CC BY
1
УДК 681. 325
ФУНКЦЮНАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ 1МПУЛЬСНИХ ПОТОК1В В АПАРАТНИХ ОБЧИСЛЮВАЧАХ МАТЕМАТИЧНИХ ФУНКЦ1Й
ЛАРЧЕНКО Л.В., КУЛАКЕ.М., ЛАРЧЕНКОБД. Пропонуеться та дослщжуеться метод стушнчасто! апроксимаци вiдтворення висхщних та спадних без-перервних функцш визначеного класу, оптимальний з точки зору точносп та часу обчислення. Це забезпе-чуе в спецiалiзованих обчислювачах единий пiдхiд до формування цiлочисельних значень однаково обме-жених функцш, аргумент яких представлений iмпyль-сним потоком.
Ключовi слова: фyнкцiональне перетворення, обчислення, метод, апроксимащя, iмпyльсний попк, бгг-потоковi данi, одиничний iмпyльс, вибiрка, абсолютна похибка.
Key words: functional conversion, computing, method, approximation, pulse stream, bit-stream data, single pulse, sample, absolute error. 1. Вступ
При розробщ систем, орieнтованих на нас^зш технологи штелектуальних ceHCopiB, штернет речей, а також на удосконалення iнтерфейсiв взаемоди мiж людиною i комп'ютером, ставиться завдання узгодження сенсорiв з цифровими системами збору i обробки шформаци [1]. На даний момент актуальним завданням для ре-алiзацil систем, що приймають iнформацiю вiд велико! кiлькостi рiзнорiдних сенсорiв, е розроб-ка архитектур потокових процесорiв, що склада-ються з типового процесорного ядра i зовнiшнiх апаратних модулiв потоково! обробки. Основна мета розвитку подiбних аритектур пов'язана зi спрощенням взаемоди компонент, зокрема з використанням послщовно! передачi даних iм-пульсними (бiтовими) потоками. При цьому б№ потоковi пристро! складають елементну базу зовнiшнiх апаратних модулiв децентралiзованих систем, що працюють з потоковими формами. Данi, одержуванi вщ рiзнорiдних сенсорiв, обробляються в паралельно працюючих каналах i далi передаються в обчислювальне ядро. При цьому застосовуються потоковi форми представ-лення даних [1]. Iнформацiйнi потоки форму-ються з елементарних iнформацiйних одиниць, як залежно вiд базово! реалiзацil можуть мати рiзну матерiальну сутнють. Як базова сутнiсть фiзичного ношя бiт-потокових даних можуть ви-ступати електричш, оптичнi, пневматичнi, бiологiчнi та iншi сигнали. В електричних схемах як носш виступають електричнi iмпульси, на ос-
новi яких формуються потоки одиничних iм-пульсiв i потоки широтно^мпульсно-модульованих сигналiв [1]. Перетворення часо-вих iнтервалiв в цифрову величину шляхом !х заповнення iмпульсами опорно! частоти нази-васться час-iмпульсним перетворенням. При цьому, шформацшну функцiю виконують тимча-совi характеристики прямокутних одиничних iмпульсiв.
Потоковi способи передачi та обробки шформаци характеризуються:
- можливiстю реалiзацi! перетворення за рахунок використання методiв формування прироспв i послiдовно! обробки потоюв у мiру надходження одиничних iмпульсiв;
- високою завадостiйкiстю, обумовленою непо-зицiйнiстю i ваговою рiвнозначнiстю одиничних iмпульсiв [2].
В потокових формах шформащя пов'язуеться з кiлькiстю iмпульсiв, що проходять в потоцi за одиницю часу, або з вщносною тривалiстю оди-ничного значення бгга. При цьому бiт-потоковi представлення не використовують безпосереднь-ого кодування, як це прийнято при цифровш обробцi iнформацi! в типових штерфейсах [2]. Функцiональне перетворення б№потоюв е по-ширеним завданням, що застосовуеться в системах управлшня, моделювання, контролю, в ш-формацiйно-вимiрювальних системах та при-строях. При проведенш математично! обробки первинно! вимiрювально! iнформацi!, що отри-мують з вимiрювальних сенсорiв, поряд з ариф-метичними, алгебра!чними та iншими опе-рацiями часто потрiбне виконання рiзних нелiнiйних (функцiональних) перетворень iм-пульсних потоюв.
