CC BY
6
Челябинский физико-математический журнал. 2022. Т. 7, вып. 4. С. 424~433.
УДК 517.926 DOI: 10.47475/2500-0101-2022-17403
ФУНКЦИЯ ГРИНА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
М. О. Мамчуев1", Т. И. Жабелова26
1 Институт прикладной математики КБНЦ РАН, Нальчик, Россия 2Научно-образовательный центр КБНЦ РАН, Нальчик, Россия [email protected], [email protected]
Исследуется нелокальная краевая задача для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка с постоянными коэффициентами. Дробная производная порядка а e (0,1] понимается в смысле Римана — Лиувилля. Краевые условия связывают следы дробного интеграла от искомой вектор-функции на концах отрезка [0,1]. Методом функции Грина получено представление решения, доказана теорема об однозначной разрешимости исследуемой краевой задачи.
Ключевые слова: система обыкновенных дифференциальных уравнений, производные дробного порядка, нелокальная краевая задача, функция Грина.
Введение
Рассмотрим систему уравнений
D^u - Au(x) = f (x), 0 < а ^ 1, (1)
где ÜQt — оператор дробного интегро-дифференцирования Римана — Лиувилля [1, с. 9], u(x) = (ui(x),u2(x),... ,Un(x)) и f (x) = (fi(x),f2(x),... ,fn(x)) — соответственно искомая и заданная вектор-функции, A — действительная квадратная матрица порядка n.
В 1954 году J. H. Barrett [2] исследовал начальную задачу для уравнения
Da*y(x) + Ay(x) = h(x)
lim Da-iy(x) = Ki, i = 1, 2,..., n, n - 1 < Re(a) < n, n e N.
Системы линейных обыкновенных уравнений дробного порядка впервые были исследованы в работах В. К. Вебера [3-6] и М. И. Иманалиева, В. К. Вебера [7]. В работе [3] в терминах функции Миттаг-Леффлера матричного аргумента было выписано решение задачи Коши для системы уравнений
DoXy(x) = Ay(x), 0 < а ^ 2,
с постоянной матрицей A. Асимптотическое поведение при x ^ то различных решений этой системы (в том числе и фундаментальной матрицы) изучено в работах [4] и [7]. Позже В. К. Вебер рассмотрел задачу Коши для неоднородной системы
D0aXy(x) = A(x)y(x) + f (x), n — 1 <а ^ n, n =1, 2,...,
с непрерывной матрицей-функцией А(х) при х ^ 0 [5], а в работе [6] построил фундаментальное решение такой системы с постоянной матрицей А в терминах функции Миттаг-Леффлера матричного аргумента. Также в работе [6] приведены примеры некоторых прикладных задач, приводящих к системам уравнений с дробными производными.
А. А. Чикрий и И. И. Матичин в работах [8] и [9], с помощью преобразования Ла-пласса, получили решения задач Коши для систем уравнений вида (1), с производными Римана — Лиувилля, Герасимова — Капуто и Миллера — Росса. В работах [10] и [11] с помощью матричной функции Миттаг-Леффлера авторы аналитически и численно исследовали решения начальных задач для систем уравнений с дробными производными Римана — Лиувилля и Герасимова — Капуто.
Отметим, что в работах [12] и [13] исследованы краевые задачи для многомерных систем уравнений с частными производными дробного порядка. В работе [14] обращено внимание на то, что в одномерном случае эти результаты совпадают с результатами работы [3].
В работе [15] исследована начальная задача для системы вида (1) с дробными производными Джрбашяна — Нерсесяна. На основе доказанных свойств матричной функции Миттаг-Леффлера было получено общее представление решений исследуемой системы и доказана теорема об однозначной разрешимости задачи Коши.
В настоящей работе исследуется нелокальная краевая задача для системы уравнений (1) с краевыми условиями, связывающими следы дробного интеграла от искомой вектор-функции на концах отрезка [0,/]. Исследована структура решения краевой задачи, определена и построена соответствующая функция Грина, получено представление решения. Доказаны теорема об однозначной разрешимости исследуемой краевой задачи.
