CC BY
32
Математика и кибернетика - фундаментальные и прикладные аспекты
11. Соколов В. И. О моделировании нестационарных процессов в напорных газовых системах // Вюник Схщноукра'шського державного ушверситету. - 2000. - № 5 (27). - С. 209-212.
12. Alamdari F. Displacement Ventilation and Cooled Ceilings. Proceedings of Roomvent 98 / F. Alamdari. - Stockholm, 1998.
Abstract
The article describes the methods of construction of the additive non-stationary pattern of ventilation process. A generalized pattern of the ventilation system was developed, the impact of external factors on the ventilation process was studied, taking to the account the time lag.
Based on the experimental plot (flow rate - pressure) - (head - time) short-term and long-term forecast of the parameters of ventilation system was carried out.
Two fundamentally new patterns were implemented: two-dimensional or "flat", and the three-dimensional or "spatial" models of the ventilation process.
A simplified model of the ventilation process was developed. There is a research of input actions of parameters on the final result of the ventilation process. The dynamic characteristics of the object of research, ventilated area, were determined. The time lag of the process was estimated.
The transition and output functions were defined, allowing to determine the response of ventilation system to any sequence of input signals, if its initial state is known
Keywords: dynamic process, ventilation, mathematical pattern, forecasting, external action, time lag
У данш статтi проводиться ^торичний огляд виникнення фракталiв та розвитку фрактальног геометри як прикладног науки. Актуальтсть дослидження обумовлена високим прак-тичним значенням i недостаттм опрацюванням проблеми застосування фрактальних алгоритмiв кодування зображень в шформацшних технологiях та комп'ютернш графщ
Ключовi слова: фрактал, фрактальна геометрiя, кодуван-
ня зображень
□-□
В данной статье проводится исторический обзор возникновения фракталов и развития фрактальной геометрии как прикладной науки. Актуальность исследования обусловлена высоким практическим значением и недостаточной проработкой проблемы использования фрактальных алгоритмов кодировки изображений в информационных технологиях и компьютерной графике
Ключевые слова: фрактал, фрактальная геометрия, кодировка изображений
УДК 004.6
ФРАКТАЛИ
Р.А. Зубко
Старший викладач Кафедра шформацшних технолопй та програмування Вщкритий мiжнародний уыверситет розвитку людини «Украша» вул. Львiвська, 23, м. КиТв, Украша,
03115
Контактний тел.: (044) 424-62-74, 097-240-70-28 E-mail: RZubko@ukr.net
Поява фракталiв в математичнш лiтературi близь-ко ста роюв тому була сприйнята дуже негативно, як це бувало i в штори розвитку багатьох шших математич-них щей [1]. Термш фрактал уперше ввiв в 1975 рощ Бенуа Мандельброт. Слово фрактал утворюеться вщ латинського дiеслова frangere - ламати, i прикметника - дробовий. Слщ зазначити, що математичш ще! сформувалися задовго до цього в XIX столгт в роботах Георга Кантора, Карла Вейерштраса, Джузеппе Пеано, Гастона Жюлiа, Пьера Фату та шших. Поняття фрактально! (дробово!) розмiрностi з'явилося в 1919 рощ в робой Фелжса Хаусдорфа. Проте, саме Бенуа Мандельброт об'еднав щ ще! i поклав початок систематичному вивченню фракталiв i !х застосувань [2].
В результат зусиль Бенуа Мандельброта фрактальна геометрiя стала прикладною наукою. Вш i його учш вщкрили багато нових фракталiв, наприклад, фрактальний броушвський рух для моделювання ль сового i прського ландшафив, флуктуацп рiвня рiчок
i биття серця. Вщкриття фракталiв призвело до рево-люцп не лише в геометри, але i у фiзицi, хiмii, бюлогп. Фрактали шщжвали штенсивний розвиток теорп шформацп. Фрактальш алгоритми знайшли застосування в шформацшних технолопях, наприклад для синтезу тривимiрних комп'ютерних зображень при-родних ландшафпв.
Траекторп часток броушвського руху, яким займа-лися Роберт Броун ще в 1828 рощ i Альберт Ейнштейн в 1905 рощ, е прикладом фрактальних кривих, хоча !х математичний опис був даний тшьки в 1923 рощ Норбертом Вшером. У 1890 рощ Пеано сконструював свою знамениту криву - безперервне вщображення, що переводить вiдрiзок в квадрат ^ отже, тдвищуе його розмiрнiсть з одинищ до двшки.
Фрактал, жодним чином не схожий на криву, який Мандельброт назвав пилом - це класична множина Кантора. Ця множина наспльки розрщжена, що вона не мктить iнтервалiв, але, мае спльки ж точок, сюльки ш-
© РА Зубко, 2012
тервал. Мандельброт використовував такий "пил" для моделювання стащонарного шуму в телефоны. Фрак-тальний пил того або шшого роду з'являеться в багатьох ситуащях. Фактично, вiн е ушверсальним фракталом в тому сенсi, що будь-який фрактал, - аттрактор системи ггерованих функцiй - е або фрактальним пилом, або його проекщею на проспр з нижчою розмiрнiстю.
