CC BY
0УДК 622.243.2:622.831.2.02
д.т.н., проф. Литвинский Г. Г. (ДонГТУ, г. Алчевск, ЛНР, ligag@ya.ru)
ФРАГМЕНТАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ТЕЛЕ С МИКРОДЕФЕКТАМИ
Стремление повысить достоверность описания поведения материалов при термомеханических воздействиях требует перехода к все более сложным математическим моделям. В данной работе представлена новая модель напряженно-деформированного состояния (НДС) твердого тела с микродефектами при произвольном его нагружении. На основе качественного анализа закономерностей распределения микродефектов сдвигового и разрывного типа оценены аномалии напряжений в их окрестности. Выбраны и обоснованы параметры математической модели НДС, основные предпосылки и ограничения. Рассмотрено и оценено влияние прочностных показателей на микросдвигах и разрывах. Доказана фрагментация напряжений по всему объему тела, вызванная микродефектами. Впервые получена система уравнений НДС, показаны микромеханизмы формирования петель гистерезиса при знакопеременном нагружении тела, оценено различие напряжений на упругих и дефектных площадках тела.
Ключевые слова: микросдвиг, микроразрыв, теория НДС, математическая модель, упругие и дефектные области, фрагментация напряжений, параметры прочности, петли гистерезиса.
1 Актуальность и цель исследований
Многочисленные исследования, которые проводятся в настоящее время, направлены на изучение особенностей поведения материалов со сложной (гетерогенной) структурой под влиянием разнообразных температурно-механических воздействий и привлекают внимание многих ученых в области твердого деформируемого тела и материалов естественного и искусственного генезиса [1-6 и др.]. Делать подробный анализ ранее выполненных исследований по данной проблематике нет необходимости ввиду уже существующих достаточно обстоятельных обзоров и оценок [7-9 и др.]. До сих пор остается справедливым утверждение [3], что теория механического поведения материалов еще далека от своего завершения. Очевидно, приходится иметь дело с явлениями на самых различных уровнях; там, где нет точных решений, приходится пользоваться приближенными моделями, а там, где нет моделей или они сложны, придется обращаться к экспериментальным данным и эмпирическим описаниям.
Одной из главных задач этой сложной проблемы по праву можно считать уста-
новление всей картины напряженно-деформированного состояния (НДС) в сложно-структурированном материале с микро- и мезодефектами, возникшими в результате термофлуктуационных процессов под действием внешних температурно-силовых воздействий.
Задача изучения НДС микродефектного тела должна базироваться на четком и непротиворечивом описании всего разнообразия микродефектов (поврежденностей) с учетом их расположения и взаимодействия друг с другом. Попытки аналитического решения такой краевой задачи в прямой постановке с использованием математической теории упругости, пластичности и ползучести ввиду чрезвычайной сложности можно заранее считать обреченными на неудачу.
Поэтому на пути решения этой проблемы неизбежно возникает необходимость принятия некоторого числа аксиом и упрощающих предпосылок. Последние должны тем не менее опираться на ранее проведенные наблюдения, экспериментальные данные и ранее установленные теоретические соотношения. К числу таких исходных предпосылок, положенных нами в основу изучения НДС микродефектного тела, следует отнести:
- в теле представлены микродефекты в виде микросдвигов, микроразрывов и их ансамблей [10];
- микродефекты в твердом теле расположены стохастически равномерно, при этом тело в целом квазиизотропно;
- задана фиксированная на данный промежуток времени исходная структура микродефектов в виде матрицы Жу [6], т. е. рассматривается квазистатическая задача;
- главный вектор и главный момент от внешней нагрузки равны нулю, т. е. рассматривается статическое равновесие.
Эти и принятые далее условия являются достаточно гибкими и не приводят к существенному ограничению общности решаемой задачи.
Цель исследования — разработка теории НДС микродефектного тела при произвольном внешнем его нагружении.
Идея работы состоит в использовании ранее предложенной математической модели микродефектного тела, в котором существует структура из поврежденностей сдвигового и разрывного типов.
Объектом исследований являются структура микродефектов в виде сдвигов и разрывов и ее влияние на НДС, предмет исследований — закономерности НДС в теле с микродефектами.
К основным задачам исследования следует отнести:
- оценку местных (локальных) возмущений НДС, возникающих в окрестности разрывных и сдвиговых микродефектов;
- выбор и обоснование параметров математической модели НДС, основных предпосылок и ограничений;
- разработку и обоснование метода определения НДС на сдвиговых и разрывных областях твердого тела;
- исследование закономерности НДС микродефектного тела.
