Фрактальные модели в природе и технике Текст научной статьи по специальности «Математика»

Список литературы

1. Амосова, Е. Н. Клиническая кардиология / Е. Н. Амосова. - Київ : Здоров'я ; Книга-плюс, 1998. - Т. 1. - 704 с.

2. Вычислительная система МайаЬ. - иКЬ: http://www.mathworks.com/.

3. Логинов, Д. С. Вычислительный пакет Майх32 / Д. С. Логинов. - иКЬ: http://www.matrix.kladovka.net.ru/.

4. Бодин, О. Н. Автоматизированная система выделения контура сердца на флюорографических снимках / О. Н. Бодин, А. Ю. Тычков, П. П. Чураков // Медицинская техника. - 2011. - № 2. - С. 33-39.

УДК 004.942

ФРАКТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ А. А. Черепков, А. В. Кузьмин

Данная работа посвящена изучению фракталов. В процессе изучения фракталов были выявлены их основные свойства: тонкая структура, нерегулярность, форма самоподобия, дробная «фрактальная» размерность, простое и рекурсивное определение. В ходе работы было проанализировано построение фрактальных фигур различных типов, реализовано построение трехмерных геометрических фрактальных фигур, выявлено огромное практическое применение фракталов в современном мире.

Фрактал - сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, т.е. составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность, либо метрическую размерность, строго большую топологической [1-3].

Фрактал - это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных. Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения с помощью компьютера. Нас заинтересовала столь необычная природа фигур.

Цель работы: проанализировать способы построения фрактальных фигур и построить данную фигуру, используя современное программное обеспечение, такое как математический пакет SciLab 5.3.1, являющийся свобод-нораспространяемым.

Задачи исследования:

1. Изучить природу фрактальных множеств.

2. Определить способы построения фрактальных размерностей.

3. Выявить наиболее удобный и практически доступный способ.

4. Выполнить практическое построение плоской фигуры и дальнейшее превращение в пространственную.

5. Определить практическое применение фракталов и, в частности, нашей работы.

Методы исследования - теоретический и практический анализ.

В основу теоретического анализа решения поставленной задачи были положены труды «отца фрактальной геометрии» Бенуа Мандельброта. В ходе данного анализа были выявлены следующие свойства фракталов:

1. Тонкая структура.

2. Нерегулярность.

3. Некоторая форма самоподобия.

4. Дробная «фрактальная» размерность.

5. Простое и рекурсивное определение

Оказалось, что на самом деле примеров фрактальных фигур огромное множество - они встречаются в природе, технике, живописи, науке. Мы попытались классифицировать все фрактальные фигуры:

1)алгебраические;

2) геометрические;

3) стохастические.

Остались некоторые множества, которые невозможно было отнести ни к одному виду: рукотворные и природные, детерминированные и недетерминированные.

Среди алгебраических (рис. 1-4) выделяются:

1. Множество Мандельброта (рис. 1).

Рис. 1

2. Множество Жюлиа (рис. 2).

%

Рис. 3

4. Биоморфы (рис. 4).

Рис. 4

Геометрические же фракталы отличаются наглядной правильностью и повторяемостью в своем самоподобии (рис. 5-8):

1. Кривая Коха (снежинка Коха) и кривая Леви (рис. 5).

п = 1

Рис. 6

3. Треугольник Серпинского (рис. 7).

Рис. 7

4. Дерево Пифагора (рис. 8).

Нас заинтересовала такая геометрическая фигура, как дерево Пифагора, поскольку, она показалась наиболее удобной для реализации и наглядно показывающей свойство самоподобия.

Второй этап - практический. В его основу был положен анализ способов построения фрактальных деревьев.

Метод «Систем Итерируемых Функций» появился в середине 80-х гг. как простое средство получения фрактальных структур. Он представляет собой систему функций из некоторого фиксированного класса функций, отображающих одно многомерное множество на другое. Наиболее простая система состоит из аффинных преобразований плоскости:

X = А ■ X + В ■ Г + С и Г = Б ■ X + Е ■ Г + її.

Сначала мы выполнили построение одного отрезка в плоскости Оху, а затем проводили аффинные преобразования с изменением координат его концов, поворотом вокруг осей и изменением размера с определенным коэффициентом (рис. 9).

Рис. 9

В ходе дальнейшего исследования исходные коэффициенты были заменены на случайные, генерируемые произвольно (рис. 10).

Рис. 10

Число вложенных уровней постепенно увеличивалось, это становилось возможным по той простой причине, что были использованы рекурсивные

функции, которые вызывали сами себя (при этом следует отметить, пакет SciLab работает только с самими числами, но не с функциями, поэтому некоторые команды проходилось прописывать вручную). Впоследствии количество уровней смогло увеличиться до 7. Мы достигли того, что было выполнено построение трехмерного изображения (рис. 11).

Рис. 11

Поставленная цель была достигнута, и мы занялись практическим применением фракталов в современном мире. Оказалось, что они нашли свое применение в радиотехнике, в теории информации, практическом сжатии информации, построении изображений, сжатии графической и аудиоинформации, в экологии, в биологии, в медицине, в экономике, в механике. Примеры применения можно перечислять бесконечно, отметим лишь некоторые из них.

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств совершило прорыв, поскольку антенные заданной фрактальной формы многократно увеличивали диапазон принимаемых волн. Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и т.д. Именно с их помощью современная кинемотография стала столь красочной и приблизилась к естественно-природному изображению. Фракталы нашли свое применение в медицине, поскольку после многократных исследований было замечено, что у здорового человека линии электрокардиограммы сердца и головного мозга представляют собой правильную фрактальную фигуру, а у больного - неправильную, заметную лишь при многократном увеличении.

В ходе работы было:

- проанализировано построение фрактальных фигур различных типов;

- исследовано, что данные способы отличаются простотой практического применения в любой программной среде;

- выявлено огромное практическое применение фракталов в современном мире.

Данная работа может быть использована учащимися начальных курсов для самостоятельного изучения фракталов, компьютерной графики. Современные исследователи должны не только овладевать материалом даваемых им программ, но и расширять свой кругозор, а главное - находить практическое применение своим навыкам и умениям.