Funksiyaning uzluksizligini o’qitishning zamonaviy usullari haqida Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

Funksiyaning uzluksizligini o'qitishning zamonaviy usullari

haqida

Moxinur Baxrom qizi Baxodurova Buxoro davlat universiteti

Annotatsiya: Ushbu maqolada funksiyaning uzluksizligi, funksiyaning uzilishi, monoton funksiyaning uzilish nuqtasining tasnifini topish va ta'rifini o'quvchilarga soddaroq tushuntirish yo'llari bayon qilingan. Funksiya uzluksizligini Geyne va Koshi ta'riflari keltirilgan. Yangi o'rganilgan materiallarni mustahkamlash uchun savollar (kartochka shaklida) va testlar keltirilgan.

Kalit so'zlar: to'plam, nuqta, segment, o'ng va chap limitlar, orttirma, birinchi va ikkinchi tur uzilish nuqtalari

About modern methods of training continuity of function

Mohinur Bakhrom kizi Bakhodurova Bukhara State University

Abstract: In this article, in a simpler form, readers are explained how to find the classification of the continuity of a function, determine the discontinuity of a function, and the discontinuity point of a monotonic function. The Heine and Cauchy definitions of continuity of a function are given. To consolidate the studied material, questions (in the form of cards) and tests are provided.

Keywords: set, point, segment, right and left limits, increment, discontinuity points of the first and second type

KIRISH

Oliy o'quv yurtlarida matematik analiz fanida funksiyaning uzluksizligi, uzilish nuqtalari, monoton funsiyalar va ularning uzluksizligi haqida mavzu o'qitiladi [1-4]. Mavzuni o'zlashtirishda talabalar bir qator qiyinchilikka uchraydilar. Shuning uchun ushbu maqolada mavzuning soddalashtirilgan matnini keltirishga harakat qilamiz.

Odatda dars jarayonida mavzuga tegishli bo'lgan asosiy elementlar aytib o'tiladi. Bu o'z navbatida talabalarga qiyinchiliklar keltirib chiqaradi. Chunki shu vaqtga qadar talabalar abiturietlik vaqtlarida o'qishga kirish uchun tayyorlanganlarida, asosan misol va masalalarni yechishda uning javobini topishga harakat qilishadi, lekin uning kelib chiqish mohiyatiga e'tibor qaratishmaydi. Natijada masalaning mohiyati gapirilganda uni anglab olishda talabalar qiynalishadi. Shu

sababli, ushbu mavzuni talabalar osonroq tushunishlari uchun uni o'qishga kirish vaqtida tayyorlanganliklaridagi muhitdan kelib chiqib tushuntirishga harakat qilindi. ASOSIY QISM

Faraz qilaylik, f(x) funksiya X c R to'plamda berilgan bo'lib, x0 e X nuqta X to'plamning limit nuqtasi bo'lsin. 1-ta'rif. Agar

lim f(x) = f(xo)

X ^Xq

bo'lsa, f (x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Demak, f (x) funksiyaning x0 nuqtada uzluksizligi ushbu

- lim f(x) = b ning mavjudligi;

X ^XQ

- va uni f(x0) bo'lishi shartlarining bajarilishi bilan ifodalanadi. Misol 1. Ushbu

f(x) = x4 + x2 + 1 funksiya Vx0 e R nuqtada uzluksiz bo'ladi, chunki

lim f(x) = lim (x4 + x2 + 1) = x4 + Xq + 1 = f(x0).

X ^XQ X ^XQ

Misol 2. Ushbu

2 _ (1, agar x ^ 0 bo'lsa,

f(x) = (signx)2 =

0, agar x = 0 bo'lsa

funksiyani qaraylik.

Ravshanki, Vx0 e R nuqtada, ya'ni x0 ^ 0 da lim f(x) = 1 bo'ladi. Demak,

X ^Xq

qaralayotgan funksiya Vx0 e R, x0 ^ 0 nuqtada uzluksiz bo'ladi. Ammo f(0) = 0 bo'lganligi sababli

Urn f(x) ± f(0)

X ^XQ

bo'ladi.

Shunday qilib, f(x) funksiya x0 = 0 nuqtada uzluksiz bo'lmaydi.