Выполненные исследования являются продолжением и существенным образом опираются на результаты работы [10], где представлена новая теория микро- и мезо-дефектов в твердом теле.
2 Элементарные микродефекты при определении НДС
Под воздействием внешних сил, приложенных к телу с макро-, мезо- и микродефектами, возникает напряженное состояние, определение которого представляет собой весьма сложную задачу механики твердого деформированного тела.
Априори можно утверждать, что следует различать макро- и микроуровни напряженного состояние материала. Под макронапряженным состоянием понимают такое распределение напряжений и деформаций, которое игнорирует неоднородности путем как бы размазывания влияния микродефектов в теле, т. е. допускают осреднение их влияния по всему объему. Это позволяет рассматривать тело как квазиоднородное, пренебрегая наличием мезо- и микроповрежденностей.
В противовес этому микро- и мезо-напряженное состояние тела предполагает более детальное описание распределения напряжений с учетом влияния микродефектов. При этом при переходе к макромасштабу эти микронапряжения, после осреднения по объему, должны в пределе быть равными макронапряжениям. Разумеется, решение такой задачи о НДС материала с учетом неоднородностей и поврежденно-стей заметно усложняется и может быть выполнено с разной степенью детализации.
Рассмотрим элементарный объем микродефектного тела, в котором существуют оба типа дефектов, — микроразрывов и микросдвигов [10], определенным образом ориентированных приложенной нагрузкой, в виде 7-ансамблей, стохастически равномерно распределенных по всему объему материала.
Стремление описать НДС вокруг трещин «в лоб» с учетом всех его особенностей, в том числе и в краевых областях дефектов, где расположены сингулярности, как это делается, например, в механике разрушения [3, 6 и др.], в данном случае малопродуктивно и заранее обречено на неудачу.
Все многообразие поврежденностей, которые возникают в материале, можно в
Науки о земле
конечном итоге представить той или инои комбинацией элементарных разрывных и сдвиговых деформаций.
Как известно, в теле возможны три типа элементарных нарушения сплошности (краевых деформаций): I — нормальный отрыв; II — продольный и III — поперечный сдвиги (рис. 1).
Такого типа элементарные микродефекты оказываются достаточными, чтобы по отдельности или в совокупности в разных сочетаниях описать любое структурное изменение твердого тела. Однако при попытках точного аналитического определения НДС в окрестности таких дефектов возникают значительные математические осложнения (например, сингулярности и пр.), которые многократно увеличиваются, когда такие микродефекты взаимодействуют друг с другом.
3 Ансамбли микродефектов при определении НДС
Среди многочисленных исследований в области механики разрушения внимание почти всех авторов было сосредоточено на изучении напряженно-деформированного состояния материала в окрестности трещин I типа — нормального разрыва. На рисунке 2 показана качественная картина распределения концентрации касательных напряжений вокруг кончика такого типа трещин. Несмотря на сравнительную простоту исходного объекта исследования — трещины разрыва, в краевой части которой одинаковый тип деформаций (I — нормальный отрыв), — распределение напряжений отличается чрезвычайной сложностью.
Особое внимание следует обратить на высокую концентрацию напряжений (сингулярность) возле кончика трещин. Это создает возможность дальнейшего роста трещины по двум механизмам: либо путем продолжения нормального отрыва I, приводящего к удлинению трещины, либо в виде появления в кончике трещины сдвигов под углом, близким к 45° (рис. 3), что превращает трещину в Z-ансамбль дефектов [10].
Рисунок 1 Элементарные микродефекты с разрывом сплошности: I — нормальный отрыв, II — продольный сдвиг, III — поперечный сдвиг
x-x-x-.iv.v.v
Si
Й
I
•у ¿vi- »>;•;•;•;• fi,.'»*
Ш —
М-;-;-;*..:-.::.:: vlvlvi?^;»^-]
Рисунок 2 Качественная картина напряженно-деформированного состояния в окрестности элементарного разрыва
Рисунок 3 Схема распределения напряжений вокруг ансамбля дефектов «разрыв + сдвиги» при растяжении
В окрестности Z-ансамбля дефектов присутствуют все три возможных типа деформации. Надо отметить, что коэффициенты интенсивности напряжений для каждого типа деформаций изучены в рамках линейной механики разрушения [6] и трактуются как функции приложенных нагрузок, геометрии тела и трещины.
Однако для микронеоднородного тела [8] с целью определения трещиностойкости
конструкции (т. е. сопротивления конструкции распространению трещин) оказалось необходимым производить свертку этих коэффициентов, добиваясь получения обобщенных критериальных соотношений, которые неоднократно предлагались многими исследователями.
