Генетические эвристики для определения планарности графа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ing forces in modelling the demand behaviour for fancy goods. In economics many studies have been made on the macro-level. Already G. Simmel (Simmel 1904) has developed a theory explaining the occurrence of fashion, the trickle-down-theory. It describes fashion as a process of interaction between different social groups, in his case social classes. The upper class always wants to distinguish itself from the others whereas the lower class wants to imitate the upper one. In our modern society classes are probably not that important any more. Nevertheless, there still exist different kinds of people and different groups in society and still imitation and differentiation play an important role as suggested by H. Blumer (Blumer 1968) and G.D. McCracken (McCracken 1985).

Only in the recent years many economists widely discussed the issue of fashion demand. The classical models are not able to include the socio-dynamics or as Adams and McCormick put it, 'mainstream economics has no theory of fashion changes' (Adams / McCormick 1992). Except for the work of H. Leibenstein in 1950 (see Leibenstein 1976) the existence of fancy goods was widely neglected. In the last few years many very different models have been developed to deal with fashion demand, e.g. the works Maclntegre/Miller (1992), Bikhchandani et al. (1992), and Adams /McCormick (1992) just to mention some of them. However, it is either only mathematical models without psychological backgrounds or non-mathematical discussions about the reasons of fashion. The only exception known by the authors is the work of P. Weise (Weise 1993). In this work the psychological interactions between consumers are discussed and a corresponding mathematical model is set up. In his approach P. Weise combines the microlevel of individuals and the macro-level of the collective behaviour of consumer groups. This line of modelling is embedded into the framework of Synergetics as formulated by H. Haken (Haken 1990). The present paper presents a model which includes the main aspects of consumer’s market behavior. This model is mathematically analysed and its main characteristics are discussed.

УДК 658.512

B.B. Иванов, H.B. Курейчик

ГЕНЕТИЧЕСКИЕ ЭВРИСТИКИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛАНАРНОСТИ

ГРАФА

Определение планарности графа, т.е. расположение ребер графа на плоскости без пересечений является важнейшей комбинаторно-логической задачей. Все существующие методы определения планарности разбивают на два класса [1]. В первый класс входят методы, основанные на проверке критериев:

1.1. - .

1.2. - .

1.3. .

1.4 - .

1.5 - .

Во второй класс входят эвристические методы в той или иной степени использующие критерии первого класса это:

2.1 .

2.2 .

2.3 .

2.4 .

Известия ТРТУ

Тематический выпуск

Т.к. неорграф планарен тогда и только тогда, когда все его связные компоненты планарны, то достаточно рассматривать лишь связные неорграфы. Видно, что неорграф планарен тогда и только тогда, когда все его двусвязные компоненты планарны. Поэтому, если неорграф (далее граф) является разделимым, можно разложить его на двусвязные компоненты и рассматривать их отдельно [2]. Поскольку кратные ребра и петли всегда можно добавить к графу или удалить из него без нарушения свойств планарности, достаточно рассматривать только простые графы.

Для определения планарности будем предполагать, что исходный граф не, . -Куратовского неплоский граф имеет по крайней мере 9 ребер.

Сущность алгоритма заключается в следующем. Записывается матрица смеж-

, .

( ) . ( ) .

Теорема (Бадер). Если граф пересечений двудольный, то исходный граф пла-.

Доказательство следует из того, что в двудольном графе можно выделить два подмножества несмежных вершин У’ , У” , таких, что У’ и У” = У и У’п У” = 0 . Граф пересечений в’ = (У, V) для графа в = (X ,и) определяется так, что У о и’, где и’ - подмножество пересекающихся ребер.

Согласно теореме Кэнига [3]. Граф двудолен, если в нем нет циклов нечетной длины. Поэтому для определения двудольности графа в’ можно предложить несколько основных эвристик:

31. Определить все циклы графа пересечений в’, если среди них нет нечетных, то исходный граф в планарен.

32. Проверить, является ли граф пересечений в’ деревом. Если, да, то в’ -двудольный, т.к. всякое дерево двудольный граф. Следовательно, если в’ - дерево, то в планарный граф.

33. Определить систему МВУП ( независимых подмножеств ) графа в . Если среди семейства МВУП найдутся, такие два подмножества Пь П2, что

П1 и П2 = У, П1 о П2 = 0,

то граф в’ - двудольный, а в - планарный.

Основная стратегия определения планарности состоит в том, чтобы в графе в найти цикл С, разместить С на плоскости в виде простой замкнутой кривой, разложить оставшуюся часть в - С на пересекающиеся по ребрам пути и затем попытаться разместить внутри С, либо целиком вне С. Если это удалось для всего графа в , то он планарен, в противном случае он не планарен [1,2,3]. Трудность алгоритма заключается в том, что при размещении пути можно выбрать либо внутрен-

, , области размещения на ранней стадии не устранял возможности размещения по. , -ный граф не планарен.

Для повышения качества алгоритмов принятия решений при определении планарности графа предлагается модифицированная архитектура поиска. Она использует многоагентную систему поддержки принятия решений с эволюционными методами генерации, согласования и выбора решений [4,5]. Процесс генерации состоит из формирования когнитивной карты, когда определяют вес каждого решения; создания базы знаний, когда на основе первого этапа вырабатываются предложения о выборе набора операций и условиях их выполнения; создания сценариев т.е. последовательности выполнения операций генетического поиска. Это

позволяет использовать нечеткие модели для анализа и решения слабоструктури-, .

Итак первоначально производится генерация возможных альтернатив решений (сценариев), т.е. создается популяция для эволюции. Далее строится набор целевых функций для оценки возможных сценариев. Затем производится селекти-рование популяций случайно-направленными методами. В результате создается набор пар для генетического поиска. К ним применяются такие модифицированные операторы генетического поиска как кроссинговер, мутация, инверсия, сегре-.

В результате определенного числа генераций производится выбор решения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Курейчик В.М. Математическое обеспечение КТП с применением САПР. - М:, Радио и связь, 1990.

2. Рейнгольд Э., Ниеергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. -М.: Мир, 1980.

3. Уилсон Р. Введение в теорию графов. - М.: Мир, 1977.

4. Трахтенгерц Э.А. Компьютерная поддержка принятия решения.- М.: Синтег, 1998.

5. Куре йчик В.М. Генетические алгоритмы. - Таганрог: изд-во ТРТУ, 1998.

УДК 681.3.001.63+007.52:611.81

МЛ. Рябец*

О НОРМИРОВОЧНЫХ КОЭФФИЦИЕНТАХ В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ НА БАЗЕ ГЕНЕТИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ

, -

левой функции возникает проблема нормирования критериев, т.е. приведения критериев к "общему знаменателю" для равновесной оценки методом уступок. Целевая функция в таких задачах обычно представляется в виде [1,2]:

0 = ^аРгЧг , ^а = 1 (1)

г г

где а - коэффициенты уступок, определяемые исходя из постановки задачи, р1 -

, ( ),

q 1 - оценки критериев задачи. Основная проблема заключается в правильном выборе коэффициентов р1.

Рассмотрим данную проблему применительно к задаче компоновки некоторой схемы по критериям числа внешних связей и времени задержки в распростра-

. 2- -

ную форму и описывается следующим выражением для вычисления целевой функции:

О = а+афТ = а X+ а2в^^. (2)

г г

Здесь И - число внешних связей, Т - множество оценок задержек сигналов

,

*

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 99-01-00050)