Коэффициенты чувствительности разрывных динамических систем с запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-50

КОЭФФИЦИЕНТЫ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ РАЗРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

А.И. Рубан

С помощью вариационного метода построена общая схема расчета коэффициентов чувствительности (составляющих градиента от показателя качества работы системы к постоянным параметрам) для многомерных нелинейных динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом, имеющими разрывы правых частей и фазовых координат.

Ключевые слова: коэффициент чувствительности, вариационный метод, сопряженные уравнения, разрывная динамическая система, запаздывающий аргумент.

ВВЕДЕНИЕ

Проблема расчета показателей чувствительности динамических систем одна из основных, возникающих при синтезе и анализе алгоритмов идентификации, оптимизации и управления [1—6]. Наиболее употребительны показатели чувствительности первого порядка [1—3]. В дальнейшем мы будем рассматривать только коэффициенты чувствительности первого порядка.

Векторный выход динамической модели объекта x(t) = x(t, а) неявно зависит от вектора искомых параметров а. Рассматривается функционал I,

построенный на основе траектории x(t), t е [t0, t1]. Под коэффициентами чувствительности (КЧ) первого порядка к постоянным параметрам а понимают набор производных dI/da, i = 1, m, расположенных в виде вектор-строки dI/da или в виде вектор-столбца (dI/da) = VaI. Коэффициенты чувствительности — это коэффициенты линейной связи между первой вариацией функционала 8I и вариацией постоянных параметров: 8I = (dI/da)8a.

При наличии только постоянных искомых параметров a прямое дифференцирование функционалов качества I приводит к необходимости знания функций чувствительности W(t); W(t) — это матрица линейной связи первой вариации выхода динамической модели с вариацией параметров 8x(t) = W(t)8a. Например, для функционала

I =

J/0(x(t), a, t)dt имеем следующий вектор КЧ:

dI/da = J[df0/dx)W(t) + df0/da]dt. Для получения

'о

матрицы W(t) требуется решить громоздкую систему динамических уравнений — уравнений чувствительности. В каждом j-м столбце матрицы W стоят функции чувствительности dx(t)/da.j (по отношению к j-му скалярному параметру вектора a), которые удовлетворяют векторному уравнению (если x — вектор), получаемому из исходной динамической модели (для x) дифференцированием ее по параметру aj [1—3].

Для сравнительно простых классов гладких динамических систем показано [6], что избавиться от решения большого числа уравнений чувствительности можно путем перехода к решению сопряженных уравнений — сопряженных по отношению к исходным динамическим уравнениям объекта. Метод получения сопряженных уравнений, предложенный в работе [6], основан на рассмотрении уравнений чувствительности (для функций чувствительности). Он достаточно громоздок и развития не получил. Его сложность возрастает для разрывных динамических систем [1, с. 151—157]. Замкнутых результатов здесь пока не получено.

Для синтеза сопряженных уравнений с соответствующими краевыми условиями, а также формул расчета КЧ и функционалов чувствительности был найден простой по структуре вариационный метод, восходящий к работам Лагранжа, Гамильтона и Эйлера. Он был применен для расчета оптимальных управлений в динамических системах, описываемых гладкими обыкновенными дифференциальными или разностными уравнениями [5].

о

В работах [3, 4] метод применен для определения КЧ по отношению к постоянным и переменным параметрам для достаточно сложных дискретных динамических систем с распределенными и чистыми запаздываниями, а также для непрерывных динамических систем с чистыми запаздываниями. В предлагаемой работе вариационный метод расчета КЧ применяется к многомерным нелинейным динамическим системам, описываемым векторными нелинейными дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом, а также с разрывными правой частью и фазовыми координатами [1—4]. Рассмотрены достаточно общие случаи, когда искомые параметры входят в функционал качества, модель измерительного устройства, правые части дифференциальных уравнений, начальные условия, уравнения разрывов фазовых координат, условия переключения. От параметров

зависят начальный ?о, конечный ^ моменты времени и чистое запаздывание т.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматриваются объекты [7, 8], описываемые на различных интервалах времени различными векторными дифференциальными уравнениями [2, 3] с одним зависящим от а запаздывающим аргументом т > 0:

х(?) = д(х(?), х(? - т), а, ?), ?о т ? т

х+(?о) = *о(?о, а),

ДО = Д.(х(?), х(? - т), а, ?), ?,- ! т ? т ?г,

/ = 1, 2, ..., и, (1)

ДО = Л + 1«?), х(? - т), а, ?), ?я т ? т ?\ х(?) = у(а, ?), ? е [?о — т, ?о).