1. Вспомогательные сведения
Оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана — Лиувилля порядка V определяется следующим образом [1, с. 9]:
sign(x — а) Г д(г)&г Г(-/) У |х — г|>
Д^(х)=Т> -л / те^, V< 0,
при V ^ 0 оператор можно определить с помощью рекурсивного соотношения
&
в1х9(х) = ^п(х — а)^Х^"-1^)' V ^ 0
где Г(г) — гамма-функция Эйлера. Имеют место равенства
ои0хд(х — г)ф — г) = £&д(х — г)п(х — г), v< 0, (2)
— г) = Щгд(^и_4, V < 0, (3)
А"4д(х — г)п(х — г) = ^д(*)|г=х_4, V < 1. (4)
Регуляризованная дробная производная (производная Герасимова — Капуто) [16; 17] определяется с помощью равенства
«х) = ^пп(х — а)^_гад(га)(х), п — 1 ^ ^ п, п е N.
Следующая формула [1, с. 34]
b b
J f (t)DStg(t)dt = J g(i)D0tf (t)dt, v < 0,
aa
известна как формула дробного интегрирования по частям. Известно [3] (см. также [9; 15]), что решение задачи Коши
lim DX1 u(x) = u0, u0 = (u?,...,<),
x—0
для системы (1) имеет вид
x
u(x) = G0(x)u0 ^y G0(x — t)f (t)dt, 0
где G0(x) = xa-1Ea a(Axa) — фундаментальное решение системы (1),
те
z6
^w = E гютт^) ■ а> 0 /J>0
i=0
есть функция Миттаг-Леффлера [18].
Справедливы следующие свойства функции Миттаг-Леффлера матричного аргумента [15]:
Eaß (Az) = I + AzEa;e+«(Az); (6)
Di^xxß~1Eaß(Axa) = xe-^-1E«;e-M(Axa), ß — ß > 0; (7)
xß—a—1
(Dox — A) xe—1Ea,e(Axa) = r(e — а) I, e — а ^ 0; (8)
lim xe—1Ea,e(Axa) = { 0, ^=1 (9)
где I — единичная матрица.
2. Постановка задачи и представление решений
Задача 1. Найти решение системы (1), удовлетворяющее условиям
M lim Da—1u(x) + N lim D0x—11u(x) = u*, u* = (u*, u2,..., <), (10)
x >-0 x—
где M и N — заданные постоянные квадратные матрицы порядка n, u* — заданный постоянный вектор.
Определение 1. Регулярным решением системы (1) будем называть функцию u(x), удовлетворяющую уравнению (1) в интервале (0,/), такую, что Da—1u(x) e C[0,/] и C 1(0,/), D0x—1 u(x) e L(0, /).
Теорема 1. Пусть f(x) e L(0,/), функция Z(x,t), определённая в области П = {(x, t) : 0 < x < /, 0 < t < /}, такова, что:
1) D0x—1Z(x, t) e C (П \ {x = t}) , |D?x—1Z(x, t) e L(0, /), x e (0, /);
2) функция Z(x, t) является решением уравнения
dgD0ax-1Z(x,t) - D0ax-1Z(x,t)A = 0; (11)
3) при x = t функция D0a-1Z(x,t) имеет разрыв:
lim D?r1Z(x, t) - lim Da-1Z(x,t) = I. (12)
t—x-0 0x t—x+0 0x
Тогда всякое регулярное решение системы (1) представимо в виде
i
u(x) = Z(x, 0)Da-1u - Z(x, l)Da-1u ^ у Z(x, t)f (t)dt, (13)
0
где D0-1u = limDx-1u(x), = limDx-1u(x).
x >-0 x—^l
Доказательство. Умножая обе части уравнения (1) на D^Z(x,t) и интегрируя его на отрезке [0, l], получим
i i i j DX-1Z(x,t)Dtu(t)dt - J Dx-1Z(x,t)Au(t)dt = У Dx-1Z(x,t)f (t)dt. (14) 0 0 0
Преобразуя первое слагаемое в левой части (14) с использованием форулы интегрирования по частям (5), получим
X i\
/+у I D0ax-1Z (x,t) l^rvt^t = D0ax-1Z (x,t)D0a-1u(t)i;:x-+
0x
i
+dx-1z (x,t)D0a-1u(t)i;:x+ -J l^z мте-1«^ =
0
t—ixm0Do"x-1Z(x, t) - t—im0D0ax-1Z(x, t) D«-1 u(x)-
i
-D?x-1 Z(x, 0)D0-1u + D0ax-1Z(x, l)^-1« -J dgD0ax-1Z(x, t)u(t)dt.
