CC BY
53
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ПОИСКА ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ СТРОИТЕЛЬНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
A GEOMETRICAL INTERPRETATION OF OPTIMAL RESULTS SEARCH FOR CONSTRUCTIONAL DESIGNS
Е.П.Знаменская, А.М.Рузаев E.P.Znamenskaya, A.M.Ruzaev
МГСУ
В статье приводятся основные положения решения задачи оптимизации параметров строительных конструкций, и показана (на примере свайных фундаментов) эффективность геометрической интерпретации полученных результатов.
The paper deals with the main positions of method optimization parameters constructional designs and shown (on an example of the piled foundations) efficiency of geometrical interpretation of the received results.
Одним из способов повышения экономической эффективности строительных конструкций является определение их оптимальных параметров. Поскольку большинство практических задач имеет несколько, а некоторые, возможно, бесконечное число решений, целью оптимального проектирования является нахождение наилучшего конструктивного решения среди множества потенциально возможных решений в соответствии с некоторым критерием качества данной конструкции, получаемым на основе целевой функции (функционала) [1] и называемым критерием оптимальности.
Критерий оптимальности - это функция переменных проектирования, представляющая основу выбора между приемлемыми альтернативными проектами. Как правило, процесс оптимизации связан с отысканием минимального или максимального значения целевой функции в области определения параметров с наложенными на нее ограничениями (управлением на целевую функцию). Условие оптимальности выбранного решения можно представить в виде условия минимума функционала:
f (x) ^ inf, (1)
где варьируемыми параметрами являются переменные параметры проектирования - x = [x1,..., xn ].
В общем случае любая строительная конструкция может быть описана конечной системой величин, характеризующих ее геометрическую форму, взаимовлияние ее составных элементов, внешние нагрузки и др. Заданными параметрами являются те описывающие конструкцию величины, которые имеют фиксированные значения. При реализации процедуры проектирования и переходе от одного варианта проектирования к другому заданные параметры не меняются. Переменные проектирования или варьируемые параметры - это те описывающие конструкцию параметры, которые изменяются в процессе проектирования.
Рассмотрим это на примере проектирования свайного фундамента на буронабивных сваях, широко применяемого при строительстве зданий и сооружений в сложных инженерно-геологических условиях.
При разработке проекта фундамента на буронабивных сваях заданными параметров проектирования являются физико-механические характеристики грунтов площадки строительства, геометрические размеры фундаментной конструкции, действующие нагрузки и пр.
К варьируемым (оптимизируемым) параметрам относятся - геометрические размеры свай (d - диаметр свай; Lid - относительная длина свай) и их расположение в плане, характеризуемое относительным осевым расстоянием между сваями aid).
В качестве критерия оптимальности выступает объем и стоимость материалов буронабивных свай, а также стоимость работ по их устройству. В результате выражение (1) преобразуется к виду:
V(L, a, Kraft, d) ^ inf, (2)
где V - общий объем буронабивных свай в рассматриваемом фундаменте;
L, a, d, Kraß - параметры проектирования (длина свай; осевое расстояние между
сваями; диаметр свай; коэффициент, учитывающий работу низкого ростверка).
Ограничениями на область варьируемых параметров в рассматриваемой задаче являются параметры конструктивного и технологического свойства - геометрические параметры конструкций фундамента (длина и диаметр свай, осевое расстояние между ними, несущая способность ростверка и др.) и используемого бурового оборудования для устройства свай (диаметр шнека, максимальная глубина бурения скважины и т.п.).
Ограничения данного характера можно представить в виде неравенств:
Lmax < L < Lmax;
max ^ i ^ max
a < a < a ;
(3)
dmax < dl < dmax;
c^min ^ TTW ^ c^max K raft - K - Kraft .
Ограничения на целевую функцию могут быть выражены с использованием, например, уравнений полиномиальной регрессии, описывающих математическую модель конструкции:
m m m
Y = B0 + £BiXi + £ £BikXiXk +... + BiB2...BmXiX2...Xm, (4)
i=1 i=1 k-i+1
где модель типа (4) характеризует зависимость величины параметра оптимизации «Y» от значений независимых переменных проектирования «X».
Таким образом, математическая постановка задачи оптимизации параметров свайных фундаментов в общем виде формулируется следующим образом: определить минимум целевой функции (2) при выполнении ограничений на область варьируемых параметров в виде неравенств (3).
В общем виде задача, представленная выражениями (2) и (3), является задачей оптимального управления [2], которая сводится к решению экстремальной задачи методами математического анализа.
В качестве примера иллюстрирующего процесс поиска оптимального решения рассмотрим графики некоторой целевой функции, изображенной в виде плоской кривой (рис. 1) и пространственной поверхности (рис. 2), с наложенными на нее ограничениями.
Рис. 1. Геометрическая интерпретация поиска оптимального решения на плоскости
На рис.1 целевая функция, изображенная в виде плоской кривой линии (т.е. линии, у которой все точки лежат в одной плоскости), может иметь не одно, а несколько решений. Для нахождения наименьшего значения функции недостаточно сравнить все ее минимумы (х1, х2, х3, ... , хп) внутри промежутка (а, Ь) и взять наименьшее, но необходимо также принять во внимание и граничные значения функции при х=а и х=Ь. Как уже отмечалось выше, искомое решение будет оптимальным только в том случае, если оно является минимальным из всех возможных решений и при этом удовлетворяет требованиям системы ограничений, наложенным на функцию.
21
На рис. 2 целевая функция изображена в виде гиперболического параболоида (пространственной поверхности), а ограничения на целевую функцию - в виде некоторой секущей плоскости. Как и в случае, рассмотренном выше, целевая функция допускает несколько решений. Отличие заключается в том, что для нахождения наименьшего значения функции достаточно определить и сравнить только ее граничные значения (M1 и M2). Это существенно упрощает процесс принятия решения по оптимизации конструкции и делает его более наглядным с точки зрения влияния поставленных ограничений на конечный результат.
Вывод
Применение предложенного оптимизационного подхода к проектированию строительных конструкций (на примере свайного фундамента) позволяет варьируя переменными параметрами проектирования определить такое их сочетание, при котором обеспечивается надежность конструкции при одновременном достижении наилучших технико-экономических показателей проекта, а геометрическая интерпретация полученных результатов позволяет существенно упростить поиск оптимальных решений.
Литература
1. Андерсон М.С., Арман Ж.-Л., Apopa Дж. С. Новые направления оптимизации в строительном проектировании. Москва: Стройиздат, 1989. -587с.
2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. Москва: Наука, 1979. -432с.
3.
References
1. Anderson M.S., Arman G.-L., Arora J.S. A new direction in optimization of construction design. Moscow: Stroyizdat, 1989. -587p.
2. Alexeev V.M., Tikhomirov V.M., Fomin S.V. An optimal administration. Moscow, Science, 1979.
-432p.
Ключевые слова: оптимизация, буронабивная свая, ростверк, фундамент, параметр, критерий, конструкция, строительство.
Key words: optimization, bored pile, raft, foundation, parameter, criterion, design, construction.
e-mail автора GeoSTS@yandex.ru Статья представлена редакционным советом «Вестник МГСУ»
