Научная статья на тему 'Фундаментальная теория однородных функций'

Фундаментальная теория однородных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
131
35
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ / КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ / УНИТАРНАЯ МАТРИЦА

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Андреев А.И.

Предлагаемая работа представляет публикацию фундаментальной теории однородных функций, широко используемых в квантовой теории и других прикладных направлениях.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Fundamental theory of homogeneous functions

The proposed work is the publication of the fundamental theory of homogeneous functions that are widely used in quantum physics and other applied areas.

Текст научной работы на тему «Фундаментальная теория однородных функций»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

МАТЕМАТИКА

Андреев А. И.,

кандидат физико-математических наук, e-mail: andranatoliy@yandex.ru

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОДНОРОДНЫХ ФУНКЦИЙ

Однородные функции часто используются в прикладных направлениях. Решениями уравнений Лапласа Ди(х,у) = 0 или Ди(х,у,2) = 0 являются однородные функции соответствующих степеней. Любой полином степени п представляет последовательность однородных биномиальных функций.

Целью предлагаемой работы является изложение фундаментальной теории однородных функций, отличающейся простотой.

к п-к

Определение: функции = х1 х 2 , к = 0,1,2,... п называются однородными степени п. В последовательности однородных

к п-к

функций 1к = х1 х2 , к = 0,1,2,...п сумма показателей к + (п - к) = п является постоянным числом.

Любой бином произвольной степени п представляет сумму однородных функций с биномиальными коэффициентами:

(х + хг)п = СоХ1Хп + С1Х1Х2 . +

n ^.к ^п—к

c Xi x

2 CkX1 X2

12 = к=0

n!

где Ск = к!(п к)! - биномиальный коэффициент, значение 0! = 1,

п п 1

С0 = Сп = 1.

В теории различают однородные функции простых переменных х1, х2 и со-

* *

Х2x2. Состав-

ставных переменных 1 1 ные переменные обычно связаны с линей ным (унитарным) преобразованием векто

за x(2) =

a b

-f * *

-b a

x

x„

x

x.

x'(2) =

Xi x2

= u X

Унитарная матрица и(2,2) сохраняет

длину своего входного вектора х в выход

•тг^-тг? * ^ *

ном векторе:

x • x = (ux)*(ux) = x (u u)x

X ' • X ' = X • X

= XX = х*х или

В ортонормированном базисе скаляр-

ное произведение векторов имеет вид:

х' • х'

X • X = X1 X1 + X2X2

f* t f* f

Xi — a«i + b«2

x2

* * b «i + a «2

При унитарном преобразовании пере-

X

X0

менных , ""2 однородные функции 1к(х1,х2) также преобразуются унитарно (при соответствующей их нормировке):

к п - к „ _ Х1 х2 к ~ ПТ7

д/к! (п — к)!

x t кх t п — к г2 _ X1 x2

J к = /TT

л/к!(п - к) оследователь

г .

функций к и к определим в форме

к = 0,1, 2.п. Последовательность однородных

г г'

•У к и к |

5/2015

—>

п

столбца функций, используя векторные обозначения Ь (п+1) и Ь (п+1):

/1 /

/1

/

Ь (п+1) = iл ], Ь' (п+1) =

Векторы однородных функций Ь (п+1)

и Ь (п+1) связаны унитарным преобразованием согласно доказанной ниже теореме.

ТЕОРЕМА. Векторы Ь (п+1) и Ь' (п+1)

/„ =

к n - к

однородных функций

д/k! (n - к)!

f'=■

J к

tк t n - к

к Vк!(п - к)! , П1

у 4 у , k = 0,1,...п при унитарном преобразовании переменных А = u(2,2) А преобразуются унитарно матрицей U(n+1, п+1):

Ь' (п+1) = U(n+1, п+1) Ь (п+1) или

Ь' = u Ь.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Определим два

бинома исходных составных переменных

* *

Х1Х1

2""2 и унитарно преобразованных

x • x )n

1*1 t*

составных переменных 1 1, 2 2

* *

:)n = (xi xi +

fj] ^ (X1 X1 ) (X2X2 ) 'к=с M(n - к)! = n! b.b,

(

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

X2 X2 )n =

( x t • x t )n = ( x • x )n = (

(X Xt ) (X2 X2 ) к=с k!(n - к)!

r* r r* r

x • x )n = ( Xt Xt + X2 X2

)n

= п! Ь' • Ь'.