Функцiональне перетворення здiйснюеться при виконанш завдань лiнеаризацi! i масштабування сигналiв, що отримують вiд сенсорiв, при вирiшеннi завдань непрямого вимiрювання, при отриманнi коригувальних сигналiв у системах управлшня, при отриманш нелшшних матема-тичних залежностей вихiдних сигналiв, при здiйсненнi типових процедур статистично! обробки вимiрювано! iнформацi!. В обчислю-вальних системах i пристроях функцюнальне перетворення в рядi випадкiв реалiзуеться автономно, наприклад, при виконанш операцш мно-ження-дiлення, тригонометричних перетворень та шших. При безперервному аналiзi шфор-мацiйних процесiв, що вщбуваються в природi та технiчних системах, необхщний безперервний
прийом потоку даних, безперервна обробка ш-формацшних елементiв потоку у мiру !х надход-ження i безперервне формування результату в процесi обробки. Для виршення таких завдань необхщно створення елементiв i пристро1в, орieнтованих на потокову обробку шформаци. Реатзащя потокового методу обчислень полягае в розгортщ кодово! шформаци в час з одно-часним паралельно-послiдовним виконанням пе-ретворень над бiтами i отриманими потоками час-iмпульсних сигналiв вщповщно до необ-хщно1 функци.
У бшьшост випадкiв чутливi елементи сенсорiв формують аналоговi вихiднi сигнали, що призво-дить до необхiдностi !х перетворення в цифрову форму. При використанш сенсорiв часто потрiб-но виконувати лшеаризащю вихiдних сигналiв, причому необхщно обчислювати рiзнi нелiнiйнi функци. Таким чином, розробка спецiалiзованих апаратних модулiв, що виконують обчислюваль-ш перетворення бiт-потокових даних, е актуальною [3, 4]. Крiм того, в даний час е актуальними питання створення пiдходiв до виршення зав-дання синтезу обчислювачiв, яю, з одного боку, дозволяли б вщтворювати бiльш широкий спектр функцюнальних залежностей одним методом, а з шшого - використовувати при техшчнш ре-алiзацil пристро!в однотипнi вузли i блоки, за-безпечуючи при цьому виконання заданих вимог за точнютю та часом обчислення (вiдтворення) апроксимуючо1 функци.
При представленнi вхiдних i вихiдних величин спецiалiзованих обчислювачiв iмпульсними потоками реалiзацiя бiльшостi операцш в них е бiльш простою в порiвняннi з iншими видами кодування. Названа перевага е важливою, оскiльки в областi вимiрювання, управлшня i контролю пред'являються бiльш жорстю вимоги до надiйностi роботи систем [5]. Метою роботи е дослщження та розробка кон-цепци стушнчасто1 апроксимаци функцiй визна-ченого класу, аргумент яких представлений iм-пульсним потоком. Запропонований метод формування прироспв при функцюнальному пере-творенш iмпульсних потокiв е оптимальним з точки зору часу i точност обчислення (вщтво-рення).
2. Метод формування прироспв висхiдних ступiнчастих функцш
В [6] запропоновано метод стушнчасто1 апроксимаци вiдтворення безперервних висхвдних функцш. Було зазначено, що в даний
час знаходять застосування цифровi спецiалiзованi обчислювачi для вiдтворення
безперервних висхщних функцiй
ступiнчастим методом що мають обмеження
* *
х ,У ^ 0, У1 > У1-1,,У £ X
* * У = Дх )
ах
> о,
(1)
* * * *
функщя у = f (х ) мае зворотну х = у(у ). При таких обмеженнях функци даного класу е монотонно зростаючими, що умовно розподшяються на два тдкласи: першому з них належать функци, яю знаходяться нижче бiсектриси, а другому - вище бiсектриси першого координатного кута. Вхвдними i вихiдними iнформацiйними сигналами обчислювачiв, що розглядаються, е iмпульснi потоки. Перюдичшсть проходження iмпульсiв вхiдного потоку визначаеться способом квантування вщтворювано1 функци по аргументу, а перюдичшсть проходження iмпульсiв вихщного потоку - алгоритмом функщонування пристрою.
У разi, коли функщя у* змшюеться монотонно, на вхщ пристрою подають перiодичну iмпульсну послiдовнiсть прямокутно1 форми, забезпечуючи рiвномiрне квантування аргументу
цiлочисельними значеннями х = 1,2,3, ... Як правило, при сиш^ таких пристро1в у першу чергу мiнiмiзують час i похибку обчислення. У разi, коли аргумент х i значення функци у представлен iмпульсними потоками, мшмально можливий час обчислення буде забезпечено, якщо за час введення в спецiалiзований обчислювач х одиничних iмпульсiв вхiдного iмпульсного потоку на його виходi формуеться значення функци у, що являе собою вихщний iмпульсний потiк.
