Функционалы чувствительности в задаче Больца для многомерных динамических систем, описываемых интегро-дифференциальные уравнениями с запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

А

нализ и синтез систем управления

удк 62-50

ФУНКЦИОНАЛЫ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ В ЗАДАЧЕ БОЛЬЦА ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ, ОПИСЫВАЕМЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

А.И. Рубан

Вариационным методом построен функционал чувствительности для многомерных нелинейных динамических систем, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями Вольтерра второго рода с чистым запаздыванием, а также с переменными и постоянными параметрами. Обобщенный функционал качества работы системы имеет форму Больца с интегральной и конечной компонентами. Значения запаздывания, начального и конечного моментов времени зависят от своих постоянных параметров, а фазовые координаты в начальной точке могут иметь разрыв. Приведены примеры, демонстрирующие получение из общего результата функционалов чувствительности для более простых интегро-дифференциальных моделей с запаздыванием.

Ключевые слова: функционал чувствительности, вариационный метод, сопряженное уравнение, ин-тегро-дифференцальное уравнение, запаздывающий аргумент.

ВВЕДЕНИЕ

При анализе и синтезе законов управления и методов идентификации, решении задач оптимизации [1—6] возникает необходимость получения показателей чувствительности — коэффициентов чувствительности (КЧ) (составляющих градиента функционала качества по постоянным параметрам) и функционалов чувствительности (ФЧ), связывающих первую вариацию функционала качества с вариацией переменных и постоянных параметров динамических систем. Некоторые переменные параметры могут выступать как управляющие воздействия. Наиболее употребительны показатели чувствительности первого порядка [1, 4—6]. В настоящей работе будут рассмотрены только ФЧ первого порядка.

Рассмотрим вектор выходов х(?) = х(?, а) динамической модели объекта при непрерывном времени ? е [t0, неявно зависящий от вектора постоянных параметров а, и функционал I, постро-

енный на основе траектории х(?) при ? е Коэффициентами чувствительности функционала I к постоянным параметрам а называют состав-

т

ляющие градиента: ((1/(а)т = VI; т. е. КЧ — это коэффициенты линейной связи между первой вариацией функционала и вариациями постоянных

т 81

параметров а: 81 = ((1/Са)8а = V — 8а,-. При

да, 1 1 = 1 1

переменных параметрах а(^ первая вариация функционала 81 и вариация параметров 8а(^) свя-

заны линейным

функционалом 81 = | У(?)8а(?)(?

функционалом чувствительности. Здесь У(?) — вектор-строка ядер. При постоянных параметрах

(II/сЪ = | ЩЛ.

о

о

Прямой метод расчета КЧ (путем дифференцирования функционала качества I работы объекта по постоянным параметрам а) требует знания функций чувствительности Ж(?), получаемых из решения соответствующих уравнений чувствительности; Ж(?) представляет собой матрицу коэффициентов пропорциональности между первой вариацией выходов модели и вариацией параметров: 8х(?) = Ж(?)8а. Например, для функционала

метров и от начального момента времени, зависимость запаздывания, начального и конечного моментов времени от постоянных параметров и наличие разрывов фазовых координат в начальной точке. Рассмотрен обобщенный функционал работы системы (задача Больца).

Работа продолжает исследования [11, 12], поэтому сохранены структура и обозначения из работы [11].

I =

|/0(x(i), а, получаем вектор-строку КЧ:

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

dI/da = J [(5/0/3x) W(t) + 5/0/3a]di. Для нахождения

'о

матрицы W(t) необходимо решать большое число (определяемое размерностью вектора а) векторных уравнений чувствительности.

При переменных параметрах указанный подход неприменим, ибо не существует функций чувствительности к переменным параметрам.

