CC BY
9УДК 539.3
КРИТЕРИИ НЕМОНОТОННОСТИ И ОТРИЦАТЕЛЬНОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА ИЗОТРОПНЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ, ОПИСЫВАЕМЫХ НЕЛИНЕЙНЫМ СООТНОШЕНИЕМ РАБОТНОВА
А. В. Хохлов1
Аналитически изучены уравнения семейств кривых ползучести в продольном и поперечном направлениях, порождаемых физически нелинейным (квазилинейным) определяющим соотношением Работнова с четырьмя произвольными материальными функциями в условиях одноосного нагружения изотропного материала. Выведено и исследовано выражение для коэффициента Пуассона в условиях ползучести через материальные функции и время, получены общие оценки для него. Найдены критерии постоянства коэффициента Пуассона при ползучести (критерий подобия кривых ползучести в продольном и поперечном направлениях), критерии его отрицательности и немонотонности зависимости от времени (и от осевой деформации) и условия немонотонности поперечной деформации.
Ключевые слова: наследственность, физическая нелинейность, сжимаемость, ползучесть, поперечная деформация, коэффициент поперечной деформации, отрицательный коэффициент Пуассона, вязкоупругие ауксетики.
General properties of the theoretic creep curves for volumetric, longitudinal and lateral strain generated by the Rabotnov physically nonlinear constitutive equation for non-aging viscoelastic materials under uniaxial loading are studied analytically assuming four material functions of the relation are arbitrary. The expressions for Poisson's ratio via the strain state parameter and via four material functions of the model are derived. The Poisson ratio dependence on time, stress level and material functions are examined. General two-sided bound for its range is obtained. It is proved that the Rabotnov relation is able to simulate non-monotone behavior and sign changes of lateral strain and Poisson's ratio. The restrictions on material functions providing negative Poisson's ratio values are found and the criterion for its nondependence on time is formulated.
Key words: heredity, physical nonlinearity, compressibility, creep, lateral strain, lateral contraction ratio in creep, negative Poisson's ratio, viscoelastic auxetics.
1. Введение. Коэффициент Пуассона v = —£±/e\\ изотропных вязкоупругопластичных материалов при одноосном нагружении не постоянен, а зависит от времени (от осевой деформации £||) и программы нагружения. Зависимости поперечной и объемной деформаций е± и в от времени и в||, характер изменения и диапазоны значений коэффициента Пуассона для полимеров, композитов, пен, металлов, сплавов и других материалов весьма разнообразны даже в испытаниях на ползучесть при постоянной нагрузке или на релаксацию [1-20]. У большинства металлов и многих полимеров (например, полиэтиленов) наблюдается монотонное возрастание v с ростом вц [6-9] и монотонное убывание объемной деформации. У многих реономных материалов, как достаточно хрупких, так и высокоэластичных (твердое топливо, асфальтобетон, чугун и т.п.), наблюдается убывание v(t), свидетельствующее о необратимом изменении объема при деформировании [2, 1012]. У фторопласта и полиэтилена низкой плотности, наполненного мелом, объемная деформация и коэффициент Пуассона изменяются немонотонно и меняют знак [13]. Величина коэффициента Пуассона изотропных композитных материалов и характер его изменения (как и модуль упругости, и прочностные характеристики) зависят от объемной доли (дисперсного) наполнителя, от физических свойств, форм и размеров его частиц, свойств адгезионных связей с матрицей, текущего уровня поврежденности, предыстории нагружения и многих иных факторов. В последние три десятилетия обнаружены, активно конструируются и исследуются новые материалы с отрицательным коэффициентом Пуассона [14-20]. Изменение коэффициента Пуассона следует учитывать при обработке и
1 Хохлов Андрей Владимирович — канд. техн. наук, вед. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: andrey-khokhlovQya.ru.
Khokhlov Andrew Vladimirovich — Candidate of Technical Sciences, Leading Scientific Researcher, Lomonosov Moscow State University Institute of Mechanics.