В работе [6] таких критериев разрушения приведено более двадцати, что свидетельствует об отсутствии единой трактовки разрушения и далеком от завершения методическом подходе к решению этой сложной проблемы.
Из области изучения проблем и решения задач механики разрушения выпали многие вопросы образования и развития произвольно ориентированных дефектов сдвигового характера и ансамблей дефектов Z-типа и тем более задачи определения напряжений в их окрестности (рис. 4).
II
Рисунок 4 Распределение элементарных деформаций в окрестности объемного
микросдвига (а) и комплексной поврежденности типа 2-ансамбля (б)
Как видно из рисунка 4, а, только на отдельных участках контура микросдвига Z-дефекта [10] можно идентифицировать один из типов элементарных краевых деформаций I, II, III. В остальных случаях краевая часть такого микродефекта подвержена сложному сочетанию IV элементарных деформаций II, III типа.
7-ансамбли микродефектов образованы сразу тремя видами элементарных деформаций I, II, III и IV. Попытки введения сложных искусственных критериальных соотношений для определения трещино-стойкости материалов не спасают положение, поскольку эти критерии дают прогноз устойчивости только в локальной области (по сути — в точке). Это же относится к обычным наклонным трещинам сдвига [6], где также требуется совместное рассмотрение условий равновесия трещин.
На самом деле, как нам представляется, процесс роста трещины происходит в несколько этапов. Исходной (первоначальной) трещиной, как правило, становятся:
- для материалов, в которых проявляются пластические свойства (например, металлы), — преобладающие начальные микросдвиги II вдоль направления максимальных касательных напряжений;
- для хрупких материалов (типа горных пород) первичными при росте внешней нагрузки являются микроразрывы I в виде пинч-эффекта в направлении деформаций растяжения, перпендикулярных минимальной компоненте напряжений.
По мере повышения напряженного состояния микросдвиги II растут, и их число в объеме тела увеличивается, концентрация растягивающих напряжений вблизи его концов приводит к появлению трещин отрыва I. Тем самым сдвиг преобразуется в 2-дефект (рис. 4, б), в котором центральное место занимает сдвиг II, а его «оперяют» две трещины отрыва I, направленные вдоль максимального нормального напряжения (считая, как в геомеханике, сжатие положительным, а растяжение — отрицательным). Схематически общий вид
Z-дефекта с качественной картиной распределения касательных напряжений представлен на рисунке 4.
4 Главные Wtij и встречные Wfp микросдвиги и микронапряжения
Ввиду термофлуктуационной природы возникновения микродефектов, необходимо учитывать, что на одной и той же диагональной площадке между ортами ij с максимальными касательными напряжениями т-
могут возникать 2 типа микросдвигов, имеющих взаимно противоположную ориентацию (направления общего сдвига):
Wtij — основной сдвиг (true), направленный вдоль действующего максимального касательного напряжения т-;
Wfji — обратный сдвиг (false), направленный против максимального касательного напряжения т- .
Они по определению удовлетворяют тождеству
ZW = Wtj + Wfji = Wtij - Wfij . (1)
Соответственно, на встречных микросдвигах Wtij и Wfji будут действовать
главные Twt- и обратные Twf- касательные микронапряжения противоположных знаков. По определению должно выполняться равенство
Z(W -Tw) = Wt-j Twtjj + Wfjt Twj. (2)
Отсюда можно найти результирующее сдвиговое микронапряжение Twij на сдвиговых участках тела (W-area):
Ztw = (Wt -Twt + Wf -Twf)/ ZW . (3)
Введение сдвиговых поврежденностей типов "true" и "false" обусловлено термо-флуктуационной природой их возникновения и необходимостью в дальнейшем описывать состояние материала при знакопеременных нагрузках. Если действующие на тело внешние нагрузки знакопостоянны во
времени, то, ввиду чрезвычайной малости обратных сдвигов Wfij «0, ими можно
пренебречь, что заметно упрощает решение задач реономной микромеханики.
Поскольку поврежденности Wt и Wf известны из решения кинетических уравнений реономной микромеханики [11], можно найти макронапряжение Ы> по формуле (3). Разумеется, при «простых» путях изменения механических нагрузок тела в расчетах можно использовать только главные сдвиги, что заметно упростит математическую модель определения НДС.
5 Математическая модель расчета НДС микродефектного тела
Основываясь на предыдущих замечаниях, при построении математической модели используем обобщенный подход, позволяющий произвести описание всей совокупности микродефектов в материале на основе анализа макро- и микрораспределения напряжений. Однако точного определения особенностей распределения напряжений вокруг каждого из дефектов с полной детализацией производить не будем, а ограничимся определением усредненных напряжений на дефектных и упругих площадках. Следовательно, считаем микродефектное тело квазиоднородным с равномерным распределением по всему объему всех типов микродефектов.
