ЕКОНОМІКА ЕКОНОМіКО-МАТЕМАТИЧИЕ МОДЕЛЮВАННЯ
МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ СТРАТЕГИИ РЕМОНТНЫХ РАБОТ ПРОМЫШЛЕННОГО ОБОРУДОВАНИЯ
МЕДВЕДЕВА М. И.
кандидат физико-математических наук Донецк
В современной теории управления промышленными предприятиями одной из первостепенных задач, является задача организации и контроля надежности технологического оборудования, определения оптимальной стратегии его ремонта, профилактики и переналадки. Надежность оборудования, как известно, является одним из основных показателей процесса его эксплуатации, который характеризует способность выполнять поставленные задачи в заданном режиме и условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортировки. Современная теория производства характеризуется, в частности, системным подходом к вопросам снабжения, организации производственного процесса и сбыта готовой продукции [1, 2]. Очевидно, все это тесно связано с проблемами управления профилактикой и ремонтным обслуживанием производственного оборудования.
Эффективное функционирование современного предприятия, его способность выпускать конкурентоспособную продукцию во многом определяется деятельностью его вспомогательных служб, задачей которых является обеспечение работоспособного состояния производственного оборудования с минимальными затратами. При этом возрастающая роль ремонтных служб в обеспечении эффективной работы предприятия ставит задачи формирования и развития организационноэкономического механизма управления ремонтными службами. Однако, в силу сложившихся традиций, ремонтные службы относятся к вспомогательному производству, в связи с чем им уделяется недостаточно внимания. Необходимость сосредоточиться на основном производстве часто ставит перед предприятием вопрос о выводе на аутсорсинг тех функций (ремонтных служб), которые не являются стратегически важными и легко поддаются стандартизации.
Данная работа посвящена построению и анализу вероятностной модели обслуживания производственного оборудования. В отличие от раннее исследовавшихся моделей [3, 4] здесь рассматривается система с неидентичной переналадкой, т. е. интенсивности переналадки после восстановления системы и в процессе бесперебойной работы оборудования различны. Такие модели позволяют выбрать оптимальную стратегию функционирования как основного, так и вспомогательного материального потока логистической системы, принимать решение о выводе ремонтных служб на аутсорсинг или инсорсинг.
Пусть имеется производственно-экономическая система, которая может быть описана с помощью одноканальной системы массового обслуживания разомкнутого типа с простейшим входным потоком, интенсивность которого X > 0. Оборудование независимо друг от друга обслуживают две бригады. При этом одна бригада осуществляет переналадку оборудования, вторая - его профилактику и ремонт. Предполагается, что время обслуживания (обработки) поступившего заказа имеет показательное распределение с параметром ц > 0. После обслуживания всех заказов, находящихся в системе, оборудование немедленно отключается и переходит в состояние свободен - не готов; при поступлении нового заказа оборудование проходит переналадку на выпуск новой партии, после чего начинается выполнение поступившего заказа. Длительность переналадки имеет показательный закон распределения с параметром V > 0.
Предполагается, что выход оборудования из строя может произойти только во время выполнения заказа, т. е. если оно находится в рабочем состоянии. Момент выхода из строя имеет показательный закон распределения с параметром X > 0. Если в момент выхода из строя в системе была заявка, то она теряется. После того, как было выполнено последнее требование и в системе нет новых заявок, начинается профилактика оборудования, длительность которой имеет показательный закон распределения с параметром у1 > 0. Время ремонта или время восстановления оборудования имеет показательный закон распределения с параметром у2 > 0. Если после восстановления оборудования, в системе нет заявок, то оно переходит в состояние свободен -не готов. Если же в системе есть заявки, то для ее выполнения требуется переналадка, интенсивность которой и1. Следовательно, рассматривается система с неидентичной переналадкой.