Здесь х — вектор фазовых координат, Д(0, хо(0, у(0 — векторы непрерывных дифференцируемых по всем аргументам функций.

Моменты ?; смены одного уравнения другим (моменты переключения) определяются условиями (условиями переключения):

£г.(х-, ?., а) = 0, / = 1, 2, ..., и, ?о = ?о(а). (2)

Скалярные функции считаем непрерывно дифференцируемыми по всем аргументам. Неявные уравнения (2) разрешимы относительно ?р т. е.

д£.(0М * 0.

В моменты переключения вектор х претерпевает разрывы, определяемые уравнениями

Здесь Д;( •) — также непрерывно дифференцируемые векторные функции; х- = х(?; — 0), х+ = х(?г + 0) — значения вектора х до и после момента разрыва. В уравнениях (3) принята удобная для исследования аддитивная форма описания разрывов фазовых координат. Если Д; = 0, то координата х(?) непрерывна в точке ?г

Модель измерительного устройства задана в виде

п(?) = п(х(?), а, ?), ? е [?о, ?1], (4)

где п(0 — также непрерывная, непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Размерности векторов х и п могут быть различны.

На выходных координатах измерительного устройства построен функционал качества работы динамической системы

/

/(а) = ]Уо(п(?), а, ?М? + /1(п(?1), а, ?1). (5)

'о

Условия для функций Уо("), !1(") те же, что и для функцийД, хо, у, gi, Д., п.

В целях упрощения соответствующих выводов при сохранении общности во всех преобразованиях (1)—(5) присутствует один и тот же вектор параметров а. Если в уравнениях (1)—(5) параметры различны, то их можно формально объединить в один вектор а, использовать полученные результаты, а затем, учитывая структуру вектора а, сделать соответствующие упрощения.

При получении результатов используем очевидные обозначения: Д?) - Дх(?), х(? — т), а, ?), ./о(?) -

- До(п(?), а, ?), п(?) - п(х(?), а, ?), !^1(?1) - !^1(п(?1), а, ?1).

2. РАЗРЫВНАЯ СИСТЕМА

Дополняем функционал качества (5) ограничениями-равенствами (1) с использованием множителей Лагранжа Х(?), ? е [?о, ?1], Хо, X (?), ? е [?о — т, ?о] и получаем

I =

/(а) + | ХТ(?)(Д(?) - х (?))Л + (хо(?о, а)

х+ = хг- + ДДхг- , а), / = 1, и, х0 = хо(?о, а).

(3)

- х+(?о)) X (?)(у(а, ?) - х(?))Л. (6)

'о- т

В расширенном функционале (6) интегрирование по частям слагаемого с производной х (?) выполняем с учетом моментов разрыва ?о, / = 1, и,

а также точек ?о + т, + т, / = 1, и , попадающих в интервал работы системы, в которых терпит раз-

о

о

54

СОЫТВОЬ БС!ЕМСЕ8 № 4 • 2011

т

Х (?, - 0)х(?, - 0)]8?, =

п

-- £ [Хт(?, + 0)(Е + дЛ;/дх-) - Хт(?, - 0)]8х(?, - 0) +

г = 1

, дЛг„

+ ^ ^ (?; + 0) ^т в/, + ^ Х (?; + °) даг ва +

г = 1

г = 1

рыв правая часть модели из-за разрыва фазовых координат х(? - т):

- |Хт(?)х = |ХТ(?)х(?)Л - Хт(/1 - 0)х(/1 - 0) +

+ Хт(?0 + 0)х(?0 + 0) + £ [Хт(?, + 0)х(?, + 0) -

г = 1

п

- Хт(?, - 0)х(?, - 0)] + £ [Хт(?, + т + 0)х(?, + т + 0) -

г = 1

- Хт(?, + т - 0)х(?, + т - 0)]1(?1 - - т)е,. (7) Компонента Е[*] обусловлена моментами разрыва ?,, / = 1, п . Она позволяет найти условия переключения множителей Лагранжа в точках разрыва. Вторая компонента £[*]1(*)е, аналогично обеспечивает получение условий переключения множителей Лагранжа в точках ?0 + т, + т, / = 1, п . Если некоторая из этих особых точек совпадает с точкой разрыва то соответствующее слагаемое кционале (8) вычисляется аналогично:

второй компоненты отсутствует. В этом случае введенный коэффициент е, = 0. В остальных случаях коэффициент е, = 1.