0
Из последнего равенства с учётом (14) и (12) следует, что
Dx-1«(x) = D«-1 [Z(x, 0)D0-1u - Z(x,l)Da-1u] -
- [duD0ax-1Z(x,t) - D0ax-1Z(x,t)A u(t)dt + Dx-1 / Z(x,t)f (t)dt. (15)
0
1
Действуя на обе части равенства (15) оператором Д1— и принимая во внимание (11), приходим к равенству (13). □
3. Функция Грина
Определение 2. Функцию Z(x,t), удовлетворяющую условиям 1)-3) теоремы 1, будем называть функцией Грина краевой задачи 1, если
M lim Da-1Z(x,t) + N lim Dgx-1Z(x,t) = 0, Vt G (0,/).
x—0 x—Z
Обозначим K = M + NDgZ-1 Go, DgZ-1Go = lim Dgx-1Go(:r).
x—Z
Теорема 2. Пусть выполняется условие det(M + NDgZ-1G0) = 0, тогда функция
G(x,t) = Go(x - t)n(x - t) - Go(x)K-1NDZg-1Go(/ - t), где n(x) — функция Хевисайда, есть функция Грина краевой задачи 1. Доказательство. 1. В силу формулы (2) получим
Dgx-1G(x, t) = Dat-1Go(x - t)n(x - t) - D0X-1Go(x)K-1 NDZg-1 Go(/ - t). (16)
Из (16) следует, что G(x,t) удовлетворяет условию 1).
2. Используя формулы (3), (6) и (7), получим
dgDg-1 Go(x - t)n(x - t) = ô£tEe,1(A(x - t)g)n(x - t) = ô
= Dg-1 dt [I + A(x - t)aE«;a+1(A(x - t)g)] n(x - t) =
= -Dg-1A(x - t)a-1E«;«(A(x - t)a)n(x - t) = = ЛЕ0>1(Л(ж - t)a)n(x - t) = D0X-1GO(x - t)n(x - t)A (17)
Аналогично с помощью формул (4), (6) и (7) получим
ôgDZt-1Go(/ - t) = D«-1Go(/ - t)A (18)
Из (17) и (18) следует, что
DgD0ax-1G(x,t) - Doax-1G(x,t)A = 0. (19)
3. Из (16) следуют соотношения
lim Dgx-1G(x,t) = E - Go(x)K-1NDg-1Go(/ - t),
t—x-0
lim Dgx-1G(x,t) = -Go(x)K-1NDg-1 Go(/ - t),
t—x+0
которые, в свою очередь, дают равенство
lim Dgx-1G(x,t) - lim DgT-1G(x, t) = E. (20)
t—x-0 0x t—x+0 ox
4. Из равенства (16) с учётом (7) и (9) получим
lim Dgx-1G(x,t) = -K-1NDg-1 Go(/ - t),
x—0
limDgx-1G(x,t) = Dg-1Go(/ - t) - K-1NDg-1Go(/ - t).
x—Z
Из последних двух равенств вытекает, что
M lim Dgx-1G(x,t) + N lim Dgx-1G(x,t) =
x >-0 x—^Z
= NDg-1Go(/ - t) - (M + NGo(/))(M + NGo(/))-1NDg-1Go(/ - t) =
= NDg-1Go(/ - t) - NDg-1 Go(/ - t) = 0. (21)
Из равенств (19)-(21) следует справедливость теоремы 2. □
4. Теорема существования и единственности
Теорема 3. Пусть ае^М + ЖД^Со) = 0, /(х) е С(0,/) и ¿(0,/). Тогда существует единственное регулярное решение задачи 1. Решение имеет вид
и(х) = Со(х)к-1м* + у С(х,г)/(г)&г. (22)
о
Доказательство. Заметим, что
С(х, 0) = Со(х)К_ [К — = Со(х)К-1М, С(х, /) = —Со (х)К
Из последних двух равенств следует, что
С(х, 0)Дао-1и — С(х, /)Да_1и = Со(х)К_ МД^м — Со(х)К=
= Со(х)К _1 [МД;_1и + = Со(х)К -V. (23)
Таким образом, пользуясь равенствами (15) и (23), заключаем, что любое регулярное решение задачи 1 представимо в виде (22), из чего следует его единственность.