Фрактали досить часто зустрiчаються в природь Це контури берегово! лши, снiжинки, хмари, крони дерев. Рiзнi деревовиднi фрактали застосовувалися не лише для моделювання дерев-рослин, але i бронхь ального дерева, роботи нирок, кровоносно! системи i т.п. Щкаво вiдмiтити припущення Леонардо да Вiнчi про те, що усi плки дерева на данiй висотi, складен докупи, дорiвнюють по товщиш стволу (нижче !х рiвня). Звщси слiдуе фрактальна модель для крони дерева у виглядi поверхнi-фрактала [1].
Рис. 1. Папороть Барн^
Фрактал - геометрична ф^ура, що складена з де-кiлькох частин, кожна з яких подiбна до у«е! фiгури у цiлому. Коли ми дивимося на фрактал, то бачимо структуру, елементи яко! залишаються однаковими незалежно вщ масштабу. Така структура е рекурсивною моделлю, кожна частина яко! повторюе розви-ток уае! моделi в цiлому. У найпростiшому випадку кожна частина фрактала е зменшеною котею усього зображення. Як приклад можна привести зображення папорот Барш^ (рис. 1), побудованого за допомогою чотирьох перетворень [3].
Сфера застосування фракталiв в самих рiзних га-лузях фiзики, xîmîï, бiологiï, лшгвктики, музики, об-разотворчого мистецтва дуже велика i загальновiдома. ycnix такого широкого використання фракталiв обу-мовлений тим, що властивкть власноï подiбностi при-таманна величезному числу структур як просторових (берегова лiнiя, поверхнi зламу, рiзнi агрегати, отри-манi за рахунок злиття), так i тимчасових (траекторп руху). Мандельброт же знайшов едину форму юльюс-ного опису для ще'1 властивостi, що нерщко дае мож-ливiсть будувати проси моделi складних неврегульо-ваних систем i вивчати '¿х за допомогою комп'ютерного експерименту. Такий пiдхiд iнодi дозволяе iстотно по-кращити дослщження об'eктiв, якi iншим способом не тддаються розумiнню i кiлькiсному опису [4].
Ниш фрактали знаходять широке застосування в рiзних областях шформацшних технологiй [3]:
- Стиснення зображень;
- Комп'ютерна графiка;
- Кластерний аналiз;
- Нейроннi мережi;
- Криптографiя;
- Фiнанси;
- Музика.
Основа методу фрактального кодування - це ви-явлення подiбних дшянок в зображеннi. Математич-на модель, яка використовуеться при фрактальному стисненнi зображень, називаеться системою ггерованих функцiй (Iterated Function System - IFS). Вона представлена Майклом Барн^ i Аланом Слоуном на початку 80-х роюв минулого столитя. Одна з можливих схем кодування зображень фрактальним методом запропо-нована Арно Жакушом. Цей тдхщ був вдосконалений Ювалом Фшером i рядом шших дослвдниюв i став основою для бшьшост методiв фрактального кодування. Але, незважаючи на те, що виконаш в останнi роки роботи дозволили значно зменшити час кодування, ак-туальним залишаеться проведення дослiджень з тдви-щення швидкост стиснення зображень цим методом.
Лиература
1. Кроновер, Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. - 352 с.
2. Бейбалаев В.Д. Математические модели неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой : автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Махачкала, 2009. - 18 с.
3. Мокрый В.Ю. Учебный модуль «Методы, алгоритмы и технологии сжатия данных»: [Електронний ресурс] - Режим доступу: https://sites.google.com/site/szatieinformacii/. - Назва з екрану.
4. Дубовиков М.М. Индекс вариации и его приложение к анализу фрактальных структур // М.М. Дубовиков, Н.В. Старченко. Научный альманах «Гордон», изд-во «Поматур», М. 2005.
Abstract
The article represents a historical overview of the development offractals and fractal geometry as applied science. The concepts of the terms "fractal" and "fractal dimension" are described. The classical example of a fractal is the coastline. The relevance of the research is determined by the high practical importance and the problem offractal algorithm application of image coding in information technologies and computer graphics. The most comprehensive research of the fractal properties is represented in the works of Benoit Mandelbrot, who initiated the systematic study of fractals. Particular attention is paid to the mathematical model, iterated function system (IFS), which is used in fractal image compression. On the basis of the review, it is possible to formulate a conclusion about the relevance of research aimed at speed improvement of an image compression with the help of the fractal method.
Keywords: fractal, fractal geometry, fractal image coding method, iterated function system