В книге [3] описан вариационный метод получения сопряженных уравнений и формул расчета ФЧ и КЧ, восходящий к работам Лагранжа, Гамильтона и Эйлера. В его основе лежит расширение исходного функционала путем включения в него динамических уравнений объекта (ограничений типа равенства) с помощью множителей Лаг-ранжа. Далее вычисляется первая вариация расширенного функционала относительно фазовых координат объекта и интересуемых параметров. Динамические уравнения для множителей Лагран-жа получают путем обращения в ноль (в первой вариации расширенного функционала) коэффициентов перед вариациями фазовых координат, благодаря чему вариация расширенного функционала существенно упрощается и в ней остаются только вариации параметров, т. е. получается простой вид ФЧ. Если все параметры постоянны, то коэффициенты перед вариациями параметров суть искомые КЧ. Данный метод применен и для расчета оптимальных управлений для динамических систем, описываемых гладкими обыкновенными дифференциальными и разностными уравнениями [3]. Метод распространен и на более сложные дискретные и непрерывные системы с постоянными и переменными параметрами [4, 6—14].

В настоящей работе вариационный метод развивается применительно к динамическим системам, описываемым векторными интегро-дифференци-альными уравнениями с постоянными и переменными параметрами и с чистым запаздыванием по синхронизующей переменной (например, времени). Учтены также зависимость возмущающего воздействия модели объекта от переменных пара-

Предполагаем, что исследуемая оптимизируемая по переменным а(?) и постоянным параметрам а/1, аХо, , а11, ат динамическая система описывается системой нелинейных обыкновенных ин-тегро-дифференциальных уравнений (ИДУ) с интегральной частью типа Вольтерра второго рода и с чистым запаздыванием т:

X (?) = /(х(?), х(? - т), у(?), у(? - т), а(?), ?),

?0 т ? т о < т, '

у(?) = г(а(?), ?0, ?) + | К(?, х(5), - т), у(5),

'о

у(5 — т), а(^), 5)^5, ?0 т ? т

т = ?0 = ?0(а'0 ^ = ?1(а'1 ), (1) х(?) = ух(а(?), ?), ? е [?0 - т, <0), х(?0) = Х)(аХо, ?0),

у(?) = Уу(а(?), ?), ? е [?0 - т, <0).

Здесь т, ?0, ?1 — запаздывание, начальный и конечный моменты времени работы системы; х, у — вектор-столбцы фазовых координат; а(?), аХо, а1о,

а 1, а — вектор-столбцы интересующих нас пере' т

менных и постоянных параметров; /(•), г(-), т("), ?0(-), ?1(-), ухО, х0(-), уу(-) — известные непрерывно дифференцируемые ограниченные вектор-функции. Фазовые координаты х, у в исходной точке могут совершать разрыв:

х+(<0) - х(?0 + 0) = х,( ах0, ?0) * х(?0 - 0) - х-(?0) = = Ух^^ ?0):*

У+(?0) - у(?0 + 0) = г (а, ?0, ?0) * у(?0 - 0) - У-(?0) = = у/а^Х ^

Указанный разрыв (в силу расчета х, у на основе сглаживающего интегрального преобразования) не оказывает влияния на непрерывность фазовых координат в моменты времени ?0 + пт, п = 1, 2, ...

о

Модель измерительного устройства (ИУ) задана уравнением

п(1) = п(х(1), у(0, а(0, О, г е [*0, Г1), (2)

где п(') — известная непрерывная, непрерывно дифференцируемая, ограниченная (вместе с первыми производными) вектор-функция. В эту модель входят также переменные параметры а(г). Размерности векторов х, у и п в общем случае различны.

На переменных п(1) построен функционал качества работы системы

1(а) = |/0(п(О, а(г), ОЛ + !^1(п(г1>, а^, г1), (3)

который явно и неявно зависит от параметров. К ранее указанным параметрам добавляется вектор а 1 . Условия для функций /0(') и 11(-) те же, что

и для ранее введенных функций/(•), г(•), К(-), т(-), г0(в), ух('), х0(в) и уу('). При использовании функционала (3) задачу оптимизации в теории оптимального управления называют задачей Больца. Из нее как частные варианты следуют задача Лаг-ранжа (когда присутствует только интегральная составляющая, т. е. когда 11(-) = 0) и задача Майера (когда присутствует только вторая составляющая — функция от фазовых координат в конечной точке, т. е. когда /0(-) = 0).

