Локально равномерно выпуклые пространства вида с(к), где к линейно упорядоченный сепарабельный компакт Текст научной статьи по специальности «Математика»

М. С. Кобылина

ЛОКАЛЬНО РАВНОМЕРНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ВИДА С(К), ГДЕ К - ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННЫЙ СЕПАРАБЕЛЬНЫЙ КОМПАКТ

В статье доказано, что для любого линейно упорядоченного пологией пространство С(К) допускает локально равномерно

В работах Кадеца [1] было доказано, что каждое сепарабельное банахово пространство допускает эквивалентную локально равномерно выпуклую норму. По теореме Милютина такая норма существует на всех пространствах вида С(К), где К - метризуемый компакт. Известно, что на пространстве /„, которое изометрически изоморфно СфЛО, не существует вышеупомянутой нормы. Таким образом, вопрос существования локально равномерно выпуклой нормы на пространствах вида С(К), где К - неметризуемый компакт, остается актуальным.

В данной статье рассматривается случай, когда пространство К является линейно упорядоченным сепарабельным компактом со стандартной интервальной топологией.

Теорема. Пусть X - линейно упорядоченный сепарабельный компакт со стандартной интервальной топологией. Тогда пространство С(Х) с нормой ||/|| = тах|/(х)| допускает эквивалентную локально

хеХ

равномерно выпуклую норму.

Доказательство. Ввиду справедливости теоремы Кадеца [1] доказательство достаточно провести только для неметризуемого X. Воспользуемся теоремой Зизлера [2], в которой задача существования эквивалентной локально равномерно выпуклой нормы на пространстве (2 ,|| ||) сводится к задаче существования семейства линейных ограниченных операторов {Ру}уеГ , Р : 2 ^ 2 , обладающего свойствами:

1) оператор Т, заданный по правилу 7г(у) = ||Ру, отображает Т : 2 ^ с0 (Г);

2) если г е 2, то г е 5р{Рух};

3) для Уу е Г на пространстве р2 существует

эквивалентная локально равномерно выпуклая норма.

Таким образом, для существования эквивалентной локально равномерно выпуклой нормы на С(Х) достаточно показать, что на нем существует вышеуказанное семейство операторов.

Так как X - линейно упорядоченный сепарабельный компакт, то существует всюду плотная последовательность £ = {ег }“=0 в X; причем заведомо можно выбирать ее таким образом, чтобы для точки ег е X ее предшественник е,г и последователь ег+ (если таковые существуют) также являлись элементами £. Заметим, что все изолированные точки принадлежат £.

Для г е N положим

Р/(х) =1 / (ег).

I

Для ґ <

X положим

Г0,

Р/(X) =

сепарабельного компакта К со стандартной интервальной то-выпуклую (ЬиЯ) норму.

Обозначим J = {[ег, е}- ]; ег, е}- е £}, где [ег, е}- ] е J

такой, что для любого х е [ег, е] не существует ни

предшественника, ни последователя. Заметим, что каждое [ег, е] е J является сепарабельным метри-

зуемым компактом. Для [ег, е] е J определим

° х < е,

/(X) - /(ег ), ег < X < е., /(е. ) - /(ег X Х > е] •

Обозначим Г = N и X и J . Покажем, что построенное семейство операторов {Ру}уеГ удовлетворяет

всем условиям теоремы Зизлера [2].

Докажем, что для семейства операторов {Ру}уеГ

справедливо условие 1. Пусть / е С(X) и б0 > 0, тогда лишь для конечного числа точек t е X е0 /(1 +) - /(0| = |И/11 = Т/(1). Для данного 60 су-

ществует п є N такое, что Єо

1,

< — и для любого

п

і > п Т/(г) = |\Рг/\\ = -\/(ег )| < ^ < Єо; и лишь для ко-г г

нечного

числа

Р

[*,-

интервалов [ег, е}- ] е J

= Т/ (ег, е}- ]). Таким образом, пер-

вое условие теоремы Зизлера выполняется.

Докажем, что второе условие также справедливо для построенного семейства операторов. Так как функция / непрерывна в каждой точке компактного пространства X, то для фиксированного 6 > 0 существует конечное открытое покрытие X

и = {(иг , V )}”=1 и К V) и (ип , Vn ]

такое, что

|/(х) - /(X ')| <6 для х, х' е (и, V). Можно считать, что для каждого I

Уг < и.

(1)

(2) (3)

Рассмотрим (и , V ),(иг+1, VI+1) и (иг+2 , Ч+2) Элементы покр^гтия и = {(и , V| )}П=2 и [и1, v1 ) и (ип, чп ]. Могут иметь место следующие ситуации:

1) и < и+1, а V ^ V+1 (или и ^ и+1, а V < V+1 X то (и+^ vг+1) С (и , V ) (или (иг, V ) С (иг +^ vг+1)), тогда

и \ (и,

1) (соответственно и \(иг, V г)) также явля-

/(Ґ +) - /(Ґ), X > ґ.

