Оптимизация нелинейных систем с интегро-дифференциальными связями методом параметризации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2011. Т. 4, № 1. С. 44-56

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

УДК 518.517

Оптимизация нелинейных систем с интегро-дифференциальными связями методом параметризации

И. В. Лутошкин

Ульяновский государственный университет

Аннотация. Метод параметризации решения задач оптимального управления специфицируется для задач оптимизации, содержащих связи, определяемые интегро-дифференциальными уравнениями типа Вольтерра. Приближённое решение ищется в виде вариационного сплайна.

Ключевые слова: интегро-дифференциальные уравнения; оптимизация; метод параметризации; численные методы.

В статье рассматриваются управляемые динамические процессы с запаздыванием (последействием), представляемые обыкновенными интегро-дифференциальными уравнениями. Примеры соответствующих моделей физических и экономических систем приведены, в частности, в [5], [6], [9], [15]. Основные методы решения подобных проблем основаны на использовании варианта принципа максимума Понтрягина [5], [10]. При этом задача оптимизации процесса сводится к краевой интегро-дифференциальной задаче с сопряженными переменными, которая решается в общем случае численно. Второй подход основан на прямых методах решения [11], [16], заключающихся в полной дискретизации исходной вариационной проблемы и последующем решении полученной задачи линейного или нелинейного программирования (НП). Последний способ может эффективно применяться для задач невысокой размерности.

В 1978 г. Горбуновым В.К. был предложен метод параметризации [2], [3] задач оптимального управления, который получил дальнейшее развитие в работах [12], [4], [13], [14]. Метод параметризации заключается в

1. Введение

произвольном разбиении временного промежутка и представлении искомой функции управления на каждом из промежутков в виде конечно параметризованной функции, простейшим вариантом может быть полином. Такое кусочно-аналитическое управление можно считать обобщенным сплайном с переменными узлами. Функционалы исходной задачи становятся функциями конечного числа параметров, включая узлы разбиения, и исходная вариационная задача сводится к конечномерной задаче НП. Проблема численного интегрирования исходной и сопряженных систем в методе параметризации разделена с оптимизацией управления. Это позволяет решать задачу более гибко, чем при конечно-разностной аппроксимации исходной задачи, и, как правило, иметь аппроксимирующую задачу НП небольшой размерности.

Данная методика решения оптимизационной проблемы была распространена на задачи с точечным запаздыванием [8] и на случай распределенного запаздывания с линейным представлением интегральной компоненты [7]. В настоящей работе метод параметризации распространяется на оптимизационные задачи, имеющие интегро-дифференциальные связи, которые входят нелинейным образом в постановку проблемы. На тестовом примере показывается эффективность предлагаемого метода решения оптимизационных проблем с распределенным запаздыванием.

2. Постановка задачи

Рассмотрим задачу оптимального управления для системы, имеющей связи, описываемые интегро-дифференциальными уравнениями типа Вольтерра. Требуется минимизировать функционал

3 = д(х(Т)) (2.1)

при ограничениях

£

х(і) = <^(і, х(і),п(і),! f (і, в, х(в),п(в))ёв),

£о

(2.2)

х(і0) = х0;

п(і) Є и, і0 ^ і ^ Т. (2.3)

Будем считать, что фазовая переменная х Є Кп, вектор параметров управления и Є Кг, множество и замкнуто в Кг. Функции

р : К1+п+г+т ^ Кп,/ : К2+п+г ^ Кт и д : Кп ^ К

будем считать непрерывными и непрерывно-дифференцируемыми по всем переменным в некоторых областях соответствующих пространств,

при этом область дифференцируемости должна охватывать множество допустимых процессов {и(*),х(*)}. Предполагается, что задача (2.1)-

(2.3) разрешима в классе кусочно непрерывных функций и(£).

