CC BY
61
УДК 539.3, 51-72
Генерация дефектов как явление самоорганизации структуры иод влиянием внешних нагрузок
И.Ф. Головнев, Е.И. Головнева, Л.А. Мержиевский1, В.М. Фомин
Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия 1 Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
Проблема генерации дефектов как явления самоорганизации системы под влиянием внешнего потока энергии была исследована для задачи компрессионного воздействия на твердотельную наноструктуру. Показано, что существует критический поток энергии, при котором система лавинообразно меняет как зависимость поглощения энергии от времени и величины внешнего воздействия, так и тип волновых процессов в структуре.
Ключевые слова: генерация дефектов, наноструктура, самоорганизация структуры, молекулярно-динамическое моделирование
Defect generation as a phenomenon of structure self-organization
under external loads
I.F. Golovnev, E.I. Golovneva, L.A. Merzhievsky1, and V.M. Fomin
Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia 1 Lavrentiev Institute of Hydrodynamics, SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia
The generation of defects as a phenomenon of structure self-organization under the action of external energy flux was investigated on an example of compression of a solid nanostructure. It is shown that there exists a critical energy flux at which the system experiences an avalanche change both in the time- and load-dependence of energy absorption and in the type of wave processes in its structure. Keywords: defect generation, nanostructure, structure self-organization, molecular dynamics simulation
1. Введение
Современное состояние моделирования процессов и поведения конденсированных сред при умеренных и высокоинтенсивных нагрузках характеризуется высоким уровнем развития вычислительных возможностей. Однако прослеживается значительное отставание в моделях, адекватно описывающих реальные процессы. Превалируют варианты модификаций классических феноменологических моделей, построенных еще в позапрошлом веке и базирующихся в основном на данных квазистатических экспериментов [1-4].
Используемые в настоящее время модели условно можно разделить на три больших группы: макроскопические, микроструктурные, атомистические. К первым относятся традиционные модели упругопластического деформирования (модели механики сплошных сред), ко второй группе — модели, основывающиеся на описании микроструктурных механизмов необратимого деформи-
рования (чаще всего, на представлениях о кинетике дислокационного ансамбля). К третьей группе относятся молекулярно-динамические модели и расчеты. Особую категорию составляют наиболее перспективные, многоуровневые модели, позволяющие объединить преимущества каждого из перечисленных подходов и включать в рассмотрение механизмы деформирования разных уровней.
В моделях первой группы, составляющих основу перечисленных выше пакетов, фактически осуществляется модификация классических моделей упругопластического деформирования введением зависимости предела текучести от характерных параметров процесса, в первую очередь, от скорости деформации и температуры. При этом уравнение состояния, входящее в группу определяющих уравнений, остается гидродинамическим (удельная внутренняя энергия зависит только от шаровой составляющей тензора напряжений — гидро-
© Головнев И.Ф., Головнева Е.И., Мержиевский Л.А., Фомин В.М., 2013
статического давления). Для таких моделей построены широкодиапазонные уравнения состояния, содержащие десятки свободных параметров и экспериментально найденных констант. В этой связи перспективным представляется разработка малопараметрических уравнений состояния [5].
Основой моделей второй группы является кинетика дислокационного ансамбля [6, 7]. При этом достаточно сложным является построение общих кинетических уравнений эволюции дислокационного ансамбля, для замыкания и верификации которых недостает адекватных экспериментальных методик, надежности и точности экспериментальных данных. Кроме того, по существующим в настоящее время представлениям, структурные механизмы необратимого деформирования не сводятся только к дислокационным. Необратимая деформация развивается на разных микро- и мезострук-турных уровнях [8].
Огромное разнообразие структурных дефектов рассматривается в статистико-термодинамическом подходе, базирующемся на учете коллективных эффектов в ансамблях микро- и мезодефектов [9, 10]. Широкое распространение в изучении термодинамических свойств материалов получил метод молекулярной динамики (например, [11-13]). Переход от метода молекулярной динамики к построению уравнений состояния возможен и с помощью методов статистической физики. Прямой расчет статистического интеграла реализован в [14]. В ряде исследований моделируются элементы эволюции дислокационного ансамбля — возникновение и движение дислокаций, их взаимодействие с другими дефектами [15-18].
