УДК 519.218.31
ГИБКИЕ ЛОГИСТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С ПЕРЕНАЛАДКОЙ В КОНЦЕ ПЕРИОДА ЗАНЯТОСТИ И ПОТЕРЕЙ ТРЕБОВАНИЙ
РУМЯНЦЕВ Н. В.
доктор экономических наук Донецк
Жизнеспособность предприятия во многом зависит от его ассортиментной политики и способности широко варьировать выпуском продукции без ущерба для развития предприятия. До 1970-х годов гибкость сбыта обеспечивалась за счет создания на складах большого запаса готовой продукции. Изменение ассортимента выпускаемой продукции в условиях функционирования больших предприятий являлось делом довольно сложным, так как требовалось много времени и средств на замену, установку и наладку новой техники и оборудования [1, 2].
С появлением логистического подхода акцент с создания запасов готовой продукции переносится на создание запасов производственной мощности, т. е. предлагается переход к созданию и организации производства по типу гибких производственно-логистических систем (ГПЛС) [1,2], которые способны быстро реагировать на изменения конъюнктуры рынка. Снижение стоимости продукции достигается не традиционным увеличением продукции, а в результате логистической организации производственного процесса, увязки и синхронизации всех материальных потоков [3].
Под гибкостью понимают способность производственно-логистической системы оперативно адаптироваться к изменению условий функционирования с минимальными затратами и без потерь, а в исключительных случаях - с минимальным снижением производительности. Гибкость является одним из эффективных средств обеспечения устойчивости производственного процесса.
Под гибкостью предприятия понимают его способность переходить из одного работоспособного функционального состояния в другое, с минимальными затратами или потерями или вообще без таковых [4]. Гибкая производственно-логистическая система представляет собой совокупность в разных сочетаниях оборудования с числовым программным управлением, роботизированных технологических комплексов, гибких производственных модулей, отдельных единиц технологического оборудования, систем обеспечения функционирования гибких переналаживаемых систем в автоматическом режиме в течение заданного интервала времени. Основные организационно-производственные критерии, предъявляемые к производственно-логистическим системам, заключаются в поддержании стабильного уровня выходных параметров (объема и ритма выпуска, качества и стоимости продукции), то есть в обеспечении организационно-экономической устойчивости промышленного производства при наличии множества различных внешних и внутренних возмущений.
ЕКОНОМІКА ЕКОНОМіКО-МАТЕМАТИЧИЕ МОДЕЛЮВАННЯ
ЕКОНОМІКА ЕКОНОМіКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
Проявлением воздействия внешних факторов отклоняющих воздействий на производственно-логистическую систему могут быть:
+ обновление ассортимента продукции в соответствии с рыночным спросом;
+ изменение объемов выпуска продукции, а следовательно, и размеров партий запуска;
+ нарушение ритмичности материально-технического снабжения, в том числе срыва сроков поставки заготовок;
+ конструктивные модификации, влекущие необходимость переналадки и переподготовки производства.
Факторами внутренних возмущающих воздействий, влекущих нарушение производственного процесса, могут быть:
+ сбои и поломки основного оборудования;
+ поломки режущего и другого вспомогательного инструмента;
+ брак при изготовлении продукции;
+ сбои и отклонения в работе производственного персонала.
Различают два типа гибкости производственнологистических систем: качественная и количественная гибкость. Качественная гибкость достигается за счет наличия универсального оборудования, способного в процессе производства к переналадке для выпуска произвольной номенклатуры, а также универсального обслуживающего персонала. Она включает в себя следующие элементы: гибкость оборудования; ассортиментную гибкость; технологическую гибкость; гибкость объемов производства; гибкость расширения системы (конструктивную гибкость); универсальность системы; уровень оперативной автономности. В работе рассматривается один вид гибкости, а именно - гибкость оборудования, которая характеризуется длительностью и стоимостью переналадки или перехода (переориентации) оборудования с изготовления одного вида продукции (деталей) на другой в рамках закрепленного в производственном плане ассортимента. Показателем данной гибкости является количество деталей, изготавливаемых в промежутках между переналадками. Поэтому в процессе организации производства важно вначале определить оптимальный размер данной партии. Оптимальной партией изделий считается такая партия, при которой затраты в расчете на одно изделие будут минимальными. Для решения задачи выбора размера оптимальной партии принято считать, что себестоимость продукции складывается из прямых затрат на изготовление продукции и издержек на хранение запасов. Вопросы определения оптимального числа продукции выпускаемой от одной переналадки до другой были рассмотрены автором в монографии [6].
