Фрактальная размерность стримерных каналов Текст научной статьи по специальности «Математика»

-------------------------------------- © В.К. Балханов, Ю.Б. Башкуев,

2004

УДК 533.9

В.К. Балханов, Ю.Б. Башкуев

ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ СТРИМЕРНЫХ КАНАЛОВ

¥ ¥ а основе фрактального исчисления -1-1 двумя независимыми методами проведено измерение фрактальной размерности стримерных каналов коронного разряда. Установлено, что плановый рисунок плазменной структуры описывается разветвленной структурой с фрактальной размерностью Б = 1.38 ± 0.02. Даны основы фрактального исчисления.

1. В последнее время активизировалось изучение стримерных разрядов - сети

каналов, возникающих при электрическом пробое в диэлектриках (полимерных изоляторах, фотоэмульсии) [1,2]. Интерес связан с применением электрического пробоя для синтеза озона, очистки дымовых газов, удаления органических примесей. Особенно актуальным стало изучение стримеров в связи с использование кабелей с полимерной изоляцией. Один из аспектов изучения стримерных каналов также связан с тем, что разряд молний в атмосфере Земли происходит в виде аналогичных стримеров, а грозовая активность является одним из источников естественного электромагнитного поля Земли. Разветвленная сеть стримерных каналов возникает и при электрической обработке поверхностей материалов, при напылении тонких слоев на различные поверхности ионными пучками. В работе М.Д. Носкова и др. [2] отмечается, что количественной теории, описывающей рост разветвления электрического пробоя, до сих пор нет. Сложную геометрическую конфигурацию разрядных каналов, рост числа каналов можно рассматривать как фрактальный объект и описать их количественно с помощью фрактальной размерности; для ознакомления с понятием “фрактал” можно рекомендовать [3-5]. Носковым и др. прямым измерением, было определено, что фрактальная размерность Б лежит в пределах 1.45 -г- 1.55. Н.А. Попов в статье [1] также определял фрактальную размерность стримерных каналов, им было получено, что Б = 2.16 ±

0.05. Видим существенное различие в значениях для размерности, даже с учетом погрешностей. В связи с этим нами было двумя независимыми методами рассчитана фрактальная размерность планового рисунка системы стримерных каналов, представленного на рис. 2 в [1]. Используемые методы являются одними из результатов фрактального исчисления [6], основы последнего для связности изложения представлены в следующей части.

2. Фрактальная геометрия, созданная Бенуа Б. Мендельбротом 30 лет назад,

основывается на экспериментальном факте, что в общем случае длина Ь произвольной кривой (которая может быть изломана в любой точке) степенным образом зависит от масштаба измерения 3:

Ь = С З1^. (1)

где С - размерный множитель, свой для каждой кривой, Б - фрактальная размерность. Для обычных, гладких линий Б = 1 и получаем “истинную” длину. Если кривая плотно заполняет всю плоскость (простой пример - броуновская траектория), то для нее Б = 2. Формулу легко проверить, нарисовав синусоподобную линию и, меняя раствор циркуля, измерить длину такой линии. Довольно очевидно, что как вся линия, так и любой ее участок обладают одной и той же фрактальной размерностью. Такое свойство называется самоподобием (скейлинг, масштабная инвариантность). Если линию увеличить в Л раз, то для измерения новой длины Л Ь достаточно использовать масштаб, равный 13, т.е.

ЛЬ = С-(ЛЗ)№ (2)

Формулы Мандельброта и условие самоподобия в форме (2) достаточно взять в виде аксиом фрактального исчисления, тогда чисто логическим путем можно получить практически все, известные на последнее время, результаты. Мы их применим к “разветвленным

структурам , к которым относятся и сети стри-мерных каналов.

3. Для построения разветвленных структур возьмем линию и разрежем ее на множество неравнозначных отрезков. Разбросав эти отрезки по плоскости, мы получаем пример искомых структур. Проведем в (2) замену обозначений, это аналогично тому, что шестиметровую длину сначала измеряем двухметровым масштабом, укладывая ее три раза. Но можно использовать трехметровый масштаб, прикладывая ее только два раза. Итак, переобозначим X на 1/К, где К считаем линейным размером выделяемой области. Тогда из (2) получаем Ь = С-81-с-К с. Убрав все неопределенные масштабные множители, находим:

Ь ~ К с (3)

Применение формулы (3) к определению фрактальной размерности разветвленных структур состоит в следующем. На плановом рисунке стримерных каналов выделяется некоторая область (например, в виде квадратиков или окружностей), и подсчитывается общая длина всех каналов, попадающих в рассматриваемую область. Так мы получаем первые значения Ь1 и К1. Далее выделяется другая область (чуть больше первоначальной), и после подсчета получаются другие значения Ь2 и К2. Таким образом, в итоге мы получаем набор значений Ь и К, по которым методом линейной регрессии строим прямую линию на графике с осями Ьп Ь и Ьп К. Угловой коэффициент будет равняться фрактальной размерности Б. Таким образом, нами было установлено, что для стримерных каналов Б = 1.38 ± 0.02.

