Научная статья на тему 'Модель оценки стратегии ремонтных работ промышленного оборудования'

Модель оценки стратегии ремонтных работ промышленного оборудования Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
72
14
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Бизнес Информ
Область наук
Ключевые слова
СТАЦіОНАРНі ЙМОВіРНОСТі СТАНіВ / ЛОГіСТИЧНА СИСТЕМА / ВИРОБНИЧЕ ОБЛАДНАННЯ / РЕМОНТНі СЛУЖБИ / СТАЦИОНАРНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОСТОЯНИЙ / ЛОГИСТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА / ПРОИЗВОДСТВЕННОЕ ОБОРУДОВАНИЕ / РЕМОНТНЫЕ СЛУЖБЫ / STEADY STATE PROBABILITIES / LOGISTIC SYSTEM / PRODUCTION EQUIPMENT / MAINTENANCE SERVICES

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Медведева Марина Ивановна

В статье рассмотрен вопрос определения стационарных вероятностей состояний системы массового обслуживания с ненадежным прибором, переналадкой и профилактикой, описывающей функционирование как основного, так и вспомогательного материального потока логистической системы.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Model of Estimation of Strategy of Repair Works of Industrial Equipment

The question of determination of stationary probabilities of the states of the queuing system with an unreliable device, vacation and prophylaxis describing functioning of both basic and auxiliary material stream of the logistic system is considered in the article.

Текст научной работы на тему «Модель оценки стратегии ремонтных работ промышленного оборудования»

ЕКОНОМІКА ЕКОНОМіКО-МАТЕМАТИЧИЕ МОДЕЛЮВАННЯ

МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ СТРАТЕГИИ РЕМОНТНЫХ РАБОТ ПРОМЫШЛЕННОГО ОБОРУДОВАНИЯ

МЕДВЕДЕВА М. И.

кандидат физико-математических наук Донецк

В современной теории управления промышленными предприятиями одной из первостепенных задач, является задача организации и контроля надежности технологического оборудования, определения оптимальной стратегии его ремонта, профилактики и переналадки. Надежность оборудования, как известно, является одним из основных показателей процесса его эксплуатации, который характеризует способность выполнять поставленные задачи в заданном режиме и условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортировки. Современная теория производства характеризуется, в частности, системным подходом к вопросам снабжения, организации производственного процесса и сбыта готовой продукции [1, 2]. Очевидно, все это тесно связано с проблемами управления профилактикой и ремонтным обслуживанием производственного оборудования.

Эффективное функционирование современного предприятия, его способность выпускать конкурентоспособную продукцию во многом определяется деятельностью его вспомогательных служб, задачей которых является обеспечение работоспособного состояния производственного оборудования с минимальными затратами. При этом возрастающая роль ремонтных служб в обеспечении эффективной работы предприятия ставит задачи формирования и развития организационноэкономического механизма управления ремонтными службами. Однако, в силу сложившихся традиций, ремонтные службы относятся к вспомогательному производству, в связи с чем им уделяется недостаточно внимания. Необходимость сосредоточиться на основном производстве часто ставит перед предприятием вопрос о выводе на аутсорсинг тех функций (ремонтных служб), которые не являются стратегически важными и легко поддаются стандартизации.

Данная работа посвящена построению и анализу вероятностной модели обслуживания производственного оборудования. В отличие от раннее исследовавшихся моделей [3, 4] здесь рассматривается система с неидентичной переналадкой, т. е. интенсивности переналадки после восстановления системы и в процессе бесперебойной работы оборудования различны. Такие модели позволяют выбрать оптимальную стратегию функционирования как основного, так и вспомогательного материального потока логистической системы, принимать решение о выводе ремонтных служб на аутсорсинг или инсорсинг.

Пусть имеется производственно-экономическая система, которая может быть описана с помощью одноканальной системы массового обслуживания разомкнутого типа с простейшим входным потоком, интенсивность которого X > 0. Оборудование независимо друг от друга обслуживают две бригады. При этом одна бригада осуществляет переналадку оборудования, вторая - его профилактику и ремонт. Предполагается, что время обслуживания (обработки) поступившего заказа имеет показательное распределение с параметром ц > 0. После обслуживания всех заказов, находящихся в системе, оборудование немедленно отключается и переходит в состояние свободен - не готов; при поступлении нового заказа оборудование проходит переналадку на выпуск новой партии, после чего начинается выполнение поступившего заказа. Длительность переналадки имеет показательный закон распределения с параметром V > 0.