Вопросы определения числовых характеристик гибких производственных систем рассматривались в работе [7] при различных поведениях гибкой системы до начала переналадки прибора и после ее окончания. Отметим, что в данных работах рассматривались системы массового обслуживания с переналадкой прибора,
который наступает немедленно после завершения периода занятости, причем предполагалось, что требования, поступившие в систему во время переналадки оборудования, накапливаются в очереди и после окончания переналадки прибора, они немедленно принимаются к обслуживанию, а затем обслуживаются требования, поступившие в систему во время обработки деталей.
В данной работе исследуются вопросы определения числовых характеристик гибких производственных систем в предположении, что требования, поступившие в систему во время переналадки прибора, теряются. Опишем подробно процесс подготовки производства к выпуску новой партии товара, причем считаем, что сбоев и поломок основного оборудования поломок режущего и другого вспомогательного инструмента во время работы не допускается. Итак, предположим, что некоторое предприятие или производство интерпретируется одноканальной системой массового обслуживания, на вход которой поступает пуассонов-ский поток заявок интенсивности X > 0. Обслуживание требований производится в порядке их поступления, причем длительность обслуживания имеет показательный закон распределения с параметром ц > 0. Прибор обладает особенностью, состоящей в том, что после обслуживания требований, находящихся в системе, он переходит в состояние переналадки, длительность которой имеет показательный закон распределения с параметром V > 0. Требования, поступающие в систему во время переналадки, теряются. После окончания переналадки прибор переходит в свободное состояние, которое будем называть состоянием «свободен-готов», находясь в котором, он способен обслуживать поступающие требования или заказы.
Описанная система обслуживания является моделью большого числа реальных систем: телекоммуникационных, производственно транспортных, процессов хранения и распределения продукции.
Решение задачи. Для решения вышеописанной системы рассмотрим случайный марковский процесс УуЬ), фазовое пространство которого имеет вид Ех = {0*, 0, 1, 2, 3}, где состояния процесса характеризуется как: 0* - гибкая производственная система находится в состоянии переналадки;
0 - гибкая производственная система свободна и готова к обработке заказов (свободна - готова);
к(к > 1) - означает, что в системе находится к требований, причем одно из них обслуживается, а (к - 1) -требование ожидает обработки.
Для упрощения составления уравнений Колмогорова, описывающих зависимость вероятностей состояний случайного процесса ^(¿), заданного на фазовом пространстве Е, построим размеченный граф.
Пусть Р0* = Р{^) = 0*}, Рк = Р{£(1:) = к}, к > 0 - стационарные вероятности состояний данной системы. Тогда на основании размеченного графа состояний легко можно составить систему уравнений для стационарных вероятностей состояний данной системы, которые имеют вид (рис. 1):
Рис. 1. Размеченный граф состояний, описывающий функционирование системы с переналадкой в конце периода занятости и потерей требований
-vP0. +И = 0 -XP0 + vP0. = 0
(1)
_(Л+м)Рк + ^Рк-1 + мРк+1 — 0,к - 1
Решая полученную систему (1), находим формулы, являющиеся обобщением формул Эрланга [8]:
где р
р0- = £ р0-рк
:рЧ .
к > 1,
(2)
Вероятность Р0 находим из условия нормировки Р0* + Р0 + Р1 + ... + = 1. После подстановки в него выражений из (2), находим, что
5 (1-р )
P0 =-
Р (1-Р )+8
при условии, что р < 1.
