них параметров нагружения и характеристик всех материальных функций, выявить новые качественные свойства (эффекты), которые позволяет описывать более общее определяющее соотношение (10) по сравнению с определяющими соотношениями (1), (7). В дальнейшем найденные свойства будут использованы для разработки методик идентификации нового определяющего соотношения (10) и поиска индикаторов его применимости по экспериментальным кривым ползучести и восстановления и коэффициенту поперечной деформации материалов, как это было сделано для определяющего соотношения (1) в работах [4-10, 55].

Коэффициент поперечной деформации реономных материалов v = —sSy при одноосном нагружении не постоянен, а зависит от времени (от продольной деформации S||(t)) и программы нагружения. Зависимости поперечной и объемной деформаций s± и 0 от времени и осевой деформации, поведение и диапазоны значений коэффициента поперечной деформации для упомянутых классов (изотропных) реономных материалов весьма разнообразны даже в испытаниях на ползучесть при постоянной нагрузке или на релаксацию [56-95]. У большинства металлов, многих стекол, полимеров (например полиэтиленов высокой плотности, эпоксидных смол, полиме-

тилметакрилата (ПММА) и т.п.) и порошковых композитов наблюдается монотонное возрастание V с ростом б||(0 [63, 64, 67, 72, 75, 76] (и, порой, убывание объемной деформации при растяжении). У многих реономных материалов — как высокоэластичных, так и достаточно хрупких (твердое топливо, асфальтобетон, АБС-пластики, чугун и т.п.) — наблюдается убывание v(í), связываемое обычно с необратимым изменением объема при растяжении или сжатии [56, 58, 59, 66, 70, 74, 77, 78, 81]. В последние три десятилетия обнаружены, активно конструируются и исследуются новые материалы (как правило, упругие) с отрицательным коэффициентом поперечной деформации (ауксетики) [82-91]. У некоторых материалов объемная деформация и коэффициент поперечной деформации изменяются немонотонно и меняют знак [58, 59, 65, 79, 80, 86]. Подробные обзоры см. в [92, 93]. Объемную ползучесть, изменение коэффициента поперечной деформации и вида напряженного или деформированного состояний и типичные механические эффекты, связанные с ними, следует учитывать при обработке и интерпретации кривых испытаний наследственных материалов (в частности методами инденти-рования) и при выборе и идентификации определяющего соотношения для моделирования их поведения.

Ниже использованы следующие сокращения и ключевые обозначения: ОС — определяющее соотношение, МФ, МП — материальные функции и параметры определяющего соотношения, ФП — функция ползучести, КПВ — кривые ползучести и восстановления при нагружениях вида (2); 8 = о - о01, е = г - е01 — девиаторы тензоров напряжений и деформаций о(0 и г(0; о0(0 = ои(г)/3, 3е0 = 9(0 = ей(0 — среднее напряжение и объемная деформация 9; о(г) = (1.5..)0 5, е(г) = ((2/3)ву. х в. )05 — интенсивности напряжений и деформаций; Е(х), У(х), х > 0, и Е0(х), Vo(x), х е (ю_, ю+), и Е, п, Е0, п0 > 0 — материальные функции и параметры ОС (1), (7) и (10), у = 1/п, с = 1/Е, у0 = 1/п0, с0 = 1/Е0 ; о_ < 0 и о+ > 0 — нижняя и верхняя грани множества нулей функции У(х) в ОС (1), параметры ОС (1), играющие роль пределов упругости и порогов ползучести материала при сжатии и растяжении (а также грани множества нулей функции У0(х) в трехмерных ОС (7) и (10)); П(1) и П0(0 — функции сдвиговой и объемной ползучести в ОС (3), (9) и (10); V =

_ е ±/ец — коэффициент поперечной деформации, ец (г) = еп(1) и е± = е22 = е33 — продольная и поперечная деформации; о — уровень напряжения Оц(0, при котором изучаются ползучесть и коэффициент поперечной деформации, г := sgn о = ±1; £(1; о) = 9/е — параметр вида деформированного состояния (ВДС), /(х) — функция из (22) и (40); X, в, Х0, р0 > 0, к е (0; в), к0 е (0; в0) — параметры классической модели Кельвина (32); и, V е (0; 1), В, В0 > 0, А, А0 > 0 — параметры фрактальной модели Максвелла (34).

2. Об ограничениях на материальные функции определяющего соотношения (1) и области его применимости

Материальная функция Е определяет в определяющем соотношении (1) упругую деформацию. Минимальные первичные ограничения на нее: Е(х) — непрерывная (строго) возрастающая функция с кусочно-непрерывной производной на некотором интервале х е (ю_, ю+), ю_ю+ < 0, такая что Е(0) = 0. Эти условия обеспечивают совпадение знаков напряжения и упругой деформации ее(о) и соблюдение условия ее(0) = 0. Из строгого возрастания Е(х) следует возрастание ее(|о|) и энергии упругой деформации с ростом |о| и существование обратной к Е функции / Функция вязкости V (х)/п в определяющем соотношении (1) управляет вязкопластическими свойствами: она регулирует память материала, скорость диссипации, релаксации, ползучести и накопления пластической деформации, чувствительность напряжения (в частности мгновенного модуля и предела текучести) к скорости деформации, длительную прочность [4-10]. Минимальные ограничения на нее: ^х) — непрерывная (нестрого) возрастающая функция на интервале (со_, ш+), такая что ^0) = 0. Эти ограничения на материальные функции обеспечивают, в частности, возрастание диаграмм деформирования и кривых ползучести, убывание кривых релаксации и длительной прочности, положительность объемной деформации при одноосном растяжении, описание комплекса реологических эффектов, типичных для вязкоуп-ругопластичных материалов (см. ниже), и термодинамическую согласованность определяющего соотношения, т.е. положительность работы напряжения о(т) в произвольном процессе деформирования и неотрицательность и возрастание диссипации о(т)]: Щ(1) = о(1 V(о(1))/п > 0. Если

ю+ и ю_ конечны, они могут быть интерпретированы как пределы прочности при растяжении и сжатии (как материальные параметры). Математические свойства оператора (1), обзоры литературы и родственных (1) моделей, применяемых в теории ползучести, сверхпластичности и механике полимеров, учет влияния температуры и обобщение определяющего соотношения (1) на трехосное напряженное состояние приведены в работах [4-10]. Эти работы посвящены анализу свойств семейств базовых квазистатических кривых (кривых релаксации и ползучести с произвольной начальной стадией нагружения до заданного уровня, ползучести при ступенчатых нагру-жениях, длительной прочности, диаграмм деформирования при постоянных и кусочно-постоянных скоростях деформации или нагружения, при циклическом нагружении), порождаемых определяющим соотношением (1) с произвольными материальными функциями ^(х) и V(x), поиску ограничений на материальные функции, обеспечивающие адекватное моделирование основных реологических эффектов, выявлению теоретико-экспериментальных индикаторов (не)применимости определяющего соотношения (1) и тех эффектов, которые оно принципиально не может описать ни при каких материальных функциях.

Системное исследование определяющего соотношения (1), проведенное в цикле работ [4-10] и др., показало, что его можно применять для описания комплекса основных реологических эффектов, типичных для вязкоупругопластичных материалов, обладающих памятью, высокой чувствительностью к скорости нагружения, и, возможно, разносопротивляемостью. Для данных эффектов характерны следующие особенности механического поведения: 1) возрастающие кривые нагру-жения с постоянной скоростью, которые могут быть как выпуклыми вверх, так и могут обладать точкой перегиба; 2) положительная скоростная чувствительность; 3) монотонное убывание и выпуклость кривой разгрузки или наличие на ней точки максимума или точки перегиба (в зависимости от скорости и уровня нагружения); 4) отсутствие восстановления (релаксации деформации) после импульса нагрузки, превышающей предел упругости, и полной разгрузки; 5) существенное влияние длительности и скорости нагружения на величину пластической деформации; 6) выраженная стадия течения при постоянном напряжении на диаграммах деформирования с постоян-

ной скоростью и возрастающая зависимость предела текучести от скорости; 7) «неограниченное» нарастание пластической деформации при циклическом нагружении за пределом упругости (рэт-четинг без стабилизации и приспособляемости, циклическое разупрочнение); 8) ползучесть с постоянной скоростью; 9) релаксация напряжения до нулевого или ненулевого значения; 10) возрастание податливости и скоростной чувствительности, увеличение скоростей диссипации, релаксации, ползучести и рэтчетинга с ростом температуры. К таким материалам (в определенных режимах деформирования) относятся, например, многие полимеры, их расплавы и растворы, твердые топлива, асфальтобетоны, высокомодульные полиэтиленовые нити, геоткани и георешетки, льды и мерзлые грунты, титановые и алюминиевые сплавы, углеродные и керамические материалы при высоких температурах и др.

Анализ свойств кривых, порождаемых определяющим соотношением (1) [4-10], показал, что следует различать два основных случая, в которых ОС (1) (или моделируемый материал) ведет себя по-разному: 1) | V(x)| > 0 при всех х Ф 0, 2) V(x) = 0 на некотором отрезке 2 := [О", о+ ] с (ю_, ю+), о_ < 0, о+ > 0, о+ Ф о_ (о_ и о+ — нижняя и верхняя грани множества нулей материальной функции V(x)). Во втором случае, пока о(г) е 2, определяющее соотношение моделирует упругое поведение материала: диссипация мала и петли гистерезиса на кривой нагружения-разгрузки нет, релаксация и ползучесть отсутствуют, кривая деформирования не зависит от скорости нагруже-ния (или деформации) при е е [е_, е + ], где е± := ^(о± )/Е. Таким образом, о_ и о+ играют роль пределов упругости (и порогов ползучести) материала при сжатии и растяжении, а при о > о+ (или о < о_) диссипация существенна и начинают проявляться и вязкопластические свойства. Например, в статье [10] по данным испытаний комплексной полиэфирной нити найден предел упругости, равный одной десятой предела прочности, и апробированы методики идентификации определяющего соотношения (1), разработанные в [8].

Именно использование материальных функций второго рода, т.е. с о+ > 0, очень удобно для учета особенностей проявления нелинейно вязко-упругопластических свойств в данных испытаний конкретного материала, а именно для подключения к определяющему соотношению линейной вязкоупругости (3) модели нелинейной вязкоплас-

тичности (1) и «хирургической» настройки этого подключения: благодаря материальным параметрам о+ и V! можно добавить к ОС (3) нелинейную вязкопластичность, начиная с любого напряжения о > о+ > 0 и в любой пропорции.

3. Обобщение определяющего соотношения (1) посредством скрещивания с определяющим соотношением линейной вязкоупругости

Естественный способ обобщить определяющее соотношение (1), так чтобы сохранить его достоинства, но устранить отмеченные недостатки и расширить круг описываемых им реологических эффектов и его область применимости, — добавить в ОС (1) третью компоненту деформации, вязкоупругую, высокоэластичную деформацию, т.е. последовательно присоединить к нелинейной модели Максвелла линейно вязкоупругий элемент (параллельное соединение тоже перспективно, но повлечет искажение уже имеющихся у ОС (1) хороших свойств): е = ее + еу + е^. Этот вяз-коупругий элемент можно выбирать по-разному: можно добавить фрактальный элемент Скотт-Блэра, модели Фойгта или Кельвина и т.п. Но наиболее разумным кажется максимальное обобщение в этом направлении, т.е. добавление слагаемого, управляемого не двумя-тремя параметрами, а выражаемого в общем виде линейным интегральным оператором Больцмана-Вольтерры с произвольной функцией ползучести: г г

е(0 = |П(г _ т)ёа(т), о(1) = |Щ _ х)ёе(т), г > 0.(3)

0 0

(Если, конечно, удастся достаточно глубоко проанализировать свойства столь сложного определяющего соотношения, зависящего от трех произвольных материальных функций, и научиться эти свойства регулировать с целью описания типичных данных испытаний материалов.) Для общности и удобства управления моделью, ее настройки на разные материалы и списки моделируемых эффектов введем весовой множитель V е [0; 1] (фактор нелинейности), позволяющий «смешивать» определяющее соотношение (1) и оператор линейной вязкоупругости (3) (и моделируемые ими эффекты) в любых пропорциях:

г

е(1) = wE (о(г)) + wn_1 IV (а(т))ёт

0

?

+ (1 _ V)|П(г _ т)ёа(т), г > 0. (4)

0

Новое определяющее соотношение (4) представляет собой гибрид (и одновременное обобщение) нелинейного ОС (1) и линейного ОС вязкоупругости (3) (при V = 0 нелинейность отключается и получается ОС линейной вязкоупругости, а при V = 1 получается ОС (1)). Параметр V позволяет регулировать вклады определяющих соотношений (1) и (3) и тем самым регулировать выраженность моделируемых ими эффектов.

Далее предполагаются минимальные ограничения на функцию ползучести П(г), г > 0, в определяющем соотношении (4), наследуемые из определяющего соотношения вязкоупругости (3) [1, 54, 96]: она положительна, дифференцируема, возрастает и выпукла вверх на (0; да). Например, функция ползучести

П = Аги, и е (0; 1), А > 0, (5)

задает так называемый «фрактальный» элемент «фрактальных» моделей с оператором дробного дифференцирования; она обладает свойством П(0) = 0, характеризующим нерегулярные модели вязкоупругости (соответствующая функция релаксации имеет особенность при г = 0: Л(г)=ВГи) [54, 96]. Семейство функций ползучести

П(г) = аг + в _ кв_Х, X > 0, а, в > 0, к е [0, в], (6) порождает при к е (0; в), а, в > 0, все четыре регулярные структурные модели из четырех элементов (они эквивалентны), а при а = 0 — две регулярные модели из трех элементов (модели Кельвина и Пойнтинга-Томсона). Поскольку П(0) = в - у, то функция ползучести (6) порождает нерегулярные модели, когда к = в: при Хв = 0 — ньютоновскую жидкость, при а = 0--модель Фойгта,

при а > 0 — обе сингулярные модели из трех элементов. При к = 0 функция ползучести (6) дает линейную модель Максвелла. Эти функции ползучести будут использованы для иллюстрации свойств кривых ползучести и восстановления, порождаемых определяющим соотношением (4).

Обобщение определяющего соотношения (4) на трехосное напряженное состояние в случае изотропных сред может быть произведено по той же стандартной схеме, что и обобщение ОС (1) на основе постулата об отсутствии перекрестного влияния шаровых и девиаторных частей тензоров напряжений и деформаций о(г) и г(г) друг на друга (т.е. независимости объемной деформации от касательных напряжений, а сдвиговых деформаций от среднего напряжения) и постулата о пропорциональности девиаторов 8 = о - о01, е = г - е01

[9]:

г, (0 = 38(00-40(0 + 3 0(05,, (7)

г(0 = Мо = Е-1Е (о(?)) + п1К (о(т))ёт,

о

0(0 = М оОо = Е-^о^)) + ПО1 |Ко(оо(т))ат

(8)

где Оо(0 = огг (0/3, 3го = 0(0 = г„(0, о(Г) = (1.55, х sij)о5, ) = ((2/3)е,е, )о 5— среднее напряжение, объемная деформация и интенсивности напряжений и деформаций. Это определяющее соотношение выражает г(0 через историю а(0 и управляется двумя парами материальных функций Е(х), У(х), х > о, и Ео(х), Уо(х), х е (ю-, ю+), ограничения на которые описаны в п. 2, и параметрами Е, п, Ео, По > о. Определяющее соотношение (7) можно скрестить по описанной схеме с общим определяющим соотношением линейной вязкоупругости для изотропных сред

г , (Г) = е, + го5 ,, е, (г) = 3П , (Г), 0 = П0оо, (9)

Пу = |П (г - т)ёу(т), П о у = |П о(^ - т)ёу(т), Г > о,

о о

с двумя произвольными материальными функциями П(0 и По(0 (функциями сдвиговой и объемной ползучести), т.е. рассмотреть определяющее соотношение, выражающее г(0 через историю а(0 следующим образом:

г , (г) = е,, (Г) + 3 0^ )8 ,,

(1о)

3 Мо , ч 3 ,, , .