З точки зору точносп роботи пристрою оптимальним може бути режим, що забезпечуе для всiх цшочисельних значень граничне значення абсолютно1 похибки |б тах| обчислення,
що не перевищуе половини одиницi молодшого розряду аргументу.
У зв'язку з цим реалiзацiя оптимального методу формування стутнчастих функцiй з точки зору точносп та часу обчислення (вщтворення) мае включати основш етапи:
1. Вибiр апроксимуючо1 стушнчасто1 функци у
* *
для задано1 безперервно1 у = f(х ) та гранично-
го значення абсолютное' похибки |8 тах| И обчис-
лення в цшочисельних точках.
2. Встановлення функцiонального зв'язку у ви-глядi анал^ично! залежносп мiж номерами вихiдних iмпульсiв у=1, 2, 3, ... пристрою та вщповщними !м вхвдними iмпульсами Ху = XI,
Х2, Х3 ...., що обираються з вхщного потоку х.
3. Створення обчислювача, що забезпечуе фор-мування iмпульсiв вихiдного потоку в моменти надходження на його вхiд XI, Х2, хз, ... iмпуль-сiв потоку х.
Обмеження у < х дозволяе стверджувати, що забезпечити безперервне формування приростiв функци на виходi пристрою можна шляхом послщовно! вибiрки певних iмпульсiв вхiдного iмпульсного потоку по мiрi !х надходження на вхщ обчислювача. Так, при х=100 значення
функци у = л/х дорiвнюе 10. Це означае, що структура обчислювача, яка реалiзуе дану функщю, повинна забезпечити вибiрку десяти iмпульсiв зi ста, що надшшли на його вхiд. Виникае питання: яю номери iмпульсiв Ху вхщного iмпульсного потоку мають пiдлягати вибiрцi у = 1,10 ?
У бшьшосп випадкiв число одиничних iмпульсiв в iмпульсному потоцi аргументу е величина випадкова i заданi лише його граничш значення хш;п та хтах, при цьому хтах мае порядок
106 109 та бiльше. Крiм того, навт при порiвняно невеликому числi б^ в iмпульсних потоках х i у iснуе певна кiлькiсть варiантiв оргашзаци вибiрки у бiт з вхщного iмпульсного потоку х, при цьому ставиться завдання пошуку рацiонального i оптимального варiантiв вибiрки. При методi формування стушнчастих функцiй, що розглядаеться, процес обчислення 1'х цiлочисельних значень в обчислювачi пов'язаний з операцiею округлення дробових значень гратчасто! функци до цших чисел в цiлочисельних точках.
Залежно вiд граничного значення |5 тах|
абсолютно! похибки округлення такому обчисленню вщповщае певний порядок проходження вихщних iмпульсiв пристрою. Проведений аналiз показуе, що iснуе певна функцюнальна залежнiсть мiж видом функци, що обчислюеться у = f(x), граничним значенням 0,5 < | 8 тах | < 1 абсолютно! похибки
обчислення функци, номерами iмпульсiв у = 1, 2, 3,. . . вихщного iмпульсного потоку пристрою i вiдповiдними !м iмпульсами Ху вхiдного
iмпульсного потоку, що дозволяе знайти Bei цi Bapiaffrn. Встановлення цього зв'язку дае можливють отримати формулу загального члена
числово! ПOCЛiДOBHOCTi X1, Х2,
Хз,
подальший aнaлiз яко! дае можливiсть перейти до синтезу техшчного пристрою, що практично здшснюе в ньому обчислення члешв визначеного числового ряду.
Перейдемо до встановлення ще! зaлежностi. Насамперед зауважимо, що при даному пiдходi цiлочисельнi значення функци у, що обчислюються iз заданою похибкою |5 max|,
можуть бути вщтвореш на виходi обчислювача однiею з двох стушнчастих функцш:
У = [f(x) +15 max |] (2)
або
y = [f(x) +1 -|5max|], (3)
де х=1,2,3,...; 15max | - задане граничне значення абсолютно! похибки вщтворення вщповщних безперервних функцiй. В (2), (3) квадратш дужки позначають цiлу частину числа при обмеженш y £ x . Тому зазначена залежшсть в piвнiй мipi може бути встановлена шляхом aнaлiзу будь-якого з виpaзiв (2), (3). Перейдемо до пошуку значень Ху = xi, Х2, Хз,...
незалежно! змiнно! х, що вщповщають моментам початку формування кожно! y = 1,2,3, ... сходинки апроксимуючо! вихщно! функцi! пристрою.