интерпретации кривых испытаний реономных материалов и при выборе и идентификации определяющего соотношения (ОС) для моделирования их поведения. В частности, величина коэффициента Пуассона существенно влияет на точность определения модуля упругости и твердости пленок, покрытий и поверхностных слоев материалов посредством (нано)индентирования по общепринятым методикам [21-24] даже в предположении (идеально) упругопластического поведения материала и тем более при попытках учесть его реономные свойства.
При выборе того или иного ОС для моделирования поведения некоторого материала важно знать, какие механические эффекты оно способно моделировать (в частности, какие из вышеупомянутых эффектов, связанных с поперечной и объемной деформациями) и при каких требованиях к материальным функциям (МФ). Для этого необходимо системное аналитическое изучение общих свойств кривых релаксации, ползучести и деформирования, которые порождает применяемое ОС при разных типовых программах нагружения. Настоящая статья продолжает цикл работ [25-29] по системному исследованию нелинейного ОС вязкоупругости вида
£4(t) = ^(L(t))a(t)-1(al3-ao6l3) + ^o(Lo(t))6l3, t > 0. (1)
t t
L(t) = Ua(t), Lo(t) = Uoao(t), Uy(t) = jn(i — r ) dy(r ), Поу(*) = J П o(t — r ) dy(r ) (2)
0 0
с произвольными материальными функциями n(t), Ф(ж), no(t), Фо(ж). Цель этого цикла — выявление комплекса моделируемых им реологических эффектов и границ области применимости, сфер влияния его материальных функций и феноменологических ограничений на них, разработка способов идентификации, верификации и настройки ОС. Такой анализ до сих пор не был проведен для ОС (1). Тензорно-линейное ОС (1) описывает изотермические процессы деформирования нестареющих изотропных вязкоупругих материалов, связывая истории изменения тензоров напряжений a(t) и (малых) деформаций s(t) в любой точке тела (в предположении независимости объемной деформации в = 3ео от касательных напряжений, а сдвиговых деформаций — от гидростатического давления p = — сто). Здесь и в соотношении (1) используются стандартные обозначения: eo(t) = ец/3 и do(í) = оц/3 — первые инварианты тензоров, e(t) = (|£ij£ij)0'5 и a(t) = (|Vij&íj)0'5 — интенсивности деформаций и напряжений, e = s — eolns = а — сто1 — девиаторы тензоров деформаций и напряжений, а входные процессы а (t) предполагаются кусочно-гладкими при t ^ 0.
Задача настоящей статьи — вывод и анализ выражения для коэффициента Пуассона, которое порождает ОС (1) в условиях ползучести при одноосном растяжении.
2. Определяющее соотношение Работнова и его материальные функции. Одноосный вариант ОС (1) был предложен Ю.Н. Работновым [30-33] для описания нелинейной ползучести как обобщение одномерного линейного ОС вязкоупругости
t t e(t) = j n(t — r) da(r) = Па, a(t) = j R(t — r) de(r) = Re, t> 0, (3)
о 0
посредством введения дополнительной МФ <р(u) (функции нелинейности):
t t y(e(t)) = j n(t — r) da(r), a(t) = J R(t — r)<p'(e(t)) de(r), t> 0. (4)
о о
Здесь n(t), R(t) — функции ползучести и релаксации, они связаны интегральным уравнением /о R(t — r)n(t) dr = t, выражающим условие взаимной обратности операторов (3) (и (4)). В работах [30-35] ОС (4) использовалось для описания одномерного поведения стеклопластиков, графита, металлов, сплавов и композитов, а в [36-40] — связок, сухожилий и других биологических тканей. В англоязычных работах ОС (4) именуется уравнением квазилинейной вязкоупругости (QLV), а его авторство приписывается Я.Ч. Фангу (Y.C. Fung) [36-40]. Подробные обзоры литературы и приложений ОС (4) приведены в статьях [26-28].