е"= I* оо^) + !(1 - ),

,

0 = »Мооо + (1 - w) П 0оо.

Определяющее соотношение (Ю), как и определяющие соотношения (7) и (9), описывает процессы изотермического деформирования нестареющих изотропных вязкоупругих сред, связывая истории изменения компонент девиаторов 8, е и первых инвариантов оо(0 и го(0 тензоров напряжений о(0 и малых деформаций г(0 в произвольной точке тела. Определяющее соотношение (1о) содержит шесть материальных функций: три, управляющих формоизменением (Е, У, П), и три — объемной деформацией (или лишь одну-две в случае упрощений: например, при постулировании упругой или линейно вязкоупругой связи объемной деформации со средним напряжением).

Системное исследование трехмерного определяющего соотношения (Ю) и изучение возможно-

стей по моделированию трехосных эффектов (в частности, сценариев изменения во времени коэффициента поперечной деформации при ползучести и иных видах нагружения, влияния объемной деформации и гидростатического давления на диаграмму растяжения-сжатия [9, 56, 9296]) — это темы последующих статей. Начинать анализ следует с одномерного оператора (4). В случае одноосного («чистого») сдвига, когда у тензора напряжений отличны от нуля только компоненты 012 = о21, будет оо(0 = о, 8(0 = а(0, и из определяющего соотношения (1о) следует, что 0(0 = о, е(0 = е(0, отличны от нуля только компоненты г12 = г21 и они связаны с о12(0 оператором вида (4). Поэтому все утверждения, доказанные в п. 4 про кривые ползучести и восстановления (и нагруже-ния), порождаемые одноосным определяющим соотношением (4), автоматически переносятся на определяющее соотношение (1о) в случае сдвига (а также в случае гидростатического нагружения без формоизменения: для семейств объемных кривых ползучести 0(^, оо) и кривых напряжений оо(0, Ь) все свойства сохраняются при замене тройки материальных функций Е, V, П на материальные функции Ео, V), По).

4. Кривые ползучести и восстановления, порождаемые одноосными определяющими соотношениями (1) и (4)

При нагрузке о(^) = о ), I > о, определяющее соотношение (1) порождает семейство кривых ползучести

гЦ, о) = г(о^ + сЕ(о), или (11)

г(Г, о) = с[У(о)т-Ь + Е(о)], где с=Е-1, г (о) = п- V(о) = ст-У (о), тг := п/Е — время релаксации линейной модели Максвелла с У(х)=Е(х) = х (тг удобно использовать для обез-размеривания времени).

Если У(х) = о на некотором отрезке [о_, о+], о_ <о, о+ > о, то при о е[о-, о+ ] определяющее соотношение (1) моделирует нелинейно упругое поведение материала и при о е[о-, о+ ] ползучесть отсутствует (пределы упругости на сжатие и растяжение совпадают с порогами ползучести).

Если V(о) Ф о, то все кривые ползучести линейны по времени при ^ > о, т.е. при любых материальных функциях определяющее соотношение (1) моделирует только ползучесть с постоянной скоростью (как и линейная модель Максвелла), скорость | г(о)| возрастает с ростом |о|. Так как

V(о) > 0 при о > 0 возрастает, то кривая ползучести (11) возрастает по г (при о > 0) и по о, что и наблюдается в испытаниях стабильных материалов.

Выраженная стадия ползучести с постоянной скоростью характерна для многих пластичных металлов, полимеров в вязкотекучем состоянии и для материалов в состоянии сверхпластичности. Кривые ползучести полимеров имеют стадию установившейся ползучести лишь при достаточно высоких температурах, когда полимер находится в вязкотекучем состоянии. Определяющее соотношение (1) не способно описывать стадии замедленной и ускоренной ползучести, а также ограниченную ползучесть.

Кривые ползучести и восстановления, порождаемые определяющим соотношением (1), — его отклики на прямоугольный импульс нагрузки (2) с параметрами Т> 0, о > о + > 0. Подстановка (2) в (1) дает уравнение семейства кривых ползучести и восстановления:

е(г; о, Т) = г (о)1 + с¥(о) при г < Т, е(г; о, Т) = р(о, Т) при г > Т,

г (о) = (о),

(12)

р(о, Т) = п_У (о)Т = ст_У (о)Т.

(13)

Скачок деформации в точке г=Т равен -с¥(о), с=Е-1, при г > Т деформация становится постоянной и равной накопленной за время Т деформации ползучести р(о, Т). При разгрузке исчезает лишь упругая деформация е( + 0) = с¥(о), а вся накопленная деформация ползучести оказывается необратимой. Именно такое поведение демонстрируют многие металлы (и другие материалы) при достаточно высоких температурах. Определяющее соотношение (1) не описывает «обратную ползучесть», т.е. процесс постепенной релаксации накопленной деформации с выходом на некоторый постоянный уровень при больших значениях времени. Определяющее соотношение (1) описывает лишь мгновенное восстановление (предельный, идеализированный случай) упругой деформации. Остаточная деформация р(о, Т) пропорциональна длительности стадии нагружения Т, зависит лишь от материальной функции V (как и скорость ползучести г (о)) и возрастает с ростом о. Материальная функция ¥ не влияет на скорость ползучести, ее скачки и пластическую деформацию р(о, Т), а V не влияет на скачки де-

формации. Это позволяет определить материальные функции у^х) и ¥(х)/Е по отдельности по кривым ползучести и восстановления материала

[7].

В силу (12) след, оставленный финитным импульсом нагрузки (2), не стирается никогда, т.е. память модели (1) не затухающая, а «перманентная». Неспособность описывать материалы с затухающей памятью — недостаток определяющего соотношения (1), сужающий круг моделируемых материалов и процессов. Однако это говорит о том, что определяющее соотношение (1) способно описывать не только вязкоупругость, но и вязкопластичность. Эта гипотеза подтверждается наличием горизонтальных асимптот у диаграмм деформирования, порождаемых определяющим соотношением (1) при постоянной скорости деформации, т.е. участков течения при постоянном напряжении (без последующего упрочнения) — как это наблюдается у материалов в состоянии сверхпластичности [32-40] (для них характерна как раз ползучесть с постоянной скоростью и отсутствие восстановления после разгрузки).

Для примера на рис. 1, а приведены кривые ползучести и восстановления комплексной полиэфирной нити 110*2250 при растяжении по программе (2), проведенные в 2019 г. О.Н. Столяровым и А.В. Хохловым в Санкт-Петербургском политехническом университете Петра Великого. Предварительно были измерены базовые характеристики нити: линейная плотность нити 0 = 220 текс, удельная плотность материала нити у = 1360 кг/м3, модуль упругости 15.3 ± 1.1 ГПа, усилие разрыва N = 150 ± 5 Н (предел прочности при растяжении о* = 960 ± 35 МПа, относительная прочность нити равна 0.7 Н/текс), деформация при разрыве 11 ± 0.75 %. На рис. 1, а приведены кривые ползучести и восстановления образцов нити (длина рабочей части образца равна 100 мм) для разных уровней нагрузки: кривая / соответствует напряжению о = ог- = ш*/10 (от 10 до 50 % от предела прочности). Идеальная программа (2) была реализована следующим образом: «мгновенное» нагружение (точнее, очень быстрое: в течение 1-3 с, со скоростью 1500 Н/мин) образца до заданного уровня напряжения о, выдержка в течение времени г* = 4?, I = 3600 с (1 ч), «мгновенная» разгрузка и последующая выдержка при почти нулевой нагрузке (2 Н) в течение времени 2г для анализа процесса восстановления.

Рис. 1. Кривые ползучести и восстановления полиэфирной нити (а) и полиамида-6 (б) при растяжении для разных уровней нагрузки (цветной в онлайн-версии)

Данные этих испытаний определяющее соотношение (1) хорошо приближает за исключением начальных участков кривой ползучести и стадии восстановления. При этом данные испытаний по-лиамида-6 при растяжении (рис. 1, б) определяющее соотношение (1) описать не может по указанным выше причинам (ползучесть с непостоянной скоростью, выраженная обратная ползучесть). Эти испытания проведены С.Б. Сапожни-ковым в Южно-Уральском федеральном университете по программе: быстрое нагружение до о = оi = 1о, 2о, 25, 3о МПа, наблюдение ползучести при постоянной нагрузке в течение 4 ч (кривые 1-4), «мгновенная» разгрузка и наблюдение восстановления при почти нулевой нагрузке в течение 4 ч. Для выбора уровней нагрузки предварительно были проведены испытания до разрушения при разных скоростях нагружения и найден условный предел прочности полиамида-6 в диапазоне скоростей нагружения от о.5 до 5о МПа/мин о* = 6о ± 5 МПа (истинное напряжение при разрыве о* = 8о ± 1о МПа, относительное удлинение при разрыве — от 2о до 5о %). Для полиамидов и подобных материалов полезно предлагаемое определяющее соотношение (4).

Так как отклик линейного определяющего соотношения (3) на программу нагружения о(?) = о ) имеет вид г(?, о) = о П(?), то определяющее соотношение (4) порождает семейство кривых ползучести

г(?, о) = wг (о)? + wcЕ (о) + (1 - w)о П (?). (14)

Так как w е [о;1], то семейство кривых ползучести (14) возрастает по о, что совпадает с типичными свойствами кривых ползучести структурно стабильных материалов. При о > о дополнительное слагаемое (1 - w)о П(?) возрастает по ? и выпукло вверх (т.к. П(?) возрастает и выпукла вверх). Поэтому кривая ползучести (14) возраста-

ет по ? и выпукла вверх при ? > о, как в линейной вязкоупругости, но уже не зависит линейно от напряжения о (как и первые два слагаемых (14)). При w > о.5 влияние первого слагаемого на скорость ползучести и накопление необратимой (остаточной) деформации значительно, и можно сделать кривую ползучести сколь угодно близкой к прямолинейной кривой ползучести (11) за счет увеличения w. Наоборот, при w ^ о можно сделать относительный вклад нелинейных по о слагаемых сколь угодно малым и придать семейству кривых ползучести любые формы, характерные для линейной вязкоупругости. Выпуклость кривой ползучести (14) означает, что определяющее соотношение (4), как и определяющее соотношение линейной вязкоупругости, не способно описывать ускоряющуюся ползучесть (третью стадию ползучести).

Отклик линейного определяющего соотношения (3) на прямоугольный импульс нагрузки (2) имеет вид

в(?) = о 5 (?; Т),

5(?; Т) := П(?) ) - П(? - Т) Щ7 - Т), ? > о.

В точке ? = Т кривая ползучести и восстановления г(?) имеет скачок - о П(о), а г(?) — скачок - о П (о). Уравнение кривой ползучести и восстановления при ? > Т:

г(?; о, Т) = о 5 (?; Т), (15)

5(?; Т) = П(?)- П(?-Т), ? > Т. Из требования нестрогого убывания кривой восстановления (15) (с любым Т) следует невозрастание П (?) [54, 96]. Поэтому на функцию ползучести в определяющем соотношении (1) следует накладывать ограничение: П(?) не имеет участков выпуклости вниз. Поскольку П (?) убывает на луче ? > о и П(?) > о, то существует предел V := П(да) > о. Так как функция (15) убывает и поло-

жительна (ограничена снизу), она имеет при t ^ да предел еш > 0 и = о S(да, T). Легко доказать, что £(да, T) = vT [54, 96], т.е. в случае v> 0 после полной разгрузки (бесконечно долго) сохраняется остаточная деформация = ovT. Это означает, что при v > 0 память интегрального оператора П, задающего определяющее соотношение (3), не затухает.

Можно доказать, что v > 0 у всех регулярных структурных моделей с четным числом элементов и всех сингулярных моделей из нечетного количества элементов [96]. Если функция ползучести ограничена (как у всех регулярных структурных моделей из четного числа элементов), то v = 0 и еш = 0. Может быть v = 0 и для неограниченной функции ползучести, например для степенной функции ползучести (5). У моделей (6) v = а и S(t; T) = aT + ^e-Xt, Ц = K(eXT- 1); в частности v > 0 при а > 0 (для модели Максвелла и ее последовательного соединения с моделью Фойгта); у модели Максвелла и ньютоновской жидкости к = 0 и s(t) = oaT = const при t> T, т.е. восстановления нет совсем. У моделей Фойгта и Кельвина a = 0, и потому кривая ползучести и восстановления (15) имеет вид s(t) = и = 0.

Кривая ползучести и восстановления определяющего соотношения (4) получается комбинированием откликов (12) и (15) определяющего соотношения (1) и линейного определяющего соотношения (3) на импульс нагрузки (2): при t< T s(t; о, T) задается уравнением (14), а при t > T

s(t; о, T) = wp(a, T) + (1 - w)oS(t; T), (16)

S(t; T) = n(t) -n(t -T), t >T.

Очевидно, оба слагаемых (16) возрастают по модулю с ростом |о| и | s(t; о, T) | возрастает по |о| и убывает по t при t> T (т.к. S(t; T) убывает). Эти свойства отражают типичные свойства кривых ползучести и восстановления стабильных материалов, т.е. определяющее соотношение (4) адекватно описывает эффект восстановления, в отличие от определяющего соотношения (1). При t ^ да существует предел (остаточная деформация, горизонтальная асимптота для (16))

(о, T) = wp(o, T) + (1 - w)ovT

= wn-1V (a)T + (1 - w)avT, (17)

v := П (да) >0. Он пропорционален длительности стадии нагру-жения T (это один из индикаторов применимости определяющего соотношения (4)), не зависит от

материальной функции ¥ и возрастает с ростом о. Если функция ползучести выбрана так, что V = 0, то остаточную деформацию (17) можно сделать сколь угодно малой, уменьшая параметр V, и тем самым «убрать» остаточную деформацию, которую дает определяющее соотношение (1), если настройка определяющего соотношения на данные испытаний конкретного материала этого требует.

В точке г=Т кривые ползучести и восстановления (14), (16) имеют скачок _wcF(о) _ (1 _ V) х П(0)о. Он равен по модулю скачку е(0+; о, Т) = wcF(о) + (1 _ w)П(0)о в точке г=0. Равенство этих скачков — еще один из индикаторов применимости определяющего соотношения (4): это свойство не всегда выполняется в испытаниях материалов. Если П(0) = 0 (такие линейные модели называются нерегулярными, у них много специфических свойств [54, 96]; к ним относятся, в частности, модель Фойгта, фрактальный элемент и все их последовательные соединения), то кривая ползучести и восстановления (15) непрерывна в точке г = Т, а скачок кривых ползучести и восстановления (14), (16) равен -wcF(о) и его можно сделать сколь угодно малым, уменьшая V.