Покажем, что (22) является решением задачи 1. Обозначим первое и второе слагаемые в правой части (22) м*(х) и м/ (х) соответственно. Из (8) следует
Дахм* (х) = Ам*(х). (24)
Функцию м/(х) можно записать в виде
х I
м/(х) = [ Со(х — г)/(г)&г — Со(х)к_1 N [ да,_1Со(х — г)/(г)&г = м}(х) + м/(х).
Пользуясь равенствами (6) и (7), получим
x
(x) = dx / DT^x - t)f (t)dt = 0
x
= dx / [I + A(x - t)aEa,a+1 (A(x - t)a-1)] f (t)dt = 0
x
= aJ(x - t)a-1E«(A(x - t)a) f (t)dt + f (x) = Au}(x) + f (x). (25) 0
В силу равенства (8) имеем
DaxuJ (x) = A«2 (x). (26)
Из (24)-(26) следует, что функция u(x) является решением уравнения (1). Покажем, что u(x) удовлетворяет условию (10). Нетрудно заметить, что
lim D"1«* (x) = K -1u*, lim Dax-1u,(x) = ^T^K-1u*, x— 0 0x x i 0x 0i
l l lim D^Uf (x)= / lim D^G^^f (t)dt, lini D^Uf (x) = / lim Da-lG(x,t)f (t)dt.
x—0 J x—x—l J x—l
0 0
Из последних равенств с учётом (21) получим, что
M lim Dax-1u*(x) + N lim Dax-1u*(x) = (M + ND^Go) K-1u* = u* , (27)
x— 0 0x x— l 0x 0l
M lim Dq—uf (x) + N lim Da-1uf (x) = x— 0 x— l
i
ГM lim Dq"1G(x, t) + N lim Da-1G(x,t)] f (t)dt = 0. (28)
x— 0 x— l 0
Из (27) и (28) следует, что функция u(x) удовлетворяет условию (10). Таким образом, доказаны существование и единственность решения задачи 1. □
Список литературы
1. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М. : Физматлит, 2003.
2. Barrett J.H. Differential equations of non-integer order // Canadian Journal of Mathematics. 1954. Vol. 6. P. 529-541.
3. ВеберВ.К. Структура общего решения системы y(a) = Ay, 0 < а ^ 1 // Тр. Киргиз. ун-та. Сер. мат. наук. 1976. № 11. С. 26-32.
4. ВеберВ.К. Асимптотическое поведение решений линейной системы дифференциальных уравнений дробного порядка // Исследования по интегро-дифференц. уравнениям в Киргизии. 1983. Вып. 16. С. 119-125.
5. Вебер В. К. К общей теории линейных систем с дробными производными // Исследования по интегро-дифференц. уравнениям в Киргизии. 1985. Вып. 18. С. 301-305.
6. ВеберВ.К. Линейные уравнения с дробными производными и постоянными коэффициентами в пространствах обобщённых функций // Исследования по интегро-дифференц. уравнениям в Киргизии. 1985. Вып. 18. С. 306-312.
7. Иманалиев М. И., ВеберВ.К. Об одном обобщении функции типа Миттаг-Леффлера и его применении // Исследования по интегро-дифференц. уравнениям в Киргизии. 1980. Вып. 13. С. 49-59.
8. Чикрий А. А., Матичин И. И. Об аналоге формулы Коши для линейных систем произвольного дробного порядка // Докл. Нац. акад. наук Украины. 2007. № 1. P. 53-55.