Funksiya limitining Geyne va Koshi ta'riflariga binoan funksiyaning x0 nuqtadagi uzluksizligini quyidagicha ta'riflash mumkin.

2-ta'rif (Geyne). Agar n^m da xn ^ x0(xn e X,n = 1,2,...) bo'ladigan ixtiyoriy xn ketma-ketlik uchun n ^ m da f(xn) ^ f(x0) bo'lsa, f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deyiladi.

3-ta'rif (Kosh). Agar Vs > 0 son olinganda ham shunday S = S(s) > 0 son topilsaki, VxeXnUs(x0) uchun lf(x)—f(x0)l<£ tengsizlik bajarilsa, f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deyiladi.

Odatda, x — x0 ayirma argument orttirmasi, f(x) — f(x0) esa funksiya orttirmasi deyilib, ular mos ravishda Ax va Af kabi belgilanadi:

Ax = x — xo, Af = f{x) — f(Xo) = f{xo + Ax) — f(Xo)

Unda funksiya uzluksizligining 1-ta'rifidagi (1) munosabat ushbu

Um Af = 0 (2)

Ax^0

ko'rinishga keladi.

Demak, (2) munosabatni funksiyaning x0 nuqtada uzluksizligi ta'rifi sifatida qarash mumkin.

Aytaylik, f(x) funksiya X c R to'plamda berilgan bo'lib, x0 e X nuqta X to'plamning o'ng (chap) limit nuqtasi bo'lsin.

4-ta'rif. Agar

Um f(x) = f(x0) ( Urn f(x) = f(x0)

x^x0+0 x^x0-0

bo'lsa, f(x) funksiya x0 nuqtada o'ngdan (chapdan) uzluksiz deyiladi.

Demak, f(x) funksiya x0 nuqtada o'ngdan (chapdan) uzluksiz bo'lganda funksiyaning o'ng (chap) limiti uning x0 nuqtadagi qiymatiga teng bo'ladi:

f(x0 + 0)= f(x0) (f(x0 -0)= f(x0).

Keltirilgan ta'riflardan f(x) funksiya x0 nuqtada ham o'ngdan, ham chapdan bir vaqtda uzluksiz bo'lsa, funksiya shu nuqtada uzluksiz bo'lishini topamiz.

Umuman, f(x) funksiyaning x0 nuqtada uzluksiz bo'lishi, Vs > 0 berilganda ham unga ko'ra shunday S = S(s) > 0 topilib,

Vx e Us(x0) cx^ f(x) e Ue(f(x0))

bo'lishini bildiradi.

5-ta'rif. Agar f(x) funksiya X c R to'plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo'lsa, f(x) funksiya X to'plamda uzluksiz deyiladi.

6-ta'rif. X c R to'plamda uzluksiz bo'lgan funksiyalardan iborat to'plam uzluksiz funksiyalar to'plami deyiladi va C(X) kabi belgilanadi.

Masalan, f(x) e C[a, b] bo'lishi, f(x) funksiyaning [a, b] segmentining har bir nuqtasida uzluksiz, ya'ni f(x) funksiya (a, b) intervalning har bir nuqtasida uzluksiz, a nuqtada o'ngdan, b nuqtada esa chapdan uzluksiz bo'lishini bildiradi.

Misol 3. f(x) = sinx bo'lsin. U holda f(x) e C(R) bo'ladi.

Yechish. x0 e R nuqtani olib, Vs > 0 ga ko'ra S = s deymiz. Unda Vx, \x — X0\ < S\

\sin x — sinx0\ = 2 bo'ladi.

X + X0 X X0

cos—---sin

22

< \x — X0\ < S = £

Xuddi shunga o'xshash f(x) = cosx funksiya R da, f(x) = tgx va f(x) ctgx funksiyalarning esa o'z aniqlanish to'plamlarida uzluksiz bo'lishi ko'rsatiladi. Misol 4. f(x) = ax,a>0 bo'lsin. U holda f(x) e C(fl)bo'ladi. Yechish. Ravshanki,

Urn (ax-xo — 1) = 0.

X

Unda

x-x0^0

0 = lim (ax x° - l) ^ lim ax°(ax x° - ax°) = 0 o

x-x°^0

x-x°^0

o ax° lim (ax - ax°) = 0 o lim ax = ax°

X

x

bo'ladi.