Для функци (2) з урахуванням обмеження y £ x
при будь-якому piвнi y-|Smax|, де y =1,2,3, ...,
можна вказати пару сусщшх цшочисельних значень аргументу xy -1 та xy, для яких мае
мiсце система неpiвностей
jf(Xy - 1) < У -|ömaxi
[ f(xy) ^ У -|dmaxi
Визначаючи з системи (4) значення Ху,
отримаемо формулу загального члена числово! послщовносп xi, Х2, Хз,..., що вщповщае обраним розрядам вхiдного iмпульсного потоку, тобто вузлам апроксимаци вихiдно! функци у:
max
|) < xy < Y(y -|S max |) +1, (5)
де Y(y -|Smax|) - фУHкцiя, зворотна f(x).
(4)
x
У
Значення Xy можуть бути знайденi шляхом
послщовно! постановки y = 1, 2, 3, ... в нерiвнiсть (5) обчисленням лiво! !! частини i округленням одержуваних дискретних значень в бiльшу сторону до найближчого цшого числа, або обчисленням право! !! частини i округленням в меншу сторону.
Оскшьки лiва i права частини нерiвностi (5) вiдрiзняються на одиницю, кожне таке округлення дозволяе отримати едине значення цшого числа Xy.
З огляду на це нерiвнiсть (5) можна замшити рiвнiстю
xy =[Y(y-|5 max|)] +1. (6)
При значеннях у, яким вщповщають цiлочисельнi значення Y(y -|5max|), нерiвнiсть
(5) трансформуеться в рiвнiсть
xy = Y(y-|5max|). (7)
Шляхом аналопчних розмiрковувань може бути отримана формула Y(y - (1 - |8max|)) < xy < Y(y - (1 - |Smax|)) +1 (8)
загального члена числово! послiдовностi для функци (3) i похiднi вiд не!
xy =[Y(y - (1 -|5 max|))]+1, (9)
xy = Y(y - (1 -|5max|)) , (10)
аналогiчнi (6), (7) вщповщно.
Вибiр групи розрахункових сшввщношень (5),
(6), (7) або (8), (9), (10) при синт^ обчислювача повинен мати переваги однiе! з них по вщношенню до шшо!, наприклад, з точки зору простоти технiчно! реалiзацi!.
Оскiльки (1 -|Smax|) ® 0,5 при
|8max| ® 0,5 ^
значення xy, що визначаються кожною парою нерiвностей (5), (8) при |S max| = 0,5 приймають вигляд
Y(y - 0,5) < xy < Y(y - 0,5) +1,
xy =[Y(y - 0,5)] +1: xy = Y(y - 0,5).
(11) (12) (13)
В окремому випадку, коли |8 тах| = 0,5, нерiвностi
(5), (8) трансформуються в нерiвнiсть (11), яка е основним розрахунковим сшввщношенням для обчислення Ху . При цьому ршення виходить единим.
Як приклад використаемо запропоновану вище методику обчислення Ху для функцi! у =
що апроксимуе безперервну у* = ^Х* з
абсолютною похибкою обчислення |8 тах| = 0,8.
Скористаемося виразами (5) i (8), що для заданих вихiдних даних приймають вигляд
, (14)
(у - 0,8)3 < xy < (y - 0,8)3 +1
(y - 0,2)3 < xy < (y - 0,2)3 +1.
(15)
Вирази (11), (12), (13) вщповщають оптимальному варiанту вибiрки з точки зору точност обчислення значень функцi! у в цшочисельних точках незалежно! змшно! x. У випадку, коли абсолютна похибка обчислень |§max| = 0,5, буде забезпечена мшмальна похибка обчислення функци.
Щцставляючи в (14), (15) значення у=1, 2, 3,... та обчислюючи вщповщш цiлочисельнi значення Xy , отримаемо двi числовi послщовносп 1, 2, 11,
33, 75, ... та 1, 6, 22, 55, 110, ..., кожна з яких шщюе формування на виходi обчислювача
функцiй y = [¥Х + 0,8] та y = [¥x + 0,2] вiдповiдно.
Зауважимо, що наведенi два рiшення поставленого завдання не е единими. 1снуе множина числових послiдовностей xi, Х2, хз,..., що забезпечують абсолютну похибку обчислення функцi! у не гiрше 0,8 одиницi молодшого розряду числа x, тому що ця похибка буде забезпечена при замш в (5), (8) значення |S max| = 0,8 будь-яким шшим в дiапазонi 0,5 <|8 тах|< 0,8 .
При цьому кожному фшсованому значенню |8max | з даного iнтервалу, за винятком випадку
|8max| = 0,5, вщповщае два рiшення завдання.