Простейшее обобщение ОС (4) на сложное напряженное состояние получается в предположении изотропности и тензорной линейности материала, независимости объемных и сдвиговых деформаций от касательных напряжений и гидростатического давления (отсутствия взаимного влияния
17 ВМУ, математика, механика, №3
шаровых и девиаториых частей тензоров) и пренебрежения влиянием третьих инвариантов. Тогда первые инварианты £o(t) и ao(t) тензоров деформаций и напряжений, их интенсивности e(t) и a(t) и девиаторы e = £ — £oI и s = а — aoI связаны операторами, зависящими от двух пар материальных функций П, Ф и По Фо:
в = Зео = Фо(Посго), е = Ф(Па), e4(t) = ^(i)a(i) (5)
где Ф = р-1, Фо = р__\ а П и По — линейные интегральные операторы (2). Таким образом, тензоры деформаций и напряжений связаны ОС (1). Видимо, впервые обобщение ОС (4) на трехмерный случай в такой форме было выписано в работах [33, 41].
В одномерном случае (4) обратное ОС имеет вид a = R^(e) (композиция оператора действия функции р и линейного интегрального оператора R вида (3)). Обращение трехмерного ОС (5) (т.е. (1)) для любых возрастающих функций Ф и Фо имеет вид
2 -1
a0=RoPo(6l), er = Rp(e), Sij(t) = -a(t)£(t) e^t), (6)
где функции релаксации R(t) и Ro(t) связаны с П и По интегральными уравнениями.
Из трех материальных функций р, П, R в ОС (4) лишь две независимы, а в ОС (1) — четыре МФ. На функции ползучести и релаксации в ОС (4) и (1) наложим те же минимальные ограничения, что и в линейной теории: n(t), no(t), R(t) и Ro(t) предполагаются положительными и дифференцируемыми на (0, +то), функции П и По — возрастающими и выпуклыми вверх, a R и Ro — убывающими и выпуклыми вниз на (0, R и Ro могут иметь в точке t = 0 интегрируемую особенность или
¿-сингулярность (слагаемое Важные следствия этих общих ограничений исследованы в
работах [42, 43]. На функции р и ро в ОС (4) и (6) и на Ф и Фо в ОС (1) наложим следующие минимальные ограничения [25-28]: функция р(и) непрерывно дифференцируема и строго возрастает на (0; ш), ш > 0, а функция ро(и) — на множестве (ш_;0) U (0; ), где ш_ш+ < 0, причем р(0+) = 0 и ро(0—) = ро(0+) = 0 (иначе входному процессу e(t) = 0 соответствует ненулевой отклик a(t)). Из возрастания р и ро следует существование и возрастание (и дифференцируемость) обратных функций Ф(ж), ж € (0;Х), и Фо(ж), ж € (ж;ж), где X = supp(-u) = p(w—), ж = infpo(u), ж = suppo(u), и обратимость ОС (1). Аналогично обратимость ОС (1) следует из возрастания Ф и Фо. Величины X, ж и ж, их конечность или бесконечность — важные характеристики МФ, существенно влияющие на свойства теоретических кривых ОС (1) [25-29]. Для материалов с одинаковым поведением при растяжении и сжатии функции Фо и ро нечетны.
В принципе для дилатирующих сред можно учесть в ОС (1) влияние гидростатического давления на деформации сдвига и влияние касательных напряжений на объемную деформацию, введя в функции Ф и Фо зависимость от второго аргумента ао или а либо добрив в операторы П и По зависимость квазидеформаций р(е) и ро($) от предыстории инвар пантов ao(t) или a(t) соответственно (точнее, от функций ^o(ao(t)) ми ^(a(t)), где ^о и ^о — дополнительные МФ) или от параметра вида напряженного состояния £ = ao(t)/a(t). Но варианты выбора этой связи и анализ его следствий (свойств и возможностей ОС) — тема других работ.