На основе максвелловского подхода были разработаны основы создания моделей деформирования и разрушения, сочетающих учет микроструктурных механизмов необратимого деформирования с преимуществами макроскопического описания [19, 20]. Прямое многоуровневое моделирование реализовано в [21]. Сочетание разных уровней в одной модели применено в работе
[22].
Однако, несмотря на повышенный интерес к теме необратимых процессов в ударной волне, механизм этого процесса еще не понят до конца. Это обусловило использование метода молекулярной динамики для исследования этой проблемы. В статье [23] была оценена применимость этого подхода для исследования упомянутых проблем и доказано, что он может быть использован при анализе динамических и стохастических аспектов необратимости для твердотельных наносистем.
Первой наиболее фундаментальной работой, посвященной синергетическим механизмам деформации твердого тела под влиянием внешних нагрузок, следует считать работу [24]. Дальнейшее развитие применения подходов неравновесной термодинамики к теории нанома-
териаловедения было заложено в работе [25]. Применение синергетических принципов к проблемам пластической деформации и разрушения твердых тел проанализировано в статье [26].
Однако ограниченные возможности экспериментальной техники не позволяют проследить эволюцию структуры твердотельных систем под влиянием внешних нагрузок. В связи с этим в настоящей работе была поставлена цель изучения реакции твердотельной наносистемы на внешнюю нагрузку, которой можно регулировать поток вводимой в систему энергии. Решается конкретная задача исследования микроструктурных процессов в нанокристалле меди при воздействии приложенных импульсов напряжений.
Рассматриваемая система является открытой и подвергается воздействию внешнего потока энергии, поэтому можно предположить, что в эволюции системы присутствуют эффекты самоорганизации. Выявление таких эффектов в формировании новых структур в исследуемом нанообьекте являлось одной из целей данного исследования.
2. Физическая модель
В решаемой задаче рассматривалось поведение медного нанокристалла, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, размеры которого составляли 50x5x5 кристаллических ячеек вдоль осей координат XYZ соответственно, ориентированного в плоскости (1,0, 0). Для описания межатомного взаимодействия использован широко апробированный многочастичный потенциал А. Воутера [27] для металлов. Первоначально атомы находились в узлах идеальной кристаллической ГЦК-решетки. Затем с помощью метода искусственной вязкости [28] находили координаты и импульсы системы в состоянии глобального минимума потенциальной энергии («охлаждение» системы). Далее найденные значения координат и импульсов использовали в качестве начальных данных.
Внешнее возмущение генерировалось с помощью импульса силы, имеющего вид функции Хевисайда. Величина импульса задавалась внешним постоянным сжимающим напряжением ст0, действующим на левую боковую грань, лежащую в начальный момент в плоскости X = 0. Поскольку в молекулярно-динамической модели в качестве исходной величины задаются силы fa, действующие на отдельные атомы, то в программе проводился их расчет по модели Коши:
fax = ®0S jnf >
где S — площадь левой грани кристалла; nf — число атомов на этой грани. Ввиду того, что площадь грани в процессе сжатия может меняться, она пересчитывалась на каждом временном шаге, как и внешние силы, действующие на атомы при условии, что ст0 = const. Про-
должительность импульса Та также являлась внешним контролируемым параметром, как и величина внешнего напряжения с0.
Выбор ориентации (1, 0, 0) кристалла обеспечивает наиболее простую ориентацию атомных плоскостей в пространстве — перпендикулярно оси X. В связи с этим пространство разбивается на мезообъемы, имеющие форму прямоугольных параллелепипедов с длиной основания равной половине размера кристаллической ячейки. В начальный момент времени в каждом объеме содержалось по одной атомной плоскости.
Такой детализированный подход позволяет провести расчеты плотности (или числа атомов в ячейке), скорости центров масс, температуры, потенциальных энергий в мезообъемах и энергии связи между атомами этих ячеек в необходимые моменты времени.
Ниже приведены результаты для интервала значений внешних напряжений до 4 ГПа, временной интервал воздействия составляет 6 пс. Выбор такого временного воздействия обусловлен тем, что упругая волна в кристалле успевает дойти до правой свободной границы, но процесс отражения от нее еще не начинается.