Тому ршення, що наведенi, гарантують виконання вимог з точнiстю тшьки для правого кiнця iнтервалу [0,5; 0,8] похибки |Smax| .
Для функцi! y = ¥Х та |б max| = 0,5 нерiвнiсть (11) приймае вигляд
(16)
Щцставляючи в (16) у=1, 2, 3,., отримаемо
(y - 0,5)3 < xy < (y - 0,5)3 +1.
Xy =1, 4, 16, 43,
Визначена послщовшсть
формуе на виходi обчислювача функщю y = [¥Х + 0,5], оптимальну з точки зору точност
вщтворення гратчасто! функци у = в цiлих числах.
Наведений приклад показуе перевагу запропонованого методу.
Метод стушнчасто! апроксимаци безперервних функцiй, розглянутий для функцш, що обмеженi умовою у < х , лежать нижче бiсектриси першого
координатного кута. Особливютю е те, що число вихщних одиничних iмпульсiв у завжди менше вiд числа вхiдних одиничних iмпульсiв х. Очевидно, для функцiй, обмежених умовою у > х , число вихщних iмпульсiв у обчислювача на штерват вiдтворення завжди бшьше вiд числа вхiдних х.
З математично! точки зору це означае, що для таких функцш одному i тому ж значенню Ху в
(5) або в (8) вщповщае деяка тдмножина значень вихщно! функци у.
2
Розглянемо приклад. Для функци у* = х*3 i
I = 0,5 вираз (5) приймае
задано! похибки |8 г вигляд
2 2 (у - 0,5)3 < ху < (у - 0,5)3 +1. (17)
Для Ху = 2 остання нерiвнiсть буде виконуватись
при у=1,2 i 3. Для Ху = 3 нерiвнiсть буде
виконана при у = 4 i 5.
Отже, алгоритм роботи обчислювача при вщтворенш дано! функци мае бути таким, щоб при надходженш на його вхщ, наприклад, третього одиничного iмпульсу вхщного потоку х на його виходi формувались два одиничних iмпульси вихщного потоку у. 3. Метод формування прирос^в спадних ступiнчастих функцiй
Запропонований метод вщтворення безперервних функцш може знайти застосування не тшьки для функцш, що мають обмеження (1), але й для монотонно спадних функцш, що мають обме-ження
ау*
* * X , y > 0 ,
> 0
dx
* *
f(x -1) - f(x ) < 1 ,
* *
y ® const при x ® ¥ ,
(18)
Вщмшшсть полягае в тому, що поточш значення ступiнчaсто! функци можуть бути отримаш шляхом послщовного вiднiмaння вихiдних pозpядiв обчислювача на вщтворюваному iнтеpвaлi з цшого числа. При цьому точнiсть i час обчис-лення (вiдтвоpення) визначаються тими ж зна-ченнями, що i для монотонно висхiдних функцш. Визначимо величину незалежно! змiнно! Ху, що
вiдповiдaють початку формування сходинок вихщно! спадно! функцi! у.
З урахуванням названих обмежень можна стверджувати, що для будь-якого з piвнiв Утах - (У-1)-|8 max| , де У = 1, 2, 3,•••, можна вказати пару сусщшх цiлочисельних значень аргументу xy -1 та xy, для яких мае мюце
система неpiвностей
f (xy - 1) > ymax - (y - 1) - Ismax | f (xy ) £ Утах - (У - 1) - I5max I де 0, 5 < | 8 max | < 1 - задане граничне значення абсолютно! похибки вщтворення безперервних функцш. Оскшьки вщтворюваш безпеpеpвнi функцi! монотонно спaднi, система неpiвностей може бути записана у виглядi
Jxy - 1 < Y(ymax - (y - 1) - |smax \) , ^Xy > Y(ymax - (У - 1) -|ömax|),
(19)
(20)
* * * * функщя y = f (x ) мае зворотну x = y(y ) .
звiдки отримаемо
Y(ymax - (y -1) - |Smax|) < Xy < Y(ymax - (y -1) - |Smax|) +1,(21)
де Y(y max (y -1)-|5 max ^ - функцiя, зворотна f(x).
У зв'язку з тим, що спадна функщя вщтворюеть-ся на виходi обчислювача iз заданою абсолютною похибкою |5 max| як ступiнчaстою функщею
У = [f(x) +15max|], так i функщею
y = [f (x) +1 -18 max |], може бути визначена i друга
числова послщовшсть, вщповщна вузлам апрок-симaцi! вихiдно! функцi!.
У випадку абсолютно! похибки вщтворення |5тах| = 0,5 неpiвнiсть (21) трансформуеться в неpiвнiсть
Y(ymax - (У -1) - 0,5) < Xy < Y(ymax - (y -1) - 0,5) +1 .(22) Це дозволяе визначити формулу загального члена Ху числово! послiдовностi xi, Х2, Хз,..., що
вiдповiдaе обраним iмпульсaм вхiдного iмпульсного потоку, тобто вузлам оптимально!
апроксимаци вихщно! спадно! функцiï y з точки зору точност вiдтворення.
Подiбно до того, як були отримаш вирази (21), (22), можуть бути отримаш похвдш вiд них:
[y(ymax - (У - 1) -|ömax|)]+ 1
формування на виходi обчислювача функцш
Xy =1
xy = Y(Ymax - (У - 1) - |5max|) ,
Xy =[Y(ymax - (У -1) - 0,5)]+ 1 ,
(23)
(24)
(25)
(26)
xy = Y(ymax - (y -1) - 0,5), аналопчш (6), (7), (12), (13).
Як приклад розглянемо запропоновану методику обчислення Xy, що вщповщае обраним розрядам
видного iмпульсного потоку, для гiперболiчноï
. * 100 . ^ . функцiï y = —— i граничноï похибки ïï вщтво-
x
рення в цшочисельних точках |ômax| = 0,6 .
Для заданих вихщних даних, скористувавшись формулою (21), можна записати
100 100
Ymax - (У - 1) - 0,6 100
£ Xy <
£ Xy <-
У max - (У - 1) - 0,6 100
+ 1 ,(27) +1. (28)
Утах - (У -1) - 0,4 ' У max - (У - 1) - 0,4 Далi визначимо цшочисельне значення xmin аргумента x, починаючи з якого для задано!
функцiï виконуеться обмеження
* *
f(x -1) - f(x ) < 1 .
Очевидно, це значення визначиться з нерiвностi 100 100
xmin + 1
< 1
В загальному випадку для функци y = — при
x
c=100
Uc + 0,25 - 0,5, якщо {/c + 0,25 - 0,5 }= 0, min It/c + 0,25 - 0,5]+1, якщо {с + 0,25 - 0,5 0, для заданих вихщних даних xmin =10 i, отже,
ymax =10. Тому нерiвностi (27), (28) можна пе-
100
реписати у виглядо 100
9,4 - (y -1) 100
£ xy <
£ xy <-
9,4 - (y -1) 100
+1, (29)
y +1. (30)
9,6 - (y -1) y 9,6 - (y -1)
Щцставляючи в (29), (30) y = 1,9 i визначаючи
Xy, отримаемо двi числовi послщовносп 11, 12,
14, 16, 19, 23, 30, 42, 72 i 11, 12, 14, 16, 18, 22, 28, 39, 63, кожна з яких на iнтервалi [10; 100] шщюе
У =
100
+ 0,6
i y =
100
+ 0,4
x
вщповщно.
Розв'язуючи те саме завдання для |S max| = 0,5 ,
отримаемо едине ршення Xy = 11, 12, 14, 16, 19,
23, 29, 40, 67, що забезпечуе оптимальне вщтво-рення гiперболiчноï функци в цшочисельних точках.
4. Оцшка похибки безперервних функцш
Ощнимо похибку вщтворення безперервно!
* *
функцiï y = f (x ) стутнчастою функцiею (2) на iнтервалi [xy-i;xy] для 0,5 < | ômax | < 1 при обмеженш y < x .
Через те, що на кшцях штервалу, який розгля-
*
даеться, функщя y приймае значення У - 1 -|Smax| £ f(xy-1) < У - 1 i У-|Smax| £ f(xy) < У , а апроксимуюча ïï функщя (2) - значення y — 1 та y вщповщно, для абсолютних похибок S y-i, S У > 0 в точках xy—i;xy можна записати S y-i = y -1 - f(xy-i), (31)
s y = y - f(xy). (32)
Очевидно, в цих точках мае мiсце
5 y-b 5 y <15 max 1.
У зв'язку з тим, що на iнтервалi [xy—i;xy] значення [f(x) + |ô max|] апроксимуючоï функцiï (2)
постiйне i дорiвнюе y — 1, а безперервна функщя
*
y монотонно зростае, похибка вщтворення на
цьому iнтервалi спочатку зменшуеться до нуля
*
(нулю вiдповiдае точка перетину функци y з рiвнем y — 1 ), а по^м знову збшьшуеться в об-ластi вiд'емних ïï значень i наприкшщ iнтервалу [xy—i;xy) приймае значення £|ô max| . Це озна-
чае, що функцiя (2) забезпечуе похибку вщтво-
*
рення функци y не прше ômax| для будь-яких
*
значень змшно1 x .
Аналогiчним чином можна ощнити похибку
*
вiдтворення безперервноï функци y стутнчастою функщею (3) на iнтервалi [xy—i;xy). При
цьому вщмшшсть буде полягати в тому, що в област вщ'емних значень ця похибка збшьшува-
х
x
тиметься i на правому кшщ штервалу [xy-i; Xy)
може прийняти значення > |5 max| . Обчислимо прирют ще! похибки вiдносно piBM У - (1 - |d max ) . З (9) випливае, що
xy =[Y(y - (1 -|5 max|))]+i
(33)
де 0 < е у < 1 - величина, яка доповнюе дробове
значення ¥(у - (1 -|б тах|)) до найближчого цiлого числа.
Якщо функцiя у на iнтервалi [ху _Ъ х у 1 досить гладка, величина цього приросту складе 8 У
(^Ху) - f(x у 1)) . Тому граничне значення
похибки |8 у| на правому кiнцi iнтервалу [х у_!; х у) визначиться
I5 У = I5 шах| + е y(f(Xy) - f(Xy -1)) . (34) З (34) випливае, що похибка вщтворення функци у всередиш iнтервалу [ху_1;ху] в загальному випадку може бути бiльша, шж на його кiнцях,
на величину 8 у (Г(х„) -Г(Ху -1)).
Виключити цю складову можна шляхом фор-мування на виходi обчислювача iмпульсiв потоку у при надходженш на його вхщ кожного (Ху _ 1) -го iмпульсу потоку х з наступною за-тримкою кожного з них на штервал часу (1 -е у)Т вiдповiдно, де Т - перiод слiдування
iмпульсiв вхiдного потоку обчислювача. Використовуючи описану вище методику, можна оцiнити похибку вiдтворення спадно! безперерв-но! функци ступiнчастими (2), (3) на штерват
[х у_1; х у ) . Так, при апроксимаци функцiею (2) максимальна похибка мае мюце на правому кшщ штервалу [ху_1;ху) та визначиться
I5У = |5тах| + еу(^Ху - !) - ^Ху)). (35) При апроксимаци функщею (3) похибка не пере-вищуе задано! |5 тах| . 5. Висновки
1. Запропоновано метод формування цшочисель-них значень обчислюваних функцiй визначеного класу, аргумент яких представлений iмпульсним потоком. Метод заснований на вибiрцi певно! частини iмпульсiв вихщного потоку та забезпе-чуе мiнiмально можливий час обчислень, що
визначаеться довжиною потоку при заданш гра-ничнiй абсолютнш похибцi з iнтервалу [0,5;1).
2. Наукова новизна полягае у тому, що з точки зору часу i задано! похибки обчислення (вщтворення) |б тах| оптимальним е запропонований
метод формування одиничних прироста стутн-часто! функци у в моменти часу, строго вщповщш певним цшочисельним значенням аргументу х вхщного iмпульсного потоку. Отрима-но математичнi залежностi, що встановлюють цю вщповщшсть.
3. У загальному випадку задана абсолютна гранична похибка обчислення |б тах| може бути
забезпечена шляхом формування одного з мно-жини iмпульсних ПOTOкiв х1, х2, хз,..., обумов-лених отриманими математичними залежностя-
ми при замш в них величини |б тах| будь-якою
iншою з iнтервалу [0,5; |б тах| ].
Вибiр потоку визначаеться вимогами певних технiчних характеристик проектованих при-стро!в.
4. В окремому випадку для |8тах| = 0,5 рiшення
виходить единим, тому що юнуе тiльки одна цшочисельна послiдовнiсть х1, х2, хз,., яка забезпечуе мшмально можливу похибку обчислення, що не перевищуе половину одинищ мо-лодшого розряду аргументу х.
5. Похибка вщтворення безперервних функцш
*
у стушнчастими у для цшочисельних значень аргументу х завжди не перевищуе заданого граничного значення абсолютно! похибки |б тах|.
Похибка апроксимаци висхщних та спадних функцiй стушнчастими (2), (3) вщповщно для дробових значень буде бшьша задано! |5тах| на
правому кiнцi кожного з iнтервалiв (Ху_1;Ху)
на
величину
e v(f(xv) - f(xv-1))
ey(f(xy -1) -f(xy)) вiдповiдно, де 0 <sy < 1. З
ростом х ця складова похибки наближаеться до нуля. Виключити !! вплив можна шляхом формування сходинок функци y в моменти часу, вщповщш дробовим значенням змiнно! x. Лггература: 1. Буренева О.И., Жирнова О.А. Бит-потоковое устройство извлечения квадратного корня // Изв. ЛЭТИ, 2019, № 2. С. 26 - 32. 2. Буренева О.И. Автореф. диссертации. Отказоустойчивые устройства с реализацией процессов следящего преобразования потоков информационных квантов // Изд. СПбГЭТУ "ЛЭТИ" - 2005. 20 С. 3. Дробот П. Н., Дробот Д. А. Осциллисторные
y
сенсоры с частотным выходом // Южно-Сибирский науч. вестн. 2012, № 1. С. 120 - 123. URL: http://vital. lib.tsu.ru/vital/access/manager/Repository/vtls:00045044. 4. Al-Makhles D., Patel N., Swain A. Bit-stream control system: Stability and experimental application // Intern. Conf. on Applied Electronics (AE). Pilsen, Czech Republic: IEEE, 2013. P. 1-6. URL: https://ieeexplore. ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=6636470. 5. Ларченко Л.В., Хаханова А.В. Специализированный вычислитель для извлечения корня квадратного из суммы квадратов // Радиоэлектроника и информатика. 2010. №1. С.71-74. 6. Ларченко Л.В. Метод формирования приращений при функциональной обработке единичных кодов // Радиоэлектроника и информатика. 2001. № 3(16). С. 61 - 63. Транслирований список лггератури:
1. Bureneva O.I., Zhirnova O.A. A bit-stream square root extraction device // News of LETI. 2019. No. 2. S. 26 -32.
2. Bureneva O.I. Avtoref. dissertatsii. Otkazoustoychivyye ustroystva s realizatsiyey protsessov sledyashchego preobrazovaniya potokov informatsionnykh kvantov // Izdatel'stvo SPbGETU "LETI" - 2005. 20 S.
3. Drobot P.N., Drobot D.A. Oscillistor sensors with frequency output // South Siberian Scientific. Vestn. 2012. No. 1. S. 120 -123.
URL:http://vital.lib.tsu.ru/vital/access/manager/Repositor y/vtls:00045044.
4. Al-Makhles D., Patel N., Swain A. Bit-stream control system: Stability and experimental application // Intern. Conf. on Applied Electronics (AE). Pilsen, Czech Republic: IEEE, 2013. P.1-6. URL: https ://ieeexplore. ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=6636470.
5. Larchenko L.V., Khakhanova A.V. Spetsializirovannyy vychislitel' dlya izvlecheniya kornya kvadratnogo iz summy kvadratov // Radioelektronika i informatika. 2010, №1. S.71-74.
6. Larchenko L.V. Metod formirovaniya prirashcheniy pri funktsional'noy obrabotke yedinichnykh kodov // Radioelektronika i informatika 2001, № 3(16). S. 61 - 63.
Надшшла до редколеги 08.09.2019 Рецензент: д-р техн. наук, проф. Мiрошник М.А.
Ларченко Лша BiKTopiBHa, канд. техн. наук, доцент кафедри АПОТ ХНУРЕ. HayKOBi iнтереси: автомати-зоване проектування спецiaлiзовaних цифрових систем, язики опису апаратури. Адреса: Украша, 61166, Хaркiв, пр. Науки, 14, тел. +380(57) 702-13-26. Кулак Ельвipa МиколаТвна, канд. техн. наук, доцент кафедри АПОТ ХНУРЕ. Hayковi штереси: автомати-зоване проектування цифрових автомапв, язики опису апаратури. Адреса: Украша, 61166, Харшв, пр. Науки, 14, тел. +380(57) 702-13-26. Ларченко Богдан Дмитрович, асшрант кафедри АПОТ ХНУРЕ. Hayковi штереси: автоматизоване проектування цифрових систем, язики опису апаратури, FPGA. Адреса: Украша, 61166, Харшв, пр. Науки, 14, тел. +380(57) 702-13-26.
Larchenko Lina Viktorivna, PhD, Associate Professor, Design Automation Department, KNURE. Scientific interests: automated design of digital machines, HDL. Address: Ukraine, 61166, Kharkiv, Nauka Avenue, 14, tel. 702-13-26.
Kulak Elvira Mykolaivna, PhD, Associate Professor, Design Automation Department, KNURE. Scientific interests: automated design of digital machines, HDL. Address: Ukraine, 61166, Kharkiv, Nauka Avenue, 14, tel. 702-13-26.
Larchenko Bogdan Dmitrovich, PhD student, Design Automation Department, KNURE. Scientific interests: automated design of digital machines, HDL, FPGA. Address: Ukraine, 61166, Kharkiv, Nauka Avenue, 14, tel. 702-13-26.