Рассмотрим в материале характерный объем в виде куба единичных размеров, грани которого ориентированы по главным площадкам с ортами i, j, k. В общем случае на тело действуют макронапряжения <71 ^ = 1, 2, 3).
Материал в исходном состоянии считаем квазиоднородным и изотропным, а распределение напряжений будем определять для совокупности дефектов сдвига и разрыва, геометрия которых представлена в [10].
В рамках обычных решений теории упругости напряженное состояние тела в точке будет задано тремя напряжениями 7^, действующими на главных площадках. Од-
Науки о земле
нако в микродефектном теле уже нельзя говорить о напряжении в точке, поскольку необходимо рассматривать некоторый представительный объем материала, содержащий в среднем все типы микродефектов, и выполняющий роль точки в континуальной теории деформаций и напряжений.
Согласно известным соотношениям теории упругости, максимальные касательные напряжения т- на площадках, наклоненных к главным под 45 градусов, будут равны
Tj = {Gi -Gi) / 2.
(4)
В упругой области, которую будем иначе называть сплошностью Ту, или и-агеа, и которая является дополнением к дефектной области Wij (Ж-агеа) согласно соотношению
T-. = 1 - W-
ij у
(5)
if
< Pwh- then
ч
TWij Tij PW
= else
GWi G 2Pw ■Wci
(7)
При разгрузке материала происходит пропорциональное упругое снижение напряжений на всех площадках вплоть до момента, пока на сдвиговых площадках не наступит отрицательное значение сдвиговой прочности Ту < -^ тм> у = у .
После этого дальнейшая разгрузка происходит при фиксированном предельном значении касательных напряжений на сдвиговых площадках вплоть до момента очередной смены внешней нагрузки.
Тогда из условий равновесия сил на всей рассматриваемой площадке находим напряжения на упругой ее части (и-агеа) по формулам
TUij ■ Tij = Ту -TWij Wij,
aui ■ Tci = Gt -GWi ■Wci.
(8)
действуют упругие касательные напряжения тПу. Здесь Ту, Wij — сплошность и
поврежденность на диагональной площадке между главными площадками i и j.
Определим базовое соотношение между упругими ТПу и сдвиговыми тч'у касательными напряжениями на упругих Ту и сдвиговых Wij площадках. Исходя из условий равновесия, должно соблюдаться равенство
Ту = ™у ■ Т- + ■ Wij , (i — (6)
где Ту — среднеинтегральное значение
напряжений сдвига, Па.
Исходя из условий прочности на сдвиговых участках, в качестве основного уравнения для определения сдвиговых напряжений на микросдвигах при прямом нагружении принимаем следующие условия:
Таким образом, касательные напряжения Т'№у и ТПу на участках W-area и и-агеа
каждой диагональной площадки с индексом ^ (i, j = 1, 2, 3) определены.
Для завершения задачи о напряженном состоянии материала с дефектами необходимо найти значения всех нормальных напряжений на упругих и сдвиговых участках каждой из площадок i, j, k (/', j, k = 1, 2, 3) по заданным внешним нагрузкам в виде нормальных о; и касательных т- макронапряжений, а также с учетом вычисленных по формулам (7-8) микронапряжений Ти- и та^-- .
С этой целью используем прием разложения тензора напряжений на шаровую и девиаторную составляющие (рис. 5, 6).
При этом будем считать, что на существующее макрополе главных напряжений накладывается дополнительное поле, обусловленное отклонением касательных напряжений на упругих ти и сдвиговых т площадках от макронапряжений т. Эти приращения для каждой площадки - (/', - = 1, 2, 3) находим по формулам:
Атин = тии -т, ATWij = TWij-Tij.
(9)
Науки о земле
out
причем соблюдаются равенства
OU,-
А-Ш.. / АЩ, / .........рШ у'уЛщ, hzzzzz, \ ATUj AoUj | AoUjj ^^
ГЧ шщш /Л Avun \ AoUj / Amß
OUi
OUi
Рисунок 5 К определению нормальных микронапряжений на упругих участках материала
AoUy = AzUjj, Aowj = Arwy,
(10)
AoUj = -AoUß, Aowj = -A^wji,
т. е. приращения нормальных напряжении антисимметричны.