3. Кривые ползучести, поперечная деформация и коэффициент Пуассона, порождаемые ОС (1). В случае одноосного нагружения au(t) = äh(t), где h(t) — функция Хевисайда, а = const, имеем ао = \~crh(t), s = \~äh(t)diag(2; —1; —1), а = |а|h(t). Вычисление операторов (5) дает L(t) = Па = |а|П(£), L0(t) = П0а0 = ^аП0(i) и
e(t,ä) = Ф(|а|П(£)), ö{t,ä) = Зе0 = Ф0(Я1о(*)/3). (7)
В силу пропорциональности девиаторов в ОС (5) (или (1)) девиатор деформаций тоже диагональный тензор е = ze(i,ä)diag(l; —0.5; —0.5), где z = sgn(ä) = ±1, и у тензора деформаций £ = e + £oI в любой момент времени отличны от нуля лишь диагональные компоненты (вычисляемые по формулам (1) и (7)):
£11 = *Ф(|<7|П(*)) + i Фо(<7По(*)/3), £22 = £33 = + i Фо(аПо^)/3). (8)
Из возрастания материальных функций Ф, П, Фо и По следует, что для любого ä > 0 (будем для определенности рассматривать случай растяжения) осевая деформация £n(t) положительна и
монотонно возрастает. В силу (8) кривые ползучести в продольном и поперечном направлениях, вообще говоря, не подобны (коэффициент Пуассона v(t) = —£22/£11 не постоянен). Более того, е± = £22(t) и |£±| не обязаны быть монотонными функциями: они могут иметь точки экстремума и менять знак. При а > 0 производная è± выражается формулой
¿L = Ф'(НП(;))НГВД +± Ф^По(*)/З)<7Йо(*) (9)
и из (9) следует, что условие убывания £^(t) на некотором интервале времени имеет вид
Ф(,(<7По(*)/3)По(*) < \ Ф'(<7П(*))П(*). (10)
Коэффициент Пуассона при ползучести выражается формулой
зФ(ш(г))-2Фо(|ш0(г)) зФо(|Шо(^))
v(t,a) =-т-= 0.5--й--,-. (11)
6Ф(<тП(£))+2Ф0(^хП0(£)) 6Ф(<тП(£)) + 2Ф0(^хП0(£))
Критерий его постоянства налагает жесткую связь на материальную функцию ОС (1): в силу (8) тождество £± = —v£ii равносильно
Фо(стПоС0/3) = 3(0.5 - г/)(1 + (t)). (12)
В частности, тождество (12) справедливо для несжимаемого материала (с По^) = 0), когда v = 0.5, но никогда не выполняется для реономного материала с упругим изменением объема (с По(£) = const > 0 и n(t) = const).
Коэффициент Пуассона (11) можно выразить через параметр вида деформированного состояния £(i,<f) = 3 e0(t)/e{t) = Ф0(|<хП0(£))/Ф(<хП(£)):
v(t,a) = 0.5 - Зв(6е + 2в)~1 = 0.5 - 3£(6 + 2£)-1. (13)
Аналогичный параметр вида напряженного состояния £ = 3ао (t)/a(t) тождественно равен 1 для рассматриваемого нагружения, т.е. не зависит от времени (как и параметры Лоде тензоров напряжений и деформаций, тождественно равные — 1). Так как Ф(х) > 0 при x > 0, то 9 ^ 0 £ ^ 0 и v(t) ^ 0.5. А из (11) и неравенства Ф(<тП(£)) > 0 при t > 0 следует оценка снизу: v(t) > —1 при t > 0. Для моделей с П(0) = 0 и По(0) = 0 имее м v (t) — — 1 при t — 0 (ибо Ф(0) = 0), а для моделей с По(0) = 0 и П(0) = 0 имеем v(0+) = 0.5.
Коэффициент Пуассона может быть отрицательным, ибо возможно £^(t) > 0. В силу (11) кри-v(t)
Фо(0По(*)/3) > 1.5Ф(<тП(£)). (14)
v(t) v(t)
ренцирование выражения (11) приводит к довольно длинным выкладкам):
v(t) = — 3[£(6 + 2£) — 2££](6 + 2£)-2 = —18£(6 + 2£)-2.