3. Параметризация задачи

Метод [3] заключается во введении произвольного разбиения промежутка [£0,Т]

£о < ^1 < ... < = Т, (3.1)

и закреплении структуры управления на сегментах [£к_1, £к), 1 ^ к ^ N. Приближенное решение исходной задачи ищется в классе управлений вида:

М^) = ик(£; ), 4_1 ^ £ < £к, к = 1,..., N ^ = 1,...,г. (3.2)

Функции ик(£; гк) определены и непрерывны на [^к_1, ) и принимают

значения в и, параметры гк € Кй, соответственно, гк = (гк, гк,..., ) €

Кы

При подстановке параметризованного управления (3.2) в (2.2) получается траектория х(£), зависящая от параметров управления адк = (£к,гк). Координаты полного вектора параметров будем обозначать Шт = £к, = г|ка, 1 ^ ^ ^ г, 1 ^ а ^ ^. Всего параметров управле-

ния при переменном Т будет (Ы + 1)^ Отвечающую им траекторию представим в виде

х(£) = я(£; г1, ^,..., гк-1, £к-1, гк), £к-1 ^ ^ < ^к. (3.3)

Функция г(£; г1,..., tk, гк+1) определяется на промежутках [£к, ^к+1) интегральными соотношениями, эквивалентными в совокупности задаче Коши (2.2). Класс параметризованных управлений (3.2) является сужением допустимого класса. Предположим, что его функции определены для любых наборов параметров {адк} из ограниченного множества

W = {(ад1 ,...,адм) : (3.1), ик(*;гк) € и, к = 1,...^}.

Введем функцию от управляющих параметров {адк} :

^(ад1, ад2,..., адм) = д(г(Т; ад1,..., адм-1, гм)). (3.4)

В терминах этих функций задача (2.1)-(2.3) принимает форму задачи нелинейного программирования:

^(ад1, ад2,..., адм) ^ ш1п (3.5)

при условиях (2.2), (3.2), (ад1, ад2,..., адм) € Ж

Для решения полученной конечномерной задачи можно применять методы, использующие первые (и вторые) производные целевого функционала. Однако построение производных представляет собой отдельную проблему, в силу того, что целевой функционал задан опосредованно относительно переменных ш1, ш2,..., .

4. Дифференцирование функционала по параметрам

При подстановке условий (3.1), (3.2) в задачу (2.2) решение я(£; ■) будет определяться следующим соотношением:

£

»№ ■)= х0 + / (^(т; ),п(г),/>(„,*;■).„(„))*)) (4.1)

Продифференцируем равенство (3.4) по одному из параметров :

д^(ш1,...,шм) дд(г(Т; ш1,...,гм)) дя(Т; ш1,..., гм)

дш£а д* дшка . .

Введем функции

,>«(і) = д^(і; ^У..У)

дшк , ^_1 < £ ^, 1 < к <; < N. (4.3)

дш^а

Функции (4.3) представляют собой вариации фазовой траектории относительно соответствующих параметров ш^ . Таким образом, вопрос

вычисления градиента целевой функции (3.5) сводится к вычислению значений

ук^«(Т), о ^ ^ ^ г, 1 ^ а ^ ^, 1 ^ к ^ N.

Представим функцию (4.1) для £ > ^к_1 в виде

^ ^

г((;- )= 2((к_1) + / |р(г,г(т;■ ),и(т), / /(т,й, ф; ■ ),и(5))^)| ^т

*к-1 V *0 /

£ /

+1 |р(т,2(т;■ ),и(т),^ /(£к,«,Ф;-),и(в))^в

V *0

+ / /(т, «,г(«;-),и(«))^«) | ^т.