Для улучшения статистики выбирались разные формы областей разбиения - от прямоугольных до круглых, а также менялось и само число таких разбиений. Относительно небольшое значение размерности соответствует видимой разряженности электрических каналов.

При проведении вышеописанной процедуры параллельно с подсчетом длины производился подсчет числа N пересечений каналов периметра области. Аппарат фрактального исчисления [6] позволяет связать это число с линейным размером, а именно:

N ~ К\ у = 2 (Б - 1). (4)

Качественно результат можно обосновать следующим образом. Для обычных дифференцируемых линий число N не должно зависеть от К, т.е. при Б = 1 должно быть V = 0. Если линия заполняет всю плоскость, т.е. Б = 2, то N будет квадратично зависеть от области, т.е. V = 2. Предполагая линейную зависимость между V и Б, приходим к результату (4). При более строгом подходе необходимо было бы использовать понятие фрактальной производной. В качестве примера приведем фрактальную производную от степенной функции:

Г ,ЛБ

V

КБ = С • К

2( 0-1)

у

В частности, полученная формула позволяет дать геометрическую интерпретацию фрактальной производной. На рис. 1 показаны примеры обычной производной, когда из площади круга получают длину окружности, и фрактальной производной, когда из длины К получают канторовское множество К2(с'1) . После получения набора значений N и К, на графике с осями Ьп N и Ьп К строим прямую линию, откуда получаем V = 0.78 ± 0.02. Используя это значение, находим Б = 1 + у / 2 = 1.39 ± 0.02, что согласуется с выше полученным результатом. Отметим, что технически фрактальную размерность удобно и быстро подсчитывается вторым из указанных методов.

В [7, 8] понятие разветвленных структур было применено к веерообразной системе водотоков дельты реки Селенга, там же более подробно изложены методики подсчета фрактальной размерности. Чисто случайно оказалось, что размерность дельты Селенги равна 1.38 ± 0.02, т.е. численно совпадает со значением для стримерных каналов. В статье [9] приведена карта дельты Волги, применяя упоминаемые в данной статье методы вычисления фрактальной размерности, было установлено, что размерность дельты Волги равна 1.72 ± 0.02. Такое относительно большое значение

Примеры обычной и фрактальной производных

указывает на более богатую структуру относительно дельты Селенги.

3. Не вдаваясь в физическую картину фрактального поведения стримерных каналов, обсудим возможную причину расхождений фрактальной размерности во всех трех случаях. Нам представляется, что расхождение в значениях, данной в [2] и нашим - чисто измерительный. Мы использовали несколько стримерных каналов, что позволяет получить более лучшую статистику, чем при рассмотрении одного стримера, как это было использовано в [2]. И все же стоит отметить довольно близкие значения для размерности, полученные Носковым и др. и нами. Для размерности, полученной в [1], расхождение с нашим значением слишком большое, чтобы отнести его к измерительному.

1. Попов Н.А. Исследование пространственной структуры ветвящихся стримерных каналов коронного разряда // Физика плазмы, 2002, том 28, № 7, с. 664-672.

2. Носков М.Д., Малиновский А.С., Закк М., Шваб А.Й Моделирование роста дендритов и частичных разрядов в эпоксидной смоле // ЖТФ, 2002, том 72, вып. 2, с. 121-128.

3. ФедерЕ. Фракталы. - М.: Мир, 1991, 254 с.

4. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. - Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2001, 528 с.

5. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. - Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2001, 128 с.

Попов для коэффициента ветвления N получил следующую его зависимость от размера области К: N = К118 (рис. 3 в [1]). Легко видеть, что коэффициент ветвления совпадает с нашим определением числа пересечений разветвленной структуры с границей области. Это позволяет применить формулу (4), откуда следует Б = 1 +1.18/ 2 = 1.59. Такая фрактальная размерность близко совпадает с результатом [2], хотя и несколько отстоит от нашего значения. Таким образом, определяемый в [1] степенной показатель, равный 2.16, не является фрактальной размерностью рассматриваемых стримерных каналов, и предстоит еще задача выявления связи приводимого значения с фрактальной размерностью.

----------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

6. Бажанов В.К. Введение в теорию фрактального исчисления. - Улан-Удэ.: Изд. Бурятского гос. унта, 2001, 58 с.

7. Бажанов В.К. Дельта реки Селенга // Математика, вып. 3, 2002. Изд-во Бурятского гос. ун-та, Улан-Удэ. С. 13-18.

8. Бажанов В.К., Башкуев Ю.Б. Фрактальные разветвленные структуры. Дельта реки Селенга // Горный информационно - аналитический бюллетень, 2002. N 4. С. 20-23.

9. Алексеевский НИ, Соколова Ю.В. Структура сети водотоков в русловых и дельтовых разветвлениях и способы ее формализации // Вестник Московского ун-та, Серия 5, География, № 2, 1999. С. 13-19.

— Коротко об авторах ---------------------------

Балханов В.К. - аспирант,

Башкуев Ю.Б. - профессор, доктор технических наук, Бурятский научный центр СО РАН, г. Улан-Удэ.