В связи с поставленной задачей численный эксперимент строится следующим образом. В начальный момент времени на левую границу кристалла подается внешнее фиксированное напряжение а0 в течение 6 пс. Величина напряжения в расчетах изменяется от 0.1 до 4 ГПа с шагом 0.1 ГПа. В момент времени 6 пс внешнее воздействие отключается, и с этого момента система замкнута и изолирована, т.е. отсутствует обмен массой и энергией с внешней средой.
3. Численное моделирование
При интегрировании уравнений движения используется скоростная модификация Верле [29]. Шаг по времени составляет 10-16 с. Как было показано в работе
[23], особую роль в интерпретации результатов молекулярной динамики [30] играет величина численной ошибки по энергии:
Et ~ ЕТ а
егг = -
-100%.
(1)
-Г а
Здесь Et (t > 6 пс) — полная энергия системы в момент времени ^ ЕТ а — полная энергия системы в момент отключения внешнего воздействия. На рис. 1 представлена зависимость логарифма ошибки (1) от времени для различных значений внешнего напряжения.
Видно, что величина ошибки группируется около соответствующих интервалов внешнего напряжения: до 0.2 ГПа; от 0.5 до 2.6 ГПа; от 2.8 до 4 ГПа. Между этими границами идет ровный монотонный прирост ошибки. В связи с этим возникла первая задача — исследовать изменение различных составляющих полной энергии, поглощенной системой в момент отключения внешнего
Рис. 1. Зависимость логарифма ошибки по энергии от времени для различных значений внешнего напряжения (указаны цифрами около соответствующей линии, ГПа)
воздействия Та в зависимости от приложенного внешнего напряжения.
4. Исследование диссииации механической энергии
Наиболее фундаментальной величиной является полная энергия (рис. 2), поглощенная системой под влиянием внешней нагрузки. Характер этой зависимости повторяет выделение интервалов по ошибкам в численных расчетах. Дополнительные детальные расчеты показали, что аналогичная зависимость наблюдается для компонент полной энергии — потенциальной и кинетической энергий.
Если использовать термодинамическое определение внутренней энергии структуры как полной энергии в системе центра масс, то ее зависимость от внешнего напряжения имеет вид, представленный на рис. 3. Энергетические характеристики позволяют выделить те же самые три интервала величины внешнего воздействия:
1) а0 < 2.6 ГПа. Зависимость всех компонент энергии от приложенного напряжения близка к квадратич-
Рис. 2. Зависимость приращения полной энергии от величины внешнего напряжения
Рис. 3. Зависимость приращения внутренней энергии структуры от величины внешнего напряжения
Рис. 5. Зависимость парциальных долей энергии от времени. Обозначения те же, что на рис. 4
ной, что говорит об упругих процессах сжатия кристалла.
2) 2.6 <а0 <2.8 ГПа. Наблюдается почти скачкообразный переход к третьему интервалу.
3) 2.8 <а0 <4 ГПа. На этом интервале наблюдается почти линейный рост полной энергии с увеличением внешней нагрузки.
Представляет интерес анализ перераспределения энергий после отключения внешнего воздействия. В качестве примера на рис. 4 приведена иллюстрация для случая внешнего воздействия а0 = 2 ГПа, Та = 6 пс, соответствующего первому интервалу упругого отклика системы.
Как видно, не только полная, но и внутренняя энергия системы остается постоянной. Происходит осцилля-ционное перераспределение потенциальной и кинетической энергии хаотического движения атомов, соответствующее волновым процессам в структуре. Полная кинетическая энергия повторяет осцилляции хаотической составляющей и сдвинута вверх на величину постоянной энергии центра масс системы.
Иллюстрация поведения перераспределения энергии на интервале до 10 пс (заканчивается процесс отра-
жения волны от свободной границы) для третьего интервала (а0 = 4 ГПа, Та = 6 пс) приведена на рис. 5.
Полная и внутренняя энергии остаются также постоянными, но не наблюдается осцилляционной картины для потенциальной и кинетической энергий, как в области упругого отклика.
5. Исследование ироцесса необратимых изменений как свойства самоорганизации структуры
Под процессом необратимости здесь понимаются две составляющих. Первая — это переход внешнего структурированного механического воздействия в тепловую «бесструктурную» энергию. Вторая составляющая соответствует необратимым изменениям кристаллической структуры системы. Важнейшей характеристикой первой составляющей необратимых изменений является отношение доли полной энергии, перешедшей во внутреннюю энергию, к полной энергии системы или диссипации внешнего механического воздействия:
Diss = ^ • 100%.