На рис. 2, а приведены кривые ползучести и восстановления трех определяющих соотношений (4) с ¥(х) = х, ^х) = х |х|, Е = 50, п = 50 (тогда тг = 1), функции ползучести (5) с и = 1/3, А = 0.03 и тремя весовыми множителями V = 0, 0.5, 1 (красные, черные и голубые кривые) для нагру-жений (2) с Т = 10 и трех напряжений о = 0.1, 0.2, 0.3 (кривые 1-3). Так как П(0) = 0, то начальное значение е(0) = wcF(о), а кривые ползучести и восстановления (линейного) определяющего соотношения с V = 0 (красные кривые ползучести и восстановления) непрерывны в точке г = Т, и скачок любой кривой ползучести и восстановления модели с V = 0.5 (черные кривые) в 2 раза меньше скачка кривой ползучести и восстановления модели с V = 1 (т.е. модели (1)) для того же о. Так как V = П (да) = 0, то (о, Т) = 0 для всех кривых ползучести и восстановления (линейного) определяющего соотношения с V = 0, т.е. они сходятся при г ^ да к общей асимптоте е = 0. Остаточная деформация (17) модели с V = 0.5 в 2 раза меньше, чем у модели (1) (штрихпунктирные прямые — асимптоты кривых ползучести и восстановления 1-3).

На рис. 2, б приведены кривые ползучести и восстановления трех определяющих соотноше-

Рис. 2. Кривые ползучести и восстановления для трех уровней напряжения а = 0.1, 0.2, 0.3 (кривые 1-3), порожденные несколькими определяющими соотношениями вида (4) с Е(х) = x, V(x) = x|x|, E = 50, п = 50 и тремя разными весовыми множителями w = 0, 0.5, 1 (красные, черные и голубые кривые): а — для трех определяющих соотношений с функцией ползучести (5) с u = 1/3, A = 0.03; б — для трех определяющих соотношений с функцией ползучести (6) с а = 0, в = 0.07, к = 0.05, X = 0.25 (цветной в онлайн-версии)

ний (4) с теми же материальными функциями Б(х) = x, К(х)=x 1x1, Б = 50, п = 50 (хг = 1) с тремя разными весовыми множителями w = 0, 0.5, 1 (красные, черные и голубые кривые) для нагру-жений (2) с Т = 10 и трех напряжений а = 0.1, 0.2, 0.3 (кривые 1-3), но с другой функцией ползучести — вида (6) с а = 0, в = 0.07, к = 0.05, X = 0.25. Таким образом, для модификации определяющего соотношения (1) с теми же материальными функциями использована модель Кельвина с временем ретардации 1/^ = 4 = 4тг и временем релаксации (в - к)/(вХ) = 8/7; ее функция ползучести ограничена, П(да) = в, П(0) = в - к. Кривые ползучести этой линейной модели (красные линии) стремятся при t ^ да к асимптотам в = ав. £(?; Т) = к(еХТ - 1)е-х и кривые ползучести и восстановления этой модели (красные линии) имеют скачки П(0) а = (в - к)а в точках t = 0 и t = Т, а при t ^ да стремятся к общей асимптоте в = 0 (при любых материальных параметрах и любом а, т.к.

= аиТ = 0) со скоростью е-х (гораздо быстрее, чем у модели на рис. 2, а). Рисунок 2 наглядно показывает, сколь существенно отличаются кривые ползучести и кривые ползучести и восстановления определяющего соотношения (4) от кривых ползучести и кривых ползучести и восстановления определяющего соотношения (1) (голубые кривые) благодаря введению дополнительной компоненты деформации (и материальной функции П, которая управляет ею). Очевидно, изменение параметра «гибридизации» w е [0; 1] дает ши-

рокие возможности для регулировки формы кривых ползучести определяющего соотношения (4) (на рис. 2 синим цветом изображены кривые ползучести и восстановления 3', порожденные определяющим соотношением (4) с теми же материальными функциями, но с w = 0.8).

5. Кривые ползучести, порождаемые определяющим соотношением (1) при растяжении или сжатии, и эволюция коэффициента поперечной деформации при ползучести

Рассмотрим мгновенное одноосное нагруже-ние an(t) = a h(t), h(t) — функция Хевисайда (ее в дальнейшем будем опускать, полагая, что t > 0), т.е. on(t) = a = const, а остальные компоненты тензора напряжений равны нулю. Тогда a0 = (1/3) a h(t), девиатор напряжений — диагональный тензор s = (1/3) a h(t) diag(2, -1, -1) и a = | a|h(t). Вычисление операторов M и M0 дает

e(t; a) = Y V(| a |)t + cF(| a|),

0(t; a) = Y0V0

t + c0 F0

v J J

(18)

v J J

= V E

и T

где у = 1/п, с = 1/Б, у0 = 1/по, ПБ = с/у, т0 = п0/Б0 = с0/у0 — времена релаксации линейных моделей Максвелла (с К(х)=Б(х) = х и К0(х)=Е0(х)=х) с теми же материальными параметрами. Так как девиаторы в определяющем соотношении (7) пропорциональны, то девиатор

деформаций — тоже диагональный тензор е = zе(i) diag (1; -0.5; -0.5), где г := sgn о = ±1 и у тензора деформаций г = е + е01 отличны от нуля только диагональные компоненты:

е11(г; о) = ге(г)-

гуУ (|о|) +1 У0^0

г

+ zcF (|о|) + 1 с0 Fo Г |

1

г > 0,

(19)

е22(г; о) = е33 = — ге(г) + —

- 2 гуУ (|о|) +1 У0^0 Г |

- 1 ^(| о &+3 с0 I -3

(20)

Уравнения (18)-(20) задают семейства кривых сдвиговой, объемной, осевой и поперечной ползучести определяющего соотношения (7). Если У(х) = 0 на отрезке [0, о;], оs > 0 (или К0(о) = 0 на некотором отрезке [о_, о+], о- < 0, о+ > 0), то при о е[0, оs] (или при о/3 е [о-, о+ ]) определяющее соотношение (7) моделирует упругое поведение материала при сдвиге (при всестороннем сжатии), и ползучесть при сдвиге (или объемная ползучесть) отсутствует, пока | о | не превышает предел упругости (и порог ползучести) при сдвиге о.; > 0 (или пока | о/3| не превышает один из пределов упругости о+ или |о_| при всестороннем растяжении или сжатии). Если V(о) Ф 0 (или V0(о) Ф 0), то все кривые ползучести (18), а также (19) и (20), линейны по времени, т.е. определяющее соотношение (7) моделирует только установившуюся ползучесть; скорость сдвиговой ползучести г(о) = yV (| о |), а скорости объемной, осевой и поперечной:

Г)(о) := У0^0| -

гп(о) = zyV (| о |) + - У0^|-

1 (о) = -2 zyV (| о |) + 3 70^

Из положительности F и F0 и неотрицательности V и V) следует, что для любого о > 0 имеем г (о) > 0, г0(о) > 0 и г11(о) > 0, деформации е(г), 0(г) и ец(0 положительны и монотонно возрастают на всем интервале г > 0.

Из уравнений кривых ползучести (19), (20) найдем коэффициент поперечной деформации V := -е±(г; о)/еп(г; о):

v(t; о) = 3г8(г) + 20 = {[3гу V (| о |) - 2 у 0^ (о/ 3)]г 6 ге(г) + 20

+ 3zcF (| о |) - 2с0 Fo (о/ 3)} {[6 гу V (| о|)

+ 2 У0^(о/ 3)]г + 6 zcF (| о |) + 2с0 Fo(a/ 3)}-1. (21) Удобно выразить коэффициент поперечной деформации через параметр вида деформированного состояния £(г; о) = 0/е:

v(t; о) = / (£(г; о)), (22)

9

/ (х) = -1+-,

6 + 2 гх

:= 0(г; о) = У0^(о/ 3)г + ср Fo(о/ 3) ^ е(г; о) yV(|о|)г + cF(|о|) '

Из ограничений F(x) > 0, F0(x) > 0, V(x) > 0, V0(x) > 0 при х > 0 следует, что для любого о > 0 (будем рассматривать случай растяжения, т.е. г = 1) имеем 0 > 0 и £ > 0 при г > 0, а из (22) (в силу убывания /(х) на луче х> 0 и свойств /(0) = 0.5, /(+да) = -1) получаем точную оценку для коэффициента поперечной деформации (21), справедливую для любых материальных функций (и при сжатии, т.к.

г£ = |£|):

-1 < v(t; о) < 0.5, г > 0.

Пределы £(г; о) и v(t; о) при г ^ 0 зависят только от материальных функций F, F0 и от о:

£(0; о) =С0

Fo(о/ 3)

v(0; о) = / (£(0; о)) =

cF (о) '

3cF (о) - 2с0 Fo(о| 3) 6cF(о) + 2с0F0(a/3).

Пределы при г ^ да зависят от материальных функций V, V0, если V(о) Ф 0 (т.е. о > о; > 0):

£(да; о)=ЩУ?-.

yV (о)

(23)

v(да; о) = /(£(да; о)) = (о) - 2^0(о/3).

6yV (о) + 2У0^(о/3)

Если V(о) = 0, то £(да; о) = +да и v(да; о) = -1 при ^(о/3) Ф 0, а при V0(о|3) = 0 имеем £(да; о) = £(0; о), v(да; о) = v(0; о). Существование конечного предела v(да; о) означает наличие горизонтальной асимптоты у коэффициента поперечной деформации (21) (и у £(г; о) при V(о) Ф 0).

Коэффициент поперечной деформации (21) может быть отрицательным, поскольку возможно в± ^) > 0. Критерий отрицательности v(t) при растяжении имеет вид

3yV (a) - 2Y0V0

t + 3cF(a) - 2c0F0 I - I < 0. (24)

Для упругого материала (с V0(x) = 0 и V(x) = 0 при a < at = min{as;3a+})

2(t; a) =

c0 F0(a/ 3)

v(t; a) =

3cF (a) - 2c0 F)(a/ 3)

cF(a) ^ ' 6cF(a) + 2c0F0(a/3)

не зависят от времени (но зависят от a), а коэффициент поперечной деформации отрицателен, если c0F0(a/3) > 1.5cF(a).

Коэффициент поперечной деформации (21) зависит от времени, т.е. кривые ползучести (19) и (20) не подобны. Критерий постоянства v(t) при растяжении (т.е. постоянства 2(t) в силу (22)) налагает связь на материальные функции определяющего соотношения (9): 2(t) = k c некоторым k> 0 (v =f(k)), или

Y0V0 (-3 | t + c0 F0 [ J j = k[Y V (a)t + cF (a)], (25) t > 0.

В частности, тождество (25) выполняется для несжимаемого материала (с F0(x) = 0 и V0(x) = 0): тогда 2(t) = 0 и v(t) = 0.5 по (21). При kф 0 (т.е. v = 0.5) тождество (25) эквивалентно системе уравнений

Y0V0 (J| = kyV(a), c0F0 \Оj = kcF(a). (26)

Для любого ее решения a имеем v(t) =f(k) = const при t > 0 (в конкретном процессе, с заданными a и 2 = k ф 0). Если равенства (26) выполняются тождественно по a (т.е. рассматривается модель с двумя независимыми материальными функциями, а не с четырьмя), то коэффициент поперечной деформации не зависит как от времени, так и от a. Если допустить, что k = k(a), то исключив k делением уравнений (26), получим критерий независимости коэффициента поперечной деформации лишь от времени при фиксированном a:

g (a) = 0,

g(x) := cF(| x |)Y0V, ^3| - c0F0 ^3j yV(| x |).

Если материальные функции связаны тождеством g(x) = 0 на некотором интервале (например x > 0),

т.е. только три материальные функции независимы, то коэффициент поперечной деформации не зависит от времени при всех а из этого интервала, но зависит от а.

Докажем, что для любых материальных функций коэффициент поперечной деформации (21) — монотонная функция t. Дифференцируя (22), найдем

V ^) = -184 ^ )(6 + 2^ ))-2,

2 (t) = g (a)[YV (|a|)t + cF (|a|)]-2.

(27)

Знаки v(t) и -2,(t) одинаковы (при a > 0), и потому совпадают интервалы монотонности v(t) и -2(t). В силу (27) знак 2(t; o) совпадает со знаком g (a) на всем луче t > 0. У 2(t) и v(t) нет точек экстремума: если g(a) > 0, то 2(t) строго возрастает (и выпукла вверх), а v(t) убывает на всем луче t > 0, а в случае g (a) < 0 2(t) убывает (и выпукла вниз), а v(t) возрастает. Если g(a) = 0, то v(t) = const для любого корня a этого уравнения, как доказано выше.

На рис. 3, а приведены графики коэффициента поперечной деформации (21) (кривые 1-5) и параметра 2(t; о) (22) (штриховые кривые 1-5 — графики 2(t)/Ю) для уровней напряжения a = 1, 2, 3, 4, 5, порожденные определяющим соотношением (9) с материальными функциями F(x) = xm, V = x | x Г1, F0 = xM, V0 = x | x |N-1 (28) при m = 1, n = 1, E = 103, n = 104 (тг = 10, c = 10-3, y = 10-4), M = 2, N = 3, E0 = 104, П0 = 2 ■ 103 (c0 = 10-4, y = 5 ■ 10-4). Отношение y0/Y = n/n0, регулирующее относительный вклад объемной ползучести, специально выбрано большим, чтобы сделать изучаемые эффекты более выраженными и заметными при малых временах. Все функции 2(t) возрастают при t > 0, v(t) убывают,

= 5a - (1/3)(a/3)2 = 135 - a ' 10a + (1/3)(a/3)2 270 + a (для модели (28) c/c0 = 10, y0/ Y = 5), все графики имеют горизонтальные асимптоты (23):

2(»; a) = 5033 = 27 o2, a 27

v(<x>; a) =

0.5a - (5/81)a3 = 81 -10a2

a + (5/81)a3

162 + 10a2'

С ростом а графики v(t, а) смещаются вниз, и V становится отрицательным (г(<х>; а) < 0 при а > ^/81/10). Функция £(а) из (27) имеет вид £ (а) = (а/3)3 (су 0а - 3с0 у); g (а) = 0 при а = а, где

Рис. 3. Графики коэффициента поперечной деформации v(t) и параметра вида деформированного состояния £(г) (штриховые кривые) модели (28) (а) и модели вида (28), но с yV(x) = 0 (линейно упругой при сдвиге) (б) для уровней напряжения о = 1, 2, 3, 4, 5 (цветной в онлайн-версии)

о = 3с0у/(су0) = 3/50. Если о е (0; о), то g(о) < 0, £(г) убывают при г > 0, v(t) возрастают (в отличие от графиков 1-5 для о > о) и значения v(t) очень близки к 0.5 (материал ведет себя как несжимаемый), поскольку v(0; о) < v(t; о) < 0.5, а v(0; о) > v(0; о) = (135 - 0.06)/(270 + 0.06) = 0.499.