Знаки v (t) и —£(t) одинаковы, и потому совпадают интервалы монотонности v (t) и —£ (t). Постоянство коэффициента Пуассона (12) равносильно постоянству £ (t). Отметим, что функция v (£), £ ^ 0, из (13) и обратная ей функция £(v) = 1.5(1 — 2v)(1 + v)-1, v € (—1; 0.5], убывают, £(0.5) = 0, a при v — —1 имеем £ — +œ, £/£11 — 0 и 9/£11 — 3.
v(t)
£(t)
Ф(х) = Axn, Фо(х) = Aoxm, n(t) = at + в — Ye-Xt, no(t) = aot + во, (15)
где A = 0.01 n = 6, Ао = 0.1 m = 3, a = 0.01 в = 1 Y = 0.5, A = 0.1 ао = 0.02, в = 0.1, для уровней напряжения а = 0.2; 0.3; 0.4; 0.5; 1 (кривые 2-5, 10; нумерация кривых связана с величиной а = 0.1г). В этом случае £(0) = А$А~13~т fi™(fi — ^/)~пат~п, графики v{t) и £(t) имеют точки максимума и минимума и горизонтальную асимптоту: v(t) —>■ 0.5 и £(t) —>■ 0 при t —> +00. Чем больше а, тем выше лежит график v(t) и ниже график £(t), поскольку п > т. Поведение v(t,a) и £(1<т) модели (15) с
18 ВМУ, математика, механика, № 3
показателями п < т совсем иное (на рисунке приведены штрихпунктирные кривые 3\ 5', 10' для модели с п = 2 < т = 3 при а = 0.3; 0.5; 1): £(0) = 0, £(£) возрастает по £ и а, и(1) монотонно убывает от 1/(0) = 0.5 до асимптоты г/(оо) = —1 и чем больше а, тем ниже лежит график
В случае модели с постоянной функцией ползучести По (¿) = с > 0, т.е. в случае (нелинейно) упругой зависимости, объемной деформации от среднего напряжения (это предположение часто применяется для упрощения решения краевых задач), объемная деформация в(г) = С, где С = Фо^соО,
еп = Ф(<тТВД) + ^ С,
, , ЗФ(оЭД)-2С
= __= 0.5-
3C
6Ф(оЭД) +2С
at,â) =
C
6Ф(оЭД) + 2С" (16)
-0.5
Ф («явду
а критерий отрицательности коэффициента Пуассона (14) принимает вид Ф(стП(£)) < 2С/3. В силу возрастания обеих МФ если это неравенство выполняется в некоторый момент вре-
0 100 200 300 t
Графики коэффициента Пуассона v(t) и параметра £(t) модели (15)
мени t = t_, то оно заведомо выполняется при всех t < t_. Критерий убывания £±(t) (10) (при растяжении) превращается в Ф'((7П(£))П(£) > 0, т.е. e±(t) убывает при всех t > 0, ибо Ф'(ж) > 0 и n(t) > 0. Вместе с тем при одноосном растяжении постоянной силой коэффициент Пуассона v(t) всегда строго возрастает, a £(i) убывает (ибо Ф(<тП(£)) в (16) возрастает) и при t —> +оо v{t) стремится к пределу = (3L — 2C)/(6L + 2С), хде L(o) = ИтФ(<тП(£)) ^ +оо (предполагаем, что <тП(+оо) ^ х ^ +оо). Если L < +оо, то < 0.5, а если L = +оо (т.е. когда МФ обладают свойствами: П(+гс>) = X = и Ф(+гс>) = то = 0.5. Эти свойства можно использовать как индикатор применимости гипотезы об упругой зависимости объемной деформации от среднего напряжения в сочетании с ОС (1). Более детальный анализ этого вопроса проведен в статьях [44, 45].
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 17 08 01146 а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Tschoegl N.W., Кпаияя W.G., Emri I. Poisson's ratio in linear viscoelasticity a critical review /'/' Mech. Time-Dependent Mater. 2002. 6, N 1. 3 51.
2. Ломакин E.B. Механика сред с зависящими от вида напряженного состояния свойствами // Физ. мезомех. 2007. 10, № 5. 41 52.
3. O'Brien D.J., Sottas N.R., White S.R. Cnre-dependent viscoelastic Poisson's ratio of epoxy // Exp. mech. 2007. 47. 237 249.
