CC BY
21
2/2010
ВЕСТНИК _МГСУ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЗАМКНУТЫХ КРИВЫХ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА И ТРИАНГУЛЯЯЦИИ
Ю.О. Полежаев, А.Ю. Борисова
МГСУ
В основе разработки - исследование биквадратной кривой с учетом условий ограничивающих её форму для последующего использования в качестве плана строительного объекта.
The basis of the research is the study of biquadratic curve with the conditions limiting its form for subsequent use as the plan of building object
Кривая «эллиптические близнецы» -- биквадратная замкнутая линия, представляющая частный случай уравнения четвертой степени:
Ax4+By4+Cx3y3+Dx2y2+Exy+Fx3y+Gy3x+Hx2y+Ixy2+Jx3+Ky3+Lx2+My2+Nx+Qy+P=0. (1) После некоторых упрощений для деформации «близнецов» вдоль горизонтали и вертикали введены коэффициенты (e,f). Таким образом, общий вид уравнения «близнецов» будет следующим:
(ex-c)4+(fy-d)2-b2(ex-c)2-a2=0 (2)
Одна из вариаций геометрических моделей семейства этих кривых представлена на изображении (Рис.1а). «Близнецы» могут параметризироваться двумя полуосями из четырёх возможных (k,l и m,n), которые аналитически взаимосвязаны. Фигура вписывается в прямоугольник со сторонами равными удвоенному произведению двух его полуосей (2Ь и 2к). Выражения полуосей через коэффициенты следующие:
г)
а
S)
Рис 1
m=a; n=b/^2, при этом Fi(-b/V2;0) и F2(b/^2;0);
lb2 Wb4 + 4a2"
полуоси l=
2
k= 4a' + b4 /4 .
Чуть большее удобство для цифровых моделей «близнецов» представляет выражение: У1,2=±д/а2 -х2(х2 -Ь2) .
Представим одну из форм нашего уравнения общего вида выражением:
(3)
вырг
(4)
2 2 ( 2 _ ь 2 ^
,.2_„2 гА. _______г у_ + Х \Х Ь ) _ 1
Х 2'
y2=a2-x2(x2-b2); и затем: +-^' 2 ' 7 = 1 (5)
а а
22 х У
Напомним уравнение эллипса: —— Н--— = 1
а Ь
Как видно из приведенных уравнений, при Ь=0 кривая выродится в частный
4 2
х у .
случаи эллипса четвертой степени и уравнение примет вид: —— Н--— = 1
а2 а2
Следует полагать, что при Ь^-0, кривая должна стремиться к эллипсу. Действительно, при уменьшении (Ь) верхний и нижний изгибы графика постепенно сглаживаются.
При a=0, уравнение принимает вид: у2=Ь2х2-х4 или у — + Х>/Ь2 — Х2 . Фигура, описываемая таким уравнением, представляет собой форму значка бесконечности
и.
При (а=Ь=0), уравнение принимает вид: у2=-х4. Т.к. у2>0 и х2>0, то это уравнение имеет смысл лишь при x=0 и задаёт оно в этом случае точку 0(0;0).
Введем в исходное уравнение еще один коэффициент (£).
Пусть у2=а2 ^а2 -х2(х2 -Ь2). (6)
Как видно, помимо (t) добавлен ещё коэффициент (а) перед корнем. Дело в том, что при ^<х>, значение функции в точке (0) будет стремиться к нулю. Если же в функцию добавить еще один коэффициент (а), то её значение в точке нуль будет стремиться к (а), и она не деформируется, стремясь замкнуться в точке нуль. Фигура будет стремиться к (±а), выемки будут сглаживаться.
Из всего выше изложенного видно, что при наша фигура стремиться
принять форму прямоугольника. Её выемки посередине выравниваются, линии выпрямляются, углы становятся более выраженными. Закономерность деформации фигуры при показана на изображении (Рис.1в).
Геометрические и разнообразные визуальные свойства п-квадратической функции «близнецов» вызывают интерес и практическую потребность их использования. Тем более что технические возможности позволяют реализовать в строительстве достаточно сложные модели объектов, элементы которых представлены искривленными поверхностями. Идеи Шухова, Гауди, Фостера и др. послужили примерами для проектов и сооружений: «Хрустального острова» в Нагатинской пойме, башни в порту Кобе, гигантского общественного комплекса в Киеве и т.д. (Рис.2).
