CC BY
55
8. Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976. 389 с.
Валерий Сергеевич Сизиков
Константин Александрович Кирьянов
Роман Алексеевич Экземпляров
Сведения об авторах
— д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра измерительных технологий и компьютерной томографии; E-mail: [email protected]
— аспирант; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра измерительных технологий и компьютерной томографии; E-mail: [email protected]
— аспирант; Санкт-Петербургский государственный политехнический университет; E-mail: [email protected]
Рекомендована кафедрой измерительных технологий и компьютерной томографии
Поступила в редакцию 13.04.13 г.
УДК 53.082.5
Г. Д. Фефилов
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА, ОСНОВАННОЕ НА ПОНЯТИИ О ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ, В ЛАЗЕРНОЙ ДИФРАКТОМЕТРИИ МИКРООБЪЕКТОВ
Проанализированы фазовые изображения измерительных сигналов, используемых в дифрактометрии. Предложена методика исключения избыточности сигнала, позволяющая представить параметры сигнала параметрами его фазового изображения. Такой подход позволяет получить новый информативный параметр, однозначно связанный с контролируемым размером микрообъекта.
Ключевые слова: лазерная дифрактометрия микрообъектов, информативный параметр сигнала.
В теории информации и связи сигнал традиционно представляется математической моделью в виде функции пространства или времени, характеризующей параметры исследуемого сигнала и их изменение. Также при обработке данных и выделении полезной информации широко используется описание сигналов функциями частоты. При этом любой сложный по форме сигнал представляется в виде суммы гармонических колебаний, что позволяет извлекать такую информацию об сигнале, которую трудно получить на основе непосредственного анализа его в пространственной или временной области.
При решении обратной дифракционной задачи — определении размера микрообъекта по его дифракционной картине — для выделения измерительной информации обычно используются модели сигнала, описывающие распределение интенсивности в дифракционной картине Фраунгофера в пространственной или временной области. Также используются модели в виде пространственного или временного фурье-образа сигнала, получаемого в результате амплитудной фильтрации дифракционной картины. Из измерительного сигнала выделяется информативный параметр, однозначно связанный с линейным размером объекта дифракции. Информативные параметры — основа синтеза дифракционных методик измерения, они определяют основные характеристики дифрактометров, созданных на их основе.
В качестве модели измерительного сигнала может быть использовано его геометрическое представление, основанное на понятии о фазовом* пространстве. При этом для каждой величины независимой текущей переменной (пространственные координаты или время) анализируемому сигналу в фазовом пространстве соответствует изображающая точка, совокупность которых образует фазовое изображение сигнала в выбранной системе фазовых координат [1]. Траектория движения изображающей точки изменяется при изменении одного или нескольких параметров сигнала.
Анализ сигнала в фазовом пространстве позволяет отображать параметры пространственного или временного сигнала геометрическими параметрами его фазового изображения. Представление сигнала в фазовом пространстве в виде фазовой траектории позволяет оценить его параметры, при этом из рассмотрения обычно исключаются пространственные координаты или время. В качестве системы координат Хи Уи образующей фазовое пространство, выбираются величины, зависящие от параметров анализируемого сигнала: сам сигнал, зависящие друг от друга функции переменной, являющиеся результатом различных преобразований сигнала (интегрирования, дифференцирования любого порядка, а также различные их линейные и нелинейные комбинации). Варьируя координаты фазового пространства, можно получить различные по форме и-мерные фазовые изображения одного и того же сигнала. Это позволяет наилучшим образом представлять полезную информацию, содержащуюся в сигнале. Таким образом, при использовании фазового пространства для анализа сигнала большое значение имеет выбор величин, применяемых в качестве координат, так как они определяют свойства геометрических параметров фазового изображения сигнала, такие как инвариантность к неинформативным и чувствительность к информативным параметрам сигнала.
С целью выделения измерительной информации во временной области анализируется дифракционная картина Фраунгофера. При взаимодействии когерентного монохроматического пучка излучения с микрообъектом прямоугольной формы возникает дифракционная картина, сканирование картой позволяет получить сигнал и (/), описываемый выражением:
и (I) = ио
8Ш(Ш(/ )
(1)
где ио — амплитуда сигнала, а — линейный размер микрообъекта, X — длина волны излучения, I — время, / — фокусное расстояние фурье-объектива, V — скорость сканирования. Сигнал и(/) имеет вид затухающего по гиперболическому закону колебания с „условной" частотой <о = ка^/ (к = 2я/Х — волновое число). От величины а однозначно зависят интервалы Т = и о f |kaV между минимумами амплитуды сигнала и (/) .
