Функция Грина двухчастичной задачи в волноводе Текст научной статьи по специальности «Математика»

1

МАТЕМАТИКА

ФУНКЦИЯ ГРИНА ДВУХЧАСТИЧНОИ ЗАДАЧИ В ВОЛНОВОДЕ С.Б. Левин, И.Ю. Попов, Е.С. Тесовская

Получена функция Грина и ее асимптотика для двух невзаимодействующих частиц в прямом бесконечном двумерном волноводе. Используется метод свертки, основанный на известной функции Грина для одной частицы в волноводе.

Вступление

Исследования баллистического транспорта электрона - важная задача физики нано-систем. Во многих наноэлектронных устройствах используется не один, а несколько электронов, распространяющихся в одной области. Это приводит к гораздо более сложной многочастичной задаче. Основным математическим объектом в ней является функция Грина. В частности, такая задача возникает при моделировании двухкубитовых операций в квантовом компьютере [1]. Соответствующая реализация элементов квантового компьютера, основанных на связанных квантовых волноводах с различными граничными условиями (Неймана и Дирихле), предложена в [2]. Поведение электрона в системе связанных квантовых волноводов с различными граничными условиями исследовано в [3, 4]. В настоящей работе исследуется функция Грина для системы двух невзаимодействующих частиц, находящихся в прямом бесконечном двумерном волноводе шириной d с условиями Неймана на границе. При этом используется представление для одночастичной функции Грина в волноводе с соответствующими граничными условиями.

Функция Грина

Пусть X1 = (x1, y1) и X2 = (x2, y2) - координаты частиц, 0 < y12 < d, E - суммарная энергия системы. Будем считать, что Im E = const > 0 . Тогда функция Грина двухчастичной задачи может быть получена в виде свертки двух функций Грина для каждой частицы:

G(Xh2, X',2, E) = -L [ЫХ, X[,g)g(X2, X2, E-g)dg, (1)

где L - контур вокруг спектра соответствующего оператора (спектр лежит на неотрицательной части вещественной оси), g (X12, X'2,g) - функции Грина одного электрона

в волноводе с энергией д и граничными условиями Неймана. Используя известные выражения для функции Грина одной частицы, получаем:

exp(-Rxylж2n2d 2 -д - R2^jn2m2d 2 - E + д )

G(^ X'^ E)=YL am —2 2 2 w 2 2 2-dg. (2)

^ 2ж^(ж2n2d-2 -g)m2d-2 -E + g)

=0 m=0

Здесь Ц =| х - *Ц, ^ =| х - , 4т = (^ +1)(4с + 1) созвеозМ ^Пк ^П!.

1 1 11 ^ I ^ ^ I п,т /2 1111

d d d d d

Обозначим интеграл, входящий в (2), ^(п, т). Чтобы вычислить этот интеграл, разобьем контур интегрирования на две части и сведем интеграл к интегралу по вещественной переменной. После этих преобразований и замены переменной получаем

expi-nR2y]1.2 + Cnm) F (n, m) = 4i --—, -- cos ntR.dt,

Jo vt2+cn;m

2 2 2 п п m E T-r где C =--1----• После вычисления интеграла получаем

dz d2n2 n2 F(n, m) = 4iKo (nR^m ),

(4)

где Я2 = + Я22, К0 - цилиндрическая функция комплексного переменного (функция

Макдональда). Окончательно для функции Грина получаем

( I 2-Л

<-ч пп пп 12.

G (X,2, X'2, E ) = -££ An,mK{

П n=0 m=0

Rj n (n2 + m2) - E

Обозначим для краткости

Г

/ = An,mK0

RJ—(n2 + m2) - E

(5)

(6)

Функция К0 является слабо убывающей при достаточно больших £. Тогда, выбирая достаточно большие М и N (так, чтобы аргумент функции К0 был много больше единицы), получаем для функции Грина:

ед,2, X',2, e )=-((+J2+J - J4+J5)

п

(7)

где

N ( М

Л M ( N

I Mil N

Ji =111 / -Jo /dm +III /

=0 V m=0

N

J m=0 V n=0

M

J 2=Г (E ■/"- Г /dn ym+Г1 E ■/ - Г /dm r,

У V m=0 J

чя=0

•N fM

N M

^ 3 =.|0 ]0 , ^ 4 = / , 3 5 = .|0 .|0 /<ШП .