Далее, демонстрируются (Рис.3) три семейства «близнецов», соответствующих тем или иным числовым значениям параметров их функции. Здесь каждое семейство плоских кривых рассматривается в качестве объекта трехмерного пространства в метрическом орторепере (3М), когда (7) вырождается в (0). При этом каждой плоской кривой присваивается изменяющееся значение (7), а сама она выполняет роль сечения
схематизированного объекта башенного типа. Присвоим кривым: (11) значение
(7=0), а кривым (12) значения (7=ДЪ). Отметим, что нижние сечения по своей функции в известной мере сходны, и соответствуют метафорическому смыслу наименования и кривых, и объекта. Верхние (7тах) сечения таковы, что для первого объекта
оказывается утраченной характеристика «близнецов», но сохраняется динамика сечения по оси (у). Во втором случае «близнецы» также деформируются, но габарит верхнего сечения является квадратом. Третий объект во всех сечениях сохраняет качество «близнецов», и в каждом из них имеет лишь точечный инцидент для левой и правой части. Специфика геометрии представленных схем объектов весьма красноречива и призвана для разработок вариантов конструктивных и архитектурных решений.
Рис. 2
Обратим внимание также на то, что пассажи фигур «близнецов» могут корреспондировать со свойствами (2) - «золотой пропорции» через геометрические элементы «золотого треугольника», «золотого прямоугольника» и т.п. Известно, такая взаимосвязь обеспечивает большую органичность и прочность объектов в совокупности с условиями их эстетических оптимальных оценок. Именно поэтому в изображениях (Рис.3,4) введены «золотой треугольник и прямоугольник» штриховыми линиями. Видно, что для семейства (№4) кривые не соответствуют в полной мере гармонии (2 ). по они достаточно близки к ней; в частности кривая (£ 1 ;7=0). Для этого семейства верхнее сечение задано в согласии с пропорцией «золотого треугольника». Однако это сечение здесь поменяло свою габаритную динамику в сравнении с сечением основания (£ 1). Это обстоятельство придает новое композиционное качество в ряду архитектурных решений схемы объекта. Ясно, что возможность гармонизации плоских кривых может осуществляться для каждой в отдельности, либо для всего семейства по заданному условию. Так, для кривых группы (№5) таким условием является габаритность в пропорциях «золотого прямоугольника». Здесь отношения его полусторон соответствуют (2). Секция башни между парой кривых (11 ; I 2 ), для каждой кривой (I;) между ними, -- обладает
свойством взаимности к величине (2) через соответственную фигуру - Д «золотого прямоугольника». Естественно, параметры функции таких (Рис.4) кривых - не в элементарных отношениях. Добавим здесь же, уравнение группы кривых: --2(г+1)
у1,2=±а2Ци —X (х — Ь), имеет 1=16 и уа= а ' .
Рис. 3
В данном случае моделирование плоских кривых, т.е. сечений, -- сохраняет их визуальное сходство от уровня (z=0) до (zmax).
На изображении (Рис.4) схематически показан вариант геометрической конструкции башенного типа сечениями соответствующими семейству кривых группы №2 (Рис.3). Здесь «сечение 3», после двух «базисных сечений» от (Z=0), по достижении «сечения 8» уменьшается по габариту (X) в соответствии с рядом значений «Золотой пропорции». Для тех же сечений расстояния между ними по (Z) увеличивается также в соответствии с рядом значений (2). Для «сечений 1,2» базиса объекта предварительно заданы габариты прямоугольника (1:2), который также может быть «золотым». Оголовок объекта от «сечения 8» до вершины (9) показан в сечении фронтальной плоскостью контуром «золотой параболы : у=х2».
Стержневые конструкции между горизонтальными сечениями объекта, в сущности, представляют собой полигональные композиции замкнутых ферм от простейших моделей на поверхностях цилиндров, до усложненных - на конусах, коноидах, торсах и др. При этом расчетная плоскость симметрии фермы в замкнутом пролете может служить и для её пространственных нормальных сечений, т.к. решётка или раскосы-шпренгели по некоторым условиям конструирования выходят за аналитическую плоскость симметрии на искривлённом пролёте фермы. Так или иначе, геометрическое конструирование простых полигональных, либо шпренгельных ферм, а также конструирование композиций арматурно-стержневых решёток, -- это специальная тема дальнейшего проектирования замкнутых конструкций ферм, либо замкнутых поясов купольно-шатровых поверхностей.