Случайный процесс поступления заявок и их обслуживание может быть описан следующими возможными состояниями:
(0, к) - прибор вышел из строя и восстанавливается, в системе к > 0 требований;
(1, 0) - прибор свободен - не готов;
(1, к) - прибор работает и в системе к > 1 требований;
(0*, к) - проводится переналадка оборудования и в системе к > 1 требований;
(2, 0*, к) - проводится профилактика и переналадка оборудования и в системе к > 1 требований;
(2, к) - проводится профилактика и в системе к > 0 требований:
(0, 0*, к) - проводится переналадка оборудования после его ремонта и в системе к > 1 требований.
Граф состояний описанной системы имеет вид (рис. 1).
Vi
¥ i
(1.1) к > (U) ц (U)
Vi V1 vi
(2Л) % I2.2) А* I2-3)
Vi
V 2
(2.0) к (2.0*.i) к (2,0■,2) к -> (2.0*.3)
V ir V1 V V i V X ¥ iw
O.0) X (0.1) X (0*.3)
V 2
O.3)
(°.2)
, V 2 V 2
(0.0M) % (0;0\2)
\
(1.1) Ц- (u)
E =
(0, к), (i, к), (2, к), к >0; (0 , l), (2, 0 , l), l >i;
[-(А + гО Po*i +lPio +Vi P2oo к =0,
|-(l + ^)Po*к +^Po*,k-i +ViP2o*к = 0’ k>i;
f - (X+V2 )Po, 0 + %Pii = 0,
I -( x+v2) Po к +XP0, k-i +% Pi, k+i =0>k >!;
(l)
(2)
XPi0 +Vi P20 + V2 P00 =0,
-(x + Ц + % )Pii + vP0*i + Ц Pi2 +
+ Vi P2i + Vi P0*0i =0,
-(Х+Ц + % )Pi к + XPi, k-i + uP0* k +
+ ^Pi,k+i + Vi P2k + Vi Po*ok = 0, k > 2;
(З)
(x + Vi )p2o +Ц Pii =0,
'-(X + Vi )P2i + V P20*i =0,
-(x + Vi )p2к + VP20*k + XP2,k-i =0, k >2; | -(X + V + Vi) P20*i +X P2o =0,
|-(X + V + Vi)P20*к +XP20*,k-i =0, k > 2; f -(X + Vi) P00*i + V 2 P0i =0,
- -(X +Vi)Poo*к +XP00*,k-i +V2P0k =0, k>2.
(4)
(5)
(б)
Для решения систем уравнений (1) - (6) введем в рассмотрение производящие функции вида:
a
Рис. 1. Граф состояний системы массового обслуживания с ненадежным оборудованием
Найдем основные характеристики рассматриваемой системы - распределения совместных вероятностей того, что оборудование находится в определенном состоянии (переналадка, профилактика, восстановление или работа) и в системе имеется определенное количество требований. Для этого рассмотрим стационарный случайный процесс ^(£), описывающий состояние системы в момент времени £. Его фазовое пространство имеет вид:
'0(z)= 2 Pokz, a°(z)=2 Po*kz, ai(z)= 2 Pikz k>0 k>i k>0
2(z)= 2 P2Zz , ЧИ* 2 PM° kz
:< z)=2 po
k>0
а также параметры X „ V
k>i
z>i
„ л X и * и1 И ^1 п ^2 Л
Р = -, 0 = —. Й! =—, =—, Р2 = —.7 = -•
ц ц ц ц ц ц
Умножив уравнения системы (1) на г, гк, к > 1, суммируем их по к. Тогда после несложных преобразований, с учетом введенных обозначений, получаем уравнение
(р + 5-рг) а0( г )-ра( г ) = Р^Р10. (7)
Аналогично из систем бесконечных линейных уравнений (2) - (6) соответственно получаем
г(Р + Р2 -Р2)ао(г)-7аі(г) = -7Ро, (7а)
г(Р + Р2 -Рг)ао(г)-7аі(г) = -7Рш, (8)
Vi
%
[(0, 0 , т), т > 1 ]
Рассмотрим стационарные вероятности состояний процесса УуЬ):
Рк =Р{£(/) = (/', к)}, I = 0,1, 2; к > 0,
Р0*к =Р{|(/) = (0*, к)}, к >1,
Р2,0*к =Р{= <2’0*’ к)}> к >1,
Р0,0*к =Р{^(?) = (0,0*, к)}, к >1.
