CC BY
24УДК 514.18
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ И СОСТАВОВ КОМПОЗИЦИОННЫХ СТРОИТЕЛЬНЫХ
МАТЕРИАЛОВ
Бумага А.И.
Донбасская национальная академия строительства и архитектуры, 286123, Донецкая Нарордная Республика,
г. Макеевка, ул. Державина, 2, [email protected]
Аннотация. В работе представлены принципы создания и аналитического описания геометрических алгоритмов моделирования и оптимизации физико-механических свойств и составов композиционных строительных материалов. Формирование геометрических алгоритмов основывается на методе подвижного симплекса. Далее геометрические алгоритмы сводятся к вычислительным, аналитическое описание которых выполнено в рамках математического аппарата геометрического моделирования - БН-исчисление. Приводится пример использования одного из геометрических алгоритмов для моделирования зависимости физико-механических свойств композиционного строительного материала от состава его добавок. При этом оптимизация состава выполнена методами математического анализа функции нескольких переменных.
Ключевые слова: геометрические алгоритмы, моделирование многофакторных процессов, экстремумы функции многих переменных, композиционные строительные материалы, оптимизация состава.
ВВЕДЕНИЕ
Важной составляющей исследований в области многокомпонентных систем является обработка, анализ и оптимизация полученного в результате эксперимента массива данных. Не являются исключением и современные строительные материалы, большая часть которых относится к искусственно-синтезированным композиционным строительным материалам (КСМ). Традиционно в строительном материаловедении применительно к КСМ выделяют две задачи оптимизации. В первую очередь это, конечно же, относится к оптимизации состава КСМ для достижения требуемых значений прочности и устойчивости конечного продукта. Другой задачей является оптимизация технологических режимов, необходимых для синтеза искомого строительного материала с требуемыми физико-механическими
характеристиками. Эти задачи обычно решаются путём построения аппроксимационных моделей на основе регрессионного анализа, которые, несомненно, имеют свои преимущества и недостатки. Например, при большом количестве экспериментальных данных, когда имеет место хаотическое облако точек, регрессионный анализ даёт очень хорошие результаты, что и было наглядно продемонстрировано в работах [1-4]. В этих работах предложены методы планирования эксперимента и экспериментально-статистические модели, которые позволяют не только удалить ошибочную информацию, полученную в результате эксперимента, но и изменения физико-механических свойств КСМ в зависимости от изменения значений факторов варьирования эксперимента. Однако при
небольшом объёме экспериментальных данных достоверность полученных результатов, не гарантируются самими методами математической статистики, даже при высоких значениях критериев адекватности. В таких случаях использование экспериментально-статистического моделирования, не является целесообразным и гораздо более эффективными являются методы многомерной интерполяции [5-6], которые могут быть формализованы, например, методами БН-исчисления [7-9]. Эффективность геометрических моделей, полученных методом многомерной интерполяции, применительно к моделированию и оптимизации состава и физико-механических свойств КСМ, была доказана в работах [10-12]. При этом основой полученных моделей были геометрические алгоритмы конструирования многомерных объектов, проходящих через наперёд заданные точки, соответствующие исходным экспериментальным данным.
МЕТОД ПОДВИЖНОГО СИМПЛЕКСА
Используя инвариантные свойства
параллельного проецирования в БН-исчислении, был разработан специальный метод подвижного симплекса [13], сущность которого заключается в возможности создания новых геометрических объектов, используя геометрические объекты симплекса подпространства, который, в свою очередь, перемещается в пространстве по каким-то законам. Под симплексом пространства понимается и-мерный тетраэдр (от лат. Simplex - простой) -геометрическая фигура, которая является и-мерным обобщением треугольника. В общем случае,
симплекс пространства - это выпуклая оболочка п+1 точек, которые не принадлежат ни одной гиперплоскости «-мерного Эвклидова пространства. Такие точки называются вершинами симплекса и являются исходными данными для создания геометрических алгоритмов построения многопараметрических объектов принадлежащих многомерному пространству, аналитическое описание которых выполняется в БН-исчислении. При этом координаты вершин симплекса являются исходными данными для геометрического моделирования многокомпонентных систем композиционных строительных материалов и их физико-механических свойств.