Е
На рис. 6 представлена зависимость этого коэффициента от внешнего приложенного напряжения.
Рис. 4. Зависимость парциальных долей энергии от времени: полная энергия (1), полная кинетическая энергия (2), кинетическая энергия хаотического движения атомов (3), изменение потенциальной энергии атомов (4), внутренняя энергия системы (5)
0.85“
0.80-
0.75-
0х
С/Г со 0.70-
о
0.65-
0.60-
0.55-
а0, ГПа
Рис. 6. Зависимость отношения приращения внутренней энергии структуры к ее полной энергии от величины внешнего напряжения
Рис. 7. Зависимость изменения энергии пластических деформаций кристалла от величины внешнего сжимающего напряжения
Необходимо отметить, что найденная выше внутренняя энергия содержит энергетические компоненты, относящиеся к волновому движению. Однако из практики известно, что энергия волнового движения также дисси-пирует в тепловую энергию через определенный релаксационный интервал времени.
В первом интервале внешних воздействий выделился дополнительный интервал до а0 < 0.5 ГПа, хотя общее разбиение по физическим свойствам сохранилось и для коэффициента диссипации.
Для анализа полученной зависимости этой характеристики проводилась следующая численная процедура. В качестве начальных данных использовались координаты и импульсы атомов в момент отключения внешнего напряжения (время воздействия Та = 6 пс). Далее из скоростей атомов вычиталась скорость центра масс структуры как целого и проводилось охлаждение системы с помощью метода искусственной вязкости [28].
Это позволило определить конечную потенциальную энергию системы, связанную с необратимостью деформаций кристаллической структуры или, по традиционной терминологии, пластическими деформациями, возникающими под влиянием внешнего сжимающего
Рис. 8. Зависимость изменения энергии пластических деформаций кристалла от величины внешнего сжимающего напряжения (первый интервал)
Рис. 9. Расположение атомов первой атомной плоскости. Плоскость XZ (черные кружки). Внешнее напряжение 0.2 и 0.5 ГПа (белые кружки )
напряжения. На рис. 7 приведено изменение потенциальной энергии по отношению к начальной энергии структуры dUfr = и^Т ) - Цг(0).
Как видно, первый интервал соответствует упругому отклику наноструктуры на внешнее воздействие. Для более детального анализа скачка коэффициента диссипации на рис. 8 эта же величина приведена только для первого интервала.
При внешнем воздействии сжимающим напряжением а < 0.4 ГПа система после охлаждения возвращается в свое первоначальное состояние — это область идеально упругого отклика. При повышении напряжения до 0.5 ГПа возникает некоторая необратимость, связанная с остаточными смещениями атомов в крайних атомных плоскостях. В качестве примера на рис. 9 приведено расположение атомов охлажденной системы в первой атомной плоскости (вид сбоку в плоскости XX) для двух вариантов внешнего воздействия а 0 = 0.2 и 0.5 ГПа.
Таким образом, исследование изменения кристаллической структуры дает базу для окончательного анализа физической картины явления.
6. Исследование волны необратимых иерестроек (деформаций)
Анализ интервала необратимых деформаций (а0 > > 2.8 ГПа) целесообразно начать с картины расположения атомов в пространстве. На рис. 10 приведено расположение атомов в плоскости XX в момент отключения внешнего воздействия (случай а0 = 3.6 ГПа, время импульса Та = 6 пс). Время подобрано таким образом, что упругая волна доходит до правого края структуры.
За упругим предвестником по кристаллу распространяется волна, в которой происходят необратимые изме-
Рис. 10. Расположение атомов структуры в плоскости XZ
Рис. 11. Распределение температур по кристаллу
нения кристаллической структуры. Ниже приведены распределения температуры в пространстве (рис. 11) и скорости центров масс мезообъемов (рис. 12).
На фронте волны наблюдается резкий скачок температуры до 450 К, а затем она падает до 100 К и почти неизменна по всей длине кристалла.
По распределению скоростей центров масс мезообъемов можно наблюдать процесс формирования волны необратимых деформаций. Перед фронтом образуется область с размерами в 30 нм, в которой скорость отрицательна и по величине достигает примерно 150 м/с. Далее во фронте волны наблюдается сильное ускорение вещества, скорость меняет знак на положительный и по величине примерно равна 400 м/с. Такое поведение скорости может свидетельствовать о наличии ротацион-
Рис. 13. Распределение плотности вещества в мезообъемах по кристаллу
ной (вихревой) составляющей деформации, вызванной прохождением волны. Распределение аналога плотности вещества (число атомов в мезоячейке фиксированного размера) приведено на рис. 13.