Далее рассмотрим один пример заполнения стержневой конструкцией четверти пояса между двумя соседними плоскими сечениями объекта башенного типа. Нижнее
сечение обозначим (11), верхнее - (12). Поделим кривую на отрезки с равными
хордами-радиусами. Если (11) не окружность, дуги над хордами не равны, и выбор размера константы для хорды связан с величинами (min; max) в зависимости от практических и технических условий проектирования. Использование равных хорд, -- это принципиальный метод стержневого конструирования в приложении к триангуляции для данной модели. Итак, зададим некоторый радиус (RM) и первый центр поместим в
одной из характерных точек (M1) рассматриваемой четверти дуги (11). Например,
на границе сечения объекта одной из плоскостей симметрии. На кривой в итоге может остаться «доборный» элемент (ARM<RM), если предварительно не производился расчет
на требуемое количество «звеньев» для (%) кривой (I j). Очевидно, вследствии различных
длин кривых (^ ), при сохранении const длины хорды, -- «доборные» элементы
£ £
на кривых ( 2' 3'"') будут появляться. Это - издержки сохранения (Rm) в качестве
£
модуля сечения объекта. Введем для рассмотрения третье сечение ( 3) с аналогичными построениями. Но напомним, -- звенья равных окружностей будут пересекаться, а их радиусы плотно стыкуются.
Рис. 4.
После разбиения смежных сечений (£1,12 ) хордами, соединим концы хорд на
смежных линиях (I1,1 2 ). Соответственные точки и отрезки между ними образуют фигуры косых ромбов (1М1; 2М1; 2М2; 2М1) и т.д. (Рис.5). В свою очередь, каждый такой псевдо-ромб, «П-ромб», пересечём одной; и далее, соответственными, диагоналями, например (1М1; 2М2). Здесь основания всех ромбов равны, но лежат в разных 7-плоскостях. Следовательно, треугольники П-ромбов имеют по две равных стороны. Необходимо триангулировать каждый П-ромб так, чтобы их множество между смежными кривыми представило единый полигон; и для этого избирается один из возможных вариантов. Таким образом, каждый П-ромб, т.е. каждая фигура косой плоскости, апроксимируется парой прямых плоскостей в форме двугранного угла с конфигурацией из двух треугольников, имеющих общую сторону и примыкающих к ней равных противоположных оснований. Если пожертвовать равенством оснований треугольников в смежных поясах, — потеряем в количестве типоразмеров; но при условии, что
эти основания находятся в (2) пропорции, — получим дополнительное эстетическое
качество и надежность конструкции при прочих условиях. Возвращаясь к построению диагоналей П-ромбов, заметим, -- выбор второго варианта их ориентации возможен. В этом случае отрезки диагоналей будут псевдопараллельны, «п-параллельны». Возможен комбинаторный выбор ориентации диагоналей. В тех или других случаях можно рассматривать композиционные контуры выпуклых и вогнутых, относительно, шестиугольных пирамид, которые создают иллюзию «панциря», что может быть использовано в архитектурных решениях. Фрагмент четверти поверхности «близнецов», её монопроекция в пространстве (3М) представлен здесь же (Рис.5).
Рис. 5.
Данная разработка открывает новые возможности геометрического моделирования и инженерного конструирования строительных объектов башенного типа, куполов и оболочек.
Литература
1. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. пер.с нем. - М.: Едиториал УРСС, 2004 - 344с.
Ключевые слова: биквадратная плоская кривая, стержневая конструкция башенного типа, триангуляция, золотая пропорция, поперечное сечение по высоте, эллиптические близнецы, раскосы-шпренгели, апроксимация, монопроекция.
Keywords: a flat biquadratic curve, a rod constraction of tower type, a triangulation, a gold proportion, cross-section on height, elliptic twins, secondary truss number, approximation, a monoprojection.
Рецензент: Логвинов Г.Н., кандидат технических наук, профессор, начальник кафедры «Теоретическая механика и техническое черчение» Тульский АИИ
e-mail автора: grafika@mgsu.ru