Из унитарности преобразования пере-

XV X, X, , X0X0 V* V*

----------- •А = 11 + 2 2 = А • А =

Г* Г Г* Г г* г

"V "V "V "V

1 1 + 2 2 следуют равенства ( 1 1 +

f* f * X2 X2 )n = (X1 X1 +

*

X2 X2

4n bt bt

) или b •b =

Равенство

Ь

bt •bt = b. b

показывает,

что вектор представляет результат унитарного преобразования исходного вектора

Ь , т.е. Ь = UЬ . Равенство Ь = UЬ доказывает теорему.

Фундаментальной особенностью однородных функций является их явная зависимость от своих аргументов. Поэтому с унитарным преобразованием аргументов связана матрица U(a,b) унитарного преобразования исходных функций, зависящая только от параметров a, Ь унитарной матрицы и(2,2).

Изменим нумерацию функций

Г Г'

лк л к и нормировку, определив функции к к

к

yj +

Xj Л2

к

*J(j + m)!(j - m)!

Y'( j+m) Y'( j-m)

Xt X 2

V(j" + m)!(j - m)!

m = - j, - j +1, -

] + 2,..о.

Параметр 1 фиксирован, определяет

к

2j+1 однородных функций т исходных переменных x1, X2 и 2j+1 однородных

функций кт унитарно преобразованных

переменных 1 , 2 .

При целом значении j, например, j = 2,

к

однородные функции т имеют вид:

х4 - -3

к -*2

-2

л/4!

3 2 2

к = X1X2 к — X1 X2

1 л/3!

л/2!2!

к = ^ к = ±

1 л/3! , 2 л/4!.

Полуцелому значению j, например, j = 5/2, соответствуют однородные функции

к

bb

5/2015

к _

"5/2 л/5!,

2 3

к _ Х, Х2 к-1/2 л/2!3!,

_ Х2 т

к3/2 _ /ТТ к5/2

Х1Х2 к-32 л/4!

3 2

к _ Х, Х2

к,/2 л/2!3!

л/4!

Х1

л/5!

С последовательностью функций

к

к'

т свяжем соответствующие векторы

Ь(2/ +1) Ь'(2у +1)

однородных

, .к к'

функций т и т

Ь = к _ 7 _ Ь' = к' _ 7 _

Ь' =

И(2]+1,2]+1) Ь или Ь ' = и Ь .

В линейном преобразовании Ь =

иЬ элементы итк унитарной матрицы и явно зависят от параметров а, Ь унитарной матрицы и(2,2). Для определения элементов итк унитарной матрицы и применим равенство:

V ' 7 +ку ' 7-к Л| Хг^

К=

4(] + к)!(у - к)!

(ах1 + Ьх2)]+к (-Кх1 + а*х2)7 к

->/(-/ + к)!(7 - к)! =

ик* Ь,

где ик*(2]+1) - строка матрицы И(2]+1,2]+1) с номером к.

Левая часть приведенного равенства содержит произведение двух биномов различной степени. Приравнивая при перемножении биномов коэффициенты при одинаковых произведениях элементов хтхк в левой и правой части равенств, определим все элементы итк матрицы И(2]+1,2]+1).

В качестве примера определим элементы Итк унитарной матрицы И(2]+1,2]+1) = И(3,3) для ] = +1 при унитарном преобразовании х = и(2,2) х .

к к'

Однородные функции к , к в соста-

ве векторов вид:

Ь^3) Ь'(3) . ,

17 и 4 7 для ) = 1 имеют

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1+к 1-к Л| Хг^

к =-

к 7(1 + к)!(1 - к)!