В предыдущих работах [8, 11] с интегро-диф-ференциальными моделями объекта без чистого запаздывания были рассмотрены задачи Лагранжа [8] и Больца [11]. В работах [7—9] для объектов, описываемых интегральными моделями без чистого запаздывания, также были исследованы задачи Лагранжа [7, 8] и Больца [9]. В работе [9] получены КЧ. В работах [10, 12] для объектов с интегральными моделями и с чистым запаздыванием рассмотрены соответственно функционалы качества, соответствующие задачам Лагранжа [10] и Больца [12]. В работе [12] найдены только КЧ. В работе [10] для задачи Лагранжа и для сравнительно простой модели построены ФЧ и КЧ. В настоящей работе результаты [10] обобщены на задачу Больца, с учетом более общего вида интегральных и интег-ро-дифференциальных моделей с чистым запаздыванием, со смешанными параметрами (переменными и постоянными) и с учетом разрывов фазовых координат в момент начала работы динамического объекта.

Рис. 1. Интегро-дифференциальная модель

Схема взаимодействия между переменными модели объекта, измерительного устройства и функционала качества приведена на рис. 1.

При получении соответствующих результатов для сокращения записи формул (1)—(3) используем очевидные обозначения: /(г) - /(х(1), х(1 — т), у(1), у(1 - т), а(г), г), г(1) - г(а(г), г0, г), ко, 5) - ко, х(5), х(5 - т), у(^), у(5 - т), а(^), 5), п(г) = п(х(г), у(1), а(г), 0, /,0) -/0(п(0, а(г), г), ^ - 11(п(г1), а71, г1).

При получении ФЧ перейдем от ИДУ (1) к соответствующему интегральному уравнению (ИУ), получим более общие по сравнению с работой [10] результаты, а затем вернемся к исходным переменным. Удобство интегро-дифференциальной модели в ее структурной универсальности. При упрощении модели в полученных окончательных результатах достаточно обратить в ноль соответствующие слагаемые. Этот прием мы продемонстрируем в заключительной части статьи.

2. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ

Сопряженные уравнения имеют интегро-диф-ференциальный вид:

- ^ (г) = ¡Г (0 + ф/Л +

х х дх (г) у дх (г)

+

^ + I г Г О + кг1 - т - г) х

дп( г) дх (г) у дх (г)

г

(г + т)д/( 1+т ) + ф (г1)дК( г 1 ' г+т - +

^ ' дх (г) ^ ' дх (г)

1

, г т.чдК(г + т)

г + т

х

(г1) = ф^1),

, г е [г0, г1),

г

о

X

/ (?) = хТ (?) /) + ф (?1)д1( ?1 , ?) + дд(0 +

' хУ 7ду(?) ук ' ду(?) дп(?) ду(?)

'1

+ ГуТ(5) д|(5_0 + 1(?1 - т - ?) X

л у ау( ?)

(? + т)д/( ? + т ) + ф (?1)д1( ?' ? + т ) +

+

ду (?)

Т(с) д1(5, ? + т)

I у; (5)

' + т

у ^ ду

ду (?)

, ?0 < ? < ?1;

уТ (?) = 1(?1 - т - ?)

х; (? + т) +

х 4 ' дх( ?)

+ фу(?1) ^ ?/ т - + уТ(5)д1( * ? + т -

дх (?)

уТ (?) = 1(?1 - т - ?)

дх (?)

Х;Т (? + т) ^^ +

х ду (?)

+ фД?1) д1( ?, ? + т - + Г уТ(5) дК( ? + т -

^ ду (?) 1 ду (?)

