CC BY
17
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ПРИ ДВИЖЕНИИ ТЕЛ В МОДЕЛИ ИСКРИВЛЕННОГО ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ Боева А.С.1, Савенко Ж.В.2, Абдрахманов Л.М.3 Em ail : Boeva672@scientifictext.ru
'Боева Анна Сергеевна — кандидат физико-математических наук, учитель физики и астрономии; 2Савенко Жанна Викторовна - учитель математики; 3Абдрахманов Леват Мдарисович - учитель физики, Муниципальное общеобразовательное учреждение Лицей № 3 Тракторозаводского района г. Волгограда, г. Волгоград
Аннотация: в статье показано и проанализировано, как происходит движение легких объектов в «искривленном пространстве-времени» вблизи массивных тел на основе простой, но сохраняющей суть модели в рамках общей теории относительности. Модель представляет собой установку, состоящую из металлического каркаса в форме окружности, эластичной ткани, немного натянутой и закрепленной на каркасе с помощью зажимов, и тяжелого стального шара. В качестве объектов исследования взяты шары разного диаметра и массы. Построены траектории их движения вблизи тяжелого шара, получены функциональные зависимости координат от времени движения, найдены углы прецессии. Определены коэффициенты сопротивления среды и коэффициенты затухания периода обращения объектов вокруг центра.
Ключевые слова: общая теория относительности, пространство-время, моделирование, функциональная зависимость, траектория.
FUNCTIONAL DEPENDENCIES OF BODIES MOVING IN A MODEL OF A CURVED SPACE-TIME Boeva A.S.1, Savenko Zh.V.2, Abdrakhmanov L.M.3
'Boeva Anna Sergeevna — PhD in Physics and Mathematics, Teacher ofPhysics and Astronomy; 2Savenko Zhanna Viktorovna — Teacher of Mathematics; 3Abdrakhmanov LevatMdarisovich — Teacher of Physics, MUNICIPAL EDUCATIONAL INSTITUTION LYCEUM № 3 OF THE TRAKTOROZAVODSKY DISTRICT OF VOLGOGRAD, VOLGOGRAD
Abstract: the article shows and analyzes how lightweight objects move near massive bodies in "curved space-time ", which is modeled by simple and retaining the essence experimental installation in the framework of the general theory of relativity. The installation consisting of a metal circle frame, elastic fabric, slightly stretched and fixed to the frame with clamps, and a heavy steel ball. Another balls of different diameters and lightweights were taken as objects of study. Their motion trajectories near the heavy ball are constructed, the functional dependences of the coordinates on the time are obtained, the angles of precession are found. The coefficients of medium resistance and the attenuation coefficients of the circulation period are determined.
Keywords: general theory of relativity, space-time, modeling, functional dependence, trajectory.
УДК 521, 52-3
При детальных астрофизических расчетах по умолчанию используется Общая теория относительности (ОТО) А. Эйнштейна [1], тогда как закон Всемирного тяготения И. Ньютона применяется для предварительных оценок [2]. ОТО, бесспорно, является специализированной и довольно сложной и теорией, но категорически важным для человечества знанием.
Несмотря на то, что сама теория указывает границы своей применимости, а поиск альтернативных теорий гравитации не прекращается [3], она объясняет многие наблюдательные факты и продолжает делать успешные предсказания [4]. Напомним, что ОТО является геометрической теорией гравитации, согласно которой гравитация представляет собой проявление искривления пространства-времени под действием массы-энергии.
В нашей работе мы пытаемся показать и проанализировать, как происходит движение легких объектов в «искривленном пространстве-времени» вблизи массивных тел на основе простой, но сохраняющей суть аналогии.
Для визуализации искривленного пространства-времени мы спроектировали установку, состоящую из металлического каркаса в форме окружности диаметром 1,5 м, эластичной ткани, немного натянутой и закрепленной на каркасе с помощью зажимов, и тяжелого стального шара (рис. 1). Таким образом, пространство-время мы моделировали с помощью двумерной эластичной поверхности и земной гравитации в качестве третьего измерения. В качестве легких тел мы взяли несколько различных по массе и размерам шаров.
Рис. 1. Модель искривленного пространства-времени
Мы предположили, что на характер движения большее влияние будет оказывать масса объектов, а не их размер. К тому же, все объекты имеют форму шара, поэтому при оценке искривления «ткани пространства-времени» размером мы вовсе пренебрегаем. Для того чтобы все шары имели одинаковую по величине и направлению начальную скорость, при запуске мы использовали штатив с укрепленным на нем уголком.
Исходя из закона сохранения механической энергии без учета трения при угле наклона направляющей ф = 13°, мы получили верхний предел на значение начальной скорости шаров v0 = 1,2 м/с.
Характеристики использовавшихся шаров представлены в таблице. В первой строке указано значение массы тяжелого стального шара - нашей «звезды». Мы зафиксировали движения шаров на видео и изучили полученные изображения. Чтобы детально проанализировать движения шаров вблизи массивного объекта, мы разделили все шары по характерному значению отношения массы к диаметру mid. Из выделенных категорий мы выбрали шары с наименьшим значением mid, т.к. именно эти шары делают большее количество оборотов: шарик для пинг-понга, желтый и стальной.