Наблюдаются сильные пульсации плотности вещества по всему объему за фронтом пластической волны.
Рис. 14. Расположение атомов в пространстве в плоскости XZ. Белые кружки — расположение атомов в момент прихода волны, черные кружки — атомы охлажденной системы
Рис. 12. Распределение скоростей центров масс мезообъемов по кристаллу
Рис. 15. Расположение атомов в пространстве в плоскости УХ. Черные кружки — атомы исходной структуры, когда проходит волна; белые кружки — атомы охлажденной структуры
Если в невозмущенном кристалле число атомов в мезо-ячейке равно 60, то в максимумах пульсаций — 120. Период в пространстве таких пульсаций составляет размер кристаллической ячейки.
7. Исследование кристаллической структуры в волне необратимых деформаций
Исследование кристаллической структуры в разных мезообъемах позволяет провести детальный анализ процессов формирования необратимых деформаций, проходящих в кристалле. Численный эксперимент ставился следующим образом. В качестве начальных данных использовались координаты и импульсы атомов в мо-
мент отключения внешнего напряжения (время воздействия Та = 6 пс). Из скоростей атомов вычиталась скорость центра масс структуры и проводилось охлаждение системы с помощью метода искусственной вязкости. Этот метод позволяет приводить систему в состояние, в котором как температура мезообъемов, так и скорость движения атомов близки к нулю.
На рис. 14 приведено расположение атомов охлажденной структуры (серые кружки) в плоскости XX и на рис. 15 — в плоскости УХ.
Отчетливо видно образование в области за фронтом множественных нарушений структуры (дефектов). Для исследования кристаллической структуры вещества ис-
Рис. 16. Парная функция распределения. Сплошная линия — идеальный кристалл, пунктирная линия — распространение волны в кристалле (а, в, д, ж) и охлажденный кристалл после прохождения волны (б, г, е, з). Мезоячейка с координатой 2.801 (а, б), 6.055 (в, г), 9.67 (д, е), 15.99 нм (ж, з)
пользуем парную функцию распределения, которая рассчитывалась в каждой мезоячеке:
, ч V 1 Д#
8(г) = _Г-----•
N 4пг Дг
Здесь V — объем мезоячейки; N — число атомов в мезо-ячейке. Исходя из рис. 14, особый интерес представляют области: 1) 3 нм — торец кристалла, к которому было приложено внешнее напряжение; 2) 6 нм — центральная область волны необратимых деформаций; 3) 9.5 нм — передний фронт волны, на котором после охлаждения системы образовалась серия дефектов; 4) 16 нм — область упругой волны.
В мезоячейке на торце кристалла при движении волны необратимых деформаций (рис. 16, а) сохраняется ближний порядок для первой координационной сферы, а для второй и третьей — очень слабые отклонения от аморфного состояния. Для более высоких порядков функция близка к структуре жидкости. Парная функция этой же области кристалла после охлаждения представлена на рис. 16, б. Картина не меняется, однако центр второго пика несколько сдвинулся в сторону меньших значений.
Парная функция распределения в области развитой волны необратимых изменений представлена на рис. 16, в. Сохраняется только первый пик (ближний порядок), следовательно, вещество находится в жидком состоянии. После охлаждения системы парная функция распределения имеет вид, представленный на рис. 16, г.
Охлаждение приводит к восстановлению кристалли-ческолй структуры ГЦК-решетки, но с появлением двойных пиков около третьего, четвертого и шестого пиков, что косвенно свидетельствует о появлении дефектов структуры.
Распределение атомов во фронте волны представлено на рис. 16, д. Отчетливо видна ГЦК-структура с несколько уширенными линиями. Парная функция после охлаждения приведена на рис. 16, е. Линии первых трех координационных сфер частично сохранились. Дальнейшее поведение парной функции соответствует скорее жидкому (аморфному) состоянию вещества. Аналогичный анализ в области упругой волны до и после охлаждения приведен на рис. 16, ж и з соответственно.