Теперь подставляя (3) в (2), получаем, что
5рк (1-р)
Рк
к > 1.
(3)
(4)
* Р (1-р)+5*
Замечание. Если предположить, что время переналадки стремится к нулю или, что равносильно тому, § ^ тс, то из (3) находим величину
(5)
ка3а РоткРавна Р0тк = P* = рР0 =-
4) достаточно важной характеристикой системы является средняя длина очереди #(1). Она, в нашем случае вычисляется по формуле
Я(1)- 0-(Р0* + Ро + Л) + Р2 + 2Рз••• —
= 2 kPk+i =
р2 5
к=1
Р2 P0 =__________________________
(1 -р)2 (5+р (1 -р))2(1 -р);
5) среднее время ожидания заявок в очереди Ьож совпадает со средним временем ожидания в системе М / М / 1 и равно
Р2 § .
т (1)=q-.
р2 P0
Ь Ц1 -Р)2 Ц1 -Р)[8+Р (1 -р)]2
6) важной характеристикой, учитываемой при определении качества работы гибкой производственной системы, является коэффициент занятости, который в нашем случае равен просто вероятности занятости системы К и которая вычисляется как
Кзан = Р1 + Р2 + ••• =
= 2 P = 2 рЧ = ^ =
k>1 k>1 1 р
р5
[р* = р* (1-р), * > 0.
Итак, видим, что формулы (5) совпадают с формулами Эрланга [8] для одноканальной системы массового обслуживания.
Для описания и анализа гибкой производственной системы необходимо подсчитать основные ее характеристики:
1) вероятность отказа в обслуживании заказа в гибкой системе определяется вероятностью того, что она находится в состоянии (0*). Итак, вероятность от-
Р(1-Р) .
0 5 р р (1-р)+5 ’
2) относительная пропускная способность системи равна 1 - ротк
п(1) = і - р = і - р =і_ р р =_5_•
1отн 1 ртк 1 о 1 5Ро р (1-р )+5 •
3) абсолютная пропускная способность А, равная среднему числу заказов, обрабатываемых в единицу времени, равна
Л® =ХПотн = ^(1- рР° ) = р (1^р)+5;
р 5+р (1 -р)
Итак, в заключение отметим, что для характеристики работы гибкой производственной системы еще необходимо знать три основные характеристики, влияющие на эффективность работы предприятия:
- вероятность переналадки, определяющая среднее время, в течение которого гибкая система производит переналадку, т. е. если время t - это время функционирования системы, то в состоянии переналадки она находилась в среднем t • Р0,-времени, т. е.
t (1 -р)
t■P . =------ ——------;
0 5(р (1-р)+5)’
- вероятность простоя Р0 системы, которая означает, что в течение времени t • Р0, т. е. в течение времени
5t (1 -р)
t ■ P0
р (1 -р) + 5
гибкая производственная система
простаивает;
- вероятность занятости системы Рзан, которая определяет среднее время работы, т. е. время, в течение
t Р§
которого прибор работал, равна t• Рзан — ^ ^ +§ •
Если предположить, что число заказов, или так называемый динамический портфель заказов, в гибкой системе ограничен числом т заказов, находящихся в системе, то легко можно найти вероятности состояний данной ГПС, описываемой системой массового обслуживания с ограниченной очередью. В этом случае легко получаем, что
Р0* — РР Ро,Рк —РкРо,к — 1,2,•••,m• (6)
Вероятность Р0 определяем из условия нормировки, имеющая в данном случае следующий вид: Р0* + Р0 + Р1 + ... + Рт = 1 и которое дает, что
оо
ЕКОНОМІКА ЕКОНОМіКО-МАТЕМАТИЧИЕ МОДЕЛЮВАННЯ
ЕКОНОМІКА ЕКОНОМіКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
Ро
5 (1 -р)
р (1 -р) +5 (1 -рт+1)'
(7)
С учетом полученного значения (7) вероятность
Р0* равна
Р0* — рРо, Рк — рк Ро, к — 1,2, •••, т (8)
Следует отметить тот факт, что в соотно ш е ниях (7) и (8) р - величина загрузки прибора может принимать любые значения, т. е. р > 0.
