Локально равномерно выпуклая норма на c(k), где k − лексикографический квадрат Текст научной статьи по специальности «Математика»

М.С. Кобылина

ЛОКАЛЬНО РАВНОМЕРНО ВЫПУКЛАЯ НОРМА НА С(К),

ГДЕ К - ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКИЙ КВАДРАТ

Доказано существование эквивалентной локально равномерно выпуклой нормы на пространстве С(К), где К - лексикографический квадрат.

В данной статье рассматривается теорема существования эквивалентной локально равномерно выпуклой нормы на пространстве С (К), где К - лексикографический квадрат.

Будем использовать стандартные обозначения, где Q - множество рациональных чисел. Определим пространство с0 (Г): пусть х = {ха }аеГ , точка х е с0 (Г), если для любого е > 0 ||ха || > е лишь для конечного

числа элементов.

Обозначим окрестности точек на лексикографическом квадрате в топологии, индуцированной порядком: - окрестности точек (х,0), х > 0

O(х,0) (8) = {(5, П) 6 [0,1]2 / о < x -1 < 5, п 6 [0,1]}и

^{(5,П) 6 [0,1]2/ 5 = х, п < 5},

О(о,о)(5) = {(5,П) 6 [0,1]2/ | = 0,п <5};

- окрестности точек (х, у), х 6 [0,1], у 6 (0,1):

O(x,y,(5) ={(5 п) 6 [0,1]2 /1 = x, |п-у| < 5};

- окрестности точек (х, 1), х < 1:

O(х,1) (5) = {(5, п) 6 [0,1]2 / 0 < | - х <5, п 6 [0,1]}и ^ {(5,п) 6 [0,1]2 / 5 = х, п > 1 -5},

0(1,1)(5) = {(5,п) 6 [0,1]2/ 5 = 1,1 -п<5}.

ПЕРЕНОРМИРОВКА ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИИ НА ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКОМ КВАДРАТЕ

Используя результаты статьи Зизлера [1] и следуя примеру построения локально равномерно выпуклой нормы на C(D), где D - пространство «две стрелки»[2], докажем, что на пространстве C(K), где К - лексикографический квадрат, существует эквивалентная норма.

Теорема. Пусть задано пространство C(K) с нормой равной ||/|| = sup f (х)|, где K - лексикографический ква-

хеК

драт. Тогда на C(K) существует эквивалентная первоначальной локально равномерно выпуклая норма.

Доказательство. Из [1] следует, что для существования локально равномерно выпуклой нормы нам достаточно построить на пространстве С(К) семейство линейных ограниченных операторов Ра : С (К) ^ С( К), а 6 Г, обладающее свойствами:

1. Образ отображения Т, определенного формулой Тх(у) = \Ру (х)|, х е С (К), лежит в с0 (Г);

2. Если х е С (К), то х е зр{Рах} Г ;

3. Ра(С (X)) - сепарабельны (и, следвательно, имеют эквивалентную локально равномерно выпуклую норму) для любого а е Г .

Пусть А = {гк, к е Щ - нумерация чисел Q п (0,1).

Определим А = {(х,у) е (0,1)2nQ : у > х}.

Положим Г, равное объединению пяти множеств Г, 1 < , < 5, где Г, = {(0,0)} , Г2 = [0,1] х А,

Г3 = [0,1] х А х{1}, Г4 = {1}х А и Г5 = {0}х А2 х [0,1]. Для каждого Г, определим следующие операторы:

P,« j (f)(x, У) =

P,r ,i( f)(x, У) = ■

Р0А /)(х, У) = / (0,0).

0, если х <5 или х = 5 и у < r,

/ (5, r) - / (5, rj) 5 <

------------------- (У - r), если х = 5 и r < у < rj,

/(5, rj) - /(5, r), если х = 5 и у > Tj или х >5; 0, если х <5 или х = 5 и у < r,

/ (5,1) - / (5, Tj )( ч 5 < ,

------------------ (у - r), если х = 5 и r < у < 1,

1 - r

/ (5,1) - / (5, r), если х >5;

0, если х < r ,

1

i + j

f (rj ,1) - f (j ,1)( )

-------------------(x - r), если r < x < rj,

rj - r

f (r, ,1) - f (r ,1), если x > r ;

Pof (f)(x, У) =

1

i + j

0, если x < ,,

f (,, r ) - f (, ,0)

./(^i, Г) - /(^,0), если х = ^ и У > г или х >1,..