Предполагается, что выход оборудования из строя может произойти только во время выполнения заказа, т. е. если оно находится в рабочем состоянии. Момент выхода из строя имеет показательный закон распределения с параметром X > 0. Если в момент выхода из строя в системе была заявка, то она теряется. После того, как было выполнено последнее требование и в системе нет новых заявок, начинается профилактика оборудования, длительность которой имеет показательный закон распределения с параметром у1 > 0. Время ремонта или время восстановления оборудования имеет показательный закон распределения с параметром у2 > 0. Если после восстановления оборудования, в системе нет заявок, то оно переходит в состояние свободен -не готов. Если же в системе есть заявки, то для ее выполнения требуется переналадка, интенсивность которой и1. Следовательно, рассматривается система с неидентичной переналадкой.

Случайный процесс поступления заявок и их обслуживание может быть описан следующими возможными состояниями:

(0, к) - прибор вышел из строя и восстанавливается, в системе к > 0 требований;

(1, 0) - прибор свободен - не готов;

(1, к) - прибор работает и в системе к > 1 требований;

(0*, к) - проводится переналадка оборудования и в системе к > 1 требований;

(2, 0*, к) - проводится профилактика и переналадка оборудования и в системе к > 1 требований;

(2, к) - проводится профилактика и в системе к > 0 требований:

(0, 0*, к) - проводится переналадка оборудования после его ремонта и в системе к > 1 требований.

Граф состояний описанной системы имеет вид (рис. 1).

Vi

¥ i

(1.1) к > (U) ц (U)

Vi V1 vi

(2Л) % I2.2) А* I2-3)

Vi

V 2

(2.0) к (2.0*.i) к (2,0■,2) к -> (2.0*.3)

V ir V1 V V i V X ¥ iw

O.0) X (0.1) X (0*.3)

V 2

O.3)

(°.2)

, V 2 V 2

(0.0M) % (0;0\2)

\

(1.1) Ц- (u)

E =

(0, к), (i, к), (2, к), к >0; (0 , l), (2, 0 , l), l >i;

[-(А + гО Po*i +lPio +Vi P2oo к =0,

|-(l + ^)Po*к +^Po*,k-i +ViP2o*к = 0’ k>i;

f - (X+V2 )Po, 0 + %Pii = 0,

I -( x+v2) Po к +XP0, k-i +% Pi, k+i =0>k >!;

(l)

(2)

XPi0 +Vi P20 + V2 P00 =0,

-(x + Ц + % )Pii + vP0*i + Ц Pi2 +

+ Vi P2i + Vi P0*0i =0,

-(Х+Ц + % )Pi к + XPi, k-i + uP0* k +

+ ^Pi,k+i + Vi P2k + Vi Po*ok = 0, k > 2;

(З)

(x + Vi )p2o +Ц Pii =0,

'-(X + Vi )P2i + V P20*i =0,

-(x + Vi )p2к + VP20*k + XP2,k-i =0, k >2; | -(X + V + Vi) P20*i +X P2o =0,

|-(X + V + Vi)P20*к +XP20*,k-i =0, k > 2; f -(X + Vi) P00*i + V 2 P0i =0,

- -(X +Vi)Poo*к +XP00*,k-i +V2P0k =0, k>2.

(4)

(5)

(б)

Для решения систем уравнений (1) - (6) введем в рассмотрение производящие функции вида:

a

Рис. 1. Граф состояний системы массового обслуживания с ненадежным оборудованием

Найдем основные характеристики рассматриваемой системы - распределения совместных вероятностей того, что оборудование находится в определенном состоянии (переналадка, профилактика, восстановление или работа) и в системе имеется определенное количество требований. Для этого рассмотрим стационарный случайный процесс ^(£), описывающий состояние системы в момент времени £. Его фазовое пространство имеет вид:

'0(z)= 2 Pokz, a°(z)=2 Po*kz, ai(z)= 2 Pikz k>0 k>i k>0

2(z)= 2 P2Zz , ЧИ* 2 PM° kz

:< z)=2 po

k>0

а также параметры X „ V

k>i

z>i

„ л X и * и1 И ^1 п ^2 Л

Р = -, 0 = —. Й! =—, =—, Р2 = —.7 = -•

ц ц ц ц ц ц

Умножив уравнения системы (1) на г, гк, к > 1, суммируем их по к. Тогда после несложных преобразований, с учетом введенных обозначений, получаем уравнение