С помощью графа состояний процесса £,($ составляем системы однородных бесконечных алгебраических уравнений для вероятностей Рк, I = 0, 1, 2; к > 0, Р0*к,
к > 1, Р2,0*к , к > 1, Р0,0*к , к > 1:
(p z 2 - z (i + p + у)+і) ai( z) + 5 za°° z) + +Pi za2( z) + 5i za° (z) =
= (p z2 - z (i + у )+i) Pio + zPii- p2 z Poo , (pz-p -pi)a2(z) + Sa2(z) = pzP20 -P11, (p + S + Pi - pz) a2(z)= pz P20,
(9)
(10)
(11)
(l2)
(pz - p - Si) a° (z) + p2a0(z) = p2 P00.
Выразим неизвестные вероятности РОО, P11 и P2i через P10. Для этого составим систему из первых урав нений систем (2), (3) и (4), предварительно проведя не сложные преобразования. Получаем следующую систе му алгебраических уравнений:
-(p +p2)Poo + у Pii =0,
- p Pi0 +pi P20 +P2 P00 =0, -(p +Pi)P20 + Pii =0.
(13)
www.business-inform.net
ЕКОНОМІКА економіко-математичне моделювання
ЕКОНОМІКА ЕКОНОМіКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
Обозначим
С-
Р
й?5( г) =
Ріо -Ріга2(
(22)
Ср(р + Р2 )
Р
10-
р1 (р + Р2 ) + Ур2 (р + р1)
Тогда несложно показать, что решение системы алгебраических уравнений (13) относительно Р10 имеет вид:
Р11 = С(р +р1)(р + р2) ^10 5 (14)
• Р00 = УС (Р +р1) Р.0, (15)
• Р20 = С (р +р2) Р10. (16) Подставив найденные значения вероятностей , и в
соотношения (7), (9) - (12), соответственно получаем
(р + 5 - р г) а*( г) — р^2( ^) = р г Р10, (17)
(р г 2 — г(1 + р + у) +1) а1( г) + 5 га** (г) + р1 га2 (г) +
+ 51 га* (г) = (18)
= [ р ^2 — г С1 +У) + 1 + Сг( р +р1) •( р + р2 — ур2)] Рю.
(р г — р — рО а2( г ) = С (р +р 2) (р г — р —рг) Р10 —5 а*( г),
(19)
(р + 5 + р1 —р г) а*( г) = Ср г(р + р2)Рю, (20)
(рг — р — 51) а2(г) + р2 а0(г) = Сур2(р + р^ Рш. (21)
Для простоты изложения, введем следующие обозначения:
dl( г) = г(р + р2 —р г),
^2(г) = р г 2 — г(1+р + у) + 1, d3( г) = р + 5 —р г,
dA( г) = р1 а*( г) +р гРю,
р г 2 — г (1 +у) + 1 +
_+Сг(р + р1)(р +р 2 ур2). dв( г) = р г — р — 51.
Из равенств (8), (17), (18) и (21) составляем новую систему алгебраических уравнений, которая, с учетом введенных обозначений, имеет вид:
dl (г) а0 (г) — уа1 (г) = — у Рю,
о * о *
d2 (г)а1 (г) + 5га0 (г) + 51 га1 (z) = d5 (г) dз (г )а* (г) — р2 а0 (г) = d 4 (г),
(г)а\ (г) + р2 а0( г) = С1,
где С1 =Сур2(р+р1)Р10.
Решая систему алгебраических уравнений (22 ) относительно стационарной вероятности Р10, можно выразить производящие функции а0(г), а'0(г) и ах(г) через Р10.
Для определения Р10, а затем и вероятностей Р11, Р00 и Р20 воспользуемся условием нормировки
а0 (1) + а0 (1) + а1 (1) + а* (1) + а2 (1) + а* (1) = 1. Значения производящих функций а2(г) и а'2(г) в точке г = 1 находим непосредственно из равенств (19) и (20). В частности из равенства (20) находим
5+рі
Из равенств (19) и (23) следует, что
5р
^С1) = С (Р + Р2)
і + -
Рі(0 + Рі).