Как видно из определения, симплекс непосредственно связан с размерностью пространства, в котором рассматриваются геометрические объекты. Так симплекс двух точек образует одноразмерное пространство - линию. Симплекс трех точек образует двухмерное пространство - плоскость. Симплекс четырех точек образует трехмерное пространство и т.д. Таким образом, подвижный симплекс пространства становится прообразом для создания новых геометрических объектов. Следует отметить, что предложенный метод по своему смыслу похож на кинематический метод создания пространственных форм. Однако, он имеет более широкий смысл и позволяет выполнить обобщение на многомерное пространство.
ПРИНЦИПЫ СОЗДАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ МЕТОДОМ ПОДВИЖНОГО СИМПЛЕКСА
В БН-исчислении основным элементом является точка. При этом любой геометрический объект вне зависимости от способа своего создания является организованным множеством точек. Тогда описанием процесса систематизации исходных точек для создания искомого геометрического объекта является его геометрический алгоритм, который в работах [5-6] получил название «Дерево геометрической модели». В результате однофакторный процесс представляется организованным однопараметрическим множеством точек - некоторой линией (рис. 1а). Соответственно двухфакторый процесс - двухпараметрическим множеством (рис. 1б), трёхфакторный -трёхпараметрическим (рис. 1в) и т.д. Таким образом, геометрический алгоритм моделирования п-факторного процесса предполагает объединение определённого количества (п-1)-факторных процессов с помощью образующей линии гиперповерхности отклика, принадлежащей (п+1)-пространству. При этом образующая гиперповерхности представляет собой кривую, принадлежащую подвижному симплексу, движение которого обеспечивают текущие точки (п-1)-факторных процессов.
Рис. 1. Геометрические алгоритмы моделирования одно-, двух- и трехпараметрического процесса Fig. 1. Geometric algorithms мodeling of one-, two- and three-parametric process
Для аналитического описания геометрических алгоритмов в БН-исчислении была разработана специальная библиотека дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки [12]. Например, дуга кривой 2-го порядка,
проходящая через 3 наперёд заданные точки описывается следующим точечным уравнением:
М = (А - С )7(1 - 20 + (С - БУ(\ - 20 + С, где 7 = 1-1 - дополнение параметра I до 1.
ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ДВУХФАКТОРНОГО ПРОЦЕССА
Рассмотрим этапы формирования
геометрического алгоритма и его аналитического описания на примере модели зависимости физико-механических свойств газобетона от состава и
количества добавок лигносульфоната натрия (ЛСТ) и гидроксида натрия (№ОН).
В работе [14] были получены следующие результаты экспериментальных исследований, которые отражают влияние количества добавок и условий твердения на среднюю плотность и прочность образцов бетонной матрицы и являются исходными данными для моделирования и оптимизации состава в процессе создания газобетона (табл. 1).
Таблица 1. Влияние добавок ЛСТ и NaOH на среднюю плотность и прочность цементно-песчаной
матрицы после автоклавирования
Table 1. Effect of LST and NaOH supplements on the average density and strength of the cement-sand matrix after
autoclave
Расход добавок в % Средняя Предел
от массы цемента плотность р , прочности при
ЛСТ NaOH кг/м3 сжатии R , МПа
0 0 1270 30,4
0,15 0 1375 35,0
0,30 0 1420 38,4
0,60 0 1465 40,6
0 0,15 1285 34,4
0,15 0,15 1400 38,5
0,30 0,15 1455 42,3
0,60 0,15 1515 42,2
0 0,30 1315 39,4
0,15 0,30 1410 42,7
0,30 0,30 1485 44,8
0,60 0,30 1550 49,2
0 0,60 1340 32,1
0,15 0,60 1430 31,6
0,30 0,60 1505 35,3
0,60 0,60 1580 38,7
Следует отметить, что в работе [14] для построения регрессионной модели искомого процесса было выполнено искусственное упрощение, которое заключается в уменьшении количества факторов варьирования до трёх. Для построения геометрической модели искомой зависимости в упрощениях необходимости нет, что является её бесспорным преимуществом.
