CC BY
24
ния электромагнитных волн фрагментами растительности // Журнал технической физики, 2005. Т.75. Вып.9. С. 132-135.
2. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.: Изд-во Институт компьютерных исследований, 2002. 656 с.
3. Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1991 262 с. ИТШ
— Коротко об авторе --------------------------------------------------------------
Балханов В.К. - кандидат технических наук, Отдел физических проблем при Президиуме Бурятского научного центра СО РАН, г. Улан-Удэ.
Статья представлена Бурятским научным центром СО РАН.
А
© В.К. Балханов, 2008
В.К. Балханов
ТЕОРЕМА О МУЛЬТИФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ*
Установлены мулътифракталъная размерность одномерных, двухмерных и трехмерных мулътифракталъных объектов, построенных итерационным образом, теорема, согласно которой мулътифракталъная размерность всегда меньше размерности любой фигуры, из которых составляется мультифрактальный объект. Установленная закономерность верна только для фрактальных фигур одной размерности.
ультифрактальной размерности, введенной Мандельбротом, посвящена обширная литература [1-5]. Мы обратим внимание на следующее обстоятельство. Пусть муль-тафрактальный объект состоит из конечного числа фрактальных фигур, каж-
дый из которых описывается своей фрактальной размерностью В. Тогда можно утверждать, что мультифрак-тальная размерность О т меньше каждой фрактальной размерности В. Наше утверждение докажем эмпирическим путем, рассматривая одномерные, двух-
*Работа частично поддержана грантами РФФИ №№: 08-01-98006, 08-02-98007.
мерные и трехмерные фрактальные объекты.
Вычисление мультифрактальной размерности. Как находить мультиф-рактальную размерность, известно из книги [1]. Мы этот вопрос изложим в несколько другой форме.
Одномерные фрактальные линии обычно имеют свои собственные имена. Например, кривая Коха имеет
следующую фрактальную размерность: 1п4
=
1пЗ
(1)
Здесь 1/3 - масштаб измерения, 4 -необходимое число масштабов измерения, чтобы покрыть кривую Коха. Перепишем уравнение (1) в следующем виде:
(число масштабов) • (масштаб)° = 1 ° .
(2)
Для кривой Гивена необходимо 5 масштабов измерения, каждый длиной 1/3. В этом случае, согласно уравнению (2), 5 (1/3)° =1. Отку-
да = 1п5/ 1пЗ.
Объединим кривые Коха и Гивена, как показано на рис. 1. Для этого случая обобщением формулы (2) будет следующее уравнение:
Такие уравнения решаются только численно, хотя в данном примере можно решить и точно:
1п9
О =
1п6
(4)
Это есть искомая мультифракталь-ная размерность объединенных кривых Коха и Гивена. Обратим внимание, что мультифрактальная размерность (4) оказалась меньше фрактальных размерностей Ок и Ое кривых Коха и Гивена, из которых составлялся мультифрактальный объект.
Двухмерные и трехмерные объекты. Стандартным двухмерным фрактальным объектом является ковер Сер-пинского. Мы рассмотрим два ковра Серпинского, представленные на рис. 2 а и Ь. Для первого из них фрактальная размерность
05(кваф.) = |^|.
Для треугольного ковра Серпинского на рис. 2 Ь:
03{преуг.) = ^|.
Если объединить оба ковра Серпинского, то получим объект, представленный на рис. 2 с. Для определения мультифрактральной размерности, аналогично уравнению (3), составляем следующее уравнение:
°[>НЯ=-
Его численное решение:
О т = 1.448 . Видим, что и здесь
(квадр.) и О т < (преуг.), как и
для одномерного мультифрактального объекта.
Рис. 1. Мультифрактальная размерность ■ линии, составленная из кривой Коха и кри- ^ 261 + 1 465 — 1 226
вой Гивена
1.893 +
□ □ □
□ □
□ П □
а)
В качестве трехмерных фрактальных фигур рассмотрим губку Менгера, для которой фрактальная размерность Ом = 1п 20 / 1пЗ , и триадную пыль (по терминологии Мандельброта [1]), для которой 00 = 1п 26 / 1пЗ. Объединяя их, получаем мультифрактальный объект, размерность В которого будет определяться решением следующего уравнения:
D + 20 f1l
UJ
Откуда О т = 1п 46 / 1п6 .
Легко видеть, что и здесь О т < Ом и
от<о0.
Заключение
По-видимому, мы эмпирическим путем пришли к теореме, согласно которой, мультифрактальная размерность всегда меньше размерности любой фрактальной фигуры, из которых составляется мультифрактальный объект. Отметим, что установленная закономерность верна только для фрактальных фигур одной размерности.
1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.: Изд-во Институт компьютерных исследований, 2002. 656 с.
2. Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1991. 262 с.
3. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. - М.: Ижевск, 2001. 528 с.
--------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
4. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Постмаркет, 2000. 350 с.
5. Фракталы в физике.// Труды VI международного симпозиума по фракталам в физике (МЦТФ, Триест, Италия, 9-12 июля, 1985) - М.: Мир, 1988. 672 с.
— Коротко об авторе --------------------------------------------------------------
Балханов В.К. - кандидат технических наук, Отдел физических проблем при Президиуме Бурятского научного центра СО РАН, г. Улан-Удэ.
Статья представлена Бурятским научным центром СО РАН.
А
1.585
1.448
Рис. 2: Мультифрактальная
двухмерная поверхность, составленная из квадратного и треугольного ковров Серпинско-го
Файл: 26_Балханов
Каталог: Е:\С диска по работе в универе\ГИАБ_2008\11\семинар
Шаблон:
С:\и8ег8\Таня\АррБаІа\Коатіп§\Місго80й\Шаблонн\]ЧГогіпа1.сІо
Заголовок: МУЛЬТИФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ ИЕРАРХИЧЕ-
СКИХ ОБЪЕКТОВ Содержание:
Автор: V
Ключевые слова:
Заметки:
Дата создания: 03.09.2008 15:51:00
Число сохранений: 2 Дата сохранения: 03.09.2008 15:51:00
Сохранил: ГитисЛ.Х.
Полное время правки: 0 мин.
Дата печати: 25.11.2008 23:19:00
При последней печати страниц: 9
слов: 2 418 (прибл.)
знаков: 13 786 (прибл.)