После подстановки выражения (7) в расширенный функционал (6) и учета вида функционала (5) получаем, что

/

I = /Д?1) - Хт(/1)х(/1) + | [/,(?) + Хт(/) +

, дЛ; „

тт + £ [Х (?, + 0)х(?, + 0) - X (?, - 0)х(?, - 0)]5?,.

г = 1

Здесь Е — единичная матрица. Связь между вариациями 8х(?, + 0) и 8х(?, - 0) была найдена из уравнения разрыва фазовых координат (3):

5х(?, + 0) = 5х(?, - 0) + дЛ - а ) 5х(?. - 0) +

дх-

+ дЛ« в, + дЛ^.

д?;

да

Первая вариация компоненты £[•]!(•)е, в фун-

5Е[-]1(-)е, = £ [Хт(?, + т + 0)

г = 1

- Хт(?, + т - 0)]1[?1 - - т)е,5х(?, + т) + п • т

+ £ [Х (?, + т + 0)х(?, + т + 0) -г = 1

Хт (?, + т - 0)х(?, + т - 0)]1(?1 - - т)е, 5?, +

+ Хт(?)х(?)]<# + (Хт(?0) - Х0т)х(?0) + Хтх0(?0, а0) +

+ | Х (1)[у(а, ?)- х(?)]Л + £ [Хт(?, + 0)х(?, + 0) -

'о - т г = 1

п

- Хт(?, - 0)х(?, - 0)] + £ [Хт(?, + т + 0)х(?, + т + 0) -

г = 1

- Хт(?, + т - 0)х(?, + т - 0)]1(?1 - - т)е,. (8)

При вычислении первой вариации расширенного функционала (8) в дополнение к результатам непрерывного варианта [6] находим первую вариацию по х и по ?,, / = 1, п, дополнительных компонент, а также по ?,, + т, / = 1, п, первой интегральной составляющей в функционале (8). В результате первая вариация компоненты £[•] в нем имеет вид

п

52[*] = £ [Хт(?, + 0)8х(?, + 0) -

г = 1

п

- Хт(?, - 0)8х(?, - 0)] + £ [ Х (?, + 0)х(?, + 0) -

г = 1

+ £ [Х (?, + т + 0)х(?, + т + 0)

г = 1

- Х (?, + т - 0)х(?, + т - 0)]1(?1 - - т)Егв.

Здесь учтена непрерывность фазовых координат в точках ? = + т, ибо было принято, что в сумму входят только компоненты с несовпадающими + т, и ?..

г.

Первая вариация первой интегральной составляющей расширенного функционала (8) по моментам разрыва ?,, + т, / = 0, 1, п, и по ?1 имеет вид

Г'1

| {>0(1) + Хт(?)/(?) + /(?) + Хт (?)х(?)}Л

= [-/0(?0 + 0) - Х (?0 + 0)/1(10 + 0)

Л- т,

0 0 0 1 0

п

Г (?0 + 0)х(?0 + 0)]в?0 + £ [/0(1, - 0) +

г = 1

+ Хт(1; - 0Щ. - 0) + Х т (1, - 0)х(1; - 0) - /0(1, + 0) -- Хт(?, + 0)/.+ 1(1, + 0) - Хт (?, + 0)х(?, + 0)]8?, +

п

п

о

о

п

о

п

о

в

-'о

+ - 0) + хУ - 0)Д(?1 - 0) + Г (? - 0) X

п

х х(?1 - 0)]8?1 + I ^ + т - + т - 0) -; = 1

- хт(?. + т + 0Д(?; + т + 0) + XТ (?; + т - 0) X х х(?; + т - 0) - XТ (?; + т + 0)х(?; + т + 0)] х