*к /

(4.4)

£

Введем обозначение д(£) = J /(£, 5, х(«), и(«))^5 и продифференци-

*0

руем равенство (4.4) по переменной £к, тогда для вариации по этой

переменной получаем задачу Коши

7.*оо(і) = д^(і;...) =

( ) дік

V (і*,х(ік),пк(і*,гк),д(^)) - V (і*,х(ік),пк+1(ік,гк+1),ї(ік)) £

, [ ^(т,х(т),п(т),5(г^ ко^ , д^(т,х(т),п(т),9(т))

+Д---------------дх-----------у (т) +---------------дї-----------х

£к

(f (т,ік,х(ік),пк(ік,гк)) - / (г,(ьх(ік),пк+1(ік,г.'к+1))

+ у" в/ук00(в)йв І І йт.

£к

которую можно представить в виде

' Ук00(4) =

V , х(ік), пк(ік, гк), ї(ік)) - V (і*, х(і*), пк+1(ік, ^к+1), ї(ік)) ,

„•*00^ _ д^(і,х(і),п(і),9(і))„ к00^ , д^(і,х(і),п(і),9(і)) „

У (і) = дх У (і)+ дї х

у (і,^,х(ік),пк(і*,гк)) - f (і.ік,х(ік),пк+1(ік,гк+1)'

+ / д//00(в)л

^ £к

(4.5)

Для нахождения вариации по параметрам управления продиффе-

ренцируем равенство (4.4) по переменной гк

£к-і

дпк(т,^к). к дгк к-

ук^«(і)^ (дУ(т.х(т),п(т),ї(т))у*м«(г)+дУ(т,х(т),п(т),д(т)) х

.] \ дх дпм

т

(т) , д^(т,х(т),п(т),ї(т)^ ^(т,в,х(в),п(в)) „,кда(в)

1 (т)+ дї У І дх у (в)

- ,

£к-1

здесь функция і*_ 1(в) = 1, если в Є [і*-1; і*), 0 в противном случае.

гк

Тогда, получаем задачу Коши для вариации по переменной гк

' ук^)+ дх 7 7

д^,хС0,иС0,4С0) ) , +

д«„ д^. 4-1(і) +

і

д^(^,х(^),и(^),д(^)^ Г /д/(М,х(5),и(5))укм«(5)+ (4.6)

до У V дх

до

ік—1

д/(£,з,ж(з),ц(з)) дик(5,^к) тк

дим д^« к

Ук^а(ік-і) = 0.

тк_ і ж ^,

Полученные формулы (4.5), (4.6) позволяют найти требуемые значения у^а(Т), тем самым решить проблему построения градиента целевого функционала (3.5). Однако, данный подход является недостаточно эффективным с точки зрения скорости вычисления градиента, так как для построения градиента кроме задачи Коши (2.2) требуется также вычисление N(Ы + 1) задач Коши (4.5), (4.6).

Для дальнейших преобразований представим систему (2.2) в виде

ж(4) = ^>(4, ж(4), и(4), д(4)),

*

4(4) = /(4,4,ж(4),и(4)) + I д/(М,х(>),и(5))^, (4.7)

*0

ж(4о) = х0, ^(^о) = 0.

Обозначим

Ш * ж и) = д/(4,5,ж,и)

/6^4, 5, ж, иу .

Пусть (ж(4),д(4)) - решение задачи (4.7), тогда для любой липшицевой функции р = (рх,р,) : Л ^ дп+т имеет место равенство (см. [5]):

(рж(Т),ж(Т)) + (р,(Т),д(Т)) - (р*(4о),ж(4о)) =

= /( <ря(*),ж(*)) + (р,(*),9(*)) + (ря(*),р(*,ж(4),и(4),д(4))) +

/о V (4.8)

(р,(£),/(М, ж(4), и(4))) + ^(р,(«), ^(«, 4, ж(4),«(4)))^«^ ^4.