9. Chikriy A. A., Matichin 1.1. Presentation of solutions of linear systems with fractional derivatives in the sense of Riemann — Liouville, Caputo, and Miller — Ross // Journal of Automation and Information Sciences. 2008. Vol. 40, no. 6. P. 1-11.
10. Matichin I., Onyshchenko V. Optimal control of linear systems with fractional derivatives // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2018. Vol. 21, no. 1. P. 134150.
11. Matichin I., Onyshchenko V. Matrix Mittag-Leffler function in fractional systems and its computation // Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Technical Sciences. 2018. Vol. 66, no. 4. P. 495-500.
12. Мамчуев М. О. Краевая задача для системы многомерных дифференциальных уравнений дробного порядка // Вестн. СамГУ. Естественнонауч. сер. 2008. Т. 8, № 2 (67). С. 164-175.
13. Мамчуев М. О. Краевая задача для многомерной системы уравнений с дробными производными Римана-Лиувилля // Сиб. электрон. мат. изв. 2019. Т. 16, № 2 (67). С. 732-747.
14. Мамчуев М. О. Краевые задачи для уравнений и систем уравнений с частными производными дробного порядка. Нальчик : Изд-во КБНЦ РАН, 2013.
15. Mamchuev M. O. Cauchy problem for a linear system of ordinary differential equations of the fractional order // Mathematics. 2020. Vol. 8, iss. 9:1475.
16. Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформирования и его применение к задачам внутреннего трения // Приклад. математика и механика. 1948. Т. 12. С. 251-260.
17. CaputoM. Elasticita e Dissipazione. Bologna : Zanichelli, 1969.
18. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М. : Наука, 1966.
Поступила в 'редакцию 23.08.2022. После переработки 24.09.2022.
Сведения об авторах
Мамчуев Мурат Османович, доктор физико-математических наук, заведующий отделом дробного исчисления Института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, Нальчик, Россия; e-mail: [email protected].
Ж^абелова Танзиля Исмаиловна, аспирант Научно-образовательного центра КБНЦ РАН, Нальчик, Россия; e-mail: [email protected].
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2022. Vol. 7, iss. 4. P. 424~433.
DOI: 10.47475/2500-0101-2022-17403
GREEN'S FUNCTION OF A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A SYSTEM OF ORDINARY DIFFERENTIAL FRACTIONAL ORDER EQUATIONS
M.O. Mamchuev1a, T.I. Zhabelova2b
1 Institute of Applied Mathematics and Automation, KBSC RAS, Nalchik, Russia 2Scientific and Educational Center of the KBSC RAS, Nalchik, Russia [email protected], [email protected]
The paper investigates a nonlocal boundary value problem for a linear system of fractional order ordinary differential equations with constant coefficients. The fractional derivative of order a G (0,1] is understood in the Riemann — Liouville sense. The boundary conditions connect the traces of the fractional integral of the desired vector function at the ends of the segment [0,1]. Using the Green's function method, a representation of the solution is obtained, and a theorem on the unique solvability of the boundary value problem under study is proved.
Keywords: system of ordinary differential equations, fractional derivative, nonlocal boundary value problem, Green's function.
References
1. Nakhushev A.M. Drobnoye ischislenie i ego primenenie [Fractional calculus and its application]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2003. (In Russ.).
2. Barrett J.H. Differential equations of non-integer order. Canadian Journal of Mathematics, 1954, vol. 6, pp. 529-541.
3. VeberV.K. Struktura obshchego resheniya sistemy y(a) = Ay, 0 < a ^ 1 [The structure of a general solution of the system y(a) = Ay, 0 < a ^ 1]. Trudy Kirgizskogo Universiteta. Ser. Matematicheskikh Nauk [Proceedings of the Kyrgyz University. Series of mathematical sciences], 1976, no. 11, pp. 26-32. (In Russ.).
4. VeberV.K. Asimptoticheskoye povedeniye resheniy lineynoy sistemy differentsial'nykh uravneniy drobnogo poryadka [Asymptotic behavior of solutions of a linear system of fractional order differential equations]. Issledovaniya po integro-differentsial'nym uravneniyam v Kirgizii [Research on integro-differential equations in Kyrgyzstan], 1983, no. 16, pp. 119-125. (In Russ.).