(р + 5-рг) а0( г )-ра( г ) = Р^Р10. (7)

Аналогично из систем бесконечных линейных уравнений (2) - (6) соответственно получаем

г(Р + Р2 -Р2)ао(г)-7аі(г) = -7Ро, (7а)

г(Р + Р2 -Рг)ао(г)-7аі(г) = -7Рш, (8)

Vi

%

[(0, 0 , т), т > 1 ]

Рассмотрим стационарные вероятности состояний процесса УуЬ):

Рк =Р{£(/) = (/', к)}, I = 0,1, 2; к > 0,

Р0*к =Р{|(/) = (0*, к)}, к >1,

Р2,0*к =Р{= <2’0*’ к)}> к >1,

Р0,0*к =Р{^(?) = (0,0*, к)}, к >1.

С помощью графа состояний процесса £,($ составляем системы однородных бесконечных алгебраических уравнений для вероятностей Рк, I = 0, 1, 2; к > 0, Р0*к,

к > 1, Р2,0*к , к > 1, Р0,0*к , к > 1:

(p z 2 - z (i + p + у)+і) ai( z) + 5 za°° z) + +Pi za2( z) + 5i za° (z) =

= (p z2 - z (i + у )+i) Pio + zPii- p2 z Poo , (pz-p -pi)a2(z) + Sa2(z) = pzP20 -P11, (p + S + Pi - pz) a2(z)= pz P20,

(9)

(10)

(11)

(l2)

(pz - p - Si) a° (z) + p2a0(z) = p2 P00.

Выразим неизвестные вероятности РОО, P11 и P2i через P10. Для этого составим систему из первых урав нений систем (2), (3) и (4), предварительно проведя не сложные преобразования. Получаем следующую систе му алгебраических уравнений:

-(p +p2)Poo + у Pii =0,

- p Pi0 +pi P20 +P2 P00 =0, -(p +Pi)P20 + Pii =0.

(13)

www.business-inform.net

ЕКОНОМІКА економіко-математичне моделювання

ЕКОНОМІКА ЕКОНОМіКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

Обозначим

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

С-

Р

й?5( г) =

Ріо -Ріга2(

(22)

Ср(р + Р2 )

Р

10-

р1 (р + Р2 ) + Ур2 (р + р1)

Тогда несложно показать, что решение системы алгебраических уравнений (13) относительно Р10 имеет вид:

Р11 = С(р +р1)(р + р2) ^10 5 (14)

• Р00 = УС (Р +р1) Р.0, (15)

• Р20 = С (р +р2) Р10. (16) Подставив найденные значения вероятностей , и в

соотношения (7), (9) - (12), соответственно получаем

(р + 5 - р г) а*( г) — р^2( ^) = р г Р10, (17)

(р г 2 — г(1 + р + у) +1) а1( г) + 5 га** (г) + р1 га2 (г) +

+ 51 га* (г) = (18)

= [ р ^2 — г С1 +У) + 1 + Сг( р +р1) •( р + р2 — ур2)] Рю.

(р г — р — рО а2( г ) = С (р +р 2) (р г — р —рг) Р10 —5 а*( г),

(19)

(р + 5 + р1 —р г) а*( г) = Ср г(р + р2)Рю, (20)

(рг — р — 51) а2(г) + р2 а0(г) = Сур2(р + р^ Рш. (21)

Для простоты изложения, введем следующие обозначения:

dl( г) = г(р + р2 —р г),

^2(г) = р г 2 — г(1+р + у) + 1, d3( г) = р + 5 —р г,

dA( г) = р1 а*( г) +р гРю,

р г 2 — г (1 +у) + 1 +

_+Сг(р + р1)(р +р 2 ур2). dв( г) = р г — р — 51.

Из равенств (8), (17), (18) и (21) составляем новую систему алгебраических уравнений, которая, с учетом введенных обозначений, имеет вид:

dl (г) а0 (г) — уа1 (г) = — у Рю,

о * о *

d2 (г)а1 (г) + 5га0 (г) + 51 га1 (z) = d5 (г) dз (г )а* (г) — р2 а0 (г) = d 4 (г),

(г)а\ (г) + р2 а0( г) = С1,

где С1 =Сур2(р+р1)Р10.