Учитывая представление (4.7) для задачи (2.1)-(2.3), введем функцию Понтрягина [5]

Я (4,ж,д,и,р) = (рл(4),<р(4,ж,и,д)) + (р, (4),/ (4,4,ж,и))+

т

/(р, («), ^(«,4,ж,и))^«. (4.9)

Здесь функция р(4) является сопряжённой относительно систем в вариациях (4.5), (4.6) и определяется линейными уравнениями

р (4) = _дЯ(4,ж(4),д(4),и(4),р(4)) р ^ = -дЯ(4,ж(4),д(4),и(4),р(4))

дж

дд

С учетом определения (4.9) это интегро-дифференциальные уравнения

рх(4) = _

д^>(4, ж(4), и(4), д(4))

д/(4,4,ж(4),и(4))

дж

дж

т т

р,(4) _ у *

т

рх(4)_ д^(«, 4, ж(4), и(4))п т

дж

(4.10)

р, («)^;

р,(4) = _

д^>(4, ж(4), и(4), д(4)) дд

т

рх(4).

(4.11)

Для выбора конкретной функции р(4) введём конечное условие

рх(Т) = ™, р, (Т) = 0.

(4.12)

Для функции уй00(4) (4.5) воспользуемся соотношением (4.8), подставим (4.10), (4.11) и найдем выражение

т

(рх(Т),у“0(Т))_(рж(4й),у“°(4*)) = | (<рх(4),/00(4)}+

*к

/ * \

/ (4},|д/(М,^),^))у*00(8)йЛ + (р,(4), д/(М,^4),^4»у*00(г)

' *к '

т

дЬ(в,4,ж(4),и(4)) й00

дж

+ /^(4) д^(4,ж(4),и(4),д(4))уй00(4) + д^(4,ж(4),и(4),д(4))

дж

/ (4,4,, ж(4,), (4,, Vй)) _ / (^4, 4,, ж(4,), и,+1(4,, ^+1)) +

* т

д/(4,5,ж(5),и(5)) ,00

*к

дж

уМ0(в)^ ^ ^4 = J (рх(4) *к

д^>(4, ж(4), и(4), д(4))

х / ^4,4й, ж(4й), (4й, Vй)) _ / (^4, 4й, ж(4й), и,+1(4й, ^+1))^ ^4.

(4.13)

Используя полученное соотношение (4.13), выражения (4.2), (4.3), конечное условие (4.12), начальное (4.5) и определение функции Понт-рягина (4.9) нетрудно получить формулу частной производной по пере-

х

ОПТИМИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ менной 4к (1 ^ к < N)

д^(ад1,..., -шм) дд(^(Т;..., гм)) дг(Т; ад1,..., Vм)

д4к

т

= / ^х^

*к

дг

д^>(4, ж(4), и(4), д(4)) дд

ди>к

с/

= (р(Т ),у(Т))

/ (4,4,,ж(4к),ик(4,,гк)

_/ (4,4к,ж(4к),ик+1(4к,гк+1)^ ^4 + (р(4к),ук00(4к)) =

Я(4к,ж(4к),д(4к),и(4к _ 0),р(4к)) _ Я(4к,ж(4к), д(4^),и(4к + 0),р(4к)).

(4.14)

Для вывода производной по переменным гка введем обозначение

*

£(4)= / ("д/(4,5,ж(5),и(5))у^м«(5) + дж

*к-1

д/(4,а,ж(а),ц(а)) дим(^,г ) Гк

ди

дгк

с/

1й-1 (5) ^.

С учетом введенной функции д(4) к вариации ук^а(4) (4.6) применим соотношение (4.8), подставим (4.10) и вычислим выражение

т

(рх(Т),у кма(Т)) _ (рх(4,_1),у^а(4 к-1)) = |

*к-1

рх(4), у кма(4)\ +

(р, + 6>х (4), у^),

+ ( рх(4), • ' ' ' V. у"

дж д^(4, ж(4), -(4), д(4)) _(4) + д^(4,ж(4),и(4),д(4)) дик(4,г к) 1 к (Л +

^ ^ /-^1л Л /-^1л «к к 1 V / /

дд

ди„

дгк "к_

к (+ „,к\

р (4) д/(4,4,ж(4),и(4)) у кда(4) , д/(4,4,ж(4),и(4)) дйД4,г ) Гк (4)

р* (4), дж у (4) + дйМ дгк^1 к-1 (4)

+ / (р, (5),д^(5,4,ж(4),й(4)) у к ^а(4) + д/г(5,4,ж(4),и(4)) дйк(4,гк) ^4)\ ^

ди

*к

*к-1 т ,

дгк

^4 =

/р(4) д^(4,ж(4),и(4),д(4)П , / (4) д/(4,4,ж(4),й(4))

ди

ди

+ у /р,(8), *

дик (4, гк) дгк

^4.

