Фрактальные разветвленные структуры. Дельта реки Селенга Текст научной статьи по специальности «Математика»

© В.К. Балханов, Ю.Б. Башкуев, 2002

УДК 530.1: 551.461.25:551.583.14

В.К. Балханов, Ю.Б. Башкуев ФРАКТАЛЬНЫЕ РАЗВЕТВЛЕННЫЕ СТРУКТУРЫ. ДЕЛЬТА РЕКИ СЕЛЕНГА

О

пределение фрактальной размерности разветвленных структур, аналогичных дельтам рек, представляет собой практически важную задачу. Фрактальная геометрия, ее первичные понятия, рассмотрены в классических книгах [1-3], а также появившихся в последнее время обзорах А.А. Потапова [4] и Г.Ю. Иванюка [5] и близкой к нашей тематике работе [6]. В обзоре [4] фрактальность природных объектов предложено использовать для исследования природных процессов и окружающей среды. Зондируя радиолокационными методами объекты на поверхности Земли, можно судить об их искусственном или природном образовании. Их отличие как раз и будет определяться размерностью: искусственные образования

должны иметь целочисленную размерность, а естественные - дробную, или, что более точно, фрактальную размерность. Следует отметить также метод встречного масштабирования

С.С. Иванова [7] и его конкретное применение для Прибайкалья [8-10]. Хотя предложенные нами методы и отличаются от упомянутых, но в сумме они дают несколько независимых способов нахождения фрактальной размерности. Все это, естественно, в итоге повышает надежность получаемых результатов. Далее, имея независимо полученные фрактальные размерности, можно строить модели процессов, приведших к рассматриваемым структурам.

Хотя фрактальной геометрии уже около 30 лет, но большинство исследователей, желающих применить ее на практике, встречают на этом пути определенные трудности. Поэтому мы с достаточной подробностью излагаем как теорию, так и методику определения фрактальной размерности.

Фрактальная геометрия начинается с формулы Мандельброта, связы-

вающей длину произвольной кривой L с масштабом измерения 8:

L = С-51' с, (1)

где С - неопределенный масштабный множитель, свой для каждой линии, D - фрактальная размерность. Наглядно

о формуле можно сказать следующее: при движении по пересеченной местности шаги надо делать как можно шире. Длинноногому дорога будет казаться короче. Для обычных гладких линий, которые имеют почти всюду хотя бы одну производную, D равно единице. В общем же случае линия может не иметь нигде ни одну производную, и для нее размерность D может иметь значение от 1 до 2. Так, D = 2 означает, что кривая плотно заполнила всю плоскость. Такие кривые оказывается самоподобны - любой участок кривой имеет ту же размерность, что и вся линия. Последнее утверждение означает следующее. Пусть у некоторой кривой измеряется длина небольшого участка. Для этого используется масштаб 5. Тогда для измерения величины всей линии, отличающейся от небольшого участка в X раз, достаточно масштаба, также отличающегося от исходного в X раз. Математически это означает изменение формулы (1) на следующее выражение :

ХЬ = С-(Х5 )№. (2)

Оказывается формулу (1) и условие самоподобия в форме (2) достаточно взять в виде постулатов (или аксиом), чтобы построить весь математический аппарат фрактального исчисления (подробнее см. [11]). Рассмотрим два вопроса. Вопервых, длину измеряют, подсчитывая число масштабов, т.е.

L = N (5)5 , где N (5) - необходимое число шагов, с которым масштаб обходит всю линию, при этом из (1) следует, что N (5) = =С5 -с. В новом масштабе, равном

8* = Х& (3)

длина будет Ь = С8 *1-с. Подставляя

(3) в выражение для Ь*, получаем Ь = СХ1'В8 1-0 Но здесь С81-с есть исходная длина, равная N(8)8, следовательно,

L = X1-DN (5)5.

(4)

С другой стороны, L * = N (5 )5 * , или

L* = N (Х5 )Х 5. Сравнивая последний результат с (4), приходим к замечательному результату:

N (Х5) = Х-0^ (5).

