CC BY
15
Фрактальная модель обработки потоковых данных
в задаче прогнозирования условий погоды
Михайлов В. В., Кирносов С. Л., ВУНЦ ВВС «ВВА», г. Воронеж Гедзенко М. О.,
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет,
г. Воронеж
В настоящее время в практике гидрометеорологического обеспечения войск большое внимание уделяется модификации известных графических методов представления потоковых данных, на основе которых строятся причинно-следственные диаграммы и временные ряды [1]. Анализ временных метеорядов осуществляется с использованием известных классических статистических трен-довых моделей, которые в ряде случаев не всегда дают требуемые результаты, так как не учитывают долговременную память и степень случайности членов метеоряда.
Данный факт требует разработки нового и совершенствования существующего инструментария для обработки временных рядов, основанного на современных математических идеях. Перспективным направлением в решении данной задачи является использование системно-динамического подхода, в рамках которого предлагается применить теорию фракталов [2].
Таким образом, целью работы является повышение качества прогностических гидрометеорологических моделей, основанных на анализе временных метеорядов с точки зрения их фрактальных свойств.
Фрактал - ключевое понятие теории детерминированного хаоса, является аттрактором (пределом и целью) движения детерминированно-хаотической динамической системы. Основное свойство фрактала - самоподобие, заключающееся в том, что его малые части повторяют геометрические свойства более крупных частей и всей фигуры целиком [2-4]. Этими же свойствами обладают временные диаграммы (ряды) метеовеличин.
С математической точки зрения фрактал можно рассматривать, прежде всего, как объект (множество) с дробной (фрактальной) размерностью. Фрактальная размерность (размерность Хаусдорфа-Безиковича) двумерного временного ряда строго больше его топологической размерности и находится между единицей и двойкой [2, 4].
Центральное место в изучении фрактальной структуры временных рядов занимает метод нормированного размаха Г. Херста (ЛУ5-анализ) [2]. В рамках этого метода вычисляется показатель Херста (Я), позволяющий разрабатывать прогностические заключения о тенденции тренда рядов, а также проводить классификацию временных рядов по степени их случайности.
Временные последовательности, для которых Н > 0,5, относятся к классу персистентных - сохраняющих имеющуюся тенденцию. Если приращения были положительными в течение некоторого времени в прошлом, то есть происходило увеличение, то и впредь, в среднем, будет происходить увеличение. Таким образом, для процесса с Н > 0,5 тенденция к увеличению в прошлом означает тенденцию к увеличению в будущем. И наоборот, тенденция к уменьшению в прошлом означает, в среднем, продолжение уменьшения в будущем. Чем больше Н, тем сильнее тенденция [2]. При Н = 0,5 никакой выраженной тенденции процесса не происходит, и нет оснований считать, что она появится в будущем [2]. Случай Н < 0,5 характеризуется антиперсистентностью - рост в прошлом означает уменьшение в будущем, а тенденция к уменьшению в прошлом делает вероятным увеличение в будущем. Чем меньше численные значения параметра Н, тем больше вероятность смены знака тренда.
Алгоритм расчета параметра Н заключается в следующем [2].
1. На первом этапе исходный временной ряд исследуемого параметра X ,
где г = 1, N (N - дискретные моменты времени), преобразуется в меньший ряд У, где к = 1, N -1 с использованием выражения
Ук = 1п( ^. (1)
X.
г
2. Полученный новый ряд делится на А смежных подпериодов длины I так, что А1 = N -1. Суть модификации классического метода Г. Херста заключается в том, что для каждого из подпериодов вычисляются взвешенные скользящие средние (УА) и средние квадратические отклонения (БА). Взвешенные коэффициенты в каждом из подпериодов выбираются таким образом, что самому позднему члену ряда соответствует значение 1,0, которое по линейном закону убывает до значения 0,5, соответствующего первому члену подпериода. При этом вышеуказанный расчет УА для текущего подпериода проводится по данным предыдущего подпериода. Временной ряд накопленных отклонений А у 1 от математического ожидания для каждого из подпериодов определяется как
I ~
=£ (У, - Уа ), (2)
1=1
где у = 1, I.
3. Далее вычисляется разность (размах) отклонений от среднего в пределах каждого подпериода с использованием выражения
ЯА = шах^,,) - шт( АУа ,). (3)
4. Вычисляется среднее арифметическое
1 А
(Я / 5), = 7 £ (К / ^ ) , (4)
А т=1
где т = 1, А.
5. Производится переразбиение временного ряда, представленного выражением (1) на новые подпериоды, длина которых больше I, и выполняется весь алгоритм заново в соответствии с пунктами 2 - 4.
7. Используя метод наименьших квадратов, находится значение показателя Г. Херста (Н) из уравнения парной регрессии вида
1п(Я/5) = 1п с + Н 1п N, (5)
где с - константа.
8. Находится значение размерности Хаусдорфа-Безиковича с использованием выражения
В = 2 - Н. (6)
С использованием вышеуказанного научно-методического подхода исследованы фрактальные характеристики временного ряда наблюдений за температурой воздуха по п. Москва за последние 10 лет. Ряд содержит значения температуры Т с частотой дискретизации 3 часа. Объем выборки составил N =27515 наблюдений. На рис. 1 представлена диаграмма результатов вышеуказанных наблюдений и убывающий температурный тренд.
На рис. 2 представлен временной ряд численных значений 1п(АТг) накопленных отклонений от взвешенного скользящего среднего, полученных с использованием выражения (2), и линия слабо восходящего тренда.
Размах отклонений температуры, полученный с использованием выражения (3) составил К = шах(ЛК ) - шп(ЛК ) = 0,637 - (- 8,278) = 8,915 оС, а среднее квадратическое отклонение = 0,084 оС.
Значение показателя Херста, полученное с использованием выражения (5), составило Н=0,489. Г. Херст показал, что рассчитанный параметр характеризует отношение силы тренда (детерминированный фактор) к уровню шума (случайный фактор). Сила тренда и уровень шума оцениваются, насколько величина Н превосходит 0,5. В рассматриваемом случае слабая детерминированная составляющая фрактальных свойств ряда присутствует, и наблюдается анти-персистентный процесс, свидетельствующий о неустойчивости знака температурного тренда. Данный факт не входит в противоречие с прогнозами ученых о глобальном потеплении климата на планете.
Значение размерности Хаусдорфа-Безиковича, полученное с использованием выражения (6), составляет В =1,511, что свидетельствует о «неслучайной» природе исследуемого временного ряда. Таким образом, расчет численных значений показателя Н по временной диаграмме позволяет сделать заключение о степени организованности процесса, а также о предполагаемом (прогностическом) знаке линии тренда стохастического ряда.
Рис. 1. Временная диаграмма результатов наблюдений за температурой воздуха
Рис. 2. Временной ряд накопленных отклонений температуры от средних значений
Библиографический список
1. Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем. учеб. для вузов. — М.: Высшая школа, 2001. — 343 с.
2. Федер Е. Фракталы. — М.: Мир, 1991. — 254 с.
3. Бордовский Г. А., Кондратьев А. С., Чоудери А. Д. Р. Физические основы математического моделирования. — М.: Академия, 2005. — 320 с.
4. Шустер П. Детерминированный хаос. — М.: Мир, 1988. — 240 с.