Решая систему алгебраических уравнений (22 ) относительно стационарной вероятности Р10, можно выразить производящие функции а0(г), а'0(г) и ах(г) через Р10.

Для определения Р10, а затем и вероятностей Р11, Р00 и Р20 воспользуемся условием нормировки

а0 (1) + а0 (1) + а1 (1) + а* (1) + а2 (1) + а* (1) = 1. Значения производящих функций а2(г) и а'2(г) в точке г = 1 находим непосредственно из равенств (19) и (20). В частности из равенства (20) находим

5+рі

Из равенств (19) и (23) следует, что

^С1) = С (Р + Р2)

і + -

Рі(0 + Рі).

Р

іо-

(23)

(24)

Теперь из первого уравнения системы (22) п ри г = 1 получаем следующее соотношение

аі(1) = Ріо + Рі ао(1). У

(25)

Из третьего уравнения системы ( 2 2) при г = 1 по лучаем соотношение вида:

А®

ао(1) =

5

(26)

Наконец, из четвертого уравнения системы (22) при г = 1 следует справедливость равенства

а* (1) = 5-( Р2 ао(1) -Л). 5і

(27)

Подставив соотношения (26) и (27) в условие нормировки, после несложных преобразований получаем

Р + Р ^ +

Ро + 5 5і +

Р2 Р2

і + ЬЦ +Р2

, 7 5і

«о(і) +

(28)

+ а2(і) + а* (і) = і .

Таким образом, для вычисления стационарной вероятности Р10 достаточно найти значение производящей функции.

Из системы (22) находим:

^6 (№3 ((г) - d2 (г)й?з (г)Рш -а (г) = -d zd4 (г^б ] - сііzdз (і)А(і)

а° 2 7 dз(z)[dl(г^(г)d6(г) -7Р2Сіг] '

Тогда можно показать справедливость следующего равенства

5іР7

ао(і) = ■

Ріо +

d4 СО І * \ . /,4 А

—— + а, (і) + 02 (і)- —

(29)

^2 51(1 + у) — р (у51+^2(51 + у ))

Из равенства (29) находим условие существования стационарных вероятностей состояний системы, а именно

р2 51(! + у)

р<-

(30)

у51 + р2(51 + у)

Наконец, используя равенства (28) и (29), выписываем условие нормировки:

d4 (і) і *

Ріо + _5-5" + а2 (і) + а2(і)

[75і+Р2(5+7)]р5

1 + -

Р2 5і(і + 7)-Р (75і+Р2( 5і+7)),

Подставив в последнее равенство найденные выше значения производящих функций я2(1) и я*2(1), находим

Р

і

іо

В (і + К )’

где

В-

і

и К

55іРі(5+Рі)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+ СР5(Р +Р2 )(52+Р2+Рі5)]•

[ 75і+Р2 (5+7)] 5р

Р (5 +Р )|5і(5 + р) + С55і (р + Р2 )-") + Рі(5+Рі)І-С75Р!(р+Рі) 1 +

Р2 5 (і +7) - Р (75+Р2 (5 + 7))'

Таким образом, найдены производящие функции вероятностей состояний системы и необходимое условие (30) существования стационарного распределения вероятностей состояний рассмотренной системы. С помощью найденных вероятностей можно рассчитать различные показатели, которые характеризуют процесс функционирование рассмотренной системы, а также оценить целесообразность вывода ремонтных услуг на аутсорсинг. ■

ЛИТЕРАТУРА

1. Друкер П. Создание новой теории производства / П. Друкер // Проблемы теории и практики управления. -1991. - № 1. - С. 5 - 11.

2. Промышленная логистика. Логистико-ориентиро-ванное управление организационно-экономической устойчивостью промышленных предприятий в рыночной среде / И. Н. Омельченко, А. А. Колобов, А. Ю. Ермаков, А. В. Киреев ; Под ред. А. А. Колобова. - М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1997. - 204 с.

3. Медведева М. И. Исследование системы обслуживания с ненадежным прибором и переналадкой в начале периода занятости / Н. В. Румянцев, М. И. Медведева // Бізнес 1нформ. - Харьков, 2011. - № 7(1). - С. 10 - 13.

4. Медведева М. И. Гибкая производственная система с переналадкой, ненадежным оборудованием, восстановлением и профилактикой / М. И. Медведева // Проблеми економ^и. - Харш, 2012. - № 2. - С. 54 - 58.

ЕКОНОМІКА ЕКОНОМіКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.