' + т

?0 - т т ? < ?0.

(4)

Здесь Фх(?1) - ^ Щ , фу(?1) - дЩ. дШ?!), дп(?1) дх(?1) У дп(?1) ду(?1) 1(г) — стандартная селективная единичная функция: 1(г) = 1, если 0 < г; 1(г) = 0, если г т 0.

Вариационным методом получаем следующий ФЧ (метод идейно не сложный, но промежуточные формулы достаточно громоздки и они не приводятся):

81 = 1

д/0( ?- дп ( ?) + д/0С£) + у;(?) дтСО +

дп(?) да(?) да(?)

да( ?)

+ (?)/) + ф (?1)дКСЛо +

хЧ да(?) ^ ' да(?)

'

+ I^^

8а(?)^? +

д11 ( ?1 - дп ( ?1 -д п( ?1) да( ?1)

+

+ ф ^Л дг(?1) "|8, .к , д1х(?1 )8 +ф(? ^ м?' + 5а'1

+

+ хТ (?„) 8ахо + |

дах

'п - т

_Т (?) д^х( а ( ?) , ?-

да( ?)

Т/Лдуу(а(?), ?)

+ У„ (?) ^

да( ?)

8а(?)^? +

Т

Х; (?0)

Гдх0(ахп, ?0)

д?.

0

-/(?0)| + 1(?1 - ?0 - т) Х;

х (?0 + т)(/(?0 + т - 0) - /(?0 + т + 0)) +

+ фу(Ы Щр- - 1(?1, ?0) + 1(?1 - ?0 - т) *

д?0

X |(?1, ?0 + т - 0) - К?1, ?0 + т + 0)) - /,(?0) +

1 '1 +1У;Т(?) (ддт -1(?, ?0))+ 1(?1 - ?0 - т) | уТ(?)х

'о

X [|(?, ?0 + т - 0) - 1(?, ?0 + т + 0)]Л

+ фх(?1^/(?1) + фу(?1)

¿?0 8 41— 8а' +

¿а, 'о 'о

дгф + |(?1, ?1) + д?1

+

г

д?1

+

д11 ( ?1 - дп ( ?1 ) + д11 ( ?1 -

дп( ?1) д?1

+

д?1

+ /0(?1)

¿?1 о ,

-8а 1 +

5а 1 '

1Т 1(?1 - ?0 - т) Х; (?0 + т) х

* ( Т

X (/(?0 + т - 0) - /(?0 + т + 0))

I х; (?)1

+ фу(?1)

д/( ?) ¿х( ? - т ) + д/( ?) ¿у( ? - т ) | + дх(?- т) d(?- т) ду(?- т) d(?- т) )

1(?1 - ?0 - т)1(?1, ?0 + т - 0) -

'1 ( 1

1(?1, ?0 + т + 0)) - ГI д|(^ ¿х^-!) + 4 0 1 ^дх(5 - т) ¿(5 - т)

+ д1( ?1 , 5 ) ¿у(5 - т ) | ^ ду(5 - т) d(5 - т)

+ 1(?1 - ?0 - т) I У;Т(?) X

X (|(?, ?0 + т - 0) - 1(?, ?0 + т + 0))d?

' Г

I^(?) I [

д1( ?, 5 ) ¿х( 5 - т ) дх(5 - т) d(5 - т)

+ д1( ?, 5) ¿у( 5 - т ) | dsd? ду(5- т) d(5- т)

8а

(5)

Полученная форма представления сопряженных уравнений и функционала чувствительности позволяет легко выписать результаты при рассмотрении отдельно дифференциальных и интегральных моделей либо их различных комбинаций.

х

' + т

о

о

о

^ + т

о

о

3. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ФУНКЦИОНАЛА ПРИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА

Уравнения для модели объекта и измерительного устройства в этом случае имеют вид:

х (?) = /(х(?), х(? - т), а(?), ?), ?0 < ? < ?1, 0 < т, т = т(ат), ?0 = ?0( а 'о), ?1 = ?1( а '1),

х(?) = Vx(а(?), ? е [?0 - т ?0), х(?0) = х0(ахо, ?0);

п(?) = п(х(?), а(?), ?), ? е [?0, ?1].