Складывая с исходным полем напряжении ог-, получим (рис. 7):
ОЩ = Ot + AOUtj ■ Ttj + Aoutk ■ Tik, Owi = Oi + AOwij ■ Wij + AOwik ■ Wik.
(11)
На каждом из направлении /, j соответственно будем пользоваться известными формулами для средних напряжении, которые распространим на и-агеа и W-area:
Опу = (О + Оу)/2, оипу = (ощ + оиу ) / 2, (12)
оwniJ■ = (оwi + оWj) / 2,
где опу, оипу, оwnij — средние нормальные напряжения соответственно на общих, упругих и сдвиговых диагональных площадках с ориентацией X, у;
Ох, оих, оwi — нормальные напряжения соответственно на общих, упругих и сдвиговых площадках с ориентацией X.
Соответственно, для касательных напряжений получаем соотношения
bj = (oi - Oj)/2, Tuij = (oui - oUj ) / 2,
Twj. = (owi -owj )/2.
(13)
Рисунок 6 К определению нормальных микронапряжений на сдвиговых участках материала
Приращения напряжений будут создавать в материале состояние чистого сдвига, которое можно заменить эквивалентными приращениями нормальных напряжений
На рисунке 8 показаны сдвиговые и нормальные напряжения на диагональной площадке с ориентацией X, у. Условно площадка разделена на две области — упругую и микросдвиговую, в каждой из которых действуют соответствующие нормальные и касательные напряжения. Определим нормальные напряжения в соответствии с рисунком 7. Для этого введем вспомогательные матрицы 2-го ранга для нормальных напряжений оиу, оwij , кото-
Науки о земле
рые являются составными частями главных нормальных напряжений аи{ и он*/ на упругих и сдвиговых участках каждой из площадок (/, j, k = 1, 2, 3). Эти напряжения выражаются по определению через уже ранее определенные касательные и нормальные напряжения ти--, п^-, оп-
по формулам
О = Опу + ту = О^ + т/к , ощ = оипу + щ- = оипъ + тщ, (14)
^ = ™пу = .
Введем вспомогательные переменные на основании рисунков 5-7:
AoUy = Aruy + AruJ-i,
Ао^у =ArwiJ +A^wyi.
(15)
Тогда нормальные напряжения на направлении г, у можно найти по формуле
ouuy = Oj +AoUy,
OWWij = Oi + AoWiy .
(16)
Рисунок 7 Совокупность нормальных напряжений на главных площадках в материале с микродефектами
бып.
Рисунок 8 Совокупность касательных и средних напряжений на диагональной площадке /, у по направлению максимального сдвига т-
Нормальные напряжения на диагональной площадке /, у будут определяться по формулам
Oui =
Ouuij ■ Tij +Ouuik • Tik
Ту + Tk
ow i = -
owwij w +owwik ■Wi
(17)
ik
Wj + Wik
В качестве контрольного уравнения используем основное соотношение между нормальными напряжениями на /-площадке:
O = oui' Tci + Owi ■ Wci
(18)
где
Tci = 1 - Wci; Wci = Wij + Wik + Wi. (19)
Таким образом, все напряжения в теле с микродефектами полностью определены. Отсюда видно, что наблюдаются равномерно рассеянные по всему объему тела значительные отличия напряжений на множестве мелких участков, приуроченных к микродефектам, что можно назвать фрагментацией напряжений. Такого же рода явления фрагментации были получены при изучении эволюции структуры ме-
таллов в процессе их деформации в пределах зерен или перлитных полуколоний при формировании кристаллографической текстуры [9]. В нашем случае фрагментация происходит в изначально однородном материале даже без исходной кристаллической структуры и обусловлена лишь тер-мофлуктуационными процессами зарождения и роста ансамблей микродефектов.
6 Инженерный гистерезис при нагружении микродефектного тела
Вся совокупность напряжений в микродефектном теле существенным образом зависит от присущих для данного материала параметров прочности на сдвиговых и разрывных микродефектах.
Будем считать, что на сдвиговых площадках Wij действуют касательные напряжения Шу, максимальное значение которых не может превышать некоторого предельного значения, обусловленного присущими для данного материала прочностными свойствами. В простейшем случае идеально пластичного материала касательные напряжения Шу на микросдвиговых дефектах Wij ограничены прочностью на сдвиг Ршу и удовлетворяют неравенствам
-Ршу < ТШу < РШу , (20)
где Ршу — предельное значение напряжений сдвига (прочность), Па.