(4.15)

Используя полученное соотношение (4.15), выражения (4.2), (4.3), конечное условие (4.12), начальное (4.6) и определение функции Понт-рягина (4.9), аналогично частной производной по переменной 4к, найдем частные производные первого порядка по переменным гка (0 ^ ^ ^ г, 1 ^ а ^ й, 1 ^ к ^ N)

д^ад1,..., адм) д^(,г(Г;..., гм)) дг(Т; ад1,..., гм)

дгма дг д<а

«г ),у(т)) =/дЯ (4.ж(4).'/(4).u(4).p(t)) дй|°4_гк> й. (4Л6)

-/ дйм дгма

*к-1

Если конечный момент времени Г является подвижным, то вариация фазовой траектории по г конечна

уМ00(Г) = р ^Г,ж(Г),и(Г), I /(Г,в,ж(в),ф))й^ , и производная находится по формуле

^) = ^рх(Г),р ^Г,ж(Г),и(Г), I /(Г,5,ж(в),ф))йв

*° (4.17)

Теперь для вычисления производных (4.2) требуется решить помимо основной задачи Коши (2.2), (3.2) дополнительно задачу (4.10), (4.12) и определить функцию (4.9). После этого, вычисление градиента сводится к вычислению определенных интегралов (4.16), (4.17), а также значений (4.14). Приведенный алгоритм менее трудоемок по сравнению с прямым вычислением по формулам (4.5), (4.6).

5. Пример

Рассмотрим тестовый пример (построен на основе примера из [1]):

t

X i(t) = u(t) + J (tu(s) + xi(s) + 1 — s — t) exp{s(t — s)}ds,

0

X2(t) = (tx1(t) — u(t) — t2 +t + 1)2 , x1(0) = x2(0) = 0,

„ x2(1) ^ inf.

Решение этой задачи известно: u*(t) = t exp{t2} + 1, x^(t) = exp{t2} — 1 +1, x2(t) = 0. Следовательно, минимальное значение целевого функционала равно нулю.

Решение строилось на отрезке [0; 1] в классе кусочно-линейных и(і) = ^ + V!*;і, і*— ^ і ^ і*, 1 ^ к ^ N.

и кусочно-квадратичных управлений

и(і) = + VI*і + ^2*і2, і*-і ^ і ^ і*, 1 ^ к ^ N.

при N = 2, 3.

Для нахождения решения использовался поэтапный алгоритм усложнения параметризации управления:

- на первом этапе решение находилось при N = 2, т.е управление параметризовалось в классе кусочно-линейных с одним моментом переключения управления функций, таким образом, задача НП содержала 5 переменных.

- решение, полученное на первом этапе использовалось в качестве начального приближения для кусочно-линейного управления с двумя моментами переключения и для кусочно-квадратичного управления с одним моментом переключения.

- на втором этапе решение строилось при N = 3 для кусочно-линейного управления с двумя переключениями, задача НП в этом случае имела 8 переменных. Также строилось решение при N = 2 для кусочноквадратичного управления с одним моментом переключения, задача НП имела 7 переменных.

- на третьем этапе управление параметризовалось в классе кусочноквадратичных функций с двумя переключениями. В качестве начального приближения использовалось соответствующее решение, полученное на предыдущем этапе для N = 2. Задача НП имела 11 переменных.