Для сравнения на рис. 3, а приведен график v(t) модели (28) с увеличенным показателем функции объемной вязкости N = 4 (вместо N = 3) для о = 5 (штрих-пунктирная кривая).

На рис. 3, б приведены графики v(t) (кривые 15) и £ (г )/50 (штриховые кривые 1-5) модели вида (28), но с у = 0, т.е. уК(х) = 0 (линейно упругой при сдвиге) для тех же о = 1, 2, 3, 4, 5. Все функции £(г) линейны, начальные значения v(0; о) те же, что и для модели (28), но все графики v(t, о) имеют общую асимптоту v(да; о) = -1 (не зависящую от о). Функция g из (27) имеет вид g = (1/27) су0о4; т.к. g (о) > 0, коэффициент поперечной деформации v(t, о) убывает по г на всем луче г > 0 при любом о > 0.

Таким образом, доказано, что для любых материальных функций определяющего соотношения (7) v(t, о) и параметр £(г, о) — монотонные функции времени, что v(t) может изменяться в диапазоне от -1 до 1/2, а £(г) — от нуля до бесконечности (при о > 0). Поэтому определяющее соотношение (7) не способно моделировать материалы, у которых наблюдается немонотонность v(t) при постоянной нагрузке (в отличие, например, от линейной теории вязкоупругости, способ-

ной описывать наличие точек экстремума у v(t)) [92, 93].

6. Кривые ползучести линейного определяющего соотношения (9) при одноосном растяжении и эволюция коэффициента поперечной деформации

В случае одноосного нагружения оп(!) = оИ(г) имеем о0 = (1/3) о ), девиатор напряжений — диагональный тензор 8 = (1/3) о )diag (2,-1, -1), а из (9) следует, что 0(г; о) = (13) о П0(г), г > 0, а девиатор деформаций тоже диагонален в любой момент времени: е = 0.5 о П(г) diag(2, -1, -1). У тензора деформаций г = е + (1/3) 01 тоже отличны от нуля лишь диагональные компоненты:

1

еп(г; о) = о П (г) + 9 о П ) = 9о(9П(г) + П0(г)), г > 0,

е 22(г;о) = е33(г;о)

(29)

= -1 о П(г)+1 о П0(г) = -1 о(-9П(г) + 2Щ(г)). (30) 2 9 18

Эти уравнения задают семейства кривых ползучести: объемной, осевой и поперечной. Из ограничений, наложенных на функции ползучести П(г) и П0(г), следует, что для любого о > 0 (будем для определенности рассматривать случай растяжения) е(г), 0(г) и е11(г) положительны, монотонно возрастают и выпуклы вверх, а с ростом о смещаются вверх по оси деформации. Поперечная

деформация в 1 = в 22^) не обязана быть ни монотонной, ни выпуклой вверх функцией: она может убывать или возрастать на всем интервале t > 0, может иметь точки экстремума и перегиба и менять знак. Поскольку из (30)

в 1 ^) = -2 а П) + 9 а П>а),

в 1 ^) = -| а П) + 9 а По(t),

(31)

то при а > 0 критерии (нестрогого) возрастания и выпуклости вниз в1 ^) на некотором интервале времени имеют вид П0(0 > 4.5П(t) или П0(0 > 4.5П(t), а уравнения для точек экстремума и перегиба — П »(0 = 4.5П(0 или П ) = 4.5П(0.

Если По(0 ограничена (например, функция ползучести (6) с а = 0), то 9(да) = (1/9)аП0(да) <да. Если обе функции ползучести ограничены, то обе кривые ползучести (30) имеют при t ^ да горизонтальные асимптоты:

вп(да) = а |п (да) + 9 П 0(да) ^,

в 1 (да) = а 2 П (да) + 1П 0(да) |

Пример 1. Рассмотрим модель (9) с ограниченными функциями ползучести классической модели Кельвина

П = в - ке-^, П0 = в0 - к0е-^, (32) X, в, X0, в0 > 0, к е (0; в), к0 е (0; в0). Смысл параметров: т = 1/X и т0 = 1/Х0 — времена ретардации при сдвиге и изменении объема; О, Gда, К, Кда — мгновенный и длительный модули сдвига и объемные модули:

О =12П(0)-1 = 2(в - к)-1, 2 3 3

°да=Ц П(да)-1=3 в-1,

К = П0(0)-1 =(в0 -к0)-1,

Кда = П0 (да)-1 =-!.

в0

Тогда

в11(t; а) = 1 а(9в + в0 - 9ке-^ - к0е-Х0?),

1

(33)

в1 (t; а) ~а(-9в + 2в0 + 9ке"^ - 2^"). 18

При t ^ да в 1 (0 стремится к горизонтальной асимптоте в1 = (1/18) а(2в0 - 9в), не зависящей от X и Х0. Скорость ползучести в1 (^ = (1/18) а(-9кХ х

е-^ + 2к 0X 0е-Xоí) может менять знак; из условия экстремума 9кXe-Xí = 2к0X0e-Xоí при X Ф X0 находится (единственная) точка экстремума tm = 1п ц х (X0 - X)-1, ц = 4.5к^/(кЛ,), если tm > 0 (т.е. X0 > X, ц > 1 или X0 < X, ц < 1). Поскольку в1 ) = (1/18) х а[2в0 - 9в + 9к(1 - XX-1)e-Xím ], то т — точка минимума при X0 < X (когда в 1 (^) < в1 (да)) и tm — точка максимума при X0 > X (когда в 1 (tт) > в1 (да)). При X = X0 в1 (t) всегда монотонна на луче t> 0: в1 ^) возрастает, если 9к > 2к0, и в1 (t) убывает, если 2к0 > 9к.

В случае к0 = 0 (когда П0(0 = в0) в1 (t) = (1/18) х а(-9П^) + 2в0) монотонно убывает (и меняет знак, если 4.5П(0) < в0 < 4.5П(да), т.е. 4.5(в -к) < в0 < 4.5в). При X0 ^ да (т.е. т0 ^ 0) все семейства кривых ползучести модели (32) сходятся (снизу, равномерно на любом луче t > t0, t0 > 0) к кривым ползучести модели с к0 = 0.

Пример 2. Рассмотрим фрактальную модель Максвелла со степенными функциями ползучести

П = В + А^

П 0 = В0

(34)

и, V е (0; 1), В, В0 > 0, А, А0 > 0, (и непрерывными спектрами ретардации и релаксации). Ее мгновенный и длительные модули:

О = 12 П (0)-1 =1В-1, 2 3 3

Ода= 22 П(да)-1 = 0,

К = -

1

1

п0(0) В0

= —, Кда =-

1

П 0(да)

= 0.

Поперечная деформация (30) и ее производные:

в1 = (1/18) а(2В0 - 9В + 2А^* - 9Atu),

в 1 = (1/18)аtu-1(2А0лИ*-и - 9Аи),

в 1 = (1/18)а^-2[2А0(*2 - v)tV-u - 9 А (и 2-и)].

При V Ф и кривая ползучести в 1 ^) всегда имеет единственную точку экстремума и точку перегиба

t =

" 9Аи ' 1(V-и) , (= 9Аи(и - 1)" 1( V-)

2 A0v 2 А0 v(v- -1) _

очевидно, в 1 (Г) = (1/18)а[2В0 - 9В + 9А(иV-1 -1) х Р ]. Если V < и, то в1 (0+) = +да, в1 (да) = -да, 1 — точка максимума и в1 (да) = -да. Если V > и, то в1 (0+) = 0-, в1 (да) = +да, t — точка минимума и в1 (да) = +да. В обоих случаях в 1 (0 может менять знак (даже дважды — в зависимости от знаков в1 (Г) и в1 (0) = (1/18)а(2В0 - 9В)). Если V = и, то в1 = (1/18)а(2В0 - 9В + (2А0 - 9А)и) — монотонная функция на полуоси t > 0: убывающая при 2А0 - 9А < 0 и возрастающая при 2А0 - 9А > 0.

Из уравнений кривых ползучести (29), (30) найдем коэффициент поперечной деформации: е, _ 1 9П(г)-2П0(г)

v(t) = -

= 0.5--

8П 2 9П (t) + По(^)

3П 0(t) = f (Ш)),

18П (t) + 2П 0(t)

(35)

где

-i

/ (х) = -1 + 9(6 + 2 гх) = 0 = 1 о П 0(г) = 1 гП 0(г) £() е 3| о|П(г) 3 П(г) , е = ((2/3)^.^.)05 = |о|П(г) — интенсивность деформаций и параметр вида деформированного состояния, г = sgn о = ±1. Существенное отличие линейного определяющего соотношения (9) от нелинейных определяющих соотношений — независимость коэффициента поперечной деформации от напряжения и от его знака. Это свойство, если оно не выполняется в испытаниях некоторого материала на ползучесть с разными о, можно использовать как индикатор нелинейности его поведения и неприменимости линейного определяющего соотношения (9).

Пределы £(г) и v(t) при г ^ 0+ и при г ^ да:

£(0) = 3£П^, ^0; о) = /(£(0; о)),

£(да) =1 £Пда), v(да; о) = /(£(да; о)) 3 П (да)

(для моделей с П(0) = П0(0) = 0 или с П(да) = да и П0(0) = да надо раскрывать неопределенность).

Так как П(г) > 0 и П0(г) > 0 при г > 0, то 0 > 0, £ > 0 и v(t) < 0.5 в случае о > 0. Из возрастания П(г) следует П(г) > П(0) и оценка v(t) > 0.5 - 3Щ0 х (18П(0) + 2П0(0)-1 для коэффициента поперечной деформации (учитывающая специфику функции ползучести); а из П(г) > 0 следует универсальная (но более грубая) оценка v(t) > -1 при г > 0, справедливая для любых функций ползучести. Для моделей с П0(0) = 0 (объемно нерегулярных) и П(0) Ф 0 формула (35) дает в пределе при г ^ 0+ v(0+) = 0.5 для любого о > 0, а для моделей с П(0) = 0 и П0(0) Ф 0 — v(0+) = -1. Таким образом, для любых функций ползучести в определяющем соотношении (9) при ползучести верна оценка -1 < v(t) < 0.5, и эта оценка точна (не улучшаема).

Коэффициент поперечной деформации (35) может быть отрицательным, поскольку возможно е, (г) > 0. Критерий отрицательности v(t) на неко-

тором интервале времени при растяжении имеет вид

П0(г) > 4.5П(г). (36)

Из (35) следует, что кривые ползучести в продольном и поперечном направлении, вообще говоря, не подобны, т.е. коэффициент поперечной деформации v(t) не постоянен. Критерий постоянства v(t) при одноосном растяжении (т.е. постоянства £(г) = к, к> 0, в силу (35)) налагает связь на функции ползучести определяющего соотношения (9), управляющие сдвиговыми и объемными деформациями:

П0(t) = 3kП(t), t > 0, к =

3(0.5 - v) 1 + v

> 0.

В частности, тождество (25) выполняется для несжимаемого материала (с n0(t) = 0), когда v(t) = 0.5 по (35), но никогда не выполняется при всех t > 0 для реономного материала с упругим изменением объема (n0(t) = с > 0, n(t) Ф const).

Коэффициент поперечной деформации (35) не обязан быть монотонной функцией. Поскольку из (35)

4(t)(6 + 2£(t)) - 24(t)£(t) 184(t)

v (t) = -3-

(6 + 2 £(t ))2

(6 + 2 £(t))2

то знаки V (г) и - £ (г) одинаковы, и потому совпадают интервалы монотонности v(t) и - £(г):

4 (t) = 3 П-2^) y(t),

(37)

у (г ):=П 0(г )П(г) -щ^ )Й (г).

Так как П 0(г)/П (г) > 0 при г > 0, то критерий возрастания коэффициента поперечной деформации (убывания (г)) на некотором интервале времени имеет вид П 0(г)/П 0(г) <П (г)/П (г), а необходимое условие экстремума имеет вид

y(t) = 0, или

Пж = П (t)

П 0(t) П (t )■

(38)

Пример 3. Для определяющего соотношения (9) с (ограниченными) функциями ползучести классической модели Кельвина (32) имеем

£(0) =

р0 - к0, v(0) = -1 + 27(в - К)

3(Р - к) £(«>) = т0, v(w) = -1

Л

18(Р - к) + 2(в0 - к0) 27Р

30' v ' " ' 18р + 2р0'

т.е. при t ^ да £(t) и v(t) имеют горизонтальные асимптоты, не зависящие от X и X0. По (37)

О 10 20 30 40 t 0 10 20 30 t

Рис. 4. Графики коэффициента поперечной деформации моделей семейства (32) с одинаковыми сдвиговыми функциями ползучести П(г) и разными = 0.01, 0.1, 1 и Р0 = 1, 2, ..., 6 (а) и моделей (34) с одинаковыми П(г) и разными V и В0 (б) (цветной в онлайн-версии)

у(г) = к0Х0е-V (в - ке-Хг) - кХе-Хг (Рс - к^)

= к 0 к(Х - Х 0)е - ^е - Хг + к 0 Х 0Ре- 1x01 - кХР0е-Хг. При Х = Х0 (когда времена сдвиговой и объемной ретардации совпадают) у(г) = Х(к0р - кР^е-^, т.е. при к0р > кр0 у(г) > 0 и коэффициент поперечной деформации убывает на всем луче г > 0, а при к0р < кр0 у(г) < 0 и коэффициент поперечной деформации возрастает на луче г > 0. Условие существования интервала отрицательности коэффициента поперечной деформации (24) имеет вид Р0 - к0е-Хг > 4.5(Р - ке-Хг), или Р0 - 4.5Р > (к0 -4.5к)е-Хг. При Х Ф Х0 функция у(г) может менять знак, и потому £(г) и v(t) могут иметь точки максимума и минимума.

На рис. 4, а приведены графики коэффициента поперечной деформации v(t) трех моделей вида (32) с одинаковыми сдвиговыми функциями ползучести П(г) (Х = 0.1, Р = 1, к = 0.5, т = 1/Х = 10) и разными П0(г): с Х0 = Х = 0.1 (голубые кривые 1-6), с Х0 = 1 > Х (черные кривые 1-6) и с Х0 = 0.01 < Х (штриховые кривые 1-6). Значение к0 = 0.9 фиксировано, а номера кривых соответствуют значениям Ро = 1, 2, 3, 4, 5, 6 для каждой из трех моделей с разными временами объемной ретардации т0 =

1Х 0.

С ростом Р0, т.е. с убыванием объемных модулей Кда = 1/Р0 и К = 1/(Р0 - к0), график v(t) смещается вниз и рождается интервал отрицательности коэффициента поперечной деформации (кривые 3-6). Коэффициенты поперечной деформации v(t) всех трех моделей с равными Р0 имеют одинаковые начальные значения v(0) и асимпто-

ты v = v(rc>) (они не зависят от X и X0), коэффициенты поперечной деформации могут менять знак, но в остальном ведут себя по-разному. При достаточно малом отношении т0/ т < 1 v(t) быстро убывает в окрестности нуля, а затем возрастает (черные кривые 1-6 с т0/т = 0.1), при достаточно большом т0/т > 1 v(t) медленно возрастает в окрестности нуля, а затем убывает к асимптоте (штриховые кривые 1-6 с т0/т = 10), а при т0 = т v(t) не имеет экстремумов: убывает при р0 < Р*, р* = рк 0/ к (голубая кривая 1) и возрастает при р0 > р*, а при р0 = р* £ = (1/3 )к0/к = const и v(t) = const. Для сравнения приведен график v(t) модели с линейно упругим изменением объема, т.е. с к0 = 0 (оранжевая кривая 1'), и р0 = 1: он монотонно возрастает в отличие от модели с к0 Ф 0.