Р
іо-
(23)
(24)
Теперь из первого уравнения системы (22) п ри г = 1 получаем следующее соотношение
аі(1) = Ріо + Рі ао(1). У
(25)
Из третьего уравнения системы ( 2 2) при г = 1 по лучаем соотношение вида:
А®
ао(1) =
5
(26)
Наконец, из четвертого уравнения системы (22) при г = 1 следует справедливость равенства
а* (1) = 5-( Р2 ао(1) -Л). 5і
(27)
Подставив соотношения (26) и (27) в условие нормировки, после несложных преобразований получаем
Р + Р ^ +
Ро + 5 5і +
Р2 Р2
і + ЬЦ +Р2
, 7 5і
«о(і) +
(28)
+ а2(і) + а* (і) = і .
Таким образом, для вычисления стационарной вероятности Р10 достаточно найти значение производящей функции.
Из системы (22) находим:
^6 (№3 ((г) - d2 (г)й?з (г)Рш -а (г) = -d zd4 (г^б ] - сііzdз (і)А(і)
а° 2 7 dз(z)[dl(г^(г)d6(г) -7Р2Сіг] '
Тогда можно показать справедливость следующего равенства
5іР7
ао(і) = ■
Ріо +
d4 СО І * \ . /,4 А
—— + а, (і) + 02 (і)- —
(29)
^2 51(1 + у) — р (у51+^2(51 + у ))
Из равенства (29) находим условие существования стационарных вероятностей состояний системы, а именно
р2 51(! + у)
р<-
(30)
у51 + р2(51 + у)
Наконец, используя равенства (28) и (29), выписываем условие нормировки:
d4 (і) і *
Ріо + _5-5" + а2 (і) + а2(і)
[75і+Р2(5+7)]р5
1 + -
Р2 5і(і + 7)-Р (75і+Р2( 5і+7)),
Подставив в последнее равенство найденные выше значения производящих функций я2(1) и я*2(1), находим
Р
і
іо
В (і + К )’
где
В-
і
и К
55іРі(5+Рі)
+ СР5(Р +Р2 )(52+Р2+Рі5)]•
[ 75і+Р2 (5+7)] 5р
Р (5 +Р )|5і(5 + р) + С55і (р + Р2 )-") + Рі(5+Рі)І-С75Р!(р+Рі) 1 +
Р2 5 (і +7) - Р (75+Р2 (5 + 7))'
Таким образом, найдены производящие функции вероятностей состояний системы и необходимое условие (30) существования стационарного распределения вероятностей состояний рассмотренной системы. С помощью найденных вероятностей можно рассчитать различные показатели, которые характеризуют процесс функционирование рассмотренной системы, а также оценить целесообразность вывода ремонтных услуг на аутсорсинг. ■
ЛИТЕРАТУРА
1. Друкер П. Создание новой теории производства / П. Друкер // Проблемы теории и практики управления. -1991. - № 1. - С. 5 - 11.
2. Промышленная логистика. Логистико-ориентиро-ванное управление организационно-экономической устойчивостью промышленных предприятий в рыночной среде / И. Н. Омельченко, А. А. Колобов, А. Ю. Ермаков, А. В. Киреев ; Под ред. А. А. Колобова. - М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1997. - 204 с.
3. Медведева М. И. Исследование системы обслуживания с ненадежным прибором и переналадкой в начале периода занятости / Н. В. Румянцев, М. И. Медведева // Бізнес 1нформ. - Харьков, 2011. - № 7(1). - С. 10 - 13.
4. Медведева М. И. Гибкая производственная система с переналадкой, ненадежным оборудованием, восстановлением и профилактикой / М. И. Медведева // Проблеми економ^и. - Харш, 2012. - № 2. - С. 54 - 58.
ЕКОНОМІКА ЕКОНОМіКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