При регистрации дифракционной картины микрообъекта и при изменении его размера в заданном диапазоне образуется ансамбль взаимоподобных сигналов, в фазовом пространстве представляемый ансамблем его фазовых изображений, границы изменения которых также определяются диапазоном изменения размеров микрообъектов. Необходимо найти число (меру в фазовом пространстве), не зависящее от значения неинформативных параметров сигнала и эквивалентное размеру микрообъекта. Это число соответствует некоторому сигналу из ансамбля (каждая реализация сигнала имеет специфическую фазовую траекторию).
В фазовом пространстве затухающий осциллирующий сигнал представляется траекториями в виде спирали, по которой изображающая точка асимптотически (при t^■<xi) приближается к началу системы координат [1]. Для представления осциллирующего сигнала в фазовом пространстве в качестве его координат целесообразно использовать производные, которые отображают параметры сигнала в текущий момент времени. Сигнал и^), получаемый
2
Термин „фаза" в данном случае означает момент, стадию изменения анализируемого сигнала.
при регистрации дифракционной картины, описывается уравнением второго порядка, для которого фазовое пространство представляет собой плоскость П ^^ (/, q — порядок производных сигнала и (/), используемых в качестве координат). Если в качестве фазовых координат выбрать нечетную (первую) производную и'(¿) и четную более высокого порядка (вторую)
и"(?) сигнала и(/), на плоскости П нечетной разности порядков производных фазовое
изображение сигнала на протяжении одного его условного периода будет подобно разорванному деформированному эллипсу. Это происходит из-за гиперболического изменения длины полуосей эллипса за каждый условный период сигнала и (/). Фазовое изображение, соответствующее нескольким условным периодам сигнала и (/), полученное численным дифференцированием выражения (1), в зависимости от направления сканирования дифракционной картины, имеет вид свертывающейся или развертывающейся гиперболической спирали с асимптотической точкой в начале системы координат (рис. 1).
На плоскости четной разности порядков производных П с координатами и (?) и и(?) фазовое изображение сигнала и (/) имеет вид спирали, растянутой вдоль четных четвертей фазовой плоскости (рис. 2). Подобные изображения сигнала и (/) возникают при использовании в качестве фазовых координат его производных более высоких порядков, а также на плоскостях большей разности, как четной, так и нечетной.
Рис. 1 Рис. 2
В фазовом пространстве параметрами сигнала и (/) являются длина вектора р, направленного в определенную точку фазового изображения, угол наклона вектора р к координатным осям и проекции на них вектора р . В полученных спиральных фазовых изображениях (см. рис. 1 и 2) указанные параметры зависят как от размера микрообъекта, так и от значений амплитуды и коэффициента затухания амплитуды сигнала. Анализ параметров фазовых изображений, полученных на плоскостях четной и нечетной разности, показывает, что между размером объекта дифракции и каким-либо параметром отсутствует однозначная зависимость.
Построить оптимальное фазовое изображение можно с помощью метода, основанного на изменении структуры сигнала путем его оптимального функционального преобразования без потери измерительной информации о размере микрообъекта. Поскольку эта информация содержится в интервале между минимумами амплитуды сигнала и(/), то такие параметры сигнала и(/), как гиперболическое затухание амплитуды и имеющаяся постоянная составляющая, измерительной информации не содержат и являются избыточными.
Избыточность сигнала U (t) исключается в два этапа: на первом — затухание амплитуды сигнала U(t) с помощью оптимальной амплитудной фильтрации, при этом происходит
преобразование сигнала (1) в периодический Ug (t) = U0 sin2 ro0t с частотой ю0 = kaV¡f . На
втором этапе исключается постоянная составляющая путем дифференцирования сигнала Ug (t) . Первая производная сигнала описывается гармонической функцией удвоенного аргумента вида
U'g (t) = kaU0 sin(ra0t)cos(ra0t) = kaU0 sin(2ra0t) . Вторая и третья производные сигнала Ug (t) являются гармоническими функциями той же частоты и соответственно описываются выражениями
Ug (t) = 2 (ka )2 U0 cos(2ra0t),
Ug(t) = -4(ka)3 U0 sin(2ra0t) .