Таким образом, уже на примере простейшей модели с шестью материальными параметрами и одноточечными спектрами (сдвиговой и объемной) релаксации и ретардации можно увидеть, сколь разнообразно поведение коэффициента поперечной деформации v(t) и параметра £(t) при ползучести, описываемое линейным определяющим соотношением (9).

Пример 4. Для фрактальной модели Максвелла (34) £(0) = (1/3)B0/B, v(0) = -1 + 27/[18 + 2Д)/£]. При t ^ да графики v(t) обладают горизонтальными асимптотами: £(да) = 0, v(rc>) = 0.5 при u > v, £(да) = +да, v(rc>) = -1 при u < v (асимптоты не зависят от материальных параметров, и при больших временах моделируемый материал ведет себя как несжимаемый или как не меняющий форму), а при u = v £(да) = (1/3)A0/A, v(») = -1 + 27/[18 + 2A0/A].

По (37) y(t) = AAo(v - u)tu+v-1 + AoBvtv-ï -AB0utu-1 и v(t) может менять знак, если v Ф u. При v = u y(t) = (A0B - AB0)utu1, и потому коэффициент поперечной деформации — монотонная функция: при A0B > AB0 y(t) > 0 и коэффициент поперечной деформации убывает на всем луче t > 0, при A0B < AB0 y(t) < 0 и коэффициент поперечной деформации возрастает на луче t > 0, а при A0B = AB0 v(t) = const. Если A0 = 0, то n0(t)=B0 = const (такая функция ползучести моделирует линейно упругое изменение объема), y(t) < 0, v(t) = 0.5 - 3B0[18(B + Atu) + 2B0]-1 возрастает на всем луче t > 0 и v(œ) = 0.5.

На рис. 4, б приведены графики коэффициента поперечной деформации v(t) трех моделей вида (34) с одинаковыми сдвиговыми функциями ползучести n(t) (c u = 0.5, A = 0.5, B = 1) и разными объемными функциями ползучести n0(t): 1) с показателем v = u = 0.5 (голубые кривые 0, 1, 2, 3, 5, 7), с v = 0.2 < u (черные кривые 0, 1, 2, 3, 5, 7) и с v = 0.8 > u (штриховые кривые 0, 1, 2, 3, 5, 7). Параметр A 0 = 1 фиксирован, а номера кривых соответствуют разным значениям B0 = 0, 1, 2, 3, 5, 7 для каждой из трех моделей (с ростом B0, т.е. с убыванием мгновенного объемного модуля K= 1/ B0, график v(t) смещается вниз). При каждом B0 все три модели дают одинаковое начальное значение каждой деформации s11(0), s± (0), 9(0): en(0) = (1/9)ïï(9B + B0), s±(0) = (1/18)ô(-9B + 2B0), 9(0) = (1/3)aB0; одинаковы и начальные значения v(0) у всех трех моделей (они убывают с ростом B0), а горизонтальные асимптоты при t ^ œ различны (и не зависят от B0): v(œ) = 0.5 у всех моделей с v < u, v(<x>) = -1 + 27[18 + 24,/A ]-1 = 5/22 при v = u и v(œ) = -1 у всех моделей с v > u. Асимптота голубых кривых 0-7 v = 5/22 совпадает с кривой (прямой) 2, поскольку при v = u и B0 = 2 будет A0B = AB0 = 0 и v(t) = const. Примечательны перемены знака и немонотонность v(t) (у штриховой кривой 5 — даже две перемены знака). Для сравнения приведен график v(t) модели с линейно упругим изменением объема, т.е. с A0 = 0, и B0 = 1, 7 (кривые 1', 7'): он монотонно возрастает и v(œ) = 0.5. Поперечная деформация s±(t) модели с v = 0.8 > u имеет точку минимума и становится положительной при больших t.

Примеры 3 и 4 (рис. 4) показывают, в частности, что убывание коэффициента поперечной деформации не обязательно связано с необратимыми объемными деформациями (как принято считать [58, 59, 66, 70, 72, 77, 78, 81]): все модели се-

мейств (32) и (34) обеспечивают после разгрузки полное восстановление объемных деформаций до нуля при t ^ да и обладают свойством затухания памяти, т.к. П 0(да) = 0 [54, 92, 96].

Итак, главное отличие линейного определяющего соотношения (9) от нелинейных определяющих соотношений вязкоупругости — независимость v(t) от напряжения и его знака. Доказано, что -1 < v(t) < 0.5, а 2(0 меняется от нуля до бесконечности (при а > 0). Найдены критерии отрицательности коэффициента поперечной деформации при ползучести, критерий его постоянства (т.е. подобия кривых ползучести в продольном и поперечном направлениях) и критерии его возрастания, убывания и немонотонности. Линейное определяющее соотношение вязкоупругости (9) для нестареющих изотропных сред способно качественно воспроизводить основные сценарии поведения коэффициента поперечной деформации (монотонность, немонотонность, знакопере-менность, отрицательность, стабилизацию с течением времени), за исключением зависимости от напряжения.

7. Кривые ползучести определяющего соотношения (10) при одноосном растяжении (сжатии) и эволюция коэффициента поперечной деформации

Кривые ползучести определяющего соотношения (10) получаются комбинированием откликов определяющих соотношений (7) и (9) на одноосное нагружение ап^) = а). Так как а0 = (а/3)Ь^), девиатор напряжений 8 = (о/ 3)Ь(0 diag (2, -1, -1) — диагональный тензор и а = | а|И(), то в силу (10) девиатор деформаций и объемная деформация — линейные комбинации двух вычисленных ранее откликов определяющих соотношений (7) и (9) (см. формулы (18)-(20), (29), (30)):

9(t; о) = w

Y0^|y Jt + c0F01 J

-(1-w) 3 П 0(t ),

t > 0,

e = zs(t ) diag (1; -0.5; -0.5), s = w[Y V (| о |)t + cF (| о |)] + (1 - w)| о |n(t )

(39)

где г = sgn а = +1, у = 1/п, с = 1/Е, У0 = 1/П0, ^ = 1/Е0, в(t) — интенсивность деформаций (формула (39) для в(0 столь проста благодаря тому, что рассматривается простое нагружение, и потому в(0 связана с а(0 линейным оператором, как и

компоненты девиаторов тензоров). У тензора деформаций г = е + (1/3) 01 отличны от нуля только диагональные компоненты:

8n(t; о) = w

zjV (|0|) + -3 YoV f о

rwco Fo

822 = 833 = _ W

(1 - w)о

t + wzcF (| о |)

1

n(t) +—П o(t)

33

2 zjV (| о |) - 3 YoV

t—zwc 2

x F(| о|) + ^wcoFo I -3 |- (1- w)o

2 n(t) - 9 n o(t)

Эти уравнения задают семейства кривых ползучести: объемной, сдвиговой, осевой и поперечной.

Из положительности материальных функций F, F0, П, П0 и неотрицательности V и V0 следует, что для любого о > 0 деформации е(г), 0(г) и ец(г) положительны, монотонно возрастают и выпуклы вверх на всем интервале г > 0, с ростом о кривые ползучести смещаются вверх по оси деформации, их форма аналогична форме кривых ползучести (при сдвиге) на рис. 2. Поперечная деформация е, = е22(г) не обязана быть ни монотонной, ни выпуклой вверх функцией: она может убывать или возрастать на всем интервале г > 0, может иметь точки экстремума и перегиба и менять знак, как кривые ползучести е, (г) определяющего соотношения (9) [92, 93].

Поделив поперечные деформации на осевые, найдем коэффициент поперечной деформации v(t; о) = -е,(г; о)/еп(г; о):

3ге(г) - 20

v = -

■ = (w[3zyV (| о |) - 2yoVo(^ 3)]t

6 ге(г) + 20

+ 3zwcF (| о|) - 2 ^с0 F0 (о/ 3) + (1 - ^)о[3П(г) - 2/3 П0 (г)]} М6zY V(| о |) + 2у0^ (о/3)]г + 6wzcF (| о |) + 2 wc0 F0 (о/ 3)

+ (1 - w) о[6П (г) + 2/3 П 0(г )]}-1. Удобно выразить его через параметр вида деформированного состояния £(г; о), вычисленный по (39): v(t; о) = /( £(г; о)), (40)

9

f (x) = -1 +

=

6 + 2 zx'

9(t; о)

8(t; о)

w[ Yo V (о/ 3)t + Co Fo (о/ 3)] + (1 - w)(ö/ 3)П q (t) w[yV(|G|)t + cF(|о|)] + (1 - w) | о|n(t) "

Из ограничений F(x) > 0, F0(x) > 0, V(x) > 0, V0(x) > 0 при x > 0 следует, что для любого о > 0 (будем рассматривать случай растяжения, т.е. z = 1) всегда 9 > 0 и £ > 0 при t > 0, а из (40) (в силу убывания f(x) на луче x> 0 и свойств f(0) = 0.5, f(+да) = -1) получаем точную оценку для коэффициента поперечной деформации, справедливую для любых материальных функций (и при сжатии, т.к. z£ = |£|):

-1 < v(t; о) < 0.5, t > 0.

Пределы £(t; о) и v(t; о) при t ^ 0+ не зависят от материальных функций V и V0:

о) = wcq Fq(q/ 3) + (1 - w)( о/ 3)П o(0) ^ ' wcF(| о|)] + (1 - w)| о|П(0) '

v(0; о) = f ( £(0; о)).

Для моделей с П(0) = П0(0) = 0 (например, для функции ползучести (34) с B, B0 = 0) пределы не зависят и от w:

£(0; о) = cqcFq(g/ 3)/F (|о|), v(0. о) = 3cF (о) - 2cq Fq(Q/ 3) ' 6cF (о) + 2c0 F0(O 3)

(и совпадают с пределами для определяющего соотношения (7), в котором нет функции ползучести).

Пределы при t ^ да не зависят от материальных функций F, F0, если V(о) Ф 0 или П(да) Ф 0: = wYq Vq (о/ 3) + (1 - w)(g/ 3)П о(да) ' wyV (| о|) + (1 - w)| о |П (да) ' (41)

v(<»; о) = f ( £(да; о)) (для доказательства следует числитель и знаменатель дроби (40) поделить на t и учесть, что lim П(t)/1 = II (да) по правилу Лопиталя или равен нулю, если предел П(да) конечен). Единственное исключение — случай, когда одновременно П(да) = 0 (как у функций ползучести (5), (32), (34)) и V(о) = 0 (т.е. о8 > 0 и о < о8); в этом случае £(да; о) = +да и v(да; о) = f (0) = -1, а если еще и Vq(g/3) = 0 и П 0(да) = 0, то формула (41) не работает и влияют материальные функции F, F0: = wcq Fq(Q 3) + (1 - w)(g/ 3)П о(да) ' wcF (| о |) + (1 - w)| о |П (да) '

Для моделей с П(да) = П0(да) = 0 (например для функций ползучести (32) и (34)) пределы (41) не зависят от w:

£(да; о) = 3)

v(<»; о) = f ( £(да; о)) =

YV (о)

3yV (о) - 2YqVq(Q 3) 6yV (о) + 2yqVq(^ 3)

(и совпадают с (23) для определяющего соотношения (7), в котором нет функции ползучести). Существование конечного предела v(ro; о) означает наличие горизонтальной асимптоты у коэффициента поперечной деформации (21) (и у 2(t; о) при V(о) Ф 0 или П (да) Ф 0).

Коэффициент поперечной деформации (40) может быть отрицательным, поскольку возможно s± (t) > 0. Критерий отрицательности коэффициента поперечной деформации на некотором интервале времени имеет вид

-w(9jV(| о|) - 6Y0 | V0 (о/3) |)t - 9wcF(| о|) + 6WC0 | F0(о/3) | > (1 - w) | о|[9П(0 - 2П0(t)]

(в случае о > 0 можно убрать все модули). Для его выполнения достаточно системы неравенств (24) и (36), т.е. выполнения критериев отрицательности коэффициента поперечной деформации для определяющих соотношений (7) и (9) по отдельности.

Коэффициент поперечной деформации (40) не обязан быть монотонной функцией t, как у определяющего соотношения (7). Дифференцируя (40), найдем

V(t) = -18 z4(t )(6 + 2 ^(t ))-2, 2(t) = g(о, t)[wyV(| о|)t + wcF(| о|) + (1 - w)| о |n(t )]-2, g (о, t) = [ wj0V (о/ 3) + (1 - w)(a/ 3)П 0 (t)] X [wyV (| о |)t + wcF (| о|) + (1 - w)| о|П (t)] - [wyV(| о|) + (1 - w) | о|n(t)] x [wy0V (a/3)t + wc0F0 (a/3) + (1 - w)(a/3)П0 (t)]

(в отличие от (27) функция g теперь зависит от t, а не только от о). Поэтому множества точек экстремума v(t) и 2(t) совпадают, при растяжении знаки V(t) и -2(t) одинаковы, и потому совпадают интервалы монотонности v(t) и -2(t). Для любых материальных функций первое слагаемое g положительно, а второе — отрицательно. Точки экстремума v(t) и 2(t) характеризуются условием g(о, t) = 0. Знак 4(t; о) совпадает со знаком g (о, t) на всем луче t > 0; если g (о, t) > 0, то 2(t) строго возрастает, а v(t) убывает, а в случае g(о, t) < 0 2(t) убывает, а v(t) возрастает.

Для модели с V0(x) = 0 и n0(t) = C = const > 0, т.е. модели объемно-упругого реономного материала, первое слагаемое g тождественно равно нулю, и

потому g(а, t) < 0 при любом а (нет точек экстремума), 4(0 убывает и v(t) возрастает на всем луче t> 0 при любом а > 0.