Вид функционала качества (3) не меняется. Схема взаимодействия между всеми переменными системы представлена на рис. 2.

В итоговых результатах (4), (5) необходимо учесть отсутствие зависимости от у(?) в функциях / и п, а также отсутствие функций г, I, и переменных уу(?), у (?). Сопряженные уравнения имеют вид:

- хТ (?) = Х;Т (?) д/(£1 + «) МО

х х дх(?) дп(?) дх(?)

+

+ К?1 - т - ?) (? + т) /х^, ?0 т ? т ?' хТ (?') = фх(?'),

-Т У х

(?) = 1(?1 - т - ?) Х(? + т) /х^ ,

?0 - т т ? т ?0.

Упрощается и ФЧ:

81 = I

'о

'о 1 1 + I ^(?) ^ + ^ ^ 8а(?1)

д/0( ?) дЛ ( ?) + дШ + Х т(?)

?) да(?) да(?) да(?)

8а(?)d? +

'п - т

+

дп(? ) да(? )

+

311 (?1)

да >

8а^ + Хх (?0)

дх0 ( аx0, ?0 )

да х

8 ах + хо

+

Х1 (?с)

дх0(«х^ ?0)

- /(?0 )| + 1(?' - ?0 - т) х

х х; (?0 + т)/(?0 + т - 0) - /(?0 + т + 0))

8а' +

/ + ^ ^ + дп(?1) д?1

ф

+

д11 (?1)

?

Г- + /с(?1)

0? о ,

-—8а 1 + аа 1 '

1(?1 - ?0 - т) X

X х; (?0 + т)(/(?0 + т - 0) - /(?0 + т + 0))

'1

ГхТ(?) _М0_ ¿хы) а?

J хЧ'дх(?-т) 0(?-т)

о

¿т о

—— 8а .

а а т

Если параметры а(?) постоянные (т. е. а(?) = а, 0 - т < ? < то КЧ к параметрам а, а^ , ахо, а'о, а 1 и а имеют вид:

'1 т

?

1

01 = Г

¿а J

д/0 ( ?) ( ?) + дШ + х Т(?) д/!?)

дп( ?) да да х да

а? +

+

1 1 'о

^ дп(?и + г уТ(?)х( а ?- а?,

дп(?1) да 'о- т х

а

01 _ д11 (?1) 01 _ . г„ ,дх0(ахо, ?0)

0а г да г 0 а х х 0 V а х

хо ^ хо

01 0<4

х(?»)

дх0(ах , ?0)

0 -д;° 0 - /(?0) д?0

+

+ 1(?1 - ?0 - т)х;(?0 + т)(Л?0 + т - 0) -

-/(?0 + т + 0)) - /0(?0>

а?0

0а'

'о

01 = а а ^

фх(?1)/(?1) + ^ д^пс^ +

дп( ?1) д?1

+ ^ + /0(?-)

д?1

а?1

0а !'

Рис. 2. Дифференциальная модель

и

0ат

1(?' - ?0 - т) х;(?0 + т/ + т - 0)

'1

- /(?0 + т + 0)) - I х(?) ^ *

ат а ат

о

о

4. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ПРИ ВАРИАНТАХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА

Вариант 4.1. В исходной постановке задачи меняются уравнения модели объекта и измерительного устройства:

х(г) = /(х(1), х(1 - т), а(1), г), 10 т г т г1,

0 < т х(10) = х0(ахо , 10),

у(1) = г(а(1), 10, г) + |К(1, х(5), х(5 - т), у(5),

го

у(5 - т), а(5), 5) (5, г0 < г < 11;

т = т(ат), г0 = г0( а г0 ^ = А а г1), х(1) = ух(а(1), г), г е [10 - т, 10),

х(10) = х0( аX0 , г0),

у(1) = Уу(а(г), г), г е [^ - т,

п(1) = п(у(1), а(1), г), г е г1].