Данное семейство операторов удовлетворяет условиям непрерывна в каждой точке, следовательно, для е > 0 су-

(1) - (3). Покажем это. Т.к. функция/непрерывна, то она ществует 0 < < п < 1, такие, что колебание функции

24

1

1

/(х, у) в окрестностях 0(0 [)(£„) и 0(1 0)(1 - П1) меньше е .

Далее, для каждой точки £ е (0,1) аналогично можем выбрать п,, так, что 0 <п <С^ < 1, чтобы в окрестностях 0(?0)(£-п?) и 0(?1)((^-£) колебание функции /(х, у) было меньше е .

Мы получили относительно открытое покрытие компакта [0, 1] множествами [0, £0), (Л1,1] и (п£, С£) для 0 < £ < 1, из него можно извлечь конечное подпокрытие: [0,£0),(П[,1] и (п£,,),, = 0,1 так, чтобы в окрестное 0(0,1)(£0) , 0(1,0)(1 -П1) , , = 0 I : 0(£, ,0)(£,-П,^ 0(£. 1) (С?- - £,) колебание функции было меньше е .

Далее выберем для 0 <, < I +1 р1 е (£,-1, £,), Р0 е (0, £0) , Р/+1 е (П1 Д) , где Р1 = гк е Q п [0,1], так, что колебание /(х, у) на множествах с1 (0(01)(р0)),

с1 (°(1,0)(1 - Р/+1 )) для 0 < . < 1 + 1 с1 (0(£,,0)(£, - Рi)) и

С1 (0(£, ,1)( Р,+1 -£,)) меньше е.

Обозначим

Vх,0) (8, г) = {(£, п) е [0,1]2 / 0 < х - £ < 5, п е [0,1]} и{(£,п) е [0,1]2/ £ = х, п< г},

Vх,1) (5, г) = {(£, п) е [0,1]2 / 0 < £ - х <5, п е [0,1]} и{(£,П) е [0,1]2/ £ = х, п> г}.

Тогда для 0 <, < I +1 существуют такие г0, Г е Q п [0,1], что на множествах ^£,,0)(£, - Р1, г.0) и К(£,1)( Р,+1 -£,, г,1) функция / (х, у) изменяется меньше е .

Для того чтобы покрыть весь лексикографический квадрат, остается покрыть конечное число отрезков:

{0} х [0,1 - Р0],0 < ] < I :{£,} х [г0, г/] и {1}х [1 - РЫ,1].

Далее, для каждой точки (0, у) е{0}х [0,1 - Р0] существует а0 < у < в0, такие, что функция /(х, у) изменяется на 0 х (а0у, Р0) меньше е.

{{0} х (а°, Р°у) / у е [0,1 - Р0] }и {0} х х [0,Р0) и{0}х (а0_Р0,1 -Р0]

- открытое покрытие компакта, следовательно, существует его конечное подпокрытие

{{0} х (а0 ,Р0 ),1 < , < «0 }и {0} х х [0,Р0) и {0} х (а«0+„1 - Р0].

Можно выбрать д0 е (а0ы, Р0, ),1 <, < п0, д0 е Q п [0,1], так, чтобы колебание функции /(х,у) на {0}х [д0,д0+1 ] (0 <, < п0), а также на {0}х [0, д0°] и на {0} х [д«0,1 - Р0 ], было меньше е.

Аналогично для 0 <, < I {£, }х [г°, г,.1] выберем е Q п [0,1], 0 < у < п1 так, чтобы колебание функции

/(х, у) на (5,.} X [q5i, qj+J (0 < j < nt), а также на (5,-} x [t,0 , q5 ] и на (5,} х [q5, т/ ] было меньше е .