Все задачи НП решались методом Ньютона, матрица вторых производных вычислялась на основе градиентов разностными аппроксимациями. Численный эксперимент проводился при двух способах вычисления градиента: первый основывался на использовании формул (4.14),

(4.16), второй на численном дифференцировании - аппроксимации градиента на основе вычисления значений целевой функции (3.5).

Введем обозначения: Н - шаг интегрирования задач Коши для (2.2), (4.10), .] - значение функционала (3.5) на полученном решении, N0 -число полных задач Коши на интервале [0; 1], N1 - число полных интегралов на [0; 1] (по формулам (4.16)), Ди = тах |и*(^) — и(^)|, Дж1 =

тах |ж|(іі) — ж1 (іг)|. Здесь I = {1, 2,..., 51}, ^ = і0 + (і — 1)(Т — іо)/50.

і Є/

Интегрирование выполнялось методом Рунге-Кутты 2-го порядка. В силу того, задачи (2.2), (4.10) «имеют память», приходилось сохранять решения для переменных ж и р на некоторой сетке. Если требовалось какое-то промежуточное значение фазовой и сопряженной переменных, то они вычислялись линейной интерполяцией по сохраненым значения. Результаты эксперимента приведены в таблицах 1, 2.

Таблица 1.

Результаты решения (первый способ)

функция управления н 7 N0 N Аи Ахі

линейная с одним переключением 0,005 0,002652 379 288 0,164 0,0068

0.01 0,002663 343 288 0,164 0,0068

0.05 0,002705 376 320 0,163 0,0067

линейная с двумя переключениями 0,005 0,000502 1593 1500 0,070 0,0023

0.01 0,000507 953 850 0,070 0,0020

0.05 0,000525 677 600 0,070 0,0019

квадратичная с одним переключением 0,005 0,000063 824 1122 0,025 0,0007

0.01 0,000064 609 792 0,026 0,0006

0.05 0,000075 598 792 0,032 0,0013

квадратичная с двумя переключениями 0,005 0,000019 629 816 0,016 0,0004

0.01 0,000011 770 1020 0,008 0,0005

0.05 0,000023 563 714 0,010 0,0022

Таблица 2.

Результаты решения (второй способ)

функция управления н 7 N0 А и Ах1

линейная с одним переключением 0,005 0,002650 2171 0,167 0,0085

0.01 0,002661 2171 0,167 0,0085

0.05 0,002703 2171 0,166 0,0084

линейная с двумя переключениями 0,005 0,001098 3673 0,099 0,0080

0.01 0,001140 3684 0,102 0,0055

0.05 0,001267 3678 0,100 0,0042

квадратичная с одним переключением 0,005 0,000443 3315 0,080 0,0055

0.01 0,000439 3323 0,080 0,0055

0.05 0,000563 3316 0,068 0,0030

квадратичная с двумя переключениями 0,005 0,000051 11321 0,018 0,0007

0.01 0,000034 6803 0,016 0,0014

0.05 0,000075 4555 0,032 0,0013

Данные таблицы показывают, что оба способа вычисления градиента приводят к приемлемому решению и дают эквивалентные относительно значения целевого функционала результаты при кусочно-линейной параметризации с одним моментом переключения. Однако при усложнении параметризации решение, полученное на основе формул (4.14),

(4.16), имеет лучшее значение функционала, лучшее приближение к оп-

тимальному решению, а также меньшие объемы вычислительных операций за счет существенного сокращения количества задач Коши. Приведенные значения шага интегрирования обеспечивают практически одинаковое качество получаемого решения.

Список литературы

1. Верлань А. Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы : справ. пособие / А. Ф. Верлань, В. С. Сизиков. - Киев : Наукова думка, 1986.

2. Горбунов В. К. О сведении задач оптимального управления к конечномерным / В. К. Горбунов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 1978. - Т.18, № 5. - С. 1083-1095.

3. Горбунов В.К. Метод параметризации задач оптимального управления / В. К. Горбунов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 1979. - Т.19, № 2. -С. 292-303.