Составим геометрическую схему (рис. 1) моделирования зависимости средней плотности и прочности цементно-песчаной матрицы от добавок ЛСТ и №ОН в соответствии с план матрицей эксперимента (табл. 1). При этом полученная геометрическая схема (рис. 2) является универсальной и для других физико-механических свойств бетонной матрицы газобетона, меняются только исходные данные, приведенные в таблице 1.
В соответствии с геометрической схемой (рис. 2) геометрический алгоритм построения поверхности отклика, соответствующей исходной
экспериментальной информации, будет состоять из
5 этапов. Первые 4 этапа включают в себя определение направляющих линий, которые в данном случае представляют проецирующие сечения искомой поверхности отклика с фиксированными значениями концентрации №ОН. Каждая из построенных направляющих линий проходит через 4 наперёд заданные точки и определяется текущей точкой Ы1, где г е [1,4].
Пятый этап заключается в построении образующей линии поверхности отклика, которая будет проходить через 4 текущие точки направляющих линий Ы1, формируя тем самым подвижный
симплекс трёхмерного пространства.
Для аналитического описания полученного геометрического алгоритма моделирования поверхности отклика воспользуемся точечным уравнением дуги кривой 3-го порядка, проходящей через 4 наперёд заданные точки. При этом движение точек по направляющим линиям согласуется одним и тем же параметром и .
м = А [и3 -2,5м2м + им2]+ А \_9й2и -4,5мм2] +
+А [-4,5й2м + 9йи2]+ А [й2м -2,5йм2 + и3]. М2 = Б [м3 -2,5м2м + мм2] + Б [9м2м -4,5мм2] +
+Б [-4,5м 2м + 9мм2 ] + Б [м 2м - 2,5мм2 + м3 ]. М = С [м3 -2,5м2м + мм2] + С [9м2м -4,5мм2] +
+С3 [-4,5и2и + 9мм2] + С [и2м -2,5мм2 + м3]. м = А [м3 -2,5м2м + мм2] + А [9м2м -4,5мм2] + +А [-4,5м2м + 9мм2] + А [и2и -2,5мм2 + м3].
Аналогичным точечным уравнением, определена образующая поверхности отклика с помощью параметра
V:
м = М [V3 - 2,5V'V + ] + М [9V'V - 4,5^2 ] + +М [-4, 5у 'V + 9УУ2 ] + М [V'V - 2,5УУ2 + V3 ].
Рис. 2. Геометрическая схема моделирования зависимости средней плотности и прочности цементно-песчаной матрицы
от концентрации добавок ЛСТ и NaOH
Fig. 2. Geometric simulation of medium density and strength of cement-sand matrix from the concentration of LST and
NaOH supplements
Таким образом, на основе геометрического алгоритма построения поверхности отклика получим вычислительный алгоритм моделирования зависимости физико-механических свойств газобетона от состава добавок, состоящий из пяти точечных уравнений, каждое из которых
соответствует определённому этапу
геометрического алгоритма.
Выполнив покоординатный расчёт и подставив в полученный вычислительный алгоритм исходные данные из таблицы 1, получим систему параметрических уравнений, которая для средней плотности газобетона имеет следующий вид:
ЛСТ = 0,675м3 - 0,675и2 + 0,6и; ИаОИ = 0, 675у3 - 0, 675у2 + 0, 6у\ р = 1270 + 465м + 2, 5у + 2430и3у3 - 3645м3V2 + +1012,5и3у - 3948,75иV + 5973,75иV --1620и2у +1653,75иу3 - 2598,75иу2 + 787,5т --540и2 +157, 5у2 - 90V3 + 270м3.