4. Tscharnuter D., Jerabek M., Major Z., Lang R. W. Time-dependent Poisson's ratio of polypropylene compounds for various strain histories // Mech. Time-Dependent Mater. 2011. 15, N 1. 15 28.
5. Kastner M., Ohst M., Brummund J. et al. Inelastic material behavior of polymers Experimental characterization, formulation and implementation of a material model // Mech. Mater. 2012. 52. 40 57.
6. Жуков A.M. О коэффициенте Пуассона в пластической области // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. 1954. № 12. 86 91.
7. Брехова В.Д. Исследование коэффициента Пуассона при сжатии некоторых кристаллических полимеров постоянной нагрузкой // Механ. полимер. 1965. № 4. 43 46.
8. Дзене И.Я., Путане А.В. Коэффициент Пуассона при одномерной ползучести полиэтилена /'/' Мсхан. полимер. 1967. № 5. 947 949.
9. Кожевникова М.Е. Характер изменения границы зоны пластичности и коэффициента Пуассона в зависимости от пластического разрыхления // Физ. мезомех. 2012. 15, № 6. 59 66.
10. Ломакин Е.В. Нелинейная деформация материалов, сопротивление которых зависит от вида напряженного состояния // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1980. № 4. 92 99.
11. Shekhar Н., Sahasrabudhe A.D. Longitudinal strain dependent variation of Poisson's ratio for HTPB based solid rocket propellants in uniaxial tensile testing // Propellants, Explosives, Pyrotechnics. 2011. 36, N 6. 558-563.
12. Cut H.R., Tang G.J., Shen Z.B. Study on viscoelastic Poisson's ratio of solid propellants using digital image correlation method // Propellants Explosives Pyrotechnics. 2016. 41, N 5. 835-843.
13. Дзене И.Я., Крегерс А.Ф., Вилке У.К. Особенности процесса деформирования при ползучести и повторной ползучести полимеров в условиях одноосного растяжения. Ч. 1 // Механ. полимер. 1974. № 3. 399-405.
14. Lakes R. Foam structure with a negative Poisson's ratio // Science. 1987. 235. 1038-1040.
15. Берлин Ал.Ал., Ротенбург Л., Басэрт Р. Структура изотропных материалов с отрицательным коэффициентом Пуассона // Высокомолекул. соединения. Б. 1991. 33, № 8. 619-621.
16. Milton G. W. Composite materials with Poisson's ratios close to —1 // J. Mech. and Phys. Solids. 1992. 40. 1105-1137.
17. Lakes R.S., Elms K. Indentability of conventional and negative Poisson's ratio foams //J. Compos. Mater. 1993. 27. 1193-1202.
18. Caddock B.D., Evans K.E. Negative Poisson ratios and strain-dependent mechanical properties in arterial prostheses // Biomater. 1995. 16. 1109-1115.
19. Chan N., Evans K.E. Indentation resilience of conventional and auxetic foams //J. Cell. Plast. 1998. 34. 231-260.
20. Конёк Д.А., Войцеховски К.В., Плескачевский Ю.М., Шилько С.В. Материалы с отрицательным коэффициентом Пуассона (ОБЗОР) // Механ. композ. материалов и конструкций. 2004. 10, № 1. 35-69.
21. Fischer-Cripps А.С. Nanoindentation. N.Y.: Springer, 2002.
22. Oliver W.C., Pharr G.M. Measurement of hardness and elastic modulus by instrumented indentation: advances in understanding and refinements to methodology //J. Mater. Res. 2004. 19. 3-20.
23. Oyen M. Analytical techniques for indentation of viscoelastic materials // Phil. Mag. 2006. 86. 5625-5641.
24. Головин Ю.Н. Наноиндентирование и его возможности. М.: Машиностроение, 2009.
25. Khokhlov А. V. Asymptotic behavior of creep curves in the Rabotnov nonlinear heredity theory under piecewise constant loadings and memory decay conditions // Moscow University Mechanics Bulletin. 2017. 72, N 5. 103-107 (doi: 10.3103/S0027133017050016).