Из (3) можно определить касательное напряжение на упругих площадках:
тпу = (Ту - )/Ту . (21)
Равенство (21) будет справедливо при «простом» нагружении. Если, как это чаще всего наблюдается на практике, путь нагру-жения материала сопровождается разгрузкой (не обязательно однопараметрической), общая картина определения напряжений значительно усложняется. На рисунке 9 показаны закономерности изменения касательных тиу и ТШу напряжений при изменении макронапряжения Ту. Графики построены при одном существенном допуще-
нии: размеры упругих Ту и сдвиговых Wij площадок остаются неизменными во времени, иными словами, они зафиксированы («заморожены»). Отказ от этого ограничения представляет собой особо сложную задачу, решение которой будет приведено в последующих публикациях. Проследим особенности изменения напряжений Тиу и ТШу в
идеально пластическом теле при его нагру-жении сжатием и растяжением (рис. 9), т. е.
при его нагрузке Ту тх >Ту >0 и разгрузке
тах < < тах
-Ту <Ту <Ту .
При возрастании касательных напряжений Ту от 0 до предела пластичности Ршу напряженное состояние тела однородно, т. е. оно одинаково на упругих Ту и сдвиговых Wу участках: Ту = тиу = тШу < Ршу . При дальнейшем росте Ту > Рм>у касательные напряжения на дефектно-сдвиговых площадках ^-агеа) равны пределу пластичности ТШу = Рм>у, а на упругих площадках (и-агеа)
касательные напряжения тиу становятся больше ту, согласно равенству (21).
Рисунок 9 Петли гистерезиса для сдвиговых напряжений тиу и тшу при изменении касательных напряжений Ту в теле с идеальной пластичностью
При разгрузке путем снижения средних касательных напряжений в диапазоне
т -тах > Ту > Рн - напряжения ти- и повсюду снижаются по упругому закону подобно т- вплоть до нижнего предела пластичности для тн и = -Рн и . В момент полного снятия внешней нагрузки при т- = 0
общая разгрузка тела не происходит: в упругой (и-агеа) области наблюдаются остаточные упругие напряжения ти- = Рн -,
хотя в сдвиговой области сдвиговые напряжения снимаются тн - = 0.
Если продолжить разгрузку тела и перейти к его растяжению -т-тах < т- < 0, получим графики, приведенные в третьем квадранте рисунка 9. Нетрудно заметить, что основные закономерности изменения напряжений ти- и тн- и их перераспределение между упругой и сдвиговой областями сохраняются. Вновь после полной разгрузки т- ^ 0 наблюдаются остаточные напряжения в упругой области (и-агеа), где ти- = -Рн-, и в области Ж-агеа, в которой
0 > тн - < -Рн-. Следовательно, такую цикличную смену разных ветвей изменения напряжений при нагрузке-разгрузке тела можно считать проявлением типичного инженерного гистерезиса. В отличие от классического, более сложный «инженерный гистерезис» обусловлен не остаточными явлениями в материале при смене направления нагрузки, а резким изменением его поведения в точках начала и конца достижения предела прочности на микросдвиговых участках.
Таким образом, если тело подверглось
внешним нагрузкам т-тах, превысившим предел пластичности ±Рн -, то после разгрузки в нем остается, как отпечаток предыстории нагружения, упругая область и-агеа с остаточными упругими напряжениями, равными ±Рн -. Этот научный результат имеет
не только теоретическое, но и большое прак-
тическое значение, позволяющее судить о предыстории нагружения твердого деформируемого тела и его дальнейшего поведения под нагрузкой. Особенную важность эта закономерность приобретает при цикличных знакопеременных нагрузках материала, когда надо считаться с возникновением петли гистерезиса и рассеянием тепловой энергии на сдвиговых областях.
Однако нетрудно привести случай исключения из этого правила. Так, если тело на микросдвигах обладает хрупкими свойствами, т. е. в материале существуют закрытые микротрещины с сухим трением:
0 < тн - < f -опн-, (22)
где f— коэффициент трения; опн- — нормальное напряжение на сдвиговой площадке н-, Па, и нет явно выраженного предела прочности на микросдвиговых участках, то петли гистерезиса отсутствуют (рис. 10).
Рисунок 10 Зависимость сдвиговых напряжений ти- и т- при изменении касательных напряжений т- в хрупком теле с микродефектами без сцепления
Науки о земле
При сжатии на сдвиговых микродефектах выполняется условие трения Кулона, а при растяжении берега микродефектов расходятся, и на них сдвиговые напряжения равны нулю. Соответственно, вырождаются графики изменения сдвиговых напряжений. Если на сдвиговом микродефекте нормальное среднее напряжение опМу превышает удельную силу сцепления, петли гистерезиса отсутствуют, а диссипация энергии полностью исчезает.