Таблица 1. Характеристики шаров
№ Обозначение шара Количество оборотов Масса m, г Диаметр^, см mid, г/см
0 Массивный стальной 287 4 71,8
1 Белый 6 22 7 3,1
2 Желтый 7 16 5,5 2,9
3 Баскетбольный 0,5 72 5 14,4
5 Оранжевый 1 50 3,5 14,3
7 4 Стальной 4 7 10 5 5 1 4 10 1 4
6 Пинг-понг 9 4 3 1,3
При анализе видео движения шаров, мы определили их положения в различные моменты времени. На графике (рис. 2) они изображены черными точками. Расчеты и построение графиков производились с помощью программного пакета Origin 8. Для соединения точек и
построения траекторий шариков мы использовали встроенный алгоритм анализа графиков интерполяцию кубической функцией у = x3.
Рис. 2. Траектория движения и положения желтого шарика в различные моменты времени
Из представленного рисунка видно, что при движении шарик описывает фигуры, больше всего напоминающие эллипсы, большая полуось которых уменьшается с каждым оборотом. Такое уменьшение естественным образом объясняется наличием трения шарика об эластичную поверхность. Для определения коэффициента сопротивления мы построили графики зависимостей координат X(t) и Y(t) положений желтого шарика от времени (рис. 3). Точки экспериментальных значений были интерполированы встроенной функцией c-spline. Из графиков видно, что зависимость имеет вид затухающей периодической функции. Путем подбора параметров были получены следующие функциональные зависимости координат шарика от времени:
х(/) = -12,5 + 0,75/ + 59е~0'19'
у(/) = 2,2 + 54е~0Д7/
2п(/ - 2,2) 4,2е -0'064'
(1)
2%(/ -1,4) 4,6е -0,07/
(2)
х/
Коэффициент сопротивления из экспоненциальной функции затухания 2(/) = е
получаем равным X = 0,017 + 0,002, что по порядку совпадает со значением, полученным при анализе движения шарика для пинг-понга. Для стального же шарика получилось в два раза большее значение. Это объясняется тем, что стальной шарик имеет большую массу и сильнее проминает «ткань пространства-времени».
Рис. 3. Зависимости координат X(^ и Y(t) положений желтого шарика от времени
Из формул (1) и (2) также видно, что период обращения тела вокруг массивного центра не является постоянной величиной. При приближении к центру он уменьшается от начального
значения Т = (4,4 + 0,2) также экспоненциально с коэффициентом затухания 0,067 + 0,03. Нелинейное уменьшение периода означает увеличение частоты и скорости обращения при приближении к гравитационному центру, что предсказывается общей теорией относительности.
Смещение оси симметрии периодической функции координат относительно оси времени, описанное линейной функцией х(?) = —12,5 + 0,75?, связано, скорее всего, с положением массивного объекта не в центре эллипса, а в его фокусе, и требует дальнейшего более детального изучения.
Рис. 4. Определение угла прецессии траектории желтого шарика
Приведенная траектория желтого шарика (рис. 2) показывает, что большая полуось его орбиты поворачивается во время движения. Угол прецессии можно оценить, совместив графики зависимостей координат Х(Г) и У^) от времени (рис. 4). Сдвиг фаз наименьшего значения X и наибольшего значения У во время, например, второго оборота и третьего оборота позволяет определить примерное значение угла прецессии (поворота) орбиты шариков:
2лД/ 2л- (5,2 — 4,4) 4л
а = Дф =-и-—-— = — и 65°.
Т 4,4 11
Полученное значение по порядку величины со значением угла между прямыми линиями, изображенными на рис. 2. Для стального шарика и шарика для пинг-понга получены значения углов прецессии 56° и 104° соответственно.
Таким образом, изучение траекторий шариков позволяет утверждать, что представленная модель искривленного пространства-времени является хорошей аналогией, сохраняющей суть представлений ОТО. С помощью данной экспериментальной установки можно демонстрировать движение небесных тел вблизи массивных объектов в рамках ОТО, помня о том, что она не является достоверным прототипом. Тем не менее, её возможности не ограничиваются лишь визуализацией искривления пространства-времени, а позволяют ставить интересные физические задачи и находить применение различных функциональных зависимостей.
Список литературы / References
1. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. IV. М.: Наука, 1967.
2. Гинзбург В.Л. К трехсотлетию «Математических начал натуральной философии» Исаака Ньютона // УФН, 1987. Т. 151. № 1. C. 119-141.
3. O'Connor J.J., Robertson E.F. General relativity. Mathematical Physics index, School of Mathematics and Statistics, University of St. Andrews, Scotland, 1996. Retrieved 2015-02-04.
4. Турышев С.Г. Экспериментальные проверки общей теории относительности: недавние успехи и будущие направления исследований // УФН, 2009. Т. 179. C. 3-34.
