CC BY
3INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 5 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
ГЕНЕТИК АЛГЕБРАДА МАЖОРИЗАЦИЯНИ ЦУЛЛАШ Муминов y^yF6eK Рахимжонович
Фаргона давлат университети Докторанти Икромова Наргиза Сайидакбаровна
Фаргона давлат университети Укитувчиси https://doi.org/10.5281/zenodo.7064007 Аннотация. Бир улчовли симплексда квадратик операторни мажоризацияга тадбщи уамда генетик алгебранинг цисмалгебраси келтирилган.
Калит сузлар: генетик алгебра, стохастик матрица, бир улчовли цисмалгебра, квадратик оператор.
ПРИМЕНЕНИЕ МАЖОРИЗАЦИИ В ГЕНЕТИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ Аннотация. Даны приложения квадратичного оператора к мажоризация в одномерном симплексе и частичной алгебре генетической алгебры.
Ключевые слова: генетическая алгебра, стохастическая матрица, одномерной подалгеброй, квадратичный оператор.
APPLICATION OF MAJORIZATION IN GENETIC ALGEBRA Abstract. Applications of the quadratic operator to majorization in the one-dimensional simplex and in the partial algebra of genetic algebra are given.
Keywords: genetic algebra, stochastic matrix, unidimensional subalgebra, quadratic operator.
ВВЕДЕНИЕ
Концепция мажоризации является одной из основных концепций этой научной теории, и мы широко используем концепцию мажоризации для достижения лучших результатов в наших научных исследованиях. МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ
Определение1. [3] Пусть x,y е R2 . Говорят, что x мажорируется y (или y мажорирует х), и пишут X -< у, если
k k
Ex[i] * EУщ, k=1,•••,n-1 (1)
;=1 ;=1
n n
E x^E yw
;=1 ;=1
Определение2. [1] Квадратная матрица P называется стохастической, если все ее
элементы неотрицательные и сумма элементов каждой строки равна 1. В популяционный генетике часто точки симплекса
Sn-1 = jx = (x^..,^^): Ex = 1,х > 0 j с Rn
рассматривается как состояние некоторой биологической системы. Пусть набор чисел
к}'i, J,k — 1,П удовлетворяют условиям
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 5 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
n
x.
i=1
Pjk = Pu Z 0 и ZXi = 1.
дан
системы по формулам
Тогда эволюционный оператор V: Sn 1 ^ Sn 1 определяет закон эволюции
n
xk
= Е Р кх.х;,к =1 п> •, ] =1
где V(x) = ^Х15..., Хт |, т.е., если X = (х1,..., Хп ) данное состояние системы, то V (х) = ^ХР...,хт | следующее состояние системы. Очевидно, равенство
или
X о V =
Xoy = hv(x + y)-V(x-y)) (4)
X PvW> X -v,rX ад
УД' J ' У,-' <- J ' У,И" <- J
V г'.-/=1 г'.-/=1 г'.-/=1 У
(5)
определяет закон умножения [1].
ОпределениеЗ. [2] Яп, с введенной в нем операцией умножения определенной
равенством (4) или (5) при помощи структурных коеффициентов \Рук} называется
генетической алгеброй. РЕЗУЛЬТАТЫ
Следовательно, получаем генетическую алгебру. Очевидно, генетические алгебры
в силу симметрии к = к , к = 1, п являются коммутативным. Представляет интерес
нахождения условий при которых генетическая алгебра является ассоциативной, альтернативной и т.д.
Известно, что - х), (у,\ - _у)е 51 для точек(х,1-л;)^(<уД-<у) 1
соотношение 0 < х < —, х < у < 1 — х справедливо при выполнении условий.
2
V : £1 ^ £ 1оператор ( х, у ) точка в ( х', уточка
'х' = Рп 1х 2 + 2 Р2 1хУ + Р22 1У 2
2 2 О
У' = Р 1,2х + 2 Р12,2 хУ + Р22,2 У
переведут на условиях. Этот оператор называется квадратичным оператором. Эти отношения
х ^ Р11,кх2 + 2Р12,кхУ + Р22,кУ2 ^ У, к = 1,2
условие(х', у') (х, у) выполнено. ОБСУЖДЕНИЕ
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 5 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
Теорема1. Если матрица Р = (/к ). 12 является стохастической матрицей, то
Их -< х выполняется для любого X Е '.
Доказательство. Предположим, что матрица Р = (/к). является
стохастической матрицей. Мы используем следующий оператор:
(У*X = р1,к*1 + 2Р12,к*1*2 + Р22,кХ2 ' к = 12 •
Учитывая, что Х1 + Х2 = 1, Х2 = 1 — Х1 по условию симплекса:
(УХ)' = Р1 к*12 + 2/1^к*1 (1 - Х) + Ря,к (1 - )2 =
= (Р11,к — 2Р12,к + Р22,к )Х1 + 2(Р12,к — Р22,к )Х1 + Р22,к ' к = 1'2-Если использовать условия /2 к = 1 — / к, Р22 к = / к по определению:
(Ух )к = (РцЛ — 2 (1 — Ри) + /?1,к) Х12 + 2 (1 — Ри — Рцк) Х + Рпл = = (4Р1, к — 2) Х2 + (2 — 4 рПк к) + рПк к = Р1 к (2 Х —1)2 — 2 + 2
Оценим соотношение (3) снизу.