Misol 5. Aytaylik,

bo'lsin. Bu funksiya uchun

f(+0) = l,f(-0) = -l

bo'lib, berilgan funksiya X = R {0} to'plamda uzluksiz bo'ladi. Funksiyaning uzilishi. Aytaylik, f(x) funksiya (a, b) da (-m < a < b < +<m) berilgan bo'lib, x0 e (a, b) bo'lsin. Ma'lumki, f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi o'ng va chap limitlari

tenglik o'rinli bo'lsa, u holda f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo'lar edi.

Agar f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo'lmasa, unda x0 nuqta f(x) funksiyaning uzilish nuqtasi deyiladi.

7-ta'rif Agar (3) limitlar mavjud va chekli bo'lib, (4) tengliklarning birortasi o'rinli bo'lmasa, x0 nuqta f(x) funksiyaning birinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi.

Bunda

f(xo -0)- f(xo + 0)

ayirma funksiyaning x0 nuqtadagi sakrashi deyiladi.

Masalan, f(x) = [x] funksiya x = p(p e Z) nuqtada birinchi tur uzilishga ega, chunki f ( p + 0) = p ,f (p0-0) = p-l bo'lib, f ( p + 0) ± f (p0 - 0) bo'ladi.

Agar hech bo'lmaganda (3) limitlarning birortasi mavjud bo'lmasa yoki cheksiz bo'lsa, x0 nuqta f(x) funksiyaning ikkinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi.

Masalan, ushbu

, igar x = 0 bo'lsa, funksiya x = 0 nuqtada ikkinchi tur uzilishga ega bo'ladi, chunki bu funksiyaning x = 0 nuqtadagi o'ng va chap limitlari mavjud emas.

Murakkab funksiyaning uzluksizligi. Faraz qilaylik, y = f(x) funksiya X c R to'plamda, u = F(y) funksiya esa Yf to'plamda aniqlangan bo'lib, ular yordamida u = F(f(x)) murakkab funksiya tuzilgan bo'lsin.

ISSN 2181-0842 / IMPACT FACTOR 3.848 377 [M^^^Hl

f(*o + 0),f(xo - 0) (3)

mavjud bo'lib,

f(xo -0)= f(xo) = f(xo + 0) (4)

sini, agar x ^ 0 bo'lsa,

Teorema 1. Agar y = f (x) funksiya x0 E X nuqtada, u = F(y) funksiya esa y0 E Yf nuqtada (y0 = f(x0)J uzluksiz bo'lsa, F(f(x)) funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo'ladi.

Teoremani isbotlash uchun quyidagicha mulohaza yuritaiz. u = F(y) funksiya y0 E Yf nuqtada (y0 = f(x0)) uzluksiz bo'lgani uchun

V£ >0,3a> 0,Vy, \y - y0\ < a\ \F(y) - F(y0)\ < £ (5) ya'ni, lF(f(x)) - F(f(x0))l < £ bo'ladi.

Shartga ko'ra y = f(x) funksiya x0 E X nuqtada uzluksiz. U holda yuqoridagi a > 0 ga ko'ra

3S > 0,Vx,\x-x0\ < S: \f(x)-f(x0)\ < a

ya'ni,

\y — y0\ < ° (6)

bo'ladi.

(5) va (6) munosabatlardan

V£ > 0,35 > 0,Vx,\x-x0 \ < S: lF(f(x)) - F(f(x0))l < £ bo'lishi kelib chiqadi. Demak, F(f(x)) funksiya x0 nuqtada uzluksiz. Monoton funksiya uzilish nuqtasining tasnifini.

Teorema 2. [a,b]cR da monoton bo'lgan f(x) funksiya shu [a,b] ning istalgan nuqtasidayoki uzluksiz bo'ladi, yoki birinchi tur uzilishga ega bo'ladi.