На рис. 5, а приведены графики коэффициента поперечной деформации (черные кривые 1-9) (40) для уровня напряжения а = 1, порожденные определяющим соотношением (10) с разными w = 0.1/, г = 1, 3, 5, 7, 9, и фиксированными материальными функциями: материальная функция (28) с т = 1, п = 1, Е = 103, п = 104, М = 2, Ы= 3,

Е0 = 104, п0 = 2 ■ 103 (с0 = 10-4, у0 = 5 ■ 10-4, с = 10-3, у = 10-4), такими же, как на рис. 3, а, и функция ползучести модели Кельвина (32) с X = 0.1, в = 1, к = 0.5 и Х0 = 1 > X, р0 = 4, к0 = 0.9 (этим функциям ползучести соответствует черная кривая 4 на рис. 4, а). Времена сдвиговой и объемной релаксации модели (28) равны тг = 10 и тг0 = 0.2, а времена ретардации линейной модели (32) при сдвиге и изменении объема равны т = 1/X = 10 и т0 = 1/ Х0 = 1. Отношение к 0/к = п/п0, регулирующее относительный вклад объемной ползучести, специально выбрано большим, чтобы сделать изучаемые эффекты более выраженными и заметными при малых временах. Штриховые кривые 0 и 10 — графики коэффициента поперечной деформации v(t, 1), порожденные скрещиваемыми моделями (32) и (28) (при w = 0 или w = 1). В зависимости от величины w коэффициент поперечной деформации v(t, 1) может убывать (кривые 9, 10), обладать одной точкой минимума (кривые 0-7) и менять знак (кривые 0, 1). При w > 0 все функции v(t, 1) имеют общую горизонтальную асимптоту V = 71/172 (прямая 1'), поскольку для моделей с П (да) = П 0(да) = 0 пределы (41) не зависят от w:

_ч 5(о/3)3 5 _2

о 27

, _ч 0.5о - (5/81) о3 81 - 10о2

v(<x>; о) =-----

(42)

а + (5/81)а3 162 + 10а2' При w = 0 формула (41) не работает и надо пользоваться (35): у(да) = -1 + 27/(18 + 2Р0/Р) = 1/26 (прямая 0'). Кривая 25 — график коэффициента поперечной деформации этой модели (10) с w = 0.5 для а = 4, для нее v(да; а) = -79/322 « -0.24; графики коэффициента поперечной деформации v(t, 4) скрещиваемых моделей (32) и (28) — кривые 0 и 20. Кривая 25 показывает, что коэф-

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

-0.1

10 | а

Г

----

\ ____

\

— — —*— 0'

/ •ч,

•о» . 25

20

0

10

20

v, Ф

0.4-

0.2'

0.0

-0.2-

✓

5/ / / у V - ' 3 '"У Г

-ггГГ"7"

0

3

3'____ ^ — и

10 4'

0

10

Рис. 5. Графики коэффициента поперечной деформации (40) для а = 1, порожденные определяющим соотношением (10) с фиксированными материальными функциями (28), (32) и разными w = 0.1/, / = 1, 3, 5, 7, 9 (а); графики коэффициента поперечной деформации а) и параметра вида деформированного состояния (штриховые кривые) для напряжений а = 1, 2, 3, 4, 5, 6, порожденные определяющим соотношением (10) с материальными функциями (28), (32) и с = 0.5 (черные кривые 1-6) и моделями с = 0.01, 0.1, 0.2, 0.3 при а = 6 (синие кривые 10-13) (б) (цветной в онлайн-версии)

фициент поперечной деформации сильно зависит от напряжения (в отличие от коэффициента поперечной деформации линейного определяющего соотношения (9), который от него не зависит). Эту зависимость иллюстрирует рис. 5, б.

На рис. 5, б приведены графики коэффициента поперечной деформации (черные кривые 1-6) и параметра £(t; ö) (40) (штриховые кривые 1-5 — графики £/3) для напряжений ö = 1, 2, 3, 4, 5, 6, порожденные определяющим соотношением (10) с w = 0.5, и теми же материальными функциями, что и на рис. 5, а. Коэффициент поперечной деформации v(t, ö) может убывать и менять знак (кривые 3-6), как у определяющего соотношения (7), может иметь точку минимума и сохранять знак (кривые 0-2), а при малых w может иметь и две точки экстремума (кривые 10, 11). С ростом ö графики £(t; ö) смещаются вверх, а графики v(t, ö) смещаются вниз, и v становится отрицательным. Штрих-пунктирные кривые 0 — предельные кривые семейств £(t; ö) и v(t; ö) при ö ^ 0. Все функции £(t) и v(t) имеют горизонтальные асимптоты (42). Прямые 0'-4' — асимптоты v(t; ö) (кривых 0-4), они очень чувствительны к ö. Для сравнения на рис. 5, б приведен график v(t) модели с w = 0.01, 0.1, 0.2, 0.3 для ö = 6 (синие кривые 10-13). Все они имеют общую горизонтальную асимптоту (42): v(ro; ö) = - 279/522 «-0.53, а кривые 10, 11 (и все v(t, ö)

при а е (0; 1]) имеют две точки экстремума и два интервала убывания (если w = 0, есть только точка минимума, правее которой возрастает, см. рис. 4, а).

На рис. 6, а приведены графики коэффициента поперечной деформации (40) (черные кривые 19) для уровня напряжения а = 1, порожденные определяющим соотношением (10) с разными w = 0.1/, / = 1, 3, 5, 7, 9, и фиксированными материальными функциями: материальная функция (28) с т = 1, п = 1, Е = 103, п = 104, М= 2, Ы= 3, Е0 = 104, По = 2 • 103 (такими же, как на рис. 3 и 5), и степенными функциями ползучести (34) с и = 0.5, А = 0.5, В = 1 и V = 0.8 > и, А0 = 1, В0 = 7 (этим функциям ползучести соответствует штриховая кривая 7 на рис. 4, б). Штриховые кривые 0 и 10 — графики коэффициента поперечной деформации 1), порожденные скрещиваемыми моделями (34) и (28) (при w = 0 или w = 1). При w > 0 все функции v(í; 1) имеют общую горизонтальную асимптоту (42) V = 71/172 (та же прямая 1', что и на рис. 5, а), т.к. для моделей с П(да) = П0(да) = 0 пределы (41) не зависят от w. При w = 0 формула (41) не работает и надо пользоваться (35), которая для модели (34) дает коэффициент поперечной деформации v(да) = -1 при V > и. В зависимости от величины показателя функции ползучести V коэффициент поперечной деформации v(t; 1) может менять знак (кривая 3), может убывать (кривая 10

0.4-

о.з-

0.2-

0.1-

0.0

-0.1-

\ Г

20 9

\ 7

\

5

05 ч 3

Г

^---

V 0

0

10

20

v, 4/5

о.з-

0.2

0.1-

0.0

-0.1

-0.2-

Г б,,' *'' ''' Д. - - - ' ' J-----" """ :____3---у~ - [А

2' 0 0 1

2

13\> 3 >

S?^ ^^ 3' —--

./10 -11 13

- 6

0

10

Рис. 6. Графики коэффициента поперечной деформации (40) для о = 1, порожденные определяющим соотношением (10) со степенными материальными функциями (28), (34) и разными н = 0.1/, г = 1, 3, 5, 7, 9 (а); графики коэффициента поперечной деформации о) и параметра вида деформированного состояния 4(0 (штриховые кривые 1-6) для напряжений о = 1, ..., 7, порожденные определяющим соотношением (10) с материальными функциями (28), (34) и с н = 0.5 (черные кривые 1-7) и моделями с н = 0.01, 0.1, 0.2, 0.3 при о = 6 (синие кривые 10-13) (б) (цветной в онлайн-версии)

и коэффициент поперечной деформации при н > н* ~ 0.95), обладать одной точкой минимума (кривая 9), двумя точками экстремума: точкой максимума при малом t и минимума при больших t (на рисунке минимума не видно, но все кривые v(t, 1) сходятся к асимптоте V = 71/172, хотя и очень медленно, т.е. возрастают при больших временах). Убывать на всем интервале t > 0 могут только те графики v(t; 1), у которых v(0; 1) > v(да; 1), т.е. 4(0; 1) < 4(ю; 1); из этого неравенства нетрудно найти н*, подставив материальные параметры в общие формулы для 4(0; о) и 4(да; о). Кривая 25 — график коэффициента поперечной деформации этой модели (10) с н = 0.5 для о = 4, она имеет точку максимума и асимптоту v(да; о) = - 79/322 «-0.24 (см. (42)); графики коэффициента поперечной деформации v(t, 4) скрещиваемых моделей (34) и (28) — кривые 0 и 20. Кривая 25 показывает, что коэффициент поперечной деформации сильно зависит от напряжения (в отличие от коэффициента поперечной деформации линейного определяющего соотношения (9)). Эту зависимость иллюстрирует рис. 6, б; на нем также ярко видны отличия в эволюции коэффициента поперечной деформации от модели на рис. 5.

На рис. 6, б приведены графики коэффициента поперечной деформации (черные кривые 1-7) и параметра 4^)/5 (40) (штриховые кривые 1-6) для разных уровней напряжения о = 1, 2, ..., 7, порожденные определяющим соотношением (10) с

w = 0.5, и теми же (степенными) материальными функциями, что и на рис. 6, а. С ростом ö графики 4(t; ö) смещаются вверх, а графики v(t, ö) смещаются вниз и v становится отрицательным. Штрих-пунктирные кривые 0 — предельные кривые семейств 4(t; ö) и v(t; ö) при ö ^ 0. Все функции 4(t) и v(t) имеют горизонтальные асимптоты (42). Прямые 1'-4' — асимптоты v(t; ö) (кривых 1-4), они очень чувствительны к ö. Коэффициент поперечной деформации v(t, ö) может возрастать (кривая 0), обладать одной точкой максимума и менять знак (кривые 3-6), может сохранять знак и обладать двумя точками экстремума (кривые 1, 2): точкой максимума при малом t и минимума при больших t (на рис. 6, б максимума кривой 2 не видно, но ее асимптота 2' лежит выше, т.е. v(t; 2) возрастает при больших t). Для сравнения на рис. 6, б приведены график v(t, 6) модели с коэффициентами нелинейности w = 0.01, 0.1, 0.2, 0.3 для ö = 6 (синие кривые 10-13). Все они имеют одну точку максимума (ее абсцисса убывает с ростом w) и общую горизонтальную асимптоту (42): v(»; ö) = -279/522 - -0.53.

8. Особенности эволюции коэффициента поперечной деформации при допущении об отсутствии объемной ползучести

Рассмотрим упрощенные определяющие соотношения (7), (9), (10), в которых объемное деформирование считается упругим (предположением

об отсутствии объемной ползучести и релаксации очень часто упрощают решение краевых задач), т.е. определяющие соотношения с V0(x) = 0 и ЩО = С = const > 0.

Для определяющего соотношения (7) с V0(x) = 0 кривые ползучести (18)-(20) и формула (21) для коэффициента поперечной деформации принимают вид

0 = о *0(а/ 3), Ел = Y V (| a|)t + cF (| о |) + (1/3)с F0 (а/ 3), е± = -0.5[y V (| o|)t + cF (| о|)] + (1/3)c, F0 (а/ 3),

УФ; о)=•

о F0(g/ 3)

(43)

yV » + cF (| о |)' v(t; о) = / (4(t; о)) = 3уУ(|о|У + 3cF(| о|) -2срFo(о/3) 6yV(| о|)Г + 6cF(|о|) + 2с0Fo(о|3)' Так как V(о) > 0 для любого о > о8 > 0, то при о > 0 осевая деформация ец(0 возрастает на всем луче t > 0, е± (t) и 4(t) убывают, v(t) возрастает при t > 0. Если V(о) Ф 0, то равновесные значения при t^ да равны 4(да; о) = 0 и v(<x^; о) = 0.5, т.е. не зависят от о и всех материальных функций (в отличие от общего случая). Если же V (о) = 0, то 4(^ о) и v(t; о) не зависят от времени:

«t; о) = 0

Fo(0 3) cF(| о |) :

v(t; о) = 3^(|о|) -2с0ЪУ3) < 0.5.

' ' 6 zcF (| о |) + 2с0 Fo(д/ 3) Модуль е± (t) может быть немонотонным, если выполнено неравенство c0F0(a/3) > (3/2)cF(о) (означающее, что е±(0) > 0). Из (27) g(о) = -c0 х F0(a/3)yV(о) < 0, и потому в рассматриваемом случае моделируется лишь убывание 4(0 и возрастание v(t) (но не убывание v(t)). Критерий постоянства коэффициента поперечной деформации (26) выполняется лишь при к=0 и F0 = 0 (несжимаемый материал) или для модели с V (о) = 0 (упругий материал) и связью c0F0 (х/3) = kcF(х) с некоторым к > 0 (тогда v = /(к) = (3 - 2к)/(6 + 2к) для любого о).

Критерий отрицательности коэффициента поперечной деформации (24) при растяжении принимает вид

3yV(о^ + 3cF(о) -2^F0(a/3) < 0. (44) Это неравенство совместно лишь при c0F0 (о/3) > (3/2)cF (о), и его множество решений имеет вид t е [0; t-), где ^ = [(2/3)^Fo(о/3) -cF(о)]/У V(о).

На рис. 7, а приведены графики коэффициента поперечной деформации v(t) (черные кривые 1-5) и параметра 2(t)/6 (красные кривые 15) при о = 1, 3, 5, 10, 15 для модели (7) с упругим изменением объема, отличающейся от модели (7), (28) только тем, что V0 = 0 и E0 = 0.5 -103 = Е/2 (объемный модуль Е0 уменьшен в 20 раз, чтобы стало возможным выполнение критерия отрицательности v(t) (44) при умеренно больших о). В этом случае 2,(0 и v(t) ведут себя совсем не так как у модели (28): 2,(0 убывает, v(t) возрастает, а не убывает (как на рис. 3), v(») = 0.5 и 2,(да) = 0 при всех о (асимптоты не зависят от о). По (44) v(0) < 0 для рассматриваемой модели, если 0.5со < (1/3)c0(a/3)2, т.е. о > (27/2)c/c0 = 27/4. Дополнительно на рисунке приведены графики коэффициента поперечной деформации линейных моделей вида (32) и (34) (синие кривые 10, 11) с материальными параметрами, как на рис. 5 и 6, но без объемной ползучести, т.е. с к0 = 0 и A0 = 0. Они заметно отличаются от немонотонных графиков коэффициента поперечной деформации моделей с к0 ф 0 и A0 ф 0 на рис. 4-6 (продублированы на рис. 7 штриховыми синими линиями 10', 11').

Для линейного определяющего соотношения (9) с n0(t) = C = const > 0 (без объемной ползучести) имеем

0 = Cо/3, en(t; о) = a[n(t) + С/9], е±(t; о) = о[ - 0.5n(t) + С/9],

3С

3С (45)

) = 3П(t) - 2С/3 = 0.5 _

6П(/) + 2C/ 3 18П (t) + 2C

zC

4(t) =

3n(t)'

Для любого о > 0 деформация 9(0 постоянна и 9 > 0, Ец(0 возрастает и выпукла вверх, а s±(t) убывает и выпукла вниз при t > 0 (т.к. оП(t) > 0 и оП(t) < 0), 2,(0 > 0 и убывает, v(t) возрастает при t> 0 (см. кривые 1' и 7' на рис. 4 и кривые 10, 11 на рис. 7), т.е. коэффициент поперечной деформации теряет все разнообразные сценарии эволюции, обнаруженные в п. 6. Из (45) следует, что при t ^ да v(t) стремится к пределу v^ = (9L -2C )(18L + 2C )-1, L = П(да) < да. Если L < да (например, у функции ползучести (32)), то v«> < 0.5, а если L = да (например, у функции ползучести (5), (34) и (6) с a > 0), то v«> = 0.5 (кривая 11 на рис. 7). Модуль s± (t) может быть немонотонным, если

Рис. 7. Графики v(t) и £(^, порожденные определяющими соотношениями (7) и (10) без объемной ползучести при разных а: а — моделей вида (7), (28) с ¥0 = 0 для а = 1, 3, 5, 10, 15; б — моделей вида (10), (28), (32) с ¥0 = 0 и к0 = 0 для а = 1, 2, ..., 6, w = 0.5 (черные кривые 1-6) и w = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.9, а = 6 (синие кривые 11-14, 19) (цветной в онлайн-версии)

выполнено неравенство П (0) < 2C/ 9 < П (да) (означающее, что в ± (0) > 0 и в ± (да) < 0). Критерий отрицательности коэффициента поперечной деформации принимает вид 4.5n(t) < C. Критерий независимости коэффициента поперечной деформации от времени выполняется только в двух случаях: 1) при C=0 (несжимаемый материал), тогда v(t) = 0.5 для любого а > 0; 2) n(t) = B = const (упругий материал), и тогда коэффициент поперечной деформации v = 0.5 -1.5(1 + 9B/ C )-1.

