CC BY
55
Самоорганизация микроразрушений и локализация трещин в хрупких телах при произвольном трехмерном нагружении
В.П. Стоян
Кубанский государственный университет, Краснодар, 350040, Россия
Предлагается аксиоматический подход к описанию механизма распространения трещин из микродефектов в хрупких телах при произвольном трехмерном напряженном состоянии. Микродефект описывается через совокупность фронтов, лежащих в его плоскости. Для каждого из фронтов рассчитываются приведенные растягивающие напряжения, отнесенные к прилегающей структурной связи между структурными элементами среды. Предполагается, что микроразрушения происходят дискретно, при достижении в структурных связях теоретической прочности. Микроразрушение трактуется как неравновесный и поэтому чрезвычайно быстрый процесс потери устойчивости растянутой структуры. Распространение трещины рассматривается как последовательность таких чрезвычайно быстрых микроразрушений, чередующихся со значительно более продолжительными промежутками времени формирования сингулярности в окрестности вновь образовавшихся фронтов разрушения. Для различных видов трехмерного нагружения выделены различия в закономерностях распространения трещин и особенностях микроконфигурации их поверхностей, а также различия в степени влияния компонент трехмерного нагружения на прочность хрупкой области. Показано, что обнаруженные закономерности хорошо согласуются с характерными особенностями свойств хрупких материалов, не объяснимыми с известных позиций.
1. Введение
Одной из основных проблем механики деформируемого твердого тела является классическая проблема формулировки гипотез прочности, которые формулируются ввиду чрезвычайного разнообразия предельных состояний твердых тел и явлений их разрушения как для различных видов напряженного состояния, так и для различных материалов. Однако именно такое их многообразие и неизбежно возникающая при этом неопределенность в их применении являются источником постоянно предпринимаемых попыток более строгой формализации этих гипотез. В настоящей работе предлагается выделение в моменте потери прочности твердого тела явления хрупкого разрушения и его детальное рассмотрение при различных случаях пространственного нагружения упругого тела с точки зрения механизма самоорганизации возникающих микроразрушений.
Следуя В.В. Новожилову [1, 2], распространение трещины будем представлять неравновесным процессом последовательного формирования сингулярного возмущения в окрестности острия и чрезвычайно быстрыми
дискретными актами потери устойчивости растянутой структуры из-за разрыва связей между структурными элементами среды. Особенность напряжений в окрестности перемещающегося острия трещины на каждом этапе формирования сингулярности аппроксимируется решением линейной теории упругости в окрестности трещины-разреза.
Обычно считают, что линейная механика разрушения недопустимо грубо описывает напряженное состояние в окрестности дефектов, а получаемые в ее решениях бесконечные величины напряжений в острие дефекта не позволяют использовать методы оценки прочности классической механики. Предположением о возникновении зон пластичности и ограничении величины коэффициента интенсивности напряжений [3], введением зон “зацепления” [4, 5], рассмотрением не столько особенности напряженного состояния в окрестности острия, сколько специального интегрального критерия по замкнутому контуру и на некотором расстоянии от острия [6, 7] проблему бесконечности напряжений пытаются разрешить с различных позиций.
© Стоян В.П., 2000
Между тем, сформулированный В.В. Новожиловым подход, базирующийся, среди прочих, на понятии размера структурного элемента среды, позволяет естественным образом усреднять сингулярное напряженное состояние, переходить к конечным величинам усилий в структурных связях в окрестности особых точек и сопоставлять эти усилия с теоретической прочностью материала. Для хрупких материалов, например горных пород, обладающих особенностями строения как на уровне микро-, так и на уровне мезоструктуры, такой подход, по-видимому, будет особенно продуктивен.
Настоящая работа представляется обобщением подхода, описывающего характерные особенности хрупкого разрушения твердых тел при плоском [8, 9] и пространственном [10] нагружениях как самоорганизации микроразрушений и разработанного в целях получения первоначальных представлений о направлениях распространении трещин и