х 1(?1 - ?; - т^. + I £ [ХТ(?. + т - 0Щ. + т - 0) -^ ; = 1

- ХТ(?.. + т + 0Д(?; + т + 0) + XТ (?; + т - 0) х х х(?; + т - 0) - XТ (?; + т + 0)х(?; + т + 0)] х

Т1

1(?1 - ?; - т)б; |бт

Здесь 8?0 = (й?0/йа)8а, 8?1 = (^?1/^а)8а, 8т = = (йт/йа)8а. Зависимость вариации момента разрыва 8?., / = 1, и, от вариации фазовых координат 8х(?; - 0) и от вариации параметров 8а находим из условия переключения (2):

8?. = а;8х(?; - 0) + Ь;8а,

а = _(З&<)1

V З?;

Зх,-

V д?;

За

Учитываем указанные дополнительные компоненты в итоговой первой вариации функционала, записываем интегралы на отдельных интервалах в виде одного интеграла (при этом, естественно, принимаем во внимание изменение вида правой части /(-)уравнения (1)), компенсируем одинаковые слагаемые с противоположными знаками:

[ X Т (?о)х(?о) - X Т (?о)х(?о)]; [ X Т (? - 0)х(? - 0) - XXТ (? -

- 0)х(? - 0)], [XТ(? + 0)у(? + 0) - XТ(? + 0)х(? + 0)],

? = ?о + т, ?; + т, I = ТТй; [XТ(?1)х(?1) - XТ(?1)х(?1)], объединяем компоненты с одинаковыми вариациями и в итоге получаем первую вариацию функционала:

8/ =

^ дп1?1) _ 1Т(?1 )18х(?1) + дп(?1) Зх(?1) )

+

- X0T)8х(?о) + Г { ^ ^ + 1Т(?)Ш + о о ' У о' J I Зп(?) Зх(?) Зх(?)

Зх (?)

+ 1(?1 - ? - т^? + т)ЗД(?+т) + XXТ(?) |>8х(?)й? +

Зх (?) I

+ | ( 1(?1 - ? - т)XT(t + т) - XT(?)^8х(?)й? +

+ ^ + т - 0) - XT(t0 + т - 0)]1(?1 - ?о - т) х

п

х 8х(?0 + т) + I ^ + т + 0) - XT(?i + т - 0)] х

; = 1

п (

х 1(?1 - ?; - т)е8х(?;. + т) + I {[XT(ti + 0) Е

; = 1

е + ЗД 1 -Зх-)

- XT(?; - 0)] + [ДО; - 0) + XT(?; - 0Д(?; - 0) -

- ДО; + 0) - XT(ti + 0^+1(?; + 0) + XT(?; + 0) +

+ ^ + т - 0Д(?; + т - 0) - XT(ti + т + 0) X х /(?; + т + 0)]1(?1 - ?; - т)£;Ц.}8х(?; - 0) +

п

+ I До(?; - 0) + XT(ti - 0)Д(?; - 0) - ДО. + 0) -

; = 1

- XT(?; + 0^+1(?; + 0) + XT(?; + 0) ^^ +

+ [XT(ti + т - 0)Д?; + т - 0) -

- XT(?i + т + 0Д(?; + т + 0)]1(?1 - ?; - т)е;]Ь; +

-До(?о) +

+ XT(ti + 0)—; + К Зхо ( ?о, а ) +

4 За | 0 За

+ XoT (Зх°|^ -Д( ?о)) + [XT(tо + т - 0Д(?о + т - 0)

- XT(t0 + т + 0)/(?0 + т + 0)]1(?1 - ?0 - т)

-о йа

+

+

«Ш ЗдС|Ь + + д0(?1) + 1Т(?1)/,?1)

Зп(? ) З?