Вычислим основные характеристики ГПС с ограниченным динамическим портфелем заказов.
1) Вероятность отказа в обслуживании равна сумме вероятностей Р0* и Рт, т. е.
Р(2) — Р (1 -Р)(1 + 5рт-1)
отк р (1 -р) + 5 (1 -Рт+1) •
2) Относительная пропускная способность данной системы равна
пот — 1- р —_____________5^_____________
1±отн 1 отк „4,5: п ~т+1ч
Р(1 -Р)+5 (1 -р )
3) Абсолютная пропускная способность гибкой производственной системы, равная, как уже отмечалось раньше, среднему числу заказов, обслуживаемых в единицу времени, вычисляется по формуле
(2) , ^5 (1 -рт)
А(2) — Ц1 - Ротк) —---------------ЬН } +. .
отк р (1 -р)+5 (1 -рт+1)
4) Средняя длина очереди в данном случае определяется по формуле
р 2 5 (1 + р т-1( т р - т - р))
Я
(2)
т-1
: 2 *р*+1 *=1
(1 - р)(р (1 - р) + 5 (1 - р т+1))'
5) Среднее время ожидания начала обслуживания заявок или работ в ГПС равно
_(2) — Я(2) — Р2 5[1 + рт-1(тр- т -р) ]
*ож — — ^(1 -р)( р (1 -р)+5 (1 -рт+1)) •
6) Вероятность занятости ГПС обработкой заказов равна
Рзан — Р1 + Р2 + ••• + Рп —
т 1 _ п
= 2 р*Ро = ІГ£ *=1 1
П+1
-Ро =
5(1 - рт+1)
р(1 -р) + 5 (1 -р т+1)
выводы
На основании введенных характеристик можно строить всевозможные показатели, оценивающие затраты в гибкой производственной системе и, как следствие, находить ее оптимальные параметры.
Отметим, что, как и в случае классических систем массового обслуживания, можно ставить вопрос об управлении гибкой производственной системой, минимизируя:
а) вероятность отказа в обслуживании клиентов, или максимизируя абсолютную пропускную способность. В этом случае основным показателем является
доход, получаемый гибкой системой от обслуживания клиентов;
б) длину очереди, и как следствие, среднее время ожидания исполнения заказа. ■
ЛИТЕРАТУРА
1. Николайчук В. Е. Теория и практика управления материальными потоками (логистическая концепция) : Монография / Николайчук В. Е. - Донецк : ДонГУ, «КИТИС»,1999. -413 с.
2. Модели и методы теории логистики : Учебное пособие / Под ред. В. С. Лукинского. - Питер, 2003. - 175 с.
3. Рейнхард Юнеманн. Материальные потоки и логистика / Р. Юнеманн. - Берлин : Изд-во Шпрингер, 1989.
4. Комплексные оценки в системе рейтингового управления предприятием / А. П. Белый, Ю. Г. Лысенко, А. А. Мадых, К. Г. Макаров. - Донецк : Юго-Восток, 2003. - 117 с.
5. Самочкин В. Н. Гибкое развитие предприятия. Анализ и планирование / Самочкин В. Н. - М. : Дело, 1999. -336 с.
6. Румянцев Н. В. Моделирование гибких производ-ственно-логитсических систем : Монография / Румянцев Н. В. -Донецк : Изд-во Юго-Восток, 2004. - 235 с.
7. Рыжиков Ю. И. Расчет системы массового обслуживания с порогом включения и «разогревом» / Рыжиков Ю. И. // Техническая кибернетика. - 1974. - № 6. -С. 125 - 131.
8. Гнеденко Б. В. Введение в теорию массового обслуживания / Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко. - М. : Наука, 1987. - 336 с.