При этом визуализация полученной геометрической модели принимает следующий вид (рис. 3).
Рис. 3. Визуализация модели зависимости средней плотности от концентрации добавок ЛСТ и NaOH Fig. 3. Visualization of the medium-density dependency model on the concentration of LST and NaOH supplementation
Из рисунка 3 наглядно видно, что с увеличением концентрации обоих добавок средняя плотность газобетона постоянно растёт. При этом минимальное значение средней плотности достигается при полном отсутствии в составе газобетона исследуемых добавок.
Аналогичным образом получим
параметрические уравнения модели отражающей влияние концентраций добавок на изменение предела прочности при сжатии.
ЛСТ = 0,675м3 - 0,675u2 + 0,6u; NaOH = 0,675v3 - 0,675v2 + 0,6v; R = 15, 6m - 2,8v - 522,45мV + 739, 125mV --236,925m3v + 686,475m2v3 - 939,6м2v2 + +297, 675m 2v - 207,225uv3 + 263,475uv2 --84,15mv - 5,4m 2 + 64,35v2 + 30,4 - 59,85v3.
Следует отметить, что в данном случае 2 разные модели получены на основе одних и тех же геометрического и вычислительного алгоритмов. При этом сами алгоритмы оставались без изменений. Изменились только координаты точек, соответствующие исходным данным, приведенным в таблице 1.
Выполним визуализацию и оптимизацию полученной модели зависимости предела прочности при сжатии от состава добавок (рис. 4).
На основе полученной модели оптимизируем состав добавок ЛСТ и №ОН. Для этого методами
математического анализа функции двух переменных определим такие значения концентрации ЛСТ и №ОН, при которых достигается максимальное значение предела прочности при сжатии. В результате максимальное значение предела прочности при сжатии К = 49,32 МПа было достигнуто при следующих
концентрациях добавок: ЛСТ = 0 % и NaOH = 0,323 %.
0.6 0.6
Рис. 4. Визуализация модели зависимости предела прочности при сжатии от концентрации добавок ЛСТ и NaOH
Fig. 4. Visualization of the strength limit dependency model when compressed from the concentration of LST and NaOH
supplements
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В статье исследованы возможности использования геометрических алгоритмов применительно к решению задач моделирования и оптимизации физико-механических свойств и составов композиционных строительных материалов. При этом переход от геометрических алгоритмов построения к их аналитическому описанию в виде вычислительных алгоритмов осуществляется с помощью математического аппарата БН-исчисление, который позволяет каждой геометрической операции построения поставить в соответствие вычислительную операцию или вычислительный алгоритм, состоящий из таких операций. Приведенный пример показал возможности эффективного использования предложенного подхода для геометрического моделирования и оптимизации физико-механических свойств и составов композиционных строительных материалов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вознесенский, В. А. Современные методы оптимизации композиционных материалов / В. А. Вознесенский, В.Н. Выровой, С.В. Коваль, Т.В. Ляшенко и др.; Под ред. В.А. Вознесенского. - К.: Будiвельник, 1983. - 144 с.
2. Вознесенский, В.А. Численные методы решения строительно-технологических задач на ЭВМ / В.А. Вознесенский, Т.В. Ляшенко,
Б.Л. Огарков - К.: Вища школа, 1989. - 328 с.
3. Дворкин, Л.И. Решение строительно-технологических задач методами математического планирования эксперимента / Л.И. Дворкин, О.Л. Дворкин, В.В. Житковский. - Ровно: НУВХП, 2011.
- 174 с.
4. Dvorkin L., Dvorkin O., Ribakov Y. Mathematical Experiments Planning in Concrete Technology. Nova Science Publishers, New York, USA, 2012, 173 p.
