Фрактальная размерность фрагментов растительности Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.К. Балханов

ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ ФРАГМЕНТОВ РАСТИТЕЛЬНОСТИ*

Показано, как, используя формулу Мандельброта - Ричардсона, можно вычислить фрактальную размерность фрагментов растительности. Установлена линейная связь между фрактальными размерностями разных евклидовых пространств.

ТЪ работе [1] было показано, что Л-) если фрагменты растительности располагаются вдоль прямой линии, то фрактальная размерность образующейся

структуры будет О . = . Было от-

1п а

мечено без строгого обоснования, что если фрагменты растительности заполняют объемную камеру, то фрактальная размерность такого объекта будет

О з = . В настоящей работе приве-

1п а

дем вывод для величины О з.

Фрактальная геометрия, открытая Бенуа Б. Мандельбротом в 1975 г. [2], основывается на факте, что многие природные объекты многомасштабны и са-моподобны. Многомасштабность в математической формулировке дается формулой Мандельброта - Ричардсона:

L = C7^D. (1)

Здесь Ь - длина фрактальной линии, X - масштаб измерения, I) - фрактальная размерность, С - типичный для фрактальной геометрии неопределенный множитель [3]. Процедура измерения длины заключается в прикла-

Рис. 1. Измерение длины линии обходом циркуля.

дывание раствора циркуля вдоль кривой, рис. 1.

Если для измерения длины I. требуется N обходов циркуля раствором %,

то /. = N (х) X • Сравнивая последнее

соотношение с (1), получаем

N(%) = C%-D. (2)

Обычно определение фрактальной размерности требует тщательных, зачастую трудоемких, измерений. Однако для иерархических объектов величину И можно вычислить, используя только формулу (1). Продемонстрируем это на примере, природной реализацией которого служат фрагменты растительности. Возьмем единичный отрезок, чтобы измерить его длину, достаточно единичный масштаб приложить один раз. Таким образом, для этого нулевого измерения имеем: N 0 = 1 , /_0=1,х0=1.

Отрежем с обоих концов отрезка маленькие ку сочки длиной 1 / а, где очевидно а

*Работа частично поддержана грантами РФФИ №№: 08-01-98006, 08-02-98007.

Ма

1/а

ческого построения канторов-ского множества

1/а'

1/а

/ -І -1

^-1 ? X 1

а а

Далее, для каждого из отрезков повторяем нашу процедуру (рис. 2). Это называется иерархическим построением. Для п шага итерации получаем:

N

2 п

Согласно формуле (1), имеем

N "(1-0)

С I-а

Возьмем логарифм от этого выраже-

ния

п 1п-= 1пС + п (1-0) 1п —-

а а

Реальная картина фрактальной структуры образуется после бесконечного числа итераций, т.е. иерархическое построение предполагает, что п» I.

О

Іп2 ІП а

> 2. Случай а = 2 означает просто деление отрезка пополам. Среднею часть удалим, так что остаются два отрезка, каждая длиной 1 / а. Описываемая процедура называется канторовским построением. Теперь, выбирая масштаб X = 1 / а, и прикладывая его два раза, можно измерить длину полученных отрезков. Таким образом, для этого первого измерения имеем

В этом случае слагаема2 мым 1п С можно пренеб-

речь. Сокращая в оставшем-з ся выражении число п, нахо-

_ ____ ДИМ

1/а

^ 1п2/ а

О = 1 н---------, или

ІПа

(3)

Поскольку а > 2, то £) < 1. Соотношение (3) является искомым. Теперь, выбирая ветки опре де-ленным образом, т.е. задавая а, мы всегда можем вычислить их фрактальную размерность.

Следующим по сложности объектом является фрактальная структура на плоскости. Покроем структуру п квадратиками площадью х х X каждая. Тогда

площадь £ фрактального объекта, с учетом (2), будет

2 ^ 2-0

5 = N (х) X = С х

(4)

Проведем канторовское построение фрагментов растительности на единичном квадрате. Сначала имеем

Л/0=1, э0 =1 ,х о =1 ■

Вырежем на единичном квадрате крест (рис. 3), площадь оставшейся фигуры будет

4 1

Л/ =4 в =-— у = —

IV 1 2?А,1

а а

После п итераций

Опуская неопределенный множитель С, согласно формуле (4) имеем

ДЕ

1/а3

1/а

1/а

а

а

V

п (2-0)

Логарифмируя, получаем

0=2 +

1п4/ а

1п4

1п а

1п2

(5)

1па 1па 1па

Можно сразу получить (5), используя (2), или 4 п = С (1 / ос) ~п ° .

Пусть фрактальный объект вложен в объем. Для измерения его объема V необходимо N (х) кубиков объемом % 3 каждый, т.е.

1

=“■

а

(6)

Теперь выберем единичный куб. В начале, как обычно, имеем NQ = 1 ,

\/ о = 1 , Хо = 1 .

Следующим шагом будет вырезание крестовины, тогда

Рис. 3. Кантороеское множество на плоскости

Л',=8.'',=Л.Х,=1-

ос ос

После п итераций:

Л/ „ = 8 ", V. = ГД-

оГ

>Х Л =

а

Из соотношения (6) получаем

п (3-0)

Vа У откуда

0=3 +

1'

а

1п8/ а 1па

1п8

1па

1п2

1па

Если ввести размерность евклидова пространства Е - вместилище фрактального объекта, то полученные соотношения можно переписать в следующем виде:

0Е =

1п2

(V)

1. Балханов В. К, Башку ев Ю.Б. Фрак-

тальная модель частотной зависимости ослабле-

1па

где Е = 1, 2, 3.

Отсюда следует соотношение: п п |п2

и Е+1 = и Е +----, которое показывает,

1п а

что связь между фрактальными размерностями разных евклидовых пространств в общем случае хотя и линейное, но со сложным аддитивным слагаемым.

В настоящей работе показано, как, используя формулу Мандельброта - Ричардсона, можно вычислить фрактальную размерность фрагментов растительности. Установлена линейная связь между фрактальными размерностями разных евклидовых пространств. --------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ния электромагнитных волн фрагментами растительности // Журнал технической физики, 2005. Т.75. Вып.9. С. 132-135.

2. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.: Изд-во Институт компьютерных исследований, 2002. 656 с.

3. Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1991 262 с. ИТШ

— Коротко об авторе ------------------------------------------------------------------

Балханов В.К. - кандидат технических наук, Отдел физических проблем при Президиуме Бурятского научного центра СО РАН, г. Улан-Удэ.

Статья представлена Бурятским научным центром СО РАН.

А

© В.К. Балханов, 2008

В.К. Балханов

ТЕОРЕМА О МУЛЬТИФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ*

Установлены мулътифракталъная размерность одномерных, двухмерных и трехмерных мулътифракталъных объектов, построенных итерационным образом, теорема, согласно которой мулътифракталъная размерность всегда меньше размерности любой фигуры, из которых составляется мультифрактальный объект. Установленная закономерность верна только для фрактальных фигур одной размерности.

ультифрактальной размерности, введенной Мандельбротом, посвящена обширная литература [1-5]. Мы обратим внимание на следующее обстоятельство. Пусть муль-тафрактальный объект состоит из конечного числа фрактальных фигур, каж-

дый из которых описывается своей фрактальной размерностью В. Тогда можно утверждать, что мультифрак-тальная размерность О т меньше каждой фрактальной размерности В. Наше утверждение докажем эмпирическим путем, рассматривая одномерные, двух-

*Работа частично поддержана грантами РФФИ №№: 08-01-98006, 08-02-98007.