26. Хохлов А.В. Анализ общих свойств кривых ползучести при ступенчатом нагружении, порождаемых нелинейным соотношением Работнова для вязкоупругопластичных материалов // Вестн. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естеств. науки. 2017. № 3. 93-123 (doi: 10.18698/1812-3368-2017-3-93-123).
27. Khokhlov A.V. Analysis of properties of ramp stress relaxation curves produced by the Rabotnov non-linear hereditary theory // Mech. Compos. Mater. 2018. 54, N 4. 473-486 (doi:/10.1007/sll029-018-9757-l).
28. Khokhlov A. V. Свойства семейства диаграмм деформирования, порождаемых нелинейным соотношением Ю.Н. Работнова для вязкоупругопластичных материалов // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2019. № 2. 29-47 (doi: 10.1134/S0572329919020077).
29. Khokhlov A.V. Effect of the Initial Stage of Strain on the Properties of Relaxation Curves Generated by the Rabotnov Nonlinear Relation for Viscoelastic Materials // Moscow University Mechanics Bulletin. 2019. 74, N 4. 83-88 (doi: 10.3103/S0027133019040010).
30. Работное Ю.Н. Равновесие упругой среды с последействием // Прикл. матем. и механ. 1948. 12, вып. 1. 53-62.
31. Работное Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966.
32. Дергунов Н.Н., Наперник Л.Х., Работное Ю.Н. Анализ поведения графита на основе нелинейной наследственной теории // Прикл. матем. и техн. физ. 1971. 12, № 2. 76-82.
33. Работное Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977.
34. Суворова Ю.В. О нелинейно-наследственном уравнении Ю.Н. Работнова и его приложениях // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2004. № 1. 174-181.
35. Алексеева С.И., Фроня М.А., Викторова И.В. Анализ вязкоупругих свойств полимерных композитов с углеродными нанонаполнителями // Композиты и наноструктуры. 2011. № 2. 28-39.
36. Fung Y.C. Stress-strain history relations of soft tissues in simple elongation // Biomechanics, Its Foundations and Objectives / Ed. by Y.C. Fung et al. New Jersey: Prentice-Hall, 1972. 181-208.
37. Fung Y.C. Biomechanics. Mechanical Properties of Living Tissues. N.Y.: Springer-Verlag, 1993.
38. De Frate L.E., Li G. The prediction of stress-relaxation of ligaments and tendons using the quasi-linear viscoelastic model // Biomech. and Model. Mechanobiol. 2007. 6, N 4. 245-251.
39. Lakes R.S. Viscoelastic Materials. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2009.
40. De Pascalis R., Abrahams I.D., Parnell W.J. On nonlinear viscoelastic deformations: a reappraisal of Fung's quasi-linear viscoelastic model // Proc. Roy. Soc. A. 2014. 470. 20140058 (doi: 10.1098/rspa.2014.0058).
41. Ломакин В.А., Колтунов M.A. Моделирование процесса деформации нелинейных вязкоупругих сред // Механ. полимер. 1967. № 2. 221-227.
42. Хохлов A.B. Анализ свойств кривых ползучести с произвольной начальной стадией пагружепия, порождаемых линейной теорией наследственности // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2018. 22, № 1. 65-95 (doi: 10.14498/vsgtul543).
43. Khokhlov А. V. Two-sided estimates for the relaxation function of the linear theory of heredity via the relaxation curves during the ramp-deformation and the methodology of identification // Mech. Solids. 2018. 53, N 3. 307328 (doi: 10.3103/S0025654418070105).
44. Хохлов A.B. Анализ возможностей описания влияния гидростатического давления на кривые ползучести при растяжении и коэффициент Пуассона реономных материалов в рамках линейной теории вязкоупруго-сти // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2019. 23, №2. 304-340 (doi: 10.14498/vsgtul654).
45. Хохлов A.B. Анализ влияния объемной ползучести на кривые пагружепия с постоянной скоростью и эволюцию коэффициента Пуассона в рамках линейной теории вязкоупругости // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2019. 23, № 4. 671-704 (doi: 10.14498/vsgtul710).
Поступила в редакцию 15.06.2018