З?1

й а

+

З/1(-1) Зп(-1) + З/1Ю

Зп( ?1) За

За

1' +

З/о()) Зп()) + Зп( ?) За

-, '0

+ ») + хT(tf г XT(?)Ма0+

За За -1 За

+ I [До(?; - 0) + XT(ti - 0Д(?; - 0) - До(?; + 0) -; = 1

-XT(?; + 0^+1(?; + 0) + XT(?; + 0) ^^ +

+ [XT(ti + т - 0)Д?; + т - 0) -- XT(?i + т + 0Д(?; + т + 0)]1(?1 - ?; - т)8;]Ь; +

+ XT(ti + 0) ^ + Ц [XT(tо + т - 0Д(?о + т - 0) -- XT(?0 + т + 0)/(?0 + т + 0)]1(?1 - ?; - т) -

х

о

и - т

о

п

о

о

56

СОЫТВОЬ Б^ЕЫСЕБ № 4 • 2011

'п - ГХт(?) д/( ' ¿Щ—) ш + £ [Хт(?; + т - 0) х

J ч'дх(?-т) ?-т) 4 '

г = 1

X /(?, + т - 0) - Хт(?; + т + 0Щ. + т + 0)] X

1(11 - - т)е; ) 'Ь

(9)

Приравниваем коэффициенты перед 8х(1) к нулю и получаем сопряженные уравнения

хУ) = дЪ^ дпй,

дп( 11) дх (11)

Xт(1) = {Ш дпС!) +хт(1)Ж +

|дп( 1) дх(1) ч/дх(1) + к,' - 1, - т)Хт(1, + },

1 е [11, 10],

1т с краевым значением в точке 1, условие для Х0

(связь с основным множителем)

(10)

Х(° =

непрерывность X в точках + т

(11)

Хт(1, + т + 0) = Хт(1, + т - 0), / = 0, 1, 2, ..., п,

-т

уравнения расчета множителей Лагранжа X (1), 1 е (10, 10 - т], соответствующих начальной функции (1) уравнений,

Хт(1) = 1(11 - 1 - т)Хт(1 + т)д/(^ ,

дх (1)

1 е (10 - т, 10), (12)

а также условия переключения множителей Лаг-ранжа в моменты разрыва

Хт(1; - 0) = { Хт(1; + 0)

Е + д- +

хг-

+ (дЛ' - /, + 1 (+ 0 )) а,

+ (/0(1, - 0) - /0(1, + 0)4 +

+ Хт(1, + т/ + т - 0)

Если в добавление к предыдущим упрощениям и размер скачка фазовых координат объекта Л, не зависит от х- , то множители Лагранжа непрерывны.

Правая часть сопряженных уравнений (10) в точках разрыва меняет свои значения из-за изменения правой части модели (1) и разрыва фазовых координат (3).

Объединяем в выражении (9) коэффициенты перед вариациями параметров 8а и получаем КЧ:

' = ХЧ)^ + {-/.(V +

+ ХЧ)(дх"''''-а) -/(Га)1 + Хт(10 + т/ + т -0)-

4 д10

- /(10 + т + 0)]1(11 - 1, - т) | ^Ц" +

^ ^ + ^ + /0С1) + Хт(/)) £ +

дЛ( 1 ) д!1 д!1 0 ] Ла

1

1

д/1('1' дпС1) + ¿"0 +' дп( 11) да да

д/0('' дп(') + д/0('' + д^(0 да да

о

+ Хт( /

да

'о

+ 1 1( 11 - - т)

'о- т

п

ххтс + т)^^ Ма,-')¿1+ £ { /0( 1.-0) +

дх ( 1) да ^ [[ 0 '

+ Хт( 1, - 0)/( 1, - 0) - /0( 1, + 0) - Хт( 1, + 0) X

х./ + 1( 1, + 0) + Хт( + 0) дЛ + Хт( 1, + т) х

X [/((1, + т - 0) - /(1, + т + 0)]1( 11 - 1, - т)Е,

Ь +

+ Хт( 1, + 0) дЛО^'} + |х°( 1, + т)[/( 10 + т - 0) --/((10 + т + 0)]1( 11 - 10 - т) -

'1 п

- ГХт( 1) д'( ' - т ) л + £ Хт( 1. + т) х

1 ч/дх(1 -т) ¿(1 -т) ^ ^ '

} 'о ' =1

/(+ т + 0)]1(11 - 1; - т)Е,а,) (Е -/С, - 0)а,)-1, ] }

] х[/( 1; + т -0)- /С, + т + 0)]1( 11 - 1, - т)Е,) 0 .(14)

I = 1, п. (13) J

Если моменты разрыва в явном виде зависят от параметров, т. е. = ^(а), то а, = 0 и условия переключения существенно упрощаются:

Хт( 1. - 0) = Хт( 1. + 0)[Е + дЛ'/дх- ], / = ттп .

