CC BY
0
Fayzullayev Sh.E.
assistant
Jizzax politexnika institute
FUNKSIYANING MONOTONLIGI VA UNING EKSTREMUMLARINI HOSILA YORDAMIDA TEKSHIRISH
Annotatsiya. Ushbu maqolada bir o'zgaruvchili funksiyalarning o'sishi, kamayishini, ekstremumlarini hosila yordamida tekshirish o'rganilgan.
Kalit so 'zlar: monoton funksiya, munoton o 'suvchi, monoton kamayuvchi, doimiy funksiya, maksimum, minimum, ekstremum, lokal ekstremum, lokal minimum, eng katta, eng kichik.
Fayzullayev Sh.E.
assistant
Jizzakh Polytechnic Institute
CHECKING THE MONOTONITY OF A FUNCTION AND ITS EXTREMES USING THE DERIVATIVE
Abstract. This article examines the increase, decrease, and extrema of one-variable functions using the derivative.
Keywords: monotonic function, monotonically increasing, monotonically decreasing, constant function, maximum, minimum, extremum, local extremum, local minimum, largest, smallest.
y = f (x), xeD funksiya berilgan bo'lsin.
Ta'rif:y = f(x) funksiya HœD sohada monoton o'suvchi deyiladi, agar V x1, x2 e H, x1<x2 =^f(x1)< f(x2) va monoton kamayuvchi deyiladi, agar Vx1, x2eH, x1 < x2 =3f(x])>f(x2).
Bunday funksiyalar ba'zan, jiddiy o'suvchi va jiddiy kamayuvchi deyiladi. Agar x1<x2 eH shartdan faqat f (x1) < f (x2) ( f (x1)> f (x2)) kelib chiqsa, u holda funksiya H to'plamda kamaymovchi (o'smovchi) yoki soddagina o'suvchi (kamayuvchi) deyiladi. Doimiy funksiya bir vaqtning o'zida kamaymovchi, ham o'smovchi bo'ladi.
Differensiallanuvchifunksiya ]a,b[ oraliqda doimiy bo 'lishi uchun f(x) = 0 bo 'lishi zarur va kifoyadir.
Zaruriyligi: f (x) = const deb faraz qilaylik ^ f '(x)= 0
Kifoyaligi: V x e]a, b[ uchun f '(x)= 0 bo'lsin. x0nuqtani belgilab olamiz, bu holda Vx, x0 e]a, b[ uchun Lagranj teoremasi shartlari bajariladi. Demak, 3 c e [x0, x]: f (x)- f (x0)= f '(c)(x - x0) bo'ladi. Biroq, farazimizga binoan f '(c) = 0, ya'ni f (x)- f (x0)=0 ^ f (x) = f (x0)=const.
мЭкономнка h соцнумм №6(121)-2 2024
www.iupr.ru
151
Teorema to'liq isbot bo'ldi.
f(x) funksiya biror ]a,b[ oraliqda differensiallanuvchi va uning chegara nuqtalarida uzluksiz bo'lsin. f(x) funksiya ]a, b[ oraliqda monoton o'suvchi (kamayuvchi) bo 'lishi uchun Vxe]a, b[ da f(x)>0 f'(x)<0) bo 'lishi shart.
Isboti: Funksiya o'suvchi bo'lgan holni qaraymiz. f'(x)>0 shart berilgan. Lagranj teoremasini V[xi, x2]<z]a, b[ ga qo'llaymiz: f (x2) - f (xi) = f' (c)(x2 -xi), c e ]xi, x2[f'(c) > 0 shartga binoan, x2 - xi > 0. Demak, f (x2) - f (xi)> 0 ^ f (X2) > f (Xi).
Bu esa x2 >xi da f (x2)> f (xi), ya'ni f (x) o'suvchi demakdir. Teoremaning ikkinchi qismini isbotlash o'quvchiga havola qilinadi. Alomatning geometrik tasviri 1-shaklda.
Biror oraliqda kamaymovchi (o'smovchi) funksiya uchun shu oraliqda f(x)> 0 (f(x)< 0) bo 'lishi zarur va yetarli shart (9-shakl).
Bu holda, funksiya grafigiga o'tkazilgan urinma ba'zi nuqtalarda Ox o'qiga parallel bo'ladi.
Agar f(x0)=0 bo'lsa, u holda x0 nuqta f(x) funksiyaning stasionar nuqtasi deyiladi.