4. Горбунов В. К. Развитие и опыт применения метода параметризации в вырожденных задачах динамической оптимизации / В. К. Горбунов, И. В. Лутошкин // Изв. РАН. Сер.: Теория и системы управления. - 2004. - № 5. - С. 67-84.

5. Дждеед М. Методы и алгоритмы оптимального управления системами, описываемыми интегро-дифференциальными уравнениями : дис. . . . канд. физ.-мат. наук / М. Дждеед - Тверь,2004. - 114 с.

6. Егоров А.И. Математические методы оптимизации процессов теплопроводности и диффузии / А.И. Егоров. - Фрунзе : Илим, 1990.

7. Лутошкин И. В. Метод параметризации для оптимизации систем, представляемых интегро-дифференциальными уравнениями / И. В. Лутошкин, И. Е. Дергунов // Тр. СВМО. - 2010. - Т. 12, № 4. - C. 116-126.

8. Лутошкин И. В. Метод параметризации для моделирования управляемых систем с точечным запаздыванием / И. В. Лутошкин, А. И. Тонких // Автоматизация процессов управления. - 2010. - № 4.

9. Максимов В. П. Некоторые проблемы регуляризации переопределенных краевых задач экономической динамики / В. П. Максимов // Математическое моделирование. - 1997. - Т.9, № 2. - С. 57-65.

10. Пустарнакова Ю. А. Оптимизация процесса обучения искусственной нейронной сети, описываемой системой интегро-дифференциальных уравнений / Ю. А. Пустарнакова // Методы оптимизации и их приложения : тр. 12-й Байк. Междунар. конф. : Иркутск, 2001. - Т.2. - С. 134-138.

11. Durazzi C. Nonlinear programming methods for solving optimal control problems / C. Durazzi, E. Galligani // Nonconvex Optimization and Its Applications. Equilibrium Problems: Nonsmooth Optimization and Variational Inequality Models.- 2001 Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands. - P. 71-99.

12. Gorbunov V. The parameterization method in singular differential-algebraic equations / V. Gorbunov, I. Lutoshkin // Computational Science (ICCS 2003) / eds. P. Slot [et al.]. - LNCS 2658. - Springer, 2003.

13. Gorbunov V. The parameterization method in optimal control problems and differential-algebraic equations/ V. Gorbunov, I. Lutoshkin // Journal of computational and applied mathematics. - Elsevier, 2006. - Vol. 185, iss. 2. - P. 377-390.

14. Gorbunov V. K. A parametrization method for the numerical solution of singular differential equations / V. K. Gorbunov, I. V. Lutoshkin, Y. V. Martynenko // Applied Numerical Mathematics. - 2009. - N 59. - P. 639-655.

15. Kamien M. I. Optimal Control with Integral State / M. I. Kamien, E. Muller // Equations The Review of Economic Studies. - 1976. - Vol. 43, N 3. - P. 469-473.

16. Yuan Wei. The Numerical Analysis of Implicit Runge-Kutta Methods for a Certain Nonlinear Integro-Differential Equation / Wei Yuan, Tao Tang // Mathematics of Computation. - 1990. - Vol. 54, N 189. - P. 155-168.

I. V. Lutoshkin

The parameterization method for optimizing the systems which have integro-differential equations

Abstract. The parameterization method (It was created for solving optimal control problems) is specified for variational problems with Volterra integro-differential equations. The approximation solution is a variational spline.

Keywords: integro-differential equations; optimization; the parameterization method

Лутошкин Игорь Викторович, кандидат физико-математических наук, доцент, Ульяновский государственный университет, 432000,Улья-новск, ул. Л. Толстого, 42 тел.: (8422)412357 ([email protected])

Lutoshkin Igor, Ulyanovsk State University, 42, L. Tolstoi St., Ulyanovsk, 432000, docent, Phone: (8422)412357 ([email protected])