В системе координат U'g (t) и Ug (t) фазовое изображение сигнала Ug (t) = Uo sin2 &0t
на плоскости нечетной разности П1 описывается уравнением
2kaUg (t) + Ug (t)
2U0k 2 a 2
U'(t)
и имеет вид замкнутой эллиптической траектории, по которой изображающая точка перемещается в течение каждого периода сигнала U g (t) (рис. 3). Для ансамбля измерительных сигналов Ug(t) с одинаковой амплитудой, ограниченных диапазоном изменения размеров микрообъектов, фазовая плоскость заполнена вложенными друг в друга эллиптическими траекториями с центром в точке (0, 0) (см. рис. 3). Через каждую точку фазовой плоскости проходит только одна эллиптическая траектория, соответствующая сигналу Ug (t) с определенными параметрами. От размера объекта дифракции зависят такие параметры эллиптического фазового изображения, как l = U o(®o)q— — длина отрезка полуоси, отсекаемого эллипсом, и проекции вектора р на координатные оси, которые зависят и от величины Uo . Поэтому необходимо исключить влияние U 0 сигнала на измеряемый параметр фазового изображения.
Выбрав в качестве системы координат первую Ug (t) и третью U'g, (t) производные сигнала Ug (t) на фазовой плоскости П четной разности, получим фазовое изображение сигнала Ug (t) в виде отрезка прямой, проходящей через начало системы координат и наклоненной под углом у к оси U'g (t) (рис. 4). Начальное положение изображающей точки на прямолинейной траектории зависит от начальной фазы сигнала Ug (t) , длина отрезка этой прямой — от величины периода и амплитуды сигнала, а угол у наклона прямой к оси U g (t) зависит
-3
Рис. 3
только от размера микрообъекта. Для любой точки сигнала Ug (t) отношение амплитуд производных Ug(t)jUg (t) = const, кроме экстремальных, в которых его нечетные производные обращаются в нуль.
U" g(t)
U'(t)
Рис. 4
Фазовые изображения ансамбля сигналов и^ (V) как в выбранной системе координат, так и при использовании в качестве фазовых координат производных сигнала иё (V) более
высоких порядков, а также на фазовых плоскостях большей разности подобны и представляют собой ансамблевое фазовое изображение в виде отрезков прямой, каждая из которых проходит через начало системы координат и наклонена к оси и'ё (V) под соответствующим углом
у, зависящим только от размера микрообъекта. Полученные фазовые изображения сигнала иё (V) описываются дифференциальным уравнением:
(ка )2 и'ё (V)+) = 0,
решив которое относительно а, получим:
a =
Л
ь Ug(t) 4n2Ug (t)
(2)
Из выражения (2) следует, что при произвольном выборе значения переменной t можно однозначно судить о контролируемом размере микрообъекта [2]. Таким образом, приходим к инвариантности от влияния амплитуды и фазы сигнала Ug (t) на результат измерения размера микрообъекта. Отношение Ug (t)jUg (t) = const позволяет использовать выражение (2) как
основу для построения алгоритма выделения измерительной информации [2].
Таким образом, применение геометрического представления сигнала, основанного на понятии о фазовом пространстве, в сочетании с оптимальной амплитудной фильтрацией сигнала U(t) , исключающей избыточность, позволяет выделять содержащуюся в дифракционной картине Фраунгофера измерительную информацию о линейном размере контролируемого микрообъекта. Полученный информативный параметр, однозначно связанный с размером
объекта дифракции, может служить основой для синтеза новой дифракционной методики измерения и разработки на ее основе лазерных дифрактометров с новыми характеристиками.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959. 918 с.
2. А.с. 1469352 СССР, МКИ3 G 01В 11/08. Дифракционный способ измерения линейного размера изделия и устройство для его осуществления / В. И. Соколов, Г. Д. Фефилов //БИ. 1989. № 12.
Сведения об авторе
Георгий Дмитриевич Фефилов — канд. техн. наук; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра лазерной техники и биомедицинской оптики; E-mail: [email protected]
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
лазерной техники и биомедицинской 12.09.12 г.
оптики