Stasionar nuqtalarga funksiya grafigiga o'tkazilgan urinma Ox o'qga parallel bo'lgan nuqtalar tug'ri keladi. Yuqorida o'rnatilgan alomat har bir nostasionar nuqtada funksiya o'zgarishini aniqlashga imkon beradi.2-shakl
Funksiyaning stasionar nuqtadagi, hamda uning hosilaga ega bo'lmagan nuqtadagi xarakteri alohida o'rganiladi. Funksiya grafigining stasionar nuqta atrofidagi mumkin bo'lgan ko'rinishi 3-shaklda keltirilgan.
x
'^KOHOMHKa h соцнумм №6(121)-2 2024
www.iupr.ru
i52
3-shakl
f(x) funksiya x0 nuqtada f(x0) maksimumga ega deyiladi, agar bu nuqtaning biror atrofida (x ^x0 da)
fx)<fx0) (l)tengsizlik bajarilsa;
fx) funksiya x0 nuqtada fx0) minimumga ega deyiladi, agar bu nuqtaning biror atrofida (x ^x0 da)
f x)> f(x0) (2)tengsizlik bajarilsa.
Shunday qilib, funksiyaning o'zgarishi xo nuqta atrofida qaraladi va (1) shart bajarilganda funksiya xo nuqtada lokal (maxalliy) maksimumga, va (2) shart bajarilganda lokal minimumga ega deyiladi.
Funksiyaning maksimum va minimumlari funksiyaning ekstremumlari deyiladi. Funksiya maksimum yoki minimumga erishgan nuqta, funksiyaning ekstremum nuqtasi deyiladi.
Masalan, grafigi 4- shaklda berilgan f (x) funksiya x0 nuqtada f (x0)=AM0 maksimumga, xi nuqtada f (xi)=BMminimumga ega.
y=f(x) funksiya x0 nuqtada ekstremum (maksimum yoki minimum)ga ega bo'lsin. Agar funksiya x0 nuqtada differensiallanuvchi bo'lsa, bu holda f (x0)= 0 bo'lishi zarurdir.
Haqiqatan ham, agar f' (x0)^0 deb faraz qilinsa, u holda x0 nuqtada: f ' (x)>0 bo'lsa funksiya o'suvchi, f' (x0)< 0 bo'lsa funksiya kamayuvchi bo'lar edi.
1-misol.f(x) = x2, xg]-m; +»[.
мЭкономнка h соцнумм №6(121)-2 2024
www.iupr.ru
153
/' (x) = 2x, f '(0) = 0. x= Onuqtaning atrofida (x*0 bo'lganda) fx) > f (0), tengsizlik bajariladi, demak, f (0)= 0 berilgan funksiyaning minimumi. (5-shakt).
2-misol. f(x) = -x2, xg]- +»[
f'(x) = - 2x, f ' (0) = 0. x = 0 nuqta (x * 0 bo'lganda) atrofida f (x)< f (0), demak, f(0) = 0 berilgan funksiyaning maksimumi. (5-shakl).
3-misol.fx)= -x3, xe]-ro; +»[ funksiya uchun f '(0) = 3-*2| _0 biroq x= 0
nuqta atrofida (1) yoki (2) tengsizliklar bajarilmaydi. Demak x = 0 nuqtada ekstremum yo'q (6-shakl).
Izoh: Qaralgan nuqtalardan x = 0 stasionar nuqta, hamda bu nuqtada
f (x) funksiyani qaraymiz: x0 - funksiyaning kritik nuqtasi; f (x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz va x0 nuqtaning atrofida differensiallanuvchi (x0 bundan xoli bo'lishi mumkin), undan tashqari, f'(x) x0 ning chap tomonida ham o'ng tomonida ham aniq ishoraga ega bo'ladi.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Sh.R.Xurramov. Oliy matematika. Toshkent-2018. 2-jild.
2. Nazirova E. S. et al. Construction of a numerical model and algorithm for solving two-dimensional problems of filtration of multicomponent liquids, taking into account the moving "oil-water" interface //E3S Web of Conferences. - EDP Sciences, 2023. - T. 402. - C. 14040.
3. Nematov A. R. et al. Application of Integral Accounting in Architecture and Construction //JournalNX. - C. 589-593.
'^KOHOMHKa h соцнумм №6(121)-2 2024
www.iupr.ru
154