5. VeberV.K. K obshchey teorii lineynykh sistem s drobnymi proizvodnymi [On the general theory of linear systems with fractional derivatives]. Issledovaniya po integro-differentsial'nym uravneniyam v Kirgizii [Research on integro-differential equations in Kyrgyzstan], 1985, no. 18, pp. 301-305. (In Russ.).
6. VeberV.K. Lineinye uravneniya s drobnymi proizvodnymi i postoyannymi koeffitsientami v prostranstvakh obobshchyonnykh funktsiy [Linear equations with fractional derivatives and constant coefficients in spaces of generalized functions]. Issledovaniya po integro-differentsial'nym uravneniyam v Kirgizii [Research on integro-differential equations in Kyrgyzstan], 1985, no. 18, pp. 306-312. (In Russ.).
7. ImanalievM.I., VeberV.K. Ob odnom obobshchenii funktsii tipa Mittag-Lefflera i ego primenenii [On a generalization of a function of Mittag-Leffler type and its application]. Issledovaniya po integro-differentsial'nym uravneniyam v Kirgizii [Research on integro-differential equations in Kyrgyzstan], 1980, no. 13, pp. 49-59. (In Russ.).
8. ChikriyA.A., MatichinI.I. Ob analoge formuly Koshi dlya lineynyh sistem proizvol'nogo drobnogo poryadka [On an analogue of the Cauchy formula for linear systems of any fractional order]. Doklady Natsional'noy akademii nauk Ukrainy [Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine], 2007, vol. 1, pp. 53-55. (In Russ.).
9. Chikriy A.A., Matichin I.I. Presentation of solutions of linear systems with fractional derivatives in the sense of Riemann — Liouville, Caputo, and Miller — Ross. Journal of Automation and Information Sciences, 2008, vol. 40, no. 6, pp. 1-11.
10. Matichin I., Onyshchenko V. Optimal control of linear systems with fractional derivatives. Fractional Calculus and Applied Analysis, 2018, vol. 21, no. 1, pp. 134-150.
11. Matichin I., Onyshchenko V. Matrix Mittag-Leffler function in fractional systems and its computation. Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Technical Sciences, 2018, vol. 66, no. 4, pp. 495-500.
12. MamchuevM.O. Krayevaya zadacha dlya sistemy mnogomernykh differentsial'nykh uravneniy drobnogo poryadka [Boundary value problem for a system of multidimensional differential equations of fractional order]. Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Estestvenno-Nauchnaya Seriya [Bulletin of the Samara State University. Natural Science Series], 2008, vol. 8, no. 2 (67), pp. 164-175. (In Russ.).
13. Mamchuev M.O. Boundary value problem for a multidimensional system of equations with Riemann — Liouville fractional derivatives. Siberian Electronic Mathematical Reports, 2019, vol. 16, pp. 732-747.
14. MamchuevM.O. Krayevye zadachi dlya uravneniy i sistem uravneniy s chastnymi proizvodnymi drobnogo poryadka [Boundary value problems for equations and systems of equations with partial derivatives of fractional order]. Nal'chik, Kabardino-Balkar Scientific Center, 2013. (In Russ.).
15. Mamchuev M.O. Cauchy problem for a linear system of ordinary differential equations of the fractional order. Mathematics, 2020, vol. 8, no. 9:1475.
16. Gerasimov A.N. Obobshcheniye lineynyh zakonov deformirovaniya i yego primeneniye k zadacham vnutrennego treniya [Generalization of linear deformation laws and its application to problems of internal friction]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics], 1948, vol. 12, pp. 251-260. (In Russ.).
17. Caputo M. Elasticita e Dissipazione. Bologna, Zanichelli, 1969. (In Italian).
18. Dzhrbashyan M.M. Integral'nye preobrazovaniya i predstavleniya funktsiy v kompleksnoy oblasti [Integral transformations and representations of functions in the complex domain]. Moscow, Nauka Publ., 1966. (In Russ.).
Article received 23.08.2022.
Corrections received 24.09.2022.