Ushbu teoremani isbotlash uchun quyidagicha mulohaza yuritaiz. f(x) funksiya [a, b] da o'suvchi bo'lsin. Aytaylik,

x0 E [a, b], (x0 - S,x0 + S) c [a, b] (S > 0) bo'lsin. Monoton funksiyaning limiti haqidagi teoremaga ko'ra,

lim f(x) = f(X0 -0) < f(X0),

x^xQ-0

Urn f(x) = f(x0 + 0)< f(X0)

x^xQ+0

bo'ladi. Agar

f(x0 -0) = f(x0) = f(x0 + 0)

bo'lsa, f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz, agar

f(x0 -0)< f(X0 + 0) bo'lsa, f(x) funksiya x0 nuqtada birinchi tur uzilishiga ega bo'ladi. Xuddi shunga o'xshash f(x) funksiya [a, b] da kamayuvchi bo'lganda ham tasdiq isbotlanadi.

O'tilgan mavzuni takrorlash va mustahkamlash uchun quyidagi nazorat savollarini berish mumkin. Buning uchun, ilg'or pedagogik texnologiya hisoblangan "Matematik lotto" usuliga o'xshash usulni qo'llashga harakat qilamiz. 1-kartochka 1. Ushbu

sin, agar x - ratsional son bo'lsa, 0, agar x - irratsional son bo'lsa,

*)=id;

funksiyaning xk = kn (k e Z) nuqtalarida uzluksiz bo'lishi isbotlansin.

2. Funksiyani nuqtadagi uzluksizligi ta'rifini ayting.

3. Ushbu

f(x) = [x] • sinnx (x e R) funksiya uchun f(x) e C(R) bo'lishi ko'rsatilsin.

4. Funksiyaning uzilish nuqtalari. 2-kartochka

1. Ushbu

l, agar x - ratsional son bo'lsa, '0, agar x - irratsional son bo'lsa, Dirixle funksiyasi R ning har bir nuqtasida uzilishga ega ekanligi isbotlansin.

2. Funksiyani to'plamdagi uzluksizligi ta'rifini ayting.

3. Argument orttirmasi haqida ma'lumotlar keltiring.

4. Funksiyaning orttirmasi ta'rifini ayting va misollar keltiring. Test

1. f (x) = [x] funksiyaning uzilish nuqtalari to'plamini aniqlang.

a) Z

b) N

c) R

d) Q

2. f(x) = — funksiyaning uzilish nuqtalari to'plamini aniqlang.

x 5x+6

a) {2; 3}

b) {-l; 0; 1}

c) {0; 1}

d) {1}

3. Quyidagi funksiyalardan qaysi biri butun sonlar o'qida uzluksiz?

a) f(x) = x2

b) f(x) = tgx

c) f(x) = arccos

d) f(x) = ^

4. f(x) = funksiyaning uzilish nuqtalarini toping va ularni turini aniqlang

a) x = ±2, II tur uzilish nuqtasi

b) x = ±2, I tur uzilish nuqtasi

c) x = ±1, I tur uzilish nuqtasi

d) x = 0, II tur uzilish nuqtasi

5. a ning qanday qiymatida

{1H. „ -1

I a,x = 1

funksiya nuqtada uzluksiz bo'ladi?

a) a = 3

b) a = 0

c) a = ^

d) a = -1

XULOSA

Mavzuni tushuntirishda ilg'or pedagogik usullarga tayanilganligi uni tushuntirishni osonlashtiradi. Biroq, mavzuni to'liq tushunish uchun ushbu maqolada keltirilgan ma'lumotlar juda kam hisoblanadi. Bunda faqat mavzuni tushuntirishda e'tibor qilish lozim bo'lgan ayrim jihatlar yoritildi xolos. Muallif tomonidan juft va toq sonlarni o'quvchilarga sodda qilib tushuntirishga doir [5] da ayrim mulohazalar keltirilgan.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. Tao T. Analysis 1. Hindustan Book Agency, India, 2014.

2. Canuto C., Tabacco A. Mathematical analysis I. Springer-Verlag, Italia, 2008.

3. Xudayberganov G., Vorisov A. K., Mansurov X. T., Shoimqulov B. A. Matematik analizdan ma'ruzalar, I q. T. "Voris-nashriyot", 2010.

4. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1 т. М. «ФИЗМАТЛИТ», 2001.

5. Баходурова М.Б. (2023). Четные и нечетные числа. Tadqiqotlar, 14(6), 105-111 b.