Здесь учтены уравнения ((11) и (12)) пересчета множителей Х0, X через основные множители Лаг-ранжа Х и условия непрерывности Х( ) в точках 10 + т, + т, / = 1, п .

о

X

Рассмотрим некоторые частные варианты.

В выражении (14) (Зх0(?0, а)/З?0 - Д(?0)) представляет собой величину разрыва производной (по ?) фазовых координат в начальный момент времени ?0. Если начальный момент времени ?о заранее задан (не зависит от а), то в формуле (14) й?0/йа = 0. При этом начальное значение фазовых координат будет зависеть только от а: х+(?0) = х0(а). Исчезновение зависимости конечного момента ?1 работы системы от а (при этом й?1/йа = 0) приводит к обращению в ноль в выражении (14) слагаемого [•]й?1/йа.

Если фазовые координаты объекта в точках переключения непрерывны, т. е. Д; = 0, то непрерывны подынтегральная функция /0 функционала

качества в точках ?;, / = 1, и, и правая часть Д дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом в точках ?; + т, но множители Лагранжа (см. условия (13)) сохраняют разрывы

XT(?; - 0) = XT(?; + 0)[Е - Д; +1(?; + 0)А;] X

-1

X (Е - Д.(?; - 0)а) \ / = 1, и .

Если в дополнение к указанному моменты разрыва в явном виде зависят от параметров (т. е. ?; = ?;(а), а; = 0 и Ь; = й?;/йа), то множители Лаг-ранжа непрерывны.

Если моменты переключения ?; заранее заданы, т. е. не зависят от х;- и а, то в приведенных формулах следует положить а; = Ь; = 0, ибо при этом 8?; = 0. Множители Лагранжа сохраняют разрыв, если ЗД;/З х- * 0. Если, кроме того, Д; не зависит от а (т. е. ЗД;/За = 0), то КЧ рассчитываются как для непрерывного случая, но в отличие от него множители Лагранжа имеют разрывы (если Д; зависят

от х-) и правые части сопряженных уравнений (10) меняют свои значения из-за изменения правых частей уравнения (1) и разрыва координат х.

Если чистое запаздывание постоянное (не зависит от а), то в выражении (14) исчезает группа слагаемых с множителем йт/йа.

Если уравнения (1) переходят в обычные разрывные дифференциальные уравнения, то основные результаты полностью сохраняются, только в них необходимо положить нулю производные от Д(?) по х(? - т) (при выводе сопряженных уравнений), убрать компоненты с у(0 и положить е; = 0. Приходим к результатам работы [4].

Пример. Одномерный объект с одним постоянным параметром а описывается линейным диффе-

ренциальным уравнением с запаздывающим аргументом и разрывной правой частью:

) = |/1( ?) = х(? - 1), 0 < ? <а; )) Д ?) = -х(? - 1), а < ? < 1;

х+(0) = а; х(?) = а/2, -1 < ? < 0; х+(а) = х (а) + а, Д1 = а.

Здесь приведено также уравнение (3) разрыва фазовой координаты х, которая меняется во времени следующим образом: х(?) = а + а?/2 при 0 < ? < а; х(?) = 2а + а2 - а?/2 при а < ? < 1. Начальный ?о = 0 и конечный ?1 = 1 моменты, а также запаздывание т = 1 заданы. Момент разрыва (?1 = а), изменяющийся в интервале [0; 1], в явном виде зависит от параметра а. В начальной точке координата х терпит разрыв х(?0) - у(а, ?0) = а - а/2.

1

Функционал (5) имеет вид: I = |х(?)й?, т. е. п(?) = х(?),

о

До(') = х(?).

Множитель Лагранжа в точке переключения ?1 непрерывен. Этот факт следует из формулы (13), в которой а1 = 0, Ь1 = й?1/йа = 1 (ибо ?1 явно зависит

от а), ЗД1/З х- = 0. Сопряженное уравнение (10)

принимает вид: X (1) = -1, 0 < ? < 1; X(1) = 0. Его решение: X(?) = 1 - ?.

