Ггж-нормы на пространствах непрерывных функций на псевдодеревьях Текст научной статьи по специальности «Математика»

М.С. Кобылина

LUR-НОРМЫ НА ПРОСТРАНСТВАХ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ НА ПСЕВДОДЕРЕВЬЯХ

В статье доказано, что пространство непрерывных функций С(К) со стандартной sup-нормой допускает эквивалентную локально равномерно выпуклую (ШЕ) норму. Здесь К - это локально компактное пространство, ассоциированное с некоторым псевдодеревом. Класс псевдодеревьев, введенный в данной статье, является расширением класса деревьев из [1].

Вопрос существования ШЯ-норм на банаховых пространствах имеет давнюю историю. Известно, что на пространствах вида С(К) такая норма существует не всегда. Обзор недавних результатов в этом направлении можно найти в статьях [1-4].

В данной работе рассматривается класс объектов, названных псевдодеревьями, который расширяет класс деревьев. Мы показываем, что псевдодеревья могут быть наделены естественной топологией и они допускают естественное расширение до локально компактного пространства. Основным результатом является теорема 4 о том, что банаховы пространства непрерывных функций на определенных таким образом псевдодеревьях имеют локально равномерно выпуклую норму.

Назовем частично упорядоченное множество Т псевдодеревом, если для каждого t е Т множество ^ { е Т; 5 < /} является линейно упорядоченным и

компактным относительно порядковой топологии. Будем говорить, что псевдодерево густо ветвится, если множество { е Т; 5 > /} нелинейно упорядочено

для каждого t е Т . Назовем элемент t е Т точкой ветвления, если существуют элементы и и V большие t, такие что и )п V) = 0. Множество всех точек ветвления Т обозначим ВТ. Скажем, что элемент / е Т имеет п ветвей, если существует последовательность из п элементов {, ... ,ип} с: ^, для которой множества (, и) попарно не пересекаются. Обозначим ) количество ветвей элемента г е Вт таких, что для любой более широкой последовательности элементов и, ..., ип^ } с: ^ система множеств (,иг) не является дизъюнктной. Далее будем рассматривать псевдодерьевья, у которых каждая точка может иметь только конечное число ветвей. Введем на Т топологию порядка. Базу топологии будут составлять множества вида (и, V) = { е Т; и < s < V}. Отметим, что для элемента / е Вт обязательно существуют и и V большие t такие, что ( и )П ( V) = 0 . Рассмотрим множества (, и) и (, V), содержащие t. Эти множества открыты, следовательно, и их пересечение (, и)П (, V)= (, ^ обязано быть открытым. Таким образом, базу окрестностей точек / е Вт будут составлять полуинтервалы вида («, I] = {и е Т; ^ < и < ¿}, а для точек г е Т \ В1 - всевозможные интервалы (и, V) = { е Т; и < s < V}, содержащие точку t, в общем случае не сводящиеся к полуинтервалам.

Заметим, что множества в топологии порядка являются открыто-замкнутыми в Т. Для каждого

/ е Вт множество можно представить в виде дизъюнктного объединения п(/) открыто-замкнутых множеств G( г (ветвей), г = 0,... и(/) -1. Множество G( г содержит интервал (, п1) из соответствующей системы попарно не пересекающихся множеств, а также множества для каждого 5 е (, и1). Назовем линейно упорядоченное множество Л, I с G( I побегом элемента I е Т, если оно максимально по включению. Побег так же, как и пространство G( г, является открытозамкнутым множеством. Кроме того, для точек побега Л1г справедливо одно из следующих утверждений:

- в любой выколотой окрестности Оя \ {} элемента 5 е А( ; содержатся точки ветвления;

- существует выколотая окрестность Оя \ {} точки 5 е А( г, не содержащая точек ветвления.

Не теряя общности, можно считать, что псевдодерево Т имеет минимальный элемент 0Т, который является либо изолированной точкой ветвления, либо имеет окрестности вида [0Т,и)= { е Т; t < и}. Для элемента 0Т € Т фиксируем нулевой побег А0 0, другие его

ветви и соответствующие побеги, если они есть, нумеруем произвольным образом. Далее ветви и побеги точек ветвления будем выбирать и нумеровать таким образом, чтобы нулевым побегом точки ветвления 5 е А( г было продолжение Л( г, т.е. А о = А / П ^ .