Возможны и другие, более сложные случаи учета прочностных показателей материала, в частности те, которые наиболее полно можно учесть на основе аналитической теории прочности [11].
Пусть материал подчиняется уравнениям аналитической теории прочности [11], а его прочностные показатели в наиболее общем виде представлены в матричном виде:
- для упругих участков:
т0и,ч, и0и,ч, аи ;
и и
- для сдвиговых участков:
т0Му, а0м!у, аw.
Тогда сдвиговые прочности на упругих Ри и микродефектных Рм площадках с индексом i, j можно определить по формулам:
Риу = т0иу / о0и„ + 1)аи,
(23)
Рму = т0му (8мпу / оОму + 1)ам,
где т0иу,о0и1у,аи и т0Му,о0Му,ам — реономные параметры прочности материала (соответственно когезия сдвига, ко-гезия отрыва) и параметр хрупкости для упругих и сдвиговых участков тела [11].
На разрывах I рода, которые возникают в соответствии с термофлуктуационным кинетическим уравнением (см. последующие публикации), прочность определяется удельной когезией отрыва, которая входит в общую матрицу прочности второго ранга и занимает в ней место главной диагонали.
Матричное представление прочностных параметров позволяет полностью учесть
любую прочностную анизотропию материала, что весьма важно для неоднородных и анизотропных горных пород и каменных материалов, которые зачастую обладают слоистостью и направленной тре-щиноватостью.
В действительности далеко не всегда следует ожидать таких идеальных зависимостей напряжений, поскольку более часты «смешанные» или постепенные, по мере нагружения, переходы к более сложным проявлениям прочности на микродефектных площадках.
Если Ту изменяется знакопеременно
или циклично в пределах -Т1 < Ту < Т2, а
на микросдвигах присутствует сцепление, то во всех случаях появляются замкнутые взаимосвязанные петли инженерного гистерезиса на сдвиговых и упругих участках. Петли гистерезиса для напряжений тиу и
тМу характеризуют количество упругой и
рассеянной энергии при циклическом деформировании материала. Сами по себе циклы напряжений зависят от того, по какой схеме нагружения осуществляется изменение макронапряжения т.
При полной разгрузке материала в первом квадранте диаграммы нагружения на основании соотношений (7, 8), поскольку Ту ^ 0, получаем значения остаточных
напряжений:
тму = - Рму;
(24)
тиу = РМу /(1 - Wij).
Если разгрузка произведена после отрицательных значений внешней нагрузки
-ту ^ 0, то значения тмн, тин меняют
(/ и и
знак на противоположный.
Это открывает путь для разработки новых схем неразрушающих испытаний материалов. При этом, обеспечивая различные режимы цикличного нагружения образцов, получим циклы (петли гистерезиса) на упругих и сдвиговых микродефек-
тах и возможность с более высокой простотой и степенью достоверности определять угол внутреннего трения и удельную силу сцепления на микросдвигах, т. е. основные параметры реономного поведения материалов [11].
На данном этапе исследований обнаруженные закономерности возникновения петель гистерезиса при цикличном изменении макронапряжений могут быть использованы в программах по численному моделированию реономного поведения материала.
Выводы:
1. Стремление добиться как можно более точного описания аномалий напряжений вокруг микродефектов путем решения краевых задач теории упругости оказалось малоперспективным, что требует перехода к новым, более сложным математическим моделям квазиоднородной среды с равномерно распределенными по всему объему тела ансамблями микродефектов.
2. Анализ закономерностей аномалий напряжений вокруг микродефектов типа сдвигов и разрывов показал их сложность из-за краевых сингулярностей напряжений, трудно отслеживаемых переходов элементарных микроразрывов и сдвигов, а также их сочетаний.
3. Для математического описания ансамблей микродефектов предложено использовать матричное представление, причем для микросдвигов введены понятия главных (истинных — true) и встречных (ложных — false) сдвигов.
4. Предложена математическая модель определения комплекса касательных и нормальных напряжений на упругих (U-area) и сдвиговых (W-area) участках тела, кото-
Библиографический список
рые условно объединяют рассеянные по всему объему микродефекты и упругие элементы между ними. При этом основополагающую роль в математической модели играют принятые на основе предварительных экспериментальных данных прочностные показатели материала. В качестве таких показателей удобно использовать принятые в аналитической теории прочности [11] когезии сдвига тъ разрыва 00 и параметр хрупкости а .
5. Оценки напряженного состояния микродефектного тела показывают на микродефектных и упругих участках тела существенное различие сдвиговых и касательных напряжений, т. е. наличие явно выраженной их фрагментации. При этом их фрагментация возникает не только из-за внутрикри-сталлической текстуры материала, но и в случае ее гомогенности после возникновения микродефектов в результате термо-флуктуационного внешнего воздействия.