\1+к ,

(ах1 + Ьх2) + (-Ь х1 + а х2) л/(1 + к)!(1 - к)!

1-к

кк =

к = - 1,

о, 1,

и Ь

"к_! _ х\/42. к0 _ Х1Х2 и_ х^л/2! j = ь ' = к_х _ (а*2х2 - 2а*Ь*х1х2 + Ь*2х12)^л/2! к' _ а*Ьх1 + (а*а - Ь*Ь)х1х2 - аЬ*х^ к_ _ (Ь2х2 + 2аЬх1х2 + а2х2) / л/2!

И;

а

*2

42а* Ь*

И(3,3)

Ь*2

л[2а*Ь (аа* - ЬЬ*) -42аЬ* Ь2 л/2аЬ а'

Для сравнения определим матрицу И(4,4) в пространстве четной размерности

И;

3/2

И(4,4)

-43а*2Ь*

л/3а*Ь*

-Ь*

43а'2Ь (аа'2 - 2а*ЬЬ*) (ЬЬ*2 - 2ааЬ) л/3аЬ*2 43а*Ь2 (2аа*Ь - Ь2Ь*) (аV - 2аЬЬ*) -л/Эа2Ь*

Ь3

43аЬ2

-Да 2Ь

Определим матрицы И(3,3), И(4,4) как последовательности своих столбцов 8к И(3,3) = [81 Б2 83], И(4,4) = [81 Б2 84].

5/2015

а

а

Применим теорию однопараметриче-ских унитарных матриц u(2,2) согласно [1], определив a = cos a eJ9, b = j sin a eJ9 При этом столбцы sk(a,b) становятся явно орто-нормированными: sk*sm = 5km-

В квантовой теории унитарное преобразование столбца волновых функций приводит к теории спиноров. В спинорах используют половинные углы Эйлера ф/2, у/2, 0/2, которые связаны с параметрами a,b унитарной матрицы u(2,2) [3].

Матрицы U(n,n) и u(2,2) связаны функционально в виде U = U(u). Множество функций делится на однозначные и многозначные функции своих переменных. По симметрии функции делятся на симметричные f(x) = f(-x), антисимметричные f(x) = - f(-x), несимметричные.

С унитарной матрицей u(2,2) свяжем

инвертированную матрицу (-1)u(2,2) = u . Унитарные матрицы U(n,n) с условием

U(u) = - U( u ) являются однозначными от параметров a, b матрицы u(2,2). Матрицы

U(u) = U(u ) являются двузначными, так

как преобразования u и u приводят к одной и той же матрице U(n,n) [3].

В приведенных примерах матрицы нечетной размерности типа U(3,3) симметричны относительно инверсии параметров a ^ (-a), b ^ (-b). Матрицы четной размерности типа U(4,4) не симметричны относительно инверсии a, b параметров:

U(a,b) = - U 'b ) .

В квантовой теории для частиц с полуцелым спином h/2 (электронов, протонов) волновые функции могут быть только антисимметричными.

В теории групп взаимно однозначное преобразование элементов g ^ h групп G(g) и H(h) называется изоморфизмом. Неоднозначное преобразование g ^ h называется гомоморфизмом.

В дальнейшем изложении рассматриваются особенности матриц унитарного преобразования однородных функций.

ТЕОРИЯ ФАЗОВЫХ И АМПЛИТУДНЫХ МАТРИЦ ОДНОРОДНЫХ ФУНКЦИЙ.

Явная зависимость элементов унитарных матриц Ц = = и(п,п) от параметров а, Ь унитарных матриц и(2,2) определяет ц(п,п) как не симметричные матрицы, т.е. Цкт Ф Цтк. Например, для элементов матрицы Ц(3,3) справедливо:

_42аЬ* Ф тт., = ЛаЬ

', Ui3 =

U12 = -'

b*2 ф Ü3i = b2.