Факт 1. Псевдодерево Т нелокально компактно, если оно содержит точки, удовлетворяющие (1).

Доказательство. Пусть точка / е Т удовлетворяет условию (1) и 01 - ее окрестность. Тогда

\вт П о,| > К0. Выберем в счетную Ог возрастающую последовательность точек ветвления {}“=1. Заметим, что система открыт^тх множеств , 5м ] будет дизъюнктной. Рассмотрим множество 01 . Семейство мно-

__ да

жеств {, si+1 ]}“=1 и 01 \ ^ ^ !+1 ] образуют открытое

¡=1

покрытие 0( . Данное покрытие счетно, и из него нельзя извлечь конечного подпокрытия. Следовательно, множество 0( не является компактом, а пространство Т нелокально компактно.

Факт 2. Если псевдодерево Т не имеет точек, удовлетворяющих условию (1), то оно локально компактно.

Доказательство. Рассмотрим точку г из Т. Если г является точкой ветвления, то она имеет окрестность

(и, г], не содержащую точек ветвления, отличных от г . Рассмотрим замыкание (и,г], все точки множества \и,г ] будут иметь базу, состоящую из интервалов, не сводящихся к полуинтервалам. Тогда [и, ?] будет являться замкнутым подпространством р и поэтому обязано быть компактным.

Для точки, не имеющей ветви, также существует окрестность вида (и, V), не содержащая точек ветвления. Замыканием этой окрестности будет подпространство [и, в пространстве р. Аналогично вышерас-

смотренному случаю, множество [и, у] компактно.

Примером локально компактного псевдодерева может служить отрезок [0,1] с обычной топологией. В качестве псевдодерева, не являющегося локально компактным, рассмотрим «стрелку Зоргенфрея». Пространство «две стрелки» можно рассматривать как локально компактное расширение «стрелки Зоргенфрея». Подобное расширение далее можно обобщить на случай нелокально компактных псевдодеревьев.

Для псевдодеревьев, не являющихся локально компактными, рассмотрим расширение Кт = Вт {0} х иТ х {1}, подобное «двум стрелкам», с топологией:

1. Для х = (,0):

a) если любой интервал (, и) побега Л10 содержит точки ветвления псевдодерева Т, то окрестностями объявим множества вида [¿, и) Вт х (, и)х {1}, ((, и) с. А1 ;

b) иначе х будем считать изолированной точкой.

2. Для у = (/,1):

a) если t £ Вт , ф.с.о.: (и, у)П В1 х {о}и (и, у)х {1}, ( е(и,V);

b) иначе (и, /)П В, х {0}11 (и, /]х {1}.

Для открытого подмножества О в Т обозначим

= G П Вт х {0}и ^ х {1}. Пространство Л, г и {t,1} открыто-замкнуто в Кт . Поэтому Кт можно представить в виде дизъюнктного объединения множеств АГ,0 и Л, I, t е Вт , 1 = 1,...,п(г) -1.

Лемма 1. Подпространство [¿,и) Вт х и]х {1}

пространства Кт является компактом.

Доказательство. Пусть \Сг1 } ,е/ - открытое покрытие пространства [¿, и)П Вт х {о}и и]х {1}. Рассмотрим {и у.}. } - измельчение покрытия , где и у явля-

ются окрестностями х). Причем если окрестность х е ВТ х {0,1} является элементом покрытия, то окрестность точки у , у т = х| также отнесем к элементам покрытия. Рассмотрим проекции элементов {иу.}. } на множество и]х {1} . Получим покрытие множества и]

вида ,, V, и {{, ]и [,, V, )}5 . Зaметим, что

покрытие {(„,, V,} и {, /, ]и [, V,)} = {(и,, V. , а

последнее является открытым покрытием компакта и].

Извлечем из него конечное подпокрытие {ик, Ук ,

равное {(“к > V* )}тк=1М8 и {к , {* ]и [/к , V* 5 . Тогда

семейство множеств, проекциями которых являются элементы покрытия { ^ и {, {к ]и [/*, ^ )}}ХК,

будет конечным покрытием пространства [, и)П вт х {о}и и]х {1}.