(5)

В таком виде обычно и записывают условие самоподобия, подразумевая под N любую функцию от своих аргументов с отличным от D показателем. Вовторых, в формулу (3) X и 8 входят равным образом, т.е. переобозначение Х^8 не меняет общего вида самой формулы. Можно считать X масштабом, а 8 - масштабным множителем. Это легко понять - чтобы измерить шестиметровую длину, нужно двухметровый эталон приложить три раза, а можно трехметровый эталон приложить всего два раза. Вместо предложенных постулатов в основу теории фракталов можно положить симметрию переобозначения X и 8 и условие самоподобия в формуле (5). Действительно, после переобозначения формула (5) примет вид N (Х8 ) = 8 'DN (X). Положив здесь X = 1, приходим к уже известному результату, причем постоянная С = N (1).

Для иерархических структур, которые строятся по заранее определенным правилам, для определения фрактальной размерности D достаточно пользоваться только формулой (5). Покажем это на двух примерах. Пусть у нас имеется некоторый единичный отрезок. Если взять этот отрезок за масштаб, то последний уложится только один раз, т.е. N (8) = 1. Далее строим триадную кривую Коха. Для этого отрезок разбиваем на три равные части и на средней их них строим «шляпу». Тогда масштаб будет 8/3, и его надо будет приложить четыре раза, чтобы обойти новую длину, т.е. N (8/3)= 4. Сравнивая его с 4М8 = 4, видим, что

л- (8)=4 » [8

Это функциональное уравнение, и его решением будет степенная функция:

N (8) = С8 Л

где D = Ln4/Ln3, - искомая фрактальная размерность кривой Коха. В качестве следующего примера рассмотрим геометрический ряд:

,—1—. Расстояние 2 3 N N +1 между соседними членами ряда будет

1

N (N +1)

или при

N >> 1: 5~ 1/N . Откуда N ~5 ,

сравнивая с N ~ 5 'с, находим фрактальную размерность геометрического ряда: D = 1/2. Подобным образом можно рассматривать практически все иерархические структуры. Далее будет приведен пример канторовского множества применительно к нашей задаче.

Разветвленные структуры. Для построения таких структур возьмем линию и разрежем ее на множество неравномерных отрезков. Разбросав эти отрезки по плоскости, мы получим пример разветвленной структуры. Наши постулаты позволяют определить зависимость длины всех отрезков от размера области, занимаемой отрезками на плоскости. Для этого проведем операцию переобозначения, заменив X на 1/К, где К считаем линейным размером области. Тогда из (5) после простых сокращений получаем L = С 5 1-сК с. Убрав все неопределенные масштабные множители, находим:

L ~ К с. (6)

Это важный результат. Если принять, что все отрезки обладают однородной массовой плотностью, то их общая масса будет зависеть от размера области как К с, а это известное положение в физике фрактальных кластеров, где оно и служит определением размерности [2].

В качестве примера разветвленной структуры была выбрана дельта реки Селенга (место впадения реки в озеро Байкал). На рис. 1, 2 представлены топографическая и цифровая электронная карты дельты соответственно [12, 13]. Сначала обратимся к карте, представленной на рис. 1. Для использования результата (6) подсчет длины русел начинается вблизи угла А. Для примера, на рис. 3а показано, как выбранный масштаб прикладывается вдоль одного из русел 5 раз. При конкретном подсчете

Рис. 1. Топографическая карта дельты реки Селенга

выделенная область АВСО разбивалась на 4 квадрата. Для квадрата 1 на рис. 3б получено, что масштаб в один сантиметр укладывается 34 раза. Линейный размер самого квадрата можно взять произвольным, мы для определенности положим его равным 1/8. При последующем измерении рассматривается прямоугольник, состоящий из квадратов

1 и 2 и т.д. В итоге получаем:

Ь / 8= 34, 56, 73, 89;

R = л/1, л/2 , л/3 , л/4 .

Здесь л/2 означает, что площадь квадратов 1 и 2 равна 2, так что линейный размер соответствующего

прямоугольника как раз будет л/2 .