В обоих случаях радиальные функции распределения совпадают с идеальной структурой. Следовательно, в этой области отсутствуют необратимые изменения кристаллической структуры и волна распространяется по упругому механизму.
8. Заключение
Выявлен синергетический механизм реакции твердотельной наносистемы на внешней поток энергии. Существует предельная внешняя нагрузка, при достижении которой в твердотельной наноструктуре с идеаль-
ной кристаллической решеткой происходит скачкообразная перестройка механизма поглощения энергии.
При нагрузке меньшей критической поглощенная энергия расходуется по двум каналам: 1) на поддержку движения упругой волны и 2) на увеличение кинетической энергии центра масс системы. При превышении критического значения внешнего напряжения поток полной энергии превышает потоки по этим каналам, что вызывает синергетическую перестройку механизма поглощения энергии. Возникает волна необратимых изменений структуры, в которой идеальная кристаллическая решетка переходит в аморфное состояние. При этом появляется ротационная составляющая деформации, вызванной прохождением волны. На поддержку этой волны требуется гораздо больше энергии, при этом формируется стационарный, но термодинамически неравновесный процесс.
Структура вещества в волне необратимых изменений соответствует жидкой фазе. Для этого состояния правильнее пользоваться термином «аморфная фаза», т.к. температура вещества за фронтом волны составляет около 100 K. Охлаждение системы до криогенных температур позволило выявить появление множества структурных дефектов. Формирование этих дефектов является синергетическим процессом перестройки структуры под воздействием внешнего потока энергии.
Авторы благодарны академику В.Е. Панину за подробное, плодотворное обсуждение результатов работы, во многом определившее их трактовку.
Работа выполнена при финансовой поддержке интеграционных проектов СО РАН - УрО РАН № 64 и СО РАН - ДВО РАН J№ 78 и гранта РФФИ J№ 12-01-00726-а.
Литература
1. Johnson G.R., Cook W.H. A Constitutive Model and Data for Metals Subjected to Large Strains, High Strain Rates and High Temperatures // Proceedings: Seventh International Symposium on Ballistics, the Hague, the Netherlands, 19-21 April, 1983. - P. 541-547.
2. Steinberg DJ., Cochran S.G., Guinan M.W. A constitutive model for metals applicable at high-strain rate // J. Appl. Phys. - 1980. - V. 51. -P. 1498-1504.
3. Steinberg DJ., Lund C.M. A constitutive model for strain rates from 10-4 to 106 s-1 // J. Phys. Colloques. - 1988. - V. 49. - No. 9. -P. C3-433-C3-440.
4. Preston D.L., Tonks D.L., Wallace D.C. Model of plastic deformation for extreme loading conditions // J. Appl. Phys. - 2003. - V. 93. -P. 211-220.
5. Краус Е.И. Малопараметрическое уравнение состояния твердого вещества при высоких плотностях энергии // Вестник НГУ. Физика. - 2007. - Т. 2. - № 2. - С. 65-73.
6. Zerilli E.J., Armstrong R.W. Dislocation mechanics based constitutive relations for material dynamics calculations // J. Appl. Phys. - 1987. -V. 61. - №. 5. - P. 1816-1825.
7. Zerilli FJ. Dislocation mechanics-based constitutive equations // Metall. Mater. Trans. A. - 2004. - V. 35. - No. 9. - P. 2547-2555.
8. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. - Новосибирск: Наука, 1985. - 254 с.
9. Пантелеев И.А., Froustey C., Наймарк О.Б. Структурно-скейлин-говые переходы и универсальность статистики флуктуаций при
пластическом течении металлов // Вычисл. мех. сплош. сред. -2009. - Т. 2. - № 3. - С. 70-81.
10. Наймарк О.Б., Баяндин Ю.В., Леонтьев В.А., Пермяков С.Л. О термодинамике структурно-скейлинговых переходов при пластической деформации твердых тел // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. -№ 5. - C. 23-29.
11. Головнев И.Ф., Головнева Е.И., Фомин В.М. Расчет термодинамических свойств наноструктур методом молекулярной динамики // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. - № 5. - С. 71-76.
12. Chen J., Chen D.-Q., Zhang J.-L. Molecular dynamics simulation of thermodynamic properties of YAG // Chinese Phys. - 2007. - V 9. -№. 16. - P. 2779-2785.