(V*)' = ри (2* -1)2 — 2*2 + 2* > —2*2 + 2* = /(*).
f (x ) -2 xf + 2 xl
x
X
= -2 x + 2 > 1.
(3)
В результате следует {Vx) > X • Если мы оцениваем соотношение (3) сверху, мы
'к
получаем следующее соотношение.
v2 „ ,
{Vx) = Pnk {2x -1) - 2xf + 2x <{2x -1) - 2xf + 2x = 2xf - 2x +1 = g{X)
g(x) _ 2 x1 2x1 +1 = -2 x + _ 1 < 1.
1 - x
1 - x
1 - x
В результате следует ( V*) — 1 — * • Итак, 51 находится в сиплексе
*1 — р1, к*1 + 2р2, к*1*2 + Р22, к*2 — 1 — *1' к = 1 '2 отношения выполнены. Отсюда следует, что Ух -< X . Теорема была доказана.
Теорема2. Следующие соотношения выполняются в симплексе 52 :
1) ((/Ц +це2 +уеъ)ое2^оеъ ое2)ое3) + //((е2 °е2^ое3^ + у((е3
2) е1 о(е2 о(Лех +це2 +уе3)) = Л(е1 ° (е2 о е,)) + ¡и{ех о(е2 ° е2)) + у(е1 ° (е2 ое3)),
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 5 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
где Я, ¡и,у е Я, е, е2, е3 е £2.
Доказательство. Покажем, что правая часть этого равенства вытекает из левой части. Поскольку е =(1,0,0), е2 =(0,1,0), е3 =(0,0,1)есть, Яех + ¡е2 +уеъ = (Я, и, 1 есть.
(Яе, + [ле2 +уеъ)ое2= (Р22Х[л + р12ЛЯ + Р2ЪЛу; Р222/и + Р12ЛЯ + р232у;
Р22,3и + р2,3Я + Р23,31) '
((Яе, + це2 +уе3)ое2)ое3= [р33 л (Р22 ъ/и + РпзЯ + Р2ХЪу) + Рш (Р221/и + РШЯ +
+Р23,11) + ^23,1 (Р22,2и + р2,2Я + Р23,2^)' ^33,2 (Р22,3и + р2,3Я + Р23,3^) + р3,2 (Р22,1и + +/12ДЯ + Р23,1) + Р23,2 (Р22,2и + ^2,2Я + Р23,2^) ; Р33,3 (Р22^ + Р2,3Я + Р23,3У) + +Р,3 (Р22,и + Р2Я + Р23,1) + Р23,3 (Р22,2и + Р12,2Я + Р23,2^)_ =
= ягР Р + рр + Р Р ■ Р Р + Р Р + Р Р • р Р + Р Р +
1 33,1Р 12,3 + 1 13,1Р 12,1 + 1 23,11 12,2' 1 33,21 12,3 + 1 13,21 12,1 + 1 23,21 12,2' 1 33,3Р 12,3 + 1 13,3Р 12,1 +
+р р 1 + игр р + р р + р р р р + р р + р р •
^ 23,3^ 12,2 ^ ^ 33,г 22,3 113,Г 22,1 ^ 1 23,Г 22,2 ' 1 33,2^ 22,3 ^ 1 13,2^ 22,1 ^ 1 23,2^ 22,2'
р Р + Р Р + Р Р 1 + уГр Р + Р Р + Р Р ' Р Р + Р Р +
33,3^ 22,3 1 13,3^ 22,1 1 23,3 22,2 ^ ^ 33,Г 23,3 ^ 1 13,Г 23,1 ^ 1 23,Г 23,2 ' 1 33,2^ 23,3 ^ 1 13,2^ 23,1 ^
+Р2 ' Р Р + Р Р + Р Р 1 =
+1 23,2' 1 33,31 23,3 + 1 13,3Р 23,1 + 1 23,3Р 23,2 J
= Я((е1ое2)оеъ) + /и{(е2ое2)оеъ) + у((еъое2)оеъ). ВЫВОДЫ
Теперь покажем, что левая часть происходит из правой.
ое2))ое3+(у(е3ое2))ое3=\ [;t(ei ° е2) +//(е2 о е2) + v(e3 о е2)] \°ез =
•2+(//e2)°e2+(ve3)°e2] Ьез = ((Яе1+це2+уе3)ое2)ое3.
Аналогично доказывается второе соотношение теоремы. Теорема была доказана.
REFERENCES
1. Ганиходжаев Р.Н. Исследования по теории квадратичных стохастических операторов, Дисс. на соис. уч. ст. докт. наук, Ташкент, 1994.
2. Нарзиев Н.Б. Алгебраические структуры, возникающие в задачах популяционной генетики, Дисс. на соис. уч. ст. кандидата наук, Ташкент, 2011.
3. А.Маршалл., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и её / приложения. М.: Мир,1983.
4. Маркус М., Минк Х. Обзор по теории матриц и матричным неравенствам. «Наука», М., 1972.
5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. «Наука» , М., 1967.