5. Конопацкий, Е.В. Подход к построению геометрических моделей многофакторных процессов и явлений многомерной интерполяции / Е.В. Конопацкий // Программная инженерия. - М.: 2019. - Т.10. - № 2. - С. 77-86.
6. Конопацкий, Е.В. Принципы построения компьютерных моделей многофакторных процессов и явлений методом многомерной интерполяции / Конопацкий Е.В. // Сборник материалов II Международной научно-практической конференции: «Программная инженерия: методы и технологии разработки информационно-вычислительных систем (ПИИВС-2018)». 14-15 ноября 2018 г. - Донецк: ДонНТУ, 2018. - С. 277287.
7. Балюба, И.Г. Конструктивная геометрия многообразий в точечном исчислении: дис. ... д-ра техн. наук: 05.01.01 / И.Г. Балюба. - Макеевка, 1995.
- 227 с.
8. Балюба, И.Г. Точечное исчисление: учебное пособие / И.Г. Балюба, В.М. Найдыш; под ред. В.М. Верещаги. - Мелитополь: МГПУ им.
Б. Хмельницкого, 2015. - 236 с.
9. Введение в математический аппарат БН-исчисление / Бумага А.И., Конопацкий Е.В., Крысько А.А., Чернышева О.А. // Материалы VII Международной научно-практической интернет-конференции «Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом ВУЗе: традиции и инновации». - Пермь: ПНИПУ, 2017. -Вып. 4. - С. 76-82.
10. Бумага, А.И. Оптимизация состава комбинированного заполнителя мелкозернистого бетона методами БН-исчисления / А.И. Бумага, В.И. Братчун, Е.В.Конопацкий // Современное промышленное и гражданское строительство. -Т.12, №2. - С. 92-98.
11. Конопацкий, Е.В. Геометрическая модель зависимости предела прочности при сжатии модифицированного мелкозернистого дегтебетона от четырёх параметров / Е.В. Конопацкий, А.И. Бумага, В.А. Бочоришвили // Вестник Донбасской национальной академии строительства и архитектуры. Современные строительные материалы: сб. науч. тр. Макеевка: ДонНАСА, 2016. - Вып. 2016-1(117). - С. 55-61.
12. Бумага, А.И. Геометрическое моделирование физико-механических свойств композиционных строительных материалов в БН-исчислении: дис. ... канд. техн. наук.: 05.23.05 и 05.01.01. / А.И. Бумага. - Макеевка, 2016. - 164 с.
13. Давыденко, И.П. Конструирование поверхностей пространственных форм методом подвижного симплекса: Дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01. / И.П. Давыденко. - Макеевка, 2012. - 186 с.
14. Аль-Шамси Халед Али Саид. Модифицированные неавтоклавные газобетоны на основе смесей низкой водопотребности: дис. . кандидата технических наук: 05.23.05 / Аль-Шамси Халед Али Саид. - Макеевка, 1999. - 116 с.
REFERENCES
1. Voznesensky, V.A. Modern methods of optimization of compositional materials / V.A. Voznesensky, V.N. Vyrova, S.V. Koval, T.V. Lyashenko, etc.; Under Ed. V.A. Voznesensky. K.: Budvelnik, 1983. - 144 р. (In Russian)
2. Voznesensky, V.A. Chisley methods of solving construction and technological problems at the computers / V.A. Voznesensky, T.V. Lyashenko, B.L. Ogarkov - K.: The Vichschool, 1989. 328 р. (In Russian)
3. Dvorkin, L.I. Solving construction and technological problems by methods of mathematical planning of the experiment / L.I. Dvorkin, O.L. Dvorkin, V.V. Shitkovsky. - Exactly: NUVHP, 2011. -174 р. (In Russian)
4. Dvorkin L., Dvorkin O., Ribakov Y. Mathematical Experiments Planning in Concrete
Technology. Nova Science Publishers, New York, USA, 2012, 173 p.