Для определяющего соотношения (10) с V0(x) = 0 и n0(t) = C=const > 0 (без объемной ползучести), уравнения кривых ползучести, порожденных определяющим соотношением (10), и формула (40) для коэффициента поперечной деформации и параметра вида деформированного состояния принимают вид

0(t; а) = wc0F0(g/3) + (1/3)(1 - w)Ca, в = w[y V (| а |)t + cF (| а |)] + (1 - w) | а |П (t),

Bn(t; а) = wzyV(| а |)t + wzcF(| а |) + (1/3) wcFC*/ 3) + (1 - w)G[n (t) + C/9], в 22 = B33 =-0.5wzyV (| а |)t - 0.5 zwcF (| а |) + (V3) wc0F0(c/ 3) - (1 - w) а[0.5П (t) - C/9],

= wc0 3) + (1 - w)( а/ 3)C , wy V (| а |)t + wcF (| а |) + (1 - w) | а | П (t)' v(t; а) = f (£(t; а)), t > 0.

При любом а £(t) строго убывает, поскольку числитель не зависит от времени, а знаменатель возрастает. Поэтому для любого а > 0 коэффици-

ент поперечной деформации возрастает на всем луче t> 0 (т.к. /(х) убывает). Если V(а) Ф 0, то £ (да; а) = 0 и v(да; а) = 0.5, т.е. пределы не зависят от а, w и всех материальных функций (в отличие от общего случая). Если V (а) = 0 (т.е. а8 > 0 и а < а8), то пределы зависят от а, w и материальных функций

£(да; а) = "С ^(а/ 3) + (1 - а/ 3)С, ' wcF (| а |) + (1 - w)| а | П (да)'

Чда;а) = /(£(да;а)).

Коэффициент поперечной деформации сохраняет способность быть отрицательным на некотором интервале времени.

На рис. 7, б приведены графики коэффициента поперечной деформации v(t) (черные кривые 1-6) и параметра вида деформированного состояния £^)/3 (красные кривые 1-5) для разных уровней напряжения а = 1, 2, ..., 6, порожденные определяющим соотношением (10) с w = 0.5, но с упругим изменением объема, т.е. отличающейся от модели с материальными функциями (28) и (32) (см. рис. 5) только тем, что V0 = 0 и к0 = 0 (П0(^ = р0), и еще тем, что Е0 = 103 (объемный модуль Е0 уменьшен в 10 раз по сравнению с рис. 5 и 6, поскольку для Е0 = 104 графики коэффициента поперечной деформации с разными а отличаются совсем мало и стягиваются в узкий жгут). В этом случае £(?) и v(t) ведут себя совсем не так, как у модели (28) и (32) (рис. 5): убывает, v(t) возрастает, v(да) = 0.5 и £(да) = 0 при всех а (асимптоты не зависят от а). Как и в общем случае, семейство £(^; а) возрастает по а, а коэффициент

поперечной деформации v(t; о) убывает по о. Для сравнения на рис. 7, б приведены графики v(t, 6) модели с коэффициентами нелинейности н = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.9 для о = 6 (синие кривые 11-14, 19). Все они имеют общую горизонтальную асимптоту v(<x^; о) = 0.5. Штриховые кривые 10 и 20' — графики коэффициента поперечной деформации v(t, 1), порожденные скрещиваемыми моделями (32) с к0 = 0 и (28) с У0 = 0 (т.е. при н = 0 или н = 1), а кривые 10 и 20 — графики коэффициента поперечной деформации v(t, 6) (кривая длительной прочности линейной модели (32) не зависит от о).

Обнаруженные свойства можно использовать как индикаторы применимости допущения об упругой зависимости объемной деформации от среднего напряжения в сочетании с определяющими соотношениями (7), (9) или по серии кривых ползучести еп(^ о), е± (^ о) и коэффициенту поперечной деформации v(t; о) материала с разными о.

9. Заключение

В работе предложено обобщение (10) физически нелинейного определяющего соотношения вязкоупругопластичности типа Максвелла (7) с четырьмя материальными функциями, общие свойства, арсенал возможностей и область применимости которого исследованы ранее в цикле статей автора [4-10]. Чтобы обобщить определяющее соотношение (7), сохранив его достоинства, но устранив обнаруженные недостатки, ограничивающие его область применимости, и расширить круг описываемых им реологических эффектов, предложено добавить в определяющие соотношения (1), (7) третью (вязкоупругую) компоненту деформации — слагаемое, выражаемое линейным интегральным оператором Больцмана-Вольтерры (3), (9) с произвольными функциями сдвиговой и объемной ползучести. Для общности и удобства управления моделью, для ее настройки на разные материалы и списки моделируемых эффектов в определяющем соотношении (10) введен весовой множитель н е [0; 1] (степень нелинейности), позволяющий «скрещивать» нелинейные определяющие соотношения (1), (7) и операторы линейной вязкоупругости (3), (9) в произвольных пропорциях и регулировать выраженность моделируемых ими разных наборов эффектов. Таким образом, определяющее соотношение

(10) представляет собой гибрид (и одновременное обобщение) определяющего соотношения (7) и определяющего соотношения линейной вязкоуп-ругости (9) (при н = 0 нелинейность отключается и получается ОС линейной вязкоупругости (9), а при н = 1 получается нелинейное ОС (7)). Предложенное определяющее соотношение позволяет не только расширить область применимости ОС (7), но и подключать к ОС линейной вязкоупру-гости (9) модель нелинейной вязкопластичности (7) и «хирургически» настраивать это подключение в зависимости от особенностей данных испытаний конкретного материала.

Выведены уравнения семейств кривых ползучести (объемной, сдвиговой, продольной и поперечной), порождаемых физически нелинейным определяющим соотношением (10) с шестью произвольными материальными функциями при одноосном нагружении образца постоянной осевой нагрузкой и явные выражения (40) для коэффициента поперечной деформации и параметра вида деформированного состояния в зависимости от времени. Аналитически исследованы их общие свойства и влияние на них уровня напряжения о, параметра нелинейности н и характеристик всех материальных функций, проведено их сопоставление со свойствами аналогичных зависимостей, порожденных двумя скрещиваемыми определяющими соотношениями по отдельности. Выявлены новые качественные эффекты, которые дает возможность описывать новое определяющее соотношение по сравнению с исходными, проверено, что обобщение устраняет ряд недостатков ОС вязкоупругопластичности (7), но сохраняет его ценные качества. Например, 1) определяющее соотношение (10) дает возможность описывать не только ползучесть с постоянной скоростью, как ОС (7), но и ползучесть с переменной скоростью, а также ограниченную ползучесть, свойственную, например, многим полимерам; 2) определяющее соотношение (10) описывает восстановление после полной разгрузки («обратную ползучесть») с постепенным выходом деформации на некоторый постоянный уровень при t ^ да; 3) доказано, что определяющее соотношение (10) способно моделировать знакопеременность, монотонное и немонотонное изменение поперечной деформации и коэффициента поперечной деформации под действием постоянного напряжения, их стабилизацию с течением времени. Получены общие точные оценки для диапазона изменения коэффици-

ента поперечной деформации, условия его монотонности и немонотонности и критерий его отрицательности на некотором интервале времени. Доказано, что пренебрежение объемной ползучестью (часто используемое для упрощения задач допущение об объемной упругости), сокращающее количество материальных функций на две единицы, радикально обедняет спектр возможных сценариев эволюции коэффициента поперечной деформации определяющего соотношения (10) во времени: он всегда возрастает и не может иметь точек экстремума и перегиба.

Проведенный анализ показал, что предложенное определяющее соотношение (10) дает широкие возможности для описания разнообразных свойств кривых ползучести и восстановления материалов (для регулировки их формы и настройки на данные испытаний) и всевозможных сценариев эволюции коэффициента поперечной деформации при ползучести, позволяет значительно расширить круг описываемых реологических эффектов и область применимости определяющего соотношения вязкоупругопластичности типа Максвелла (7) и заслуживает дальнейшего исследования и применения в моделировании.

Финансирование

Работа выполнена при поддержке Минобрнау-ки РФ в рамках программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики.

Литература

1. Хохлов А.В. Двусторонние оценки для функции релаксации линейной теории наследственности через кривые релаксации при гатр-деформировании и методики ее идентификации // Изв. РАН. МТТ. - 2018. -№ 3. - С. 81-104. - https://doi.org/10.7868/S05723299 18030108

2. KhokhlovA.V. Analysis of properties of ramp stress relaxation curves produced by the Rabotnov non-linear hereditary theory // Mech. Compos. Mater. - 2018. - V. 54. -No. 4. - P. 473-486. - https://doi.org/10.1007/s11029-018-9757-1

3. Хохлов А.В. Свойства семейства диаграмм деформирования, порождаемых нелинейным соотношением Ю.Н. Работнова для вязкоупругопластичных материалов // Изв. РАН. МТТ. - 2019. - № 2. - С. 29-47. -https://doi.org/10.1134/S0572329919020077

4. Хохлов А.В. Кривые длительной прочности нелинейной модели вязкоупругопластичности типа Максвелла и правило суммирования поврежденности при ступенчатых нагружениях // Вестник Самарского гос. технического университета. Сер. Физ.-мат. науки. -

2016. - Т. 20. - № 3. - С. 524-543. - https://doi.org/ 10.14498/vsgtu1512

5. Хохлов А.В. Нелинейная модель вязкоупругопластичности типа Максвелла: моделирование влияния температуры на кривые деформирования, релаксации и ползучести // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2017. - Т. 21. - № 1. - С. 160179. - https://doi.org/10.14498/vsgtu1524

6. Khokhlov A.V. A nonlinear Maxwell-type model for rheonomic materials: Stability under symmetric cyclic loadings // Moscow Univ. Mech. Bull. - 2018. - V. 73. -No. 2. - Р. 39-42. - https://doi.org/10.3103/S00271330 18020036

7. Хохлов А.В. Индикаторы применимости и методики идентификации нелинейной модели типа Максвелла для реономных материалов по кривым ползучести при ступенчатых нагружениях // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. - 2018. -№ 6. - С. 92-112. - https://doi.org/10.18698/1812-3368-2018-6-92-112

8. Khokhlov АУ. Applicability indicators and identification techniques for a nonlinear Maxwell-type elastoviscoplas-tic model using loading-unloading curves // Mech. Compos. Mater. - 2019. - V. 55. - No. 2. - P. 195-210. -https://doi.org/10.1007/s11029-019-09809-w

9. Khokhlov A.V. Possibility to describe the alternating and non-monotonic time dependence of Poisson's ratio during creep using a nonlinear Maxwell-type viscoelasto-plasticity model // Russ. Metallurgy (Metally). - 2019. -No. 10. - P. 956-963. - https://doi.org/10.1134/S00360 29519100136

10. Khokhlov A.V., Shaporev A.V., Stolyarov O.N. Loading-unloading-recovery curves for polyester yarns and identification of the nonlinear Maxwell-type viscoelastoplastic model // Mech. Compos. Mater. - 2023. - V. 59. -No. 1. - P. 129-146. - https://doi.org/10.1007/s11029-023-10086-x

11. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. - М.: Наука, 1966.

12. Бугаков И.И. Ползучесть полимерных материалов. -М.: Наука, 1973.

13. Малинин Н.Н. Расчеты на ползучесть элементов машиностроительных конструкций. - М.: Машиностроение, 1981.

14. Гохфельд Д.А., Садаков О.С. Пластичность и ползучесть элементов конструкций при повторных нагру-жениях. - М.: Машиностроение, 1984.

15. Никитенко А.Ф. Ползучесть и длительная прочность металлических материалов. - Новосибирск: НГАСУ, 1997.

16. Betten J. Creep Mechanics. - Berlin: Springer-Verlag, 2008. - https://doi.org/10.1007/b138749

17. Локощенко А.М. Ползучесть и длительная прочность металлов. - М.: Физматлит, 2016.

18. Lakes R.S. Viscoelastic Materials. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2009. - https://doi.org/10.1017/CB0 9780511626722

19. Bergstrom J.S. Mechanics of Solid Polymers. Theory and Computational Modeling. - William Andrew, Elsevier, 2015. - https://doi.org/10.1016/c2013-0-15493-1

20. Виноградов Г.В., Малкин А.Я. Реология полимеров. -М.: Химия, 1977.

21. Larson R.G. Constitutive Equations for Polymer Melts and Solutions. - Boston: Butterworth, 1988. - https://doi. org/10.1016/c2013-0-04284-3

22. Gupta R.K. Polymer and Composite Rheology. - New York: Marcel Dekker, 2000.

23. Malkin A.Y., Isayev A.I. Rheology: Conceptions, Methods, Applications. - Toronto: Chem. Tec. Publ., 2012.

24. Brinson H.F., Brinson L.C. Polymer Engineering Science and Viscoelasticity. - Springer, 2008. - https://doi. org/10.1007/978-0-387-73861-1

25. КалинниковА.Е, ВахрушевА.В. О ползучести материалов, разносопротивляющихся растяжению и сжатию, при переменных напряжениях // Механика композитных материалов. - 1982. - № 3. - C. 400-405.

26. Fatemi A., Yang L. Cumulative fatigue damage and life prediction theories: A survey of the state of the art for homogeneous materials // Int. J. Fatigue. - 1998. - V. 20. -No. 1. - P. 9-34.

27. Launay A., Maitournam M.H., Marco Y., Raoult I., Szmytka F. Cyclic behaviour of short glass fibre reinforced polyamide: Experimental study and constitutive equations // Int. J. Plasticity. - 2011. - V. 27. - P. 12671293. - https://doi.org/10.1016/j.ijplas.2011.02.005

28. Darabi M.K., Al-Rub К.К.А., Masad E.A., Huang C.-W., Little D.N. A modified viscoplastic model to predict the permanent deformation of asphaltic materials under cyclic-compression loading at high temperatures // Int. J. Plasticity. - 2012. - V. 35. - P. 100-134.

29. Takagi H., Dao M., FujiwaraM. Prediction of the constitutive equation for uniaxial creep of a power-law material through instrumented microindentation testing and modeling // Mater. Trans. - 2014. - V. 55. - No. 2. - P. 275284.

30. Chinh N.Q., Szommer P. Mathematical description of indentation creep and its application for the determination of strain rate sensitivity // Mater. Sci. Eng. A. - 2014. -V. 611. - P. 333-336.

31. Петухов Д.С., Келлер И.Э. Двойственные задачи плоских ползущих течений степенной несжимаемой среды // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2016. - Т. 20. - № 3. - С. 496-507.

32. Кайбышев О.А. Сверхпластичность промышленных сплавов. - М.: Металлургия, 1984.