Воспользуемся теперь формулой расчета КЧ (14), в которой /1(?1) = 0, Зп(?)/За = ЗД0(?)/За = = З/(?)/За = й?0/йа = X(t1) = й?1/йа = йт/йа = 0. В итоге

) = я,Т(? )Зхо()о. а) йа 0 За

+ | 1(?Х - ? - т) х

х XT(?0 + т) Л + [/о(?1 - 0) -

40 ' Зх(?) За 041 '

-До(?1 + 0) + X(tl)fl(ti - 0) - /2(?1 + 0))] йа +

+х(tl)ЗДí = 1-1

+

■ 1 2-,

I а - -) + а - — 14 2.

+

+ [-а + (1 - а) а]-1 + (1 - а)-1 = 4 - .

Для поверки нетрудно выполнить прямое аналитическое вычисление функционала /(а) = = 7а/4 - а /2 и его дифференцирование. В приведенном примере все вычисления, соответствую-

о

и - т

о

58

СОЫТВОЬ Б^ЕЫСЕБ № 4 • 2011

щие полученным в работе формулам, проведены аналитически. На практике вычисления выполняются численно.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Вариационный метод допускает обобщение на гладкие динамические модели (с чистыми запаздываниями и без них) в виде интегральных и ин-тегродифференциальных уравнений (моделей с распределенными запаздываниями), на соответствующие им классы разрывных динамических моделей [3], а также на гибридные модели (включающие в себя дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом и разностные уравнения) и на уравнения нейтрального типа [8].

ЛИТЕРАТУРА

1. Методы теории чувствительности в автоматическом управлении / Под ред. Е.Н. Розенвассера и Р.М. Юсупова. — Л.: Энергия, 1971. — 344 с.

2. Розенвассер Е.Н., Юсупов Р.М. Чувствительность систем управления. — М.: Наука, 1981. — 464 с.

3. Рубан А.И. Идентификация и чувствительность сложных систем. — Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1982. — 302 с.

4. Рубан А.И. Коэффициенты чувствительности для разрывных динамических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 1997. — № 4. — С. 41—47.

5. Брайсон А., Хо-Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. — М.: Мир, 1972. — 544 с.

6. Спиди К., Браун Р., Гудвин Дж. Теория управления. Идентификация и оптимальное управление. — М.: Мир, 1973. — 248 с.

7. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. — М.: Мир, 1967. — 548 с.

8. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. — М.: Наука, 1971. — 296 с.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

А.С. Манделем.

Рубан Анатолий Иванович — д-р техн. наук, зав. кафедрой,

Сибирский федеральный университет, г. Красноярск,

®(391) 291-22-34, 291-22-96,

И rouban@mail.ru, ai-rouban@mail.ru.

С 18 по 20 октября 2011 г. в Москве, в Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН состоится XI международная конференция «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта (САО/САМ/РОМ—2011)»

Организаторы

• Российский фонд фундаментальных исследований

• Российская академия наук

• Министерство образования и науки РФ

• Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

• Государственный космический научно-производственный центр им. М.В. Хруничева

• Московский технический университет связи и информатики

• Ракетно-космическая корпорация «Энергия»

• МГТУ «Станкин»

• Международная академия информатизации Тематика конференции

• Организация структур технических и программных средств проектирования и управления. Средства взаимодействия, структуры данных, международные стандарты

• Компьютерная графика и CAD/CAM/PDM-системы в учебных процессах (программы обучения по дисциплинам, методические материалы, тестирование). Средства виртуальной реальности в промышленных системах

• Интегрированные производственные системы и управление технологическими процессами. PDM-системы

• Проектирование в машиностроении и строительстве

• Проектирование в радиоэлектронике

Более подробную информацию можно найти на сайте http://lab18.ipu.rssi.ru,

Н conf18@spm.ipu.ru 9 (495) 334-93-50, ■ (495) 334-91-29 Председатель Оргкомитета - д-р техн. наук Артамонов Евгений Иванович Учёный секретарь - канд. техн. наук Смирнов Сергей Владимирович