Схема взаимодействия между переменными модели объекта, измерительного устройства и функционала качества приведена на рис. 3.

В итоговых результатах (4), (5) необходимо учесть, что дп/дх = 0, Фх(11) = 0, д/(1)/ду(1) = 0, д/(1 + т)/ду(1) = 0.

Вариант 4.2. Уравнения модели объекта и измерительного устройства имеют вид:

х(г) = /(у(1), у(1 - т), а(1), г), 10 т 1 т г1, 0 < т,

у( 1) = г (а( 1), 10, 1) + | К( 1, х(5), х(5 - т), у(5),

го

у(5 - т), а(5), 5) (5, 10 < 1 < 11; т = т(ат), 10 = 10( а го ), 11 = 11( а ^), х(1) = Ух(а(1), 1), 1 е [10 - т, 10),

х(10) = х0( аX0 , 10),

у(1) = уу(а(1), 1), 1 е [10 - т, 10);

п(1) = п(у(1), а(1), 1), 1 е [10, 11].

Схема взаимодействия между переменными модели объекта, измерительного устройства и функционала качества приведена на рис. 4. В общих результатах (4), (5) для сопряженных уравнений и ФЧ следует положить дп/дх = 0, Фх(11) = 0,

Рис. 3. Интегро-дифференциальная модель: вариант 4.1

Рис. 4. Интегро-дифференциальная модель: вариант 4.2

Рис. 5. Интегро-дифференциальная модель: вариант 4.3

д/(1)/дх(1) = 0, д/(1 + т)/дх(1) = 0. Формула расчета ФЧ сохраняет тот же вид, что и в предыдущем варианте.

Вариант 4.3. Уравнения для модели объекта и измерительного устройства имеют вид:

х (1) = /(х(1), х(1 - т), у(1), у(1 - т), а(1), 1), 10 т 1 т 11, 0 < т,

у(1) = г (а(1), 10, 1) + I К(1, у(5), у(5 - т), а(5),

10 т 1 т 11;

т = т(ат), 10 = 10(аго ), 11 = 11(а^ ), х(1) = Ух(а(1), 1), 1 е [10 - т, 10),

х(10) = х0(ах0 , 10),

у(1) = Уу(а(1), 1), 1 е [10 - т, 10);

п(1) = п(у(1), а(1), 1), 1 е [10, 11].

Основной является переменная х. Она удовлетворяет дифференциальному уравнению. Переменная у выступает в качестве входного воздействия для основной дифференциальной модели и удовлетворяет самостоятельному интегральному уравнению. Схема взаимодействия между переменными приведена на рис. 5.

I

о

ЛИТЕРАТУРА

Рис. 6. Интегро-дифференциальная модель: вариант 4.4

Из общих результатов (4), (5) с учетом того, что дп/ду = 0, Фу(11) = 0, дК(5, 1)/дх(1) = 0, дК(5, 1 + + т)/дх(1) = 0, следует выписать сопряженные уравнения и ФЧ.

Вариант 4.4. Уравнение для модели объекта имеет вид

х (1) = /(х(1), х(1 - т), у(1), у(1 - т), а(1), 1), 10 т 1 т 11, 0 < т,

y(t) = r(a(t), t0, t) + J K(t, x(s), x(s — t), a(s),

t0 m t m t;

t - T(aT^ t0 - t0(at0), ^ - t1(at1), x(t) - yx(a(t), t), t e [t0 - t, t0)

0

x(t0) x0(aX0 , t0),

у(1) = Уу(а(1), 1), 1 е [10 - т, 10).

Переменная у является вспомогательной. Она отражает сравнительно простую интегральную связь с основной переменной х. Выход измерительного устройства также зависит только от основной переменной п(1) = п(х(1), а, 1), 1 е [10, 11].