По методу линейной регрессии [14] по точкам Ln Ь и Ln R строим прямую, угловой коэффициент которой как раз даст размерность D. В данном случае он оказывается равным 1,39.

Однако для оценки погрешности лучше исходить из следующей формулы

Ьп (Ь 2/ Ь,)

D = -----^. (7)

Ьп (Л2 /ЛО

В этом случае по четырем измерениям можно найти шесть значений

D, усредняя которые, находим D = 1,38 ± 0,02.

Для проверки рассматриваем те же квадраты на рис. 3б, но измерения проведем с меньшим масштабом - 0,5 см. Здесь получено L / 5= 62, 102, 133, 164;

К = у[2, -\/ї , л[б , л/8 .

По методу линейной регрессии D = 1,40 , по формуле (7) D = 1,40 ± 0.02. Объединяя оба измерения, что существенно повышает точность, находим D = 1,38 ±0,01.

Далее использовалась карта, представленная на рис. 2. Здесь для улучшения статистики выбирались разные формы области разбиения - от прямоугольных до полукруглых, с раствором угла до 1140, а также менялось и само число таких разбиений. В итоге приходим к тем же результатам для фрактальной размерности.

Фрактальное исчисление [11] позволяет получить соотношение, связывающее число пересечений N руслами реки произвольного периметра с линейным размером К:

N ~ Ку, V = 2(D - 1). (8)

Качественно ее можно обосновать следующим образом. Для обычных дифференцируемых линий число N не должно зависеть от К, т.е. при D = 1 степень V должна быть равна нулю. Если линия заполняет всю плоскость,

Рис. 3. Подсчет общей длины русел дельты р. Селенга

т.е. D = 2, то N будет квадратично зависеть от области, т.е. V = 2. Предполагая линейную связь между V и D, приходим к результату (8). При более строгом подходе необходимо было бы использовать понятие фрактальной производной. Совокупность точек по периметру является одним из примеров хорошо известных канторовских множеств [1]. Приведем простой пример, для этого возьмем исходный единичный отрезок, так что сначала имеем N (8) = 1. Затем отрезок делим на четыре равные части и одну из срединных выбрасываем, в этом случае N (8/4) = 3. Видим, что 3 N (8) = N (84) и его решение

N (8) = С8 'V, где V = Ln 3^п4 = =0,792, а также D = 1 + ^2 = =1,396.

На рис. 4а показано, что квадрат пересекается руслами дельты 7 раз. Для

Рис. 2. Цифровая электронная карта дельты реки Селенга

рассматриваемого на рис.1 квадрата АВСО строим четыре последовательных квадрата, как показано на рис. 4б. Считая пересечения по проложенным маршрутам с выбираемым масштабом в 0,5 см, получаем:

N = 6, 12, 14, 17;

Л = 1, 2, 3, 4 ,

откуда по методу линейной регрессии

находим V = 0,74, а затем

D = 1 + V /2 = 1,37.

Если производить подсчет по маршрутам, составленным из масштабов в 1 см, то получим V = 0,84 и D = 1,42, что в целом согласуется с предыдущими результатами.

Для проверки полученных результатов на электронной карте выделялся сектор с углом 1140 и наносились 8 дуг различного радиуса. Сначала подсчет пересечений дуг производился по ярко выраженным «толстым» руслам. Затем подсчет точек пересечения проводился по всем видимым линиям на карте. Проведя вышеописанную процедуру, мы нашли V = 0,75 и D = 1,38.

Фрактальная зависимость скорости течения реки. Рассмотрим еще один метод определения фрактальной размерности дельты реки. Если исходное течение реки проходит через поперечное сечение S0, то расход воды за единицу времени будет рУoSo, где р - плотность воды, Уо -скорость течения. По формуле Пуа-зейля эта же величина пропорциональна hSo2, где h - перепад высот, что, собственно, и вызывает само течение реки. Приравнивая оба выражения, находим скорость

У0 = hSo /р. (9)

Когда исходное русло разбивается

на множество рукавов с меньшим сечением S, то скорость станет равной V = hS /р. Поскольку S < S0, то течение замедляется. Очевидно, что S0 = =Ш, где N ~ К с, здесь К будет расстоянием от исходной точки до рассматриваемого русла. Подставляя все в (9), находим V -с.