6. При знакопеременном нагружении материала с амплитудой выше порога прочности на микросдвиговых участках проявляется явление инженерного гистерезиса, что приводит после полной разгрузки к остаточным напряжениям противоположного знака на микродефектных (Ш-агеа) и упругих (и-агеа) участках. За счет этого явления происходит сохранение предыстории нагружения твердого тела, что можно положить в основу разработки новых методов лабораторных испытаний материалов.
7. Задачей дальнейших исследований является изучение поведения твердого тела с учетом времени и температуры с позиций термофлуктуационной (кинетической) концепции.
1. Шермергор, Т. Д. Теория упругости микронеоднородных сред [Текст] / Т. Д. Шермергор. — М. : Наука, 1977. — 400 с.
2. Екобори, Т. Физика и механика разрушения и прочности твердых тел [Текст] / Т. Екобори. — М. : Металлургия, 1971. — 264 с.
Науки о земле
3. Макклинток, Ф. Деформация и разрушение материалов [Текст] / Ф. Макклинток, А. Аргон. — М. : Мир, 1970. — 444 с.
4. Boudifa, M. A micromechanical model for те^т1с du^ile damage predi^ion in ро1ус^таШпе meтals for meтal forming [Text] / М. Boudifa, К. Saanouni, J.-L. Chaeoche // 1пт. J. Mem. Sci. — 2009. — V. 51. — P. 453-464.
5. Коллинз, Дж. Повреждение материалов в конструкциях. Анализ. Предсказание. Предотвращение [Текст]: пер. с англ. /Дж. Коллинз; под ред. Э. И. Григолюка. — М., 1984. — 624 с.
6. Черепанов, Г. П. Механика разрушения [Текст] / Г. П. Черепанов. — М. — Ижевск : Изд. ИКИ, 2012. — 872 с. — (Математика и механика).
7. Сосновский, Л. Концепции поврежденности материалов [Текст] / Л. Сосновский, С. Щербаков // Вестник ТНТУ. — 2011. — Спецвыпуск. — Ч. 1. — С. 14-23.
8. Биргер, И. А. Детерминированные и статистические модели суммирования повреждений [Текст] /И. А. Биргер //Проблемы прочности. — 1978. — № 11. — С. 3-11.
9. Золотаревский, Р. Ю. Фрагментация и текстурообразование при деформации металлических материалов [Текст] / Р. Ю. Золотаревский, В. В. Рыбин. — СПб. : Изд-во Политехн. ун-та, 2014. — 208 с.
10. Литвинский, Г. Г. Ансамбли и структуры микродефектов в твердом теле (горной породе) [Текст] / Г. Г. Литвинский // Сб. науч. трудов ДонГТИ. — Алчевск : ГОУ ВО ЛНР «ДонГТИ», 2022. — № 26 (69). — С. 5-15.
11. Литвинский, Г. Г. Аналитическая теория прочности горных пород и массивов [Текст] / Г. Г. Литвинский. — Донецк : Норд-Пресс, 2008. — 207 с.
© Литвинский Г. Г.
Рекомендована к печати д.т.н., проф., зам. директора института РАНИМИАН ДНРДрибаном В. А., к.т.н., доц., проректором по научной работе ДонГТИ Смекалиным Е. С.
Статья поступила в редакцию 01.06.2022.
Doctor of Technical Sciences, Prof. Litvinskiy G. G. (DonSTI, Alchevsk, LPR, ligag@ya. ru) FRAGMENTATION OF STRESSES IN THE BODY WITH MICRODEFECTS
The desire to increase the description reliability of the materials behavior under thermomechanical influences requires a transition to increasingly complex mathematical models. This paper presents a new model of the stress-strain state (SSS) of a solid with microdefects under its arbitrary loading. Based on a qualitative analysis of distribution regularities of the microdefects of shift and fracture type, the stress anomalies in their vicinity are assessed. The parameters of the mathematical model of SSS, the main prerequisites and limitations are selected and justified. The influence of strength indicators on microshifts and fractures is considered and assessed. The fragmentation of stresses over the entire volume of the body caused by microdefects is proved. For the first time, a system of SSS equations was obtained, micro-mechanisms of the hysteresis loops formation under alternating loading of the body were shown, the difference in stresses on elastic and defects body areas was assessed.
Key words: microshift, microfracture, SSS theory, mathematical model, elastic and microdefects areas, stress fragmentation, strength parameters, hysteresis loops.