Теорема 2. Для псевдодерева Т пространство Кт является локально компактным пространством.

Доказательство. Пусть х е КТ , Ох - окрестность точки х . Если х изолирована, то замыкание ее окрестности будет одной точкой, т.е. компактным. Если х = (,0) и х не является изолированной, то замыканием ее окрестности будет являться множество [¿,и)П Вт х {о}и и]х {1} . Множество и)П Вт х {о}и и]х {1} в силу леммы 1 компактно. Замыкания окрестностей точек у = (/,1) также являются компактами. Этот факт может быть доказан аналогично лемме 1.

Обозначим С0 (К) - пространство всех непрерывных функций на К, стремящихся к нулю на бесконечности, т.е. таких, что для каждого е > 0 множества {х е К; \/(х)| > е} компактны.

Замечание. Если для множества Г, пространство С ) допускает локально равномерно выпуклую норму, то пространство непрерывных функций С0 [и, t ], равных нулю на концах промежутка, допускает ЬиЯ -норму.

Доказательство. Пространство С0 [и, t] гомеоморфно линейному подпространству {/ е С (Д)};

{/(х) = 0,х е [0г,м]и {г1}} пространства С(^). Следовательно, С0 [и, t] допускает ЬиЯ -норму.

Далее нам потребуется следующая теорема.

Теорема 3 [3]. Пусть (X^ • ||) - банахово пространство.

Пусть в (х, || • ||) задано семейство ограниченных линейных операторов {р} , удовлетворяющее свойствам:

1) оператор Т, определенный на X следующим образом: Тх(у) = ||р(х), х е X , отображает X в с0 (г);

2) если х е X , то х е ^р{рх};

3) пространства рх допускают эквивалентную локально равномерно выпуклую норму.

Тогда X допускает эквивалентную локально равномерно выпуклую норму.

Теорема 4. Пусть Т - псевдодерево, каждая точка ветвления которого имеет конечное число ветвей. Пусть для каждого / е Т множество Г, является линейно упорядоченным компактом, и С(р) допускает ЬПЯ -норму. Тогда С0 (кт) допускает локально равномерно выпуклую норму.

Доказательство. Для того чтобы теорема была верна, достаточно показать, что на С0 (К) существует последовательность операторов {р} , удовлетворяю-

V ’ >уеГ

щих теореме Зизлера [3].

Для ґ є Вт , і = 1, ..., п(г),

определим

Р/(х) =

/(х), если х є А

[0, иначе.

Покажем, что для f е С0 (К) функция Р(;./ принадлежит С0 (К). Рассмотрим следующие ситуации:

a) если х е А( г, то из непрерывности функции / следует, что для любого Е > 0 существует Ох С А I , для кот°р°й |^/(х) - Р,/О^ = |/(х)- /(у^ <е , у е Ох ;

b) если х £ Лг у, то для любого £ > 0 существует Ох,

не пересекающаяся

А

для которой

И,,/(х) - Р/(у)\ = |0 - 0 = 0 < ^ ^ е Ох .

Далее покажем, что для любого е > 0 существует только конечное число индексов (п, 1п), для которых

||р /|| > £ . Пусть б > 0. Так как / е С0 (К), существует компакт К с К такой, что /(у)\ >8 , у е Ке. Так как множества А, г открыто-замкнуты в Кт, то

п

к с Ц . Поэтому, по определению Р1{ /,

т=\

||р , /|| > е может быть справедливо, только для (т, *т), т = 1, ••• , П . Кроме того, легко видеть, что

/(х)- Ё Р,-/(х)

./=1

< є .

Заметим, что пространство Р( і (С0 (КТ)) гомео-

морфно С0 ¡А, і ). Таким образом, осталось показать,

что Р( і (с0 (а, і )) допускает локально равномерно выпуклую норму. Этот факт будет доказан в лемме 2. Лемма 2. С0 ¡А, і) допускает ШЯ -норму.