Также на множестве (1} х [1 - pt+1,1] можно выбрать

q16 , PУj), 0 <. < n;+1, q,1 6 Q ^ [0,1] такк что на

(1}х [q,1, q1+1 ] (0 < i < nl+Д а также на (1}х [1 - pt+t, q0] и на 1 х [q^+1,1] функция /(х, у) изменялась меньше е.

Таким образом, для данного покрытия получили:

1. Колебание /(х, у) на множествах cl (0(0Д)(p0)) и

cl (°(1,0) (1 - pl+1 )) меньше е ;

2. Колебание /(х, у) на множествах {(х, у) 6 [0,1]2/ / х 6 [pt, p,+1l у 6 [0,1]} меньше е ;

3. Для 0 < i < l колебание функции /(х, у) на

множествах V(5. 0)(5i - pt, r0) и V(5, ,1)( pM-5i, Ti1) меньше е .

4. колебание функции /(х, у) на (0}х [q0, q^+J (0 < i < n0), а также на {0}х [0, q°] и на (0}х [q^,1 - p0] меньше е ;

5. Для 0 < i < nl+1 колебание функции /(х, у) на (1}х [q‘,q,1+1], а также на (1}х[1 -p,+1,q0] и на (1}х [q1l+1,1] меньше е;

6. Для 0 < j < nt колебание функции /(х, у) на (5,} х [qj, qj+1], а также на (5,} х [r°, q0‘ ] и на (5,} х [q5, t,1] меньше е .

Рассмотрим случай 4 на (0}х[0,q°]: q0 = тк0, где

k0

т 0 6 A . Обозначим

к0

g0 (x, у) = р0,0(/)(x, у) + k00 • P0>0>q0(/)(x, У), при этом g0 (0,0) = /(0,0), g0 (0, q0) = /(0, q'°). Тогда на (0} х [0, q 0 ] |/(х, у) - g00 (х, у) < е .

Обозначим q°0+1 = 1 - p0. Тогда для 0 < i < n0 на (0}х [q,0, qaM] : |/(0,x) - /(0,q[°)| < е , в том числе

\f(0, qi) - / (0, qh ^ <е. q° = \0, q°M = тк!+1, тк?, тАс+1 6 A.

Обозначим

g°+1(x, у) = g,0 (x, у) + (ki + ki+1) • р0а0 0 (/)(^ у),

0,4i ,qi+1

причем g\+1(0,q]+1) = /(0, qi+1) и gi+1(0,q0) = /(0,q0).

Заметим, что gL = g0(х,у). Тогда на 0 х [0,q0+1 ]:

0х[0,q, ]

\f(x, у) - gi+1(^ у^ <е .

В итоге на (0} X [0,1 - p0] | / (х, у) - g^^ (х, у) < е . Рассмотрим случай 1. На множестве cl (°(01)(p0)) \/(х, у) - /(0,1)| < е , в том числе \/(0,1 - p0) - /(0,1)| < е

и |У(F0,1) - /(0,1)| < е , 1 - p0 = тk0, тк0 6 A .

Обозначим

h0(x у) = g„°0 +1(x, у) + k0 • P0

0,q

,1( /)(х, у)

h 1 (5i,Г°) = /(5i,Г0). Тогда на [0,5,.)х[0,1]u(5,}х

^«0 +1^

А0(х, у^ 0х[0,д«0+1] = *«0+1(х, у), А0(°, д«0+1) = /(0, д«0+1)

и И>(Р0,1) = /(Р0,1). Тогда на [0,Р0]х [0,1] \/(х,у)-

- И0( х у) <е ■

Рассмотрим случай 2. На множестве {(х, у) е [0,1]2 /

/ х е [Р1, Р,+1], у е [0,1]} ^(х у) - /(Р, ,1)| < е, в том числе и \/(Р,+1, 1- /(Р1 ) < е. Заметим, что Р, = гк., Р,+1 = гк,+1. Обозначим

(х, у) = И,- (х, у) + (к, + км) • Р1Р ■ Рм (/)(х, у), при этом И,(х у)| [0,р] ]х[01] = И,_1(x, у), И (Р1,1) = /(Р,, 1) и И,(Р,+1,1) = /(Р,+1,1!). Тогда на [0, Р,+1] х [0,1] V(х у) -

- И (х, у) <е .