33. Nieh T.G., Wadsworth J., Sherby O.D. Superplasticity in Metals and Ceramics. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1997. - https://doi.org/10.1017/CB0978051152 5230

34. Padmanabhan K.A., VasinR.A., EnikeevF.U. Superplastic Flow: Phenomenology and Mechanics. - Berlin: Springer-Verlag, 2001. - https://doi.org/10.1007/978-3-662-04367-7

35. Segal V.M., Beyerlein I.J., Tome C.N., Chuvil'deev V.N., Kopylov V.I. Fundamentals and Engineering of Severe Plastic Deformation. - New York: Nova Science Pub. Inc., 2010.

36. Zhilayev A.P., Pshenichnyuk A.I. Superplasticity and Grain Boundaries in Ultrafine-Grained Materials. - Cambridge: Cambridge Int. Sci. Publ., 2010.

37. Cao Y. Determination of the creep exponent of a power-law creep solid using indentation tests // Mech. Time-Depend. Mater. - 2007. - V. 11. - P. 159-172.

38. Megahed M., Ponter A.R.S., Morrison C.J. An experimental and theoretical investigation into the creep properties of a simple structure of 316 stainless steel // Int. J. Mech. Sci. - 1984. - V. 26. - No. 3. - P. 149-164.

39. Еникеев Ф.У. Экспериментальная оценка скоростной чувствительности сверхпластичного материала с сильно неоднородным напряженно-деформированным состоянием // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2007. - Т. 73. - № 10. - С. 44-50.

40. Mochugovskiy A.G., Mosleh A.O., Kotov A.D., Khokh-lov A.V., Kaplanskaya L.Y., Mikhaylovskaya A.V. Microstructure evolution, constitutive modelling, and superplastic forming of experimental 6XXX-type alloys processed with different thermomechanical treatments // Materials. - 2023. - V. 16. - No. 1-445. - P. 1-18. -https://doi.org/10.3390/ma16010445

41. Эглит М.Э., Якубенко А.Е., Зайко Ю.С. Математическое моделирование склоновых потоков с учетом неньютоновских свойств движущейся среды // Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. - 2018. - T. 300. - C. 229-239.

42. Радченко В.П., Шапиевский Д.В. Математическая модель ползучести микро-неоднородного нелинейно-упругого материала // ПМТФ. - 2008. - Т. 49. - № 3. -С. 157-163.

43. Naumenko K., Altenbach H., Gorash Y. Creep analysis with a stress range dependent constitutive model // Arch. Appl. Mech. - 2009. - V. 79. - P. 619-630. - https:// doi.org/10.1007/s00419-008-0287-5

44. Lu L.Y., Lin G.L., ShihM.H. An experimental study on a generalized Maxwell model for nonlinear viscoelastic dampers used in seismic isolation // Eng. Struct. - 2012. -V. 34. - No. 1. - P. 111-123.

45. Monsia M.D. A simplified nonlinear generalized Maxwell model for predicting the time dependent behavior of viscoelastic materials // World J. Mech. - 2011. -No. 1. - P. 158-167. - https://doi.org/10.4236/wjm.2011. 13021

46. Stolin A.M., Khokhlov A.V. Nonlinear model of shear flow of thixotropic viscoelastoplastic continua taking into account the evolution of the structure and its analysis // Moscow Univ. Mech. Bullet. - 2022. - V. 77. - No. 5. -P. 127-135. - https://doi.org/10.3103/S002713302205 0065

47. Хохлов А.В., Гулин В.В. Анализ свойств нелинейной модели сдвигового течения тиксотропных сред, учитывающей взаимное влияние эволюции структуры и процесса деформирования // Физ. мезомех. - 2023. -Т. 26. - № 4. - С. 41-63. - https://doi.org/10.55652/ 1683-805X_2023_26_4_41

48. Городцов В.А., Леонов А.И. О кинематике, неравновесной термодинамике и реологических соотношениях в нелинейной теории вязкоупругости // ПММ. -1968. - Т. 32. - № 1. - С. 70-94.

49. Leonov A.I., Lipkina E.Ch., Paskhin E.D., Prokunin A.N. Theoretical and experimental investigations of shearing in elastic polymer liquids // Rheol. Acta. - 1976. - V. 15. -

No. 7/8. - Р. 411-426. - https://doi.org/10.1007/BF0157 4496

50. Пальмов В.А. Реологические модели в нелинейной механике деформируемых тел // Успехи механики. -1980. - Т. 3. - № 3. - С. 75-115.

51. Прокунин А.Н. О нелинейных определяющих соотношениях максвелловского типа для описания движения полимерных жидкостей // ПММ. - 1984. - Т. 48. -№ 6. - С. 957-965.

52. Leonov A.I., Prokunin A.N. Non-Linear Phenomena in Flows of Viscoelastic Polymer Fluids. - London: Chapman and Hall, 1994. - https://doi.org/10.1007/978-94-011-1258-1

53. Leonov A.I. Constitutive equations for viscoelastic liquids: Formulation, analysis and comparison with data // Rheology Series. - 1999. - V. 8. - P. 519-575. - https:// doi.org/10.1016/S0169-3107(99)80040-9

54. Хохлов А.В. Анализ общих свойств кривых ползучести при циклических ступенчатых нагружениях, порождаемых линейной теорией наследственности // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2017. - Т. 21. - № 2. - С. 326-361. - https:// doi.org/10.14498/vsgtu1533

55. Хохлов А.В. Индикаторы применимости и методики идентификации нелинейной модели упруговязкоплас-тичности типа Максвелла по двойным кривым обратной ползучести // Проблемы прочности и пластичности. - 2021. - Т. 83. - № 4. - С. 443-450. - https:// doi.org/10.32326/1814-9146-2021-83-4-433-450

56. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов (применительно к зарядам ракетных двигателей на твердом топливе). - М.: Наука, 1972.

57. Айнбиндер С.Б., Тюнина Э.Л., Цируле К.И. Свойства полимеров в различных напряженных состояниях. -М.: Химия, 1981.

58. Гольдман А.Я. Объемная деформация пластмасс. -Л.: Машиностроение, 1984.

59. Гольдман А.Я. Прогнозирование деформационно-прочностных свойств полимерных и композиционных материалов. - Л.: Химия, 1988.

60. Mileiko S.T. Metal and Ceramic Based Composites. -Amsterdam: Elsevier, 1997.

61. Мошев В.В., Свистков А.Л., Гаришин О.К. и др. Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов. -Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1997.

62. Баженов С.Л., Берлин А.А., Кульков А.А., Ошмян В.Г. Полимерные композиционные материалы. Прочность и технологии. - М.: Изд-во Интеллект, 2009.

63. Брехова В.Д. Исследование коэффициента Пуассона при сжатии некоторых кристаллических полимеров постоянной нагрузкой // Механика полимеров. -1965. - № 4. - C. 43-46.

64. Дзене И.Я., Путанс А.В. Коэффициент Пуассона при одномерной ползучести полиэтилена // Механика полимеров. - 1967. - № 5. - С. 947-949.

65. Дзене И.Я., Крегерс А.Ф., Вилкс У.К. Особенности процесса деформирования при ползучести и повторной ползучести полимеров в условиях одноосного

растяжения. Часть 1 // Механика полимеров. - 1974. -№ 3. - C. 399-405.

66. Щербак В.В., Гольдман А.Я. Объемные изменения дисперсно наполненных композитов при испытании в условиях ползучести // Механика композитных материалов. - 1982. - № 3. - C. 549-552.

67. Калинников А.Е., Вахрушев А.В. О соотношении поперечной и продольной деформаций при одноосной ползучести разносопротивляющихся материалов // Механика композитных материалов. - 1985. - № 2. -С. 351-354.

68. Knauss W.G., Emri I. Volume change and the nonlinear-ly thermoviscoelastic constitution of polymers // Polym. Eng. Sci. - 1987. - V. 27. - P. 86-100.

69. Tschoegl N.W. Time dependence in material properties: An overview // Mech. Time-Depend. Mater. - 1997. -V. 1. - No. 1. - P. 3-31. - https://doi.org/10.1023/A: 1009748023394

70. Ozupek S., Becker E.B. Constitutive equations for solid propellants // J. Eng. Mater. Technol. - 1997. - V. 119. -No. 2. - P. 125-132. - https://doi.org/10.1115/L2805983

71. Hilton Н.Н. Implications and constraints of time-independent Poisson's ratios in linear isotropic and anisotropic viscoelasticity // J. Elast. - 2001. - V. 63. - P. 221251. - https://doi.org/10.1023/A:1014457613863

72. Tschoegl N.W., Knauss W.G., Emri I. Poisson's ratio in linear viscoelasticity—A critical review // Mech. Time-Depend. Mater. - 2002. - V. 6. - No. 1. - P. 3-51. -https://doi.org/10.1023/A:1014411503170

73. Arzoumanidis G.A., Liechti K.M. Linear viscoelastic property measurement and its significance for some nonlinear viscoelasticity models // Mech. Time-Depend. Mater. - 2003. - V. 7. - No. 3. - P. 209-250. - https:// doi.org/10.1023/B:MTDM.0000007357.18801.13

74. Ломакин Е.В. Механика сред с зависящими от вида напряженного состояния свойствами // Физ. мезо-мех. - 2007. - Т. 10. - № 5. - C. 41-52.

75. Савиных А.С., Гаркушин Г.В., Разоренов С.В., Ка-нель Г.И. Продольная и объемная сжимаемость на-триево-известкового стекла при давлениях до 10 ГПа // ЖТФ. - 2007. - Т. 77. - № 3. - С. 38-42.

76. Pandini S., Pegoretti A. Time, temperature, and strain effects on viscoelastic Poisson's ratio of epoxy resins // Polym. Eng. Sci. - 2008. - V. 48. - No. 7. - P. 14341441. - https://doi.org/10.1002/pen.21060

77. Быков Д.Л., Пелешко В.А. Определяющие соотношения деформирования и разрушения наполненных полимерных материалов в процессах преобладающего осевого растяжения в различных баротермических условиях // Изв. РАН. МТТ. - 2008. - № 6. - С. 40-65.

78. Shekhar H., Sahasrabudhe A.D. Longitudinal strain dependent variation of Poisson's ratio for HTPB based solid rocket propellants in uni-axial tensile testing // Propellants Explosives Pyrotech. - 2011. - V. 36. - No. 6. -P. 558-563. - https://doi.org/10.1002/prep.200900079

79. Tscharnuter D., JerabekM., Major Z., Lang R.W. Time-dependent Poisson's ratio of polypropylene compounds for various strain histories // Mech. Time-Dependent Mater. - 2011. - V. 15. - No. 1. - P. 15-28. - https://doi.org/ 10.1007/s11043-010-9121-x

80. Grassia L., D'Amore A., Simon S.L. On the viscoelastic Poisson's ratio in amorphous polymers // J. Rheology. -2010. - V. 54. - No. 5. - P. 1009-1022. - https://doi.org/ 10.1122/1.3473811

81. Cui H.R., Tang G.J., Shen Z.B. Study on viscoelastic Poisson's ratio of solid propellants using digital image correlation method // Propellants Explosives Pyrotech. -2016. - V. 41. - No. 5. - P. 835-843. - https://doi.org/10. 1002/prep.201500313

82. Lakes R. Foam structure with a negative Poisson's ratio // Science. - 1987. - V. 235. - P. 1038-1040. - https:// doi.org/10.1126/science.235.4792.1038

83. Friis E.A., Lakes R.S., Park J.B. Negative Poisson's ratio polymeric and metallic materials // J. Mater. Sci. -1988. - V. 23. - P. 4406-4414. - https://doi.org/10.1007/ BF00551939

84. Берлин Ал.Ал., Ротенбург Л., Басэрт Р. Особенности деформации неупорядоченных полимерных и неполимерных тел // Высокомолекулярные соединения. Б. -

1992. - Т. 34. - № 7. - С. 6-32.

85. Milton G.W. Composite materials with Poisson's ratios close to -1 // J. Mech. Phys. Solids. - 1992. - V. 40. -P. 1105-1137. - https://doi.org/10.1016/0022-5096C92) 90063-8

86. Lakes R.S., Elms K. Indentability of conventional and negative Poisson's ratio foams // J. Compos. Mater. -

1993. - V. 27. - P. 1193-1202. - https://doi.org/10.1177/ 002199839302701203

87. Сaddock B.D., Evans K.E. Negative Poisson ratios and strain-dependent mechanical properties in arterial prostheses // Biomaterials. - 1995. - V. 16. - P. 1109-1115.

88. Chan N., Evans K.E. Indentation resilience of conventional and auxetic foams // J. Cell. Plastics. - 1998. -V. 34. - P. 231-260. - https://doi.org/10.1177/0021955X 9803400304

89. Alderson K.L., Fitzgerald A., Evans K.E. The strain dependent indentation resilience of auxetic microporous polyethylene // J. Mater. Sci. - 2000. - V. 35. - P. 40394047. - https://doi.org/10.1023/A:1004830103411

90. Конек Д.А., Войцеховски К.В., Плескачевский Ю.М., Шилько С.В. Материалы с отрицательным коэффициентом Пуассона (обзор) // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2004. - Т. 10. - № 1. -С. 35-69.

91. Greer A.L., Lakes R.S., Rouxel T., Greaves G.N. Poisson's ratio and modern materials // Nat. Mater. - 2011. -V. 10. - No. 11. - P. 823-837. - https://doi.org/10.1038/ NMAT3177

92. Хохлов А.В. Индикаторы неприменимости линейной теории вязкоупругости по данным испытаний материала на ползучесть при растяжении с наложением гидростатического давления // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2019. - Т. 25. -№ 2. - C. 259-280. - https://doi.org/10.33113/mkmk.ras. 2019.25.02.259_280.09

93. Хохлов А.В. Анализ влияния объемной ползучести на кривые нагружения с постоянной скоростью и эволюцию коэффициента Пуассона в рамках линейной теории вязкоупругости // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2019. - Т. 23. - № 4. -С. 671-704. - https://doi.org/10.14498/vsgtu1710

94. Хохлов А.В. Моделирование зависимости кривых ползучести при растяжении и коэффициента Пуассона реономных материалов от гидростатического давления с помощью нелинейно-наследственного соотношения Работнова // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2018. - Т. 24. - № 3. -С. 407-436. - https://doi.org/10.33113/mkmk.ras.2018. 24.03.407_436.07

95. Khokhlov АУ. On the capability of linear viscoelasticity theory to describe the effect of extending region of material linearity as the hydrostatic pressure grows // Moscow Univ. Mech. Bullet. - 2021. - V. 76. - No. 1. - P. 7-14. -https://doi.org/10.3103/S0027133021010040

96. Хохлов А.В. Эффекты затухания памяти и асимптотической коммутативности при ступенчатом нагруже-нии в линейной вязкоупругости // Композиты и наноструктуры. - 2022. - Т. 14. - № 4. - С. 208-232. -https://doi.org/10.36236/1999-7590-2022-14-4-208-232

Поступила в редакцию 26.06.2023 г., после доработки 09.08.2023 г., принята к публикации 11.08.2023 г.

Сведения об авторе

Хохлов Андрей Владимирович, к.т.н., внс НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова, внс Московского центра фундаментальной и прикладной математики, внс СВФУ, доц. МГУ им. М.В. Ломоносова, [email protected]