13. Berroukche A., Soudini B., Amara K. Molecular dynamics simulation study of structural, elastic and thermodynamic properties of tin below 286 K // Int. J. Nanoelectron. Mater. - 2008. - V. 1. - P. 41-51.
14. Степанюк О.В., Алексеев Д.Б., Салецкий А.М. Расчет термодинамических свойств меди методом молекулярной динамики // Вестник МГУ. Физика, астрономия. - 2009. - № 2. - C. 111-113.
15. Chang J., Cai W, Bulatov V.V., Yip S. Molecular dynamics simulations of motion of edge and screw dislocations in a metal // Comput. Mater. Sci. - 2002. - V. 23. - P. 111-115.
16. Yamakov V., Wolf D., Phillpot S.R., Mukherjee A.K., Gleiter H. Dislocation processes in the deformation of nanocrystalline aluminium by molecular-dynamics simulation // Nature Materials. - 2002. - V. 1.-P. 45-49.
17. Hatano T., Matsui H. Molecular dynamics investigation of dislocation pinning by a nanovoid in copper // Phys. Rev. B. - 2005. - V 72. -P. 094105.
18. Куксин А.Ю., Стегайлов В.В., Янилкин А.В. Молекулярно-динамическое моделирование динамики краевой дислокации в алюминии // ДАН. - 2008. - Т. 420. - № 4. - С. 467-471.
19. Мержиевский Л.А., Реснянский АД. Численное моделирование ударно-волновых процессов в металлах // ФГВ. - 1984. - Т. 20. -№ 5. - С. 114-122.
20. Мержиевский Л.А. Моделирование динамического сжатия поли-кристаллического A^3 // ФГВ. - 1998. - Т. 34. - № 6. - С. 85-94.
21. Романова В.А., Балохонов Р.Р., Макаров П.В., Смолин И.Ю. Численное моделирование поведения структурно-неоднородной релаксирующей среды в условиях динамического нагружения // Химическая физика. - 1999. - Т. 18. - № 11. - С. 114-119.
22. Красников В.С., Куксин А.Ю., Майер А.Е., Янилкин А.В. Пластическая деформация при высокоскоростном нагружении алюминия: многомасштабный подход // ФТТ. - 2010. - Т. 52. - № 7. -C. 1295-1304.
23. Головнев И.Ф., Головнева Е.И., Фомин В.М. Проблемы применения метода молекулярной динамики при исследовании неравновесных процессов в мезомеханике // Физ. мезомех. - 2012. -Т. 15.- № 5. - С. 37-49.
24. Панин В.Е. Синергетические принципы физической мезомеха-ники // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 6. - С. 5-36.
25. Панин В.Е., Егорушкин В.Е. Физическая мезомеханика и неравновесная термодинамика как методологическая основа наноматериаловедения // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 4. - С. 7-26.
26. Панин В.Е., Егорушкин В.Е. Деформируемое твердое тело как нелинейная иерархически организованная система // Физ. мезо-мех. - 2011. - Т. 14. - № 3. - С. 7-26.
27. Voter A.F. Embedded Atom Method Potentials for Seven FCC Metals: Ni, Pd, Pt, Cu, Ag, Au, and Al // Los Alamos Unclassified Technical Report # LA-UR-93-3901. - 1993.
28. Головнева Е.И., Головнев И.Ф., Фомин В.М. Моделирование квазистатических процессов в кристаллах методом молекулярной динамики // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 6. - С. 5-10.
29. Allen M.P., Tildesley DJ. Computer Simulation of Liquids. - New York: Oxford University Press, 1987. - 385 p.
30. Норманн Г.Э., Стегайлов В.В. Стохастическая теория метода классической молекулярной динамики // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24. - № 6. - C. 3-44.
Поступила в редакцию 27.04.2013 г.
Сведения об авторах
Головнев Игорь Федорович, к.ф.-м.н., снс ИТПМ СО РАН, golovnev@itam.nsc.ru Головнева Елена Игоревна, к.ф.-м.н., снс ИТПМ СО РАН, elena@itam.nsc.ru Мержиевский Лев Алексеевич, д.ф.-м.н., проф., гнс ИГИЛ СО РАН, merzh@hydro.nsc.ru Фомин Василий Михайлович, д.ф.-м.н., акад., дир. ИТПМ СО РАН, fomin@itam.nsc.ru