Схема взаимодействия между переменными приведена на рис. 6.

В итоге из (4), (5) с учетом того, что дп/ ду = 0,

Фу(11) = 0, дК(5, 1)/ду(1) = 0, дК(5, 1 + т)/ду(1) = 0 получаем сопряженные уравнения и ФЧ. Формула расчета ФЧ сохраняет тот же вид, что и в предыдущем варианте.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Вариационный метод расчета коэффициентов и функционалов чувствительности допускает обобщение на задачи Больца для более сложных классов динамических систем, описываемых различными разрывными интегральными и интег-ро-дифференциальными уравнениями — см. расчет коэффициентов чувствительности для моделей в виде разрывных дифференциальных уравнений без запаздывания [13] и с запаздывающим аргументом [14].

1. Методы теории чувствительности в автоматическом управлении / Под ред. Е.Н. Розенвассера и Р.М. Юсупова. — Л.: Энергия, 1971. — 341 с.

2. Спиди КБраун Р., Гудвин Дж. Теория управления: идентификация и оптимальное управление. — М.: Мир, 1973. — 248 с.

3. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. — М.: Мир, 1972. — 544 с.

4. Рубан А.И. Идентификация нелинейных динамических объектов на основе алгоритма чувствительности. — Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1975. — 270 с.

5. Розенвассер Е.Н., Юсупов Р.М. Чувствительность систем управления. — М.: Наука, 1981. — 464 с.

6. Рубан А.И. Идентификация и чувствительность сложных систем. — Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1982. — 302 с.

7. Рубан А.И. Коэффициенты и функционалы чувствительности для многомерных систем, описываемых интегральными уравнениями // Сб. науч. тр. Новосибирского государственного технического университета. — 1996. — № 2 (4). — С. 64—72.

8. Rouban A.I. Coefficients and functionals of sensitivity for multivariate systems described by integral and integro-differetial equations // Advances in Modeling & Analysis: Series A. Mathematical Problems; General Mathematical Modeling. France: A.M.S.E. — 1999. — Vol. 35, N 1. — P. 25—34.

9. Рубан А.И. Коэффициенты чувствительности в задаче Больца для многомерных систем, описываемых обобщенными интегральными уравнениями // Информатика и системы управления: Межвуз. сб. науч. тр. / НИИ ИПУ. — Красноярск, 2000. — Вып. 5. — С. 272—279.

10. Rouban A. I. Coefficients and functionals of sensitivity for continuous many-dimensional dynamic systems described by integral equations with delay time // 5th Intern. Conf. on actual Problems of Electronic Instrument Engineering. Proceedings APEIE-2000. — Novosibirsk, 2000. — Vol. 1. — P. 135—140.

11. Рубан А. И. Коэффициенты чувствительности в задаче Больца для многомерных систем, описываемых обыкновенными интегро-дифференциальными уравнениями // Информатика и системы управления: Межвуз. сб. науч. тр. / НИИ ИПУ. — Красноярск, — 2001. — Вып. 6. — С. 58—68.

12. Рубан А.И. Коэффициенты чувствительности в задаче Больца для многомерных динамических систем, описываемых интегральными уравнениями с запаздыванием // Там же. — С. 69—80.

13. Рубан А.И. Коэффициенты чувствительности для разрывных динамических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 1997. — № 4. — С. 41—47.

14. Рубан А.И. Коэффициенты чувствительности разрывных динамических систем с запаздыванием // Проблемы управления. — 2011. — № 4. — С. 53—59.

Статья представлена к публикации руководителем РРС

В.В. Огурцовым.

Анатолий Иванович Рубан — д-р техн. наук, зав. кафедрой,

Сибирский федеральный университет, г. Красноярск,

Ш (391) 291-22-34, (391) 291-22-96,

И ai-rouban@mail.ru, rouban@mail.ru.

t

0