Доказательство. Рассмотрим пространство А( і. Для каждой точки х є А( і справедливо одно из следующих утверждений:

a) любая окрестность х содержит точки ВТ х{0,і};

b) существует окрестность х, не пересекающая Вт х{0,і}.

Таким образом, А( г можно разбить на дизъюнктные, открыто-замкнутые множества М и N. М содержит точки, для которых справедливо (а), N - (Ь). Множество N, в свою очередь, представимо в виде

Ц (и> V)х {1}.

/о (х ) =

Т : Со (Я^ Со (Я) по правилу Т/(х) = f (х) - /0 (х). Оператор Т линеен и ограничен. Причем 1т Т гомео-морфен С0 (М), а кег Т гомеоморфно С0 {И). Согласно результатам [4], если 1т Т и кег Т допускают ЬИЯ -норму, то ее допускает и С0 (а( г).

Пространство

с = с {со [и> ^ ]; 8еА}.

Здесь пространство С0 [и8, V ] - это пространство всех непрерывных функций на \щ, у5 ], равных нулю на

концах интервала. По замечанию каждое пространство С0 [, vg ] допускает ШЯ-норму. Из результатов Зиз-лера [3] следует, что и С0 (V) имеет эквивалентную ШЯ-норму.

Для завершения доказательства рассмотрим С0 (М). Построим на нем семейство операторов

{я„} в , удовлетворяющих теореме Зизлера. Определим

п у-(х) = иМ-f (у>°)> х е(Л.оПм)и{у,1};

[0, иначе.

п / е С (м).

Пусть / е С0 (м), е > 0 . Для него существует компакт К с (-^,0 П м) и {у, 1}, в точках которого функция может изменяться больше, чем на 8 . В силу непрерывности функции f для каждой точки х е Ке существует окрестность Ох, в которой значение функции f изменяется меньше, чем на 8 . В результате, получили открытое покрытие {О} компакта Кт, и из него можно извлечь конечное подпокрытие. Пусть {О }. 1 и О - минимальное покрытие компакта К, на

каждом элементе которого функция отклоняется менее, чем на е . В силу этого может существовать только конечное число точек 7 е Бт П К , для которых

1К ? (х)=1 ? (у,!)- ? (у’°)1 -е.

Далее вспомним, что М состоит из точек, в любой окрестности которых есть точки ветвления Т. В каждом пересечении элементов покрытия \Ох} выберем по точке д] с Вт х{0,1}, ] = 1,т . Составим

Для / е С (аА,) определим функцию

\/(х), X е N;

[0, х е М.

Нетрудно видеть, что /0 также принадлежит пространству С0 г). Далее определим оператор

функцию /Т (х) = ^ п /(х), для нее будет справедливі

во |/(х) - /г (х) <8 , х є М . Таким образом, мы показали, что / (х) є sp |лу/} .

Третье условие теоремы Зизлера выполнено, так как п (С) = К допускает эквивалентную локально равномерно выпуклую норму.

с

ЛИТЕРАТУРА

1. Molto A., Orihuela J., Troyanski S., Valdivia M. A non linear Transfer Technique for renorming // Pre-Publicationes del Departamento de Matemati-

cas. Universidad de Murcia 20, 2003.

2. Haydon A., Molto J. Origuella Spaces of functions with countably many discontinuities // Preprint http://arxiv.org/math/0612307

3. Zizler V. Locally uniformly rotund renorming and decomposition of Banach spaces // Bull. Austr. Math. Soc. 1984. Vol. 29. P. 259-265.

4. Godefroy G., Troyanski F., Whitfield G.H.M., Zizler V. Locally uniformly rotund renorming and injections into c0 (Г) // Canad. Math. Bull. 1984.

Vol. 27. Р. 494-500.

Статья представлена кафедрой теории функций и топологии механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 13 ноября 2006 г., принята к печати 20 ноября 2006 г.

Круликовский Н.Н.

Из истории развития математики в Томске. - Томск: Томский государственный университет, 2006. - 174 с.

В книге содержится общий очерк развития математики в г. Томске с начала деятельности ученых-математиков и высшего математического образования в Сибири.

Для широкого круга читателей, интересующихся историей математики.