ется покр^гтием X, для которого выполнено (1);

2) ut > ui+1 и v, > v,+1, тогда изменим индекса-

v, = v,+, ,а u,+■ = u,

V:+, = v, соответ-

цию иг = иг+^ ................

ственно;

3) выполнено условие (2), а vi > иг+2, тогда выберем точку х е (иг+1, иг+2) и заметим, что на полученном интервале (иг, х), условие (1) будет выполняться,

а семейство и = {(иг, vi )}п=2 и [и1, v1) и (ип, vn ], где (иг, vi) заменен (иг, х), также является покрытием X.

Выполнив вышеописанные преобразования покрытия, получим и = {(иг, vi )}П=2 и [и1, V1 ) и (ип, vn ],

удовлетворяющее условиям (1) - (3). Рассмотрим элементы покрытия (ui, vi), (ui+1, vi+1) :

a) если (и,vi) = е }, ек1 е £ , то пусть i е /1;

b) если (и , vi) п (uг■+1, vi+1 ) = 0 и существует элемент ti е (ui, vi), последователь которого

:f

, то пусть i Е I2 ;

( -i0 • p.. f)(4 [u,.,.,

< e

для

любого

x Е X .

Обозначим й0 = ^ • Р0 /. Далее для [и1, v1) справедлив один из случаев «а» - «&>. Если 1 е 11, то положим й1 = g0. Если 1 е 12 и 13, то положим й1 = g0 + ^ • Р1 /, где Х1 подбирается из условия

й (11) = /(11); иначе положим й1 = й0 + ^1 • Ре4 ,ек1]/,

где Х1 подбирается из условия й1 (ек ) = /(ек ). Тогда

для x е X справедливо |(f - g1)(x)|

[u1 ,v2 )

<e.

Для интервала (иi, vi), если i е 11, положим й1 = й—1 +Х| •Ре /, где Х, подбирается из условия

i Е I2 U I3 .

полагаем

c) если (u,. V, )n(ui+1. V+, )^0 и существует t, е (u, . v, ) n (ui+1. v,+1). последователь которого

t+Е (u,.v,) n (u,+1.v,+1). то пУсть i Е 1з;

d) если (u,.v,)n(ui+1.vi+1 )^0 и для любого t e(u, . v, )n(ui+1. vi+1) не существует ни предшественника. ни последователя. тогда существует

[ei,. % ]Е J. [ei,. ek, ]c(u,.v, )n(u,+1.v,+1). и пусть

i Е I4 .

Заметим. что I1 +12 +13 +14 = {1. 2...л}. Докажем.

что существует g Е sp {p (f )}Г и Ilf - g|| < e.

Так как S - всюду плотное множество в X. то [u1. v1) n S ^ 0. тогда для e, е S n [u1. v1).

(%) = / (%); если

й1 = й1 -1 +Х| • Р( /, где Х, подбирается из условия й, (1) = /(1-); в оставшемся случае полагаем = Й|-1 +х- •Р[ек ,ек. ]/, где ^ подбирается из условия й1 (ек ) = /(ек ). Тогда ясно, что

\(/ - Й1 )(х)|[u1,v ^ <6 для любого х е X и i < п . Если п е 11, то положим й = Йп-1 +Хп-Ре /, где 1п определя-

-п

ется из условия й (ек ) = /(ек ), иначе й = йп-1 , тогда

й = '0Р,/+Ziip.k,/ + X +.1М.,„„.]к,

Іе.^'l iе^2 и/3 iе^4

причем й е 5р {Ру (/)}уеГ и У - й|| < 6 .

Условие 3 теоремы Зизлера для данного семейства операторов также выполнено, так как пространства Р'С(X) и РиС(X) отождествимы с вещественной прямой. Пространство Р[е, е ]С(X) есть подпространство в С [е;, е}- ], где [е;, е}- ] - метризуемый компакт, а следовательно, и С [^, е}- ] допускает ЬиЯ-норму по теореме Кадеца.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кадец В.М. O пространствах изоморфных локально равномерно выпуклым пространствам // Изв. вузов. Математика. 1959. Т6.

2. Zizler V. Locally uniformly rotund renorming and decomposition of Banach spaces // Bull. Austr. Math. Soc. 1984. V. 29. P. 259 - 265.

Статья представлена кафедрой теории функций механико-математического факультета Томского государственного университета. поступила в научную редакцию «Математика» 18 мая 2005 г.