Рассмотрим случай 3. На множестве ^,0)(£, -Р,,г,°) |/(х,у)-/(£,,0)<е, в том числе |/(Р,,1)-/(£,,0)<е

и [/(£,, г,0) - /(£,,0)| <е, г,° = гк», гк0 е А .

Обозначим

И 1(x, у) = И,-1(x, у) + К •(к, + к,0) • р0^(у)(х у),

х[0, 5,-p,- ]

/ (х, у) - h 1( х, у)

<е.

h 1(p.,1) = /(pi,1).

/(5 , r0) - /( p ,1)

X, =-----------------— подбирается из условия:

Случай 5 и 6 аналогичен случаю 4.

В случае 3 на множестве ¥(л, д)( Р,+1 -£,, г,1)

\/(х, у) - /(£, ,1)| <е, в том числе

/(Р,+1,1) - / (£, ,1)| <е

и [/(£,, г,1) - /(£, ,1)| <е , гI = гк, , гкг е А .

Обозначим

И,(x, у) = *«+1 (x, у)+к • Р£, >г,од(У)(х у).

Тогда на [0, р+ ] х [0,1] |/(х, у) - И (х, у) < е.

В завершении рассмотрим

с1 (0(1,0)(1 - Р/+1)) ^(x, у) -/(1,0)| < е ,

в том числе

\/(Р/+1,1) - / (1,0) < е и |/(1,1 - РМ) - / (1,0) < е . Обозначим

И,+1(x, у) = И1(x, у) + К1+1 (к°+1 + к1+1) • Р0Р,^Ы (/)(x, у) ,

где К1+1 ищется из условия, что

И,+1 (1,1 - Р,+.) = / (1,1 - Р,+.).

Тогда на

[0,1) х [0,1] и {1} х [0,1 - Р,+! ] \/(х, у) - И+! (х, у) < е .

В итоге получим на [0,1]2 |/(х, у) - И(х, у) < е , где

/(5,, r ) - /(5, ,0)

h(x, у) = р0 0(/)(х у) + к00 • р00а0(/)(x, у) + £ (ki + ki+1) • р0а0 а0 (/)(x, у) +

°,°q0 j_0 v’qj ,qj+1 j

+k0 • р0 qn 1 (/)(^ у)+^(k^^ + kij+1 )• ’ PiJ+1 (/ )(x, у)+

0,q

l ^ ni-1

+£l£ (kj + kj+1) • р5

,=0 vj-0

j=0

5 (/)(x, у) + (kn + k) •р n T1(/)(x, у)

5i ’qj qj+1 5i ЯщЛ

+ £(X, • (k, + k,0)^(/)(x,у) + k • р5.,г„д(/)(х,у))+ i=0 i i i

+ X,+1 • (k,+1 + k^) • PоP_+plJ+l(/)(x, у) + (ki0+1 + k1) • PJд_pl+l,q0(/)(x, у) + nl +1 -1

+ 3=0 (k1 + ki*'> • P ,,м.,(/)( x, у)+• P,.'„ )(x- у).

j=0

Эта формула показывает справедливость условия 2. 3 следует из того, что Ру(С(К)) изоморфны С[0,1],

Условие 1 выполнено, так как для фиксированной функции / (х, у) и е> 0: Р (/ )| >е только для конечных подмножеств множеств Г1, Г4, {(£к, г, гу),

0 < к < I }, {(1,г,г)}, {(0,г,гу,£к),0 < к <,} . Условие

которое в свою очередь сепарабельно. Тогда на пространстве С(К) существует эквивалентная первоначальной локально равномерно выпуклая норма.

ЛИТЕРАТУРА

1. Zizler V. Locally uniformly rotund renorming and decomposition of Banach spases // Bul. Austral. Math. Soc. 1984. Vol. 29. P. 256-265.

2. J. E. Jayne J.E., Namioka I. and Rogers C.A. o-fragmentable Banach spaces // Mathematika. 1992. Vol. 39. P. 166-188.

Статья представлена кафедрой теории функций механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 20 мая 2004 г.

2

2

2

2

+