и=0 т=0

Используя [3], преобразуем интегралы и суммы, входящие в (7), к следующим выражениям:

, , , 4E rr N. (

J+J 3- J 4=-п J0 J0 ——

52 +12 + п2 R2 d-2

) dn (t, y) dM (5, y)

dtds,

где

1 cos-Lcos 5td5 •

d

^ / 4 nny, nny, CN

Dn(t, y.) => cos-1cos-1cosnt - cos

N 1 d d J0 d

J 2 =-(Q++Gr+G++G-) +

f-K./2 (idn-^V^Vt2 +п2 R2 d"2 )(Dn (t, y.) + Dm (t, У2))

y[iEV4d5 2 J0 (t2 +п2R2d"2)1/4

TE rK.()DMN(t,У21)

+

dt,

Ql'2 = 2nd J0

ф2 + п2d"2 (R2 + (У12 ± y',2)2)

dt •

Зъ = К0 (¡Я4Е) + Е+ + Е- + е2+ + Е2 + Е++ + Е+ Е+ Е -,

d

где

± = ехр (¡^Я2 + (у 1,2 ± у',2 )2)

1,2 2^ я 2+(у 1,2 ± у;,2)2

Е ±± =

^^ТЕ Кх (-¡ч/Е^/я2 + (у ± у')2 + (у 2 ± у2)2)

8ж

л/Я2 + (У1 ± у')2 + (у 2 ± У2)2

Асимптотика функции Грина

Для использования полученных результатов нас интересует асимптотическое по-

у1,2 - У1,2

—^ 0. Асимптотика

ведение функции Грина в окрестности точки Я — 0, функции Грина имеет вид:

о (X1,2, Х,2, Е) □

□ 1п (яТЕ) -ТЕ(у1 - у') + *(У2 - У2)) - 2П*(у1 - У2 - У2) - П8

4 + ¡¿(у - у;) + 4 + ¡ё(у2 - у2) + 4 + ¡¿(у1 - ур + 4 + ¡ё(у2 - у2)

4ж"

4Я2 + (у2 - у2)2 ^Я2 + (у1 - у1)2 ^Я2 + (у2 + у2)2 4я2 + (у + у1)

(8)

+

8ж

4Я2 + (у - у1)2 + (у2 - у2)2'

Добавление еще одной частицы

Используя метод свертки, можно получить функцию Грина для трех невзаимодействующих частиц. Аналогичная процедура дает следующий результат:

0(х^1,2,з, Х',^ Е) -

{ I—;-Л

К

ад ад ад

= П/ XXX Ап,т,к [Ц

Я^П(п2 + т2)-Е + Я ехр(-ЯзЛ/ж2 к2d~2 -я) -, , , , -"я,

п-0 т-0 к-0

Пкга-

где

А =

п,т,к

(п0 + 1)(^т0 + 1)(^к 0 +1) жпу1 жпу1 жту2 жту'2 жкуъ жку'

d3

-ООБ--ООБ--ООБ--ООБ--ООБ--ООБ-

d d d d d d

И, окончательно,

ад ад ад

(

о(Х1,2,з,Х,2,з,Е) —2тXXX ехр -Я ж(п2 + т2 +

жЯ п-0 т-0 к-0 ^ V" ^

к 2 )

Л

(9)

где

Я - (х1 - х1)2 + (х2 - х2)2 + (х3 - х3)2 .

Работа поддержана грантом РФФИ № 05-03-32576.

Литература

1. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. Москва-Ижевск: РХД, 2002. 352 стр.

2. Popov I. Yu., Gortinskaya L.V., Gavrilov M.I., Pestov A.A., Tesovskaya E.S. Weakly coupled quantum wires and layers as an element of quantum computer. // Physics of Particles and Nuclei.Letters. 2006. V. 3. №2.

3. Popov I.Yu. // J. Math. Phys. 2002. V. 43. № 1. Р. 215-234.

4. Гортинская Л.В., Тесовская Е.С., Попов И.Ю. // Научно-технический вестник СПбГИТМО (ТУ). 2003. Выпуск 9. С. 22-28.

5. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.