Для унитарных матриц преобразования однородных функций в текущем изложении сформулирована и доказана теорема о фазовых и амплитудных унитарных матрицах.

ТЕОРЕМА. Унитарная матрица Üj = U(2j+1,2j+1) = U(n,n) представляет произведение унитарной фазовой диагональной матрицы D(n,n) и амплитудной унитарной матрицы A(n,n) согласно U(n,n) = D(n,n) A(n,n) = DA.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для доказательства теоремы применим теорию однопара-метрических унитарных матриц u(2,2), изложенную в работе [1]. Для любой унитарной матрицы u(2,2) справедливо ее представление единственным независимым комплексным параметром, например, a =

j Voin ™ ✓j

, при этом

= - j sin ae

cos ae9 , i sin ae *

----------b = j a =

cosae 19 b*

-j <p

a b '

- b' a* —

cos a e 9 jsin aej

cosae

* „ *

u(2,2) = L-b a J = Usin ae

Подставив параметры a, b, a, b в определение унитарных матриц U(3,3), U(4,4), получим u(3,3) = D(3,3) A(3,3), U(4,4) = D(4,4) A(4,4): U(3,3)

e-129 0 0 "

0 1 0

0 0 ej29

cos2 a 42 j cos a sin a - sin2 a

42j cos a sin a 22 cos a-sin a 42j cos a sin a

- sin2 a 42j cos a sin a cos2 a

5/2015

10

МИР современной науки

U(4,4)=

D(4,4)

A(4,4)

-j3<p

0 0 0

0 e-9 0 0 0 0 eJV 0 0 0 0

j3<P

cos a sina

т/3jcos2a sina (cos^a - 2cos a sin2a) (2cos2a sina - jsirfa) -V3cos a sinza -43cos a sinza (2cos2a sina - jsirfa) (cos^a - 2cos a sin2a) V3jcos2a sina

cos a sin a s2a

3

- jsin a

-jsin^a -43cos a sin2a V3j

cos a sin a

Из явного вида амплитудных матриц А(3,3), А(4,4) следует их симметрия, т.е. акт = атк. Любая диагональная матрица, например, Б(3,3), является унитарной, поэтому справедливо равенство И(3,3) = Б(3,3) А(3,3) ^ ^ Б*(3,3) И(3,3) = А(3,3). Выражение Б (3,3) И(3,3) = БИ является произведением унитарных матриц. Из этого следует, что любая амплитудная матрица А(п,п) является унитарной.

Собственными значениями любой унитарной матрицы И(п,п) являются вещественные числа (+1) и (-1) и пары комплексно сопряженных чисел с модулем единица. [2]. Собственными значениями любой симметричной матрицы являются только вещественные числа [3]. Поэтому

собственными значениями любой амплитудной матрицы А(п,п), как унитарной и симметричной, могут быть только вещественные числа (+1) и (-1), составляющие ее спектр.

Унитарная матрица и(2,2) в однопара-метрическом представлении имеет вид:

а Ь

- b* a *

u(2,2)

ej cos« j sin aeJ<p je~J9 sin a cos a e~J j

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

e]<p 0 0 e"

J9

cosa jsina jsina cosa J=DA

Отметим не коммутативность матриц DA Ф AD. Любая диагональная матрица может коммутировать только с другой диагональной матрицей

Предлагаемая работа представляется полезной широкому кругу специалистов по математике и физике.

ЛИТЕРАТУРА

1. Андреев А.И. Фундаментальная теория однопараметрических унитарных матриц И(2,2). Журнал МИР СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ. Издательство "ПЕРО", № 1, 2014, М., 2014 г.

2. Андреев А.И. Фундаментальная теория унитарных матриц И(п,п). Журнал

МИР СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ. Издательство "ПЕРО", № 3, 2014, М., 2014 г.

3..Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 3, часть 1. М., ГИТТЛ, 1956 г.

e

X

cos a

cos a

5/2015

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.