5. Konopatskiy, E.V. Approach to the construction of geometric models of multifactor processes and phenomena of multidimensional interpolation // Software engineering. Moscow: 2019. Vol. 10. No. 2. pp. 77-86. (In Russian)
6. Konopatskiy, E.V. Principles of construction of computer models of multifactor processes and phenomena by the method of multidimensional interpolation // Proceedings of the II International scientific and practical conference: "Software engineering: methods and technologies of development of information and computing systems (PIIVS-2018)" (14-15 November 2018). Donetsk: DonNTU, 2018. pp. 277-287. (In Russian)
7. Baluba I.G. Constructive geometry of varieties in point calculus: dis. Dr. Techn. Sciences: 05.01.01. Makeyevka, 1995. 227 p. (In Russian)
8. Baluba I.G., Naidysh V.M. Point calculus: textbook. Melitopol: MSPU them B.Khmelnitskiy, 2015. 236 p. (In Russian)
9. Introduction to the mathematical apparatus of BN-calculation / Bumaga A.I., Konopatsky E.V., Krysko A.A., Chernysheva O.A. // Materials VII of the International Scientific and Practical Internet Conference "Problems of the quality of graphic training of students in technical university: tradition and innovation." - Perm: PNIPU, 2017. Issue. 4. pp. 76-82. (In Russian)
10. Bumaga, A.I. Optimization of the composition of the combined filler of fine-grained concrete by BN-calculation methods / A.I. Bumaga, V.I. Bratchun, E.V. Konopatsky // Modern industrial and civil construction.
- T.12, No.2. pp. 92-98. (In Russian)
11. Konopatsky, E.V. Geometric model of the dependence of the limit of strength when compressing a modified fine-grained degtebetone from four parameters / E.V. Konopatsky, A.I. Bumaga, V.A. Bochorishvili // Herald of the Donbass National Academy of Construction and Architecture. Modern building materials: Sat. Scientific. Tr. Makeyevka: DonNASA, 2016. Issue. 2016-1(117). pp. 55-61. (In Russian)
12. Bumaga, A.I. Geometric modeling of the physical and mechanical properties of composite building materials in BN-calculation: dis. ... kand. Techn. Sciences: 05.23.05 and 05.01.01. / A.I. Bumaga.
- Makeyevka, 2016. - 164 p. (In Russian)
13. Davydenko, I.P. Designing surfaces of spatial forms by the method of mobile symplex: dis. ... kand. Techn. Sciences: 05.01.01. / I.P. Davydenko. -Makeyevka, 2012. - 186 p. (In Russian)
14. Al-Shamsi Khaled Ali Saeed. Modified non-autoclave concretes based on low water supply mixtures: dis. ... kand. Techn. Sciences: 05.23.05 / Al-Shamsi Khaled Ali Saeed. - Makeyevka, 1999. 116 p. (In Russian)
GEOMETRIC ALGORITHMS OF MODELING AND OPTIMIZATION OF MECHANICAL AND PHYSICAL PROPERTIES AND COMPOSITIONS OF COMPOSITE CONSTRUCTIONAL
MATERIALS
Bumaga A.I.
Donbas national Academy of civil engineering and architecture, 286123, Donetsk Peoples Republic, Makeyevka, Derzhavina str., 2, [email protected]
Summary The paper presents the principles of creation and analytical description of geometric algorithms of modeling and optimization of mechanical and physical properties and compositions of composite constructional materials. The formation of geometric algorithms is based on the moving simplex method. Then, the geometric algorithms are reduced to computational algorithms, the analytical description of which was carried out within the framework of the mathematical apparatus of geometric modeling - BN-calculation. The example of the use of one of the geometric algorithms of modeling the dependence of mechanical and physical properties of composite constructional material on the composition of its additives is given. The optimization of the composition is performed by mathematical analysis of the function of several variables.
Key words: geometric algorithms, modeling of multifactor processes, extremums of function of many variables, composite constructional materials, composition optimization