Таким образом, измеряя скорость на разных участках от некоторого исходного пункта, также возможно определить фрактальную размерность дельты.

Вообще говоря, полученный результат можно применять только на достаточно чистой воде. Дело в том, что с увеличением К русла мелеют и в поток воды начинают привноситься различные примеси - взвесь песка, тина и т.п. Все это ведет к изменению плотности воды, а также и ее вязкости. Если учесть только изменение плотности, то скорость будет изменяться как V ~ V!) Кс/(1+Ар/р), где Ар будет зависеть от К.

Заключение. Рассмотрена фрактальная природа дельты реки Селенга. Предложены два метода опреде-

Рис. 4. Пример подсчета пересечений руслами реки периметра квадрата

ления ее фрактальной размерности. Тем самым доказано, что разветвленные структуры являются природными фрактальными образованиями с определенной размерностью. Предложен также и третий (по измерению скорости течения воды) физический способ определения D. Установлено, что дельта реки Селенга представляет собой фрактальную структуру с размерностью 1,38 +0,01.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. ФедерЕ. Фракталы. - М.: Мир, 1991, 262 с.

2. Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров. - М.: Наука, 1991, 197 с.

3. Фракталы в физике // Труды VI Международного симпозиума. - М.: Мир,1988, 672 с.

4. Потапов А. Фракталы в дистанционном зондирова-нии//Успехи современной радиоэлектроники. № 6, 2000, С. 3-65.

5. Иванюк Г.Ю. Фрактальные геологические среды: размерность, основные типы, генетические следствия//Физика Земли. № 3, 1997, с. 21-31.

6. Ринчинов З.Ц. Фрактальный анализ речной сети и разлом-ной тектоники Прибайкалья//Геология и геодинамика Евразии. XVIII Всероссийская молодежная конференция (19-23 апреля 1999 г.). -Иркутск, 1999. - С. 57-58.

7. Иванов С.С. Оценка фрактальной размерности самоафин-ных множеств: метод встречного масштабирования дисперсий//ДАН, 1993, № 1, т.332. - С. 89-92.

8. Лухнева О.Ф., Зуев Ф.Л. Фрактальная геометрия сетки активных разломов и рельефа Прибайкалья: применение метода встречного масштабирования дисперсий//Геофизика на пороге третьего тысячелетия. Труды первой Байкальской молодежной шко-

лы-семинара (Иркутск-Черноруд, 13-17 сентября 1999 г.)/Под ред. проф. Г.С. Вахромеева. - Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 1999. - С. ЮЗ-109.

9. Лухнева О.Ф., Зуев Ф.Л. Опыт изучения фрактальных характеристик сети активных разломов, рельефа и эпицентрального поля землетрясений Прибайкалья//Геофизика на пороге третьего тысячелетия. Труды второй Байкальской молодежной школы-семинара (Иркутск-Черноруд, 21-26 августа 2000 г.)/Под ред. проф. Г.С. Вахромеева. - Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2000. - С.103-106.

10. Лухнева О.Ф., Зуев Ф.Л. Фрактальная геометрия сетки активных разломов Прибайкалья//Геология и геодинамика Евразии. Материалы XVIII Всероссийской молодежной конференции (19-23 апреля 1999 г.). - Иркутск: Изд-во ИЗК СО РАН, 1999, 54 с.

11. Балханов В.К. Введение в теорию фрактального исчисления. - Улан - Удэ: БГУ, 2001, - 58 с.

12. Топографическая карта, масштаб 1:200000, лист N48-XXXV.

13. CD - диск «ГИС района дельты реки Селенги в пакете Arc View 2.3».

14. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. - М.: Мир, 1985, 272 с.

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ

Балханов Василий Карлович — аспирант, отдел физических проблем Бурятского научного центра СО РАН.

Башкуев Юрий Буддич - профессор, доктор технических наук, отдел физических проблем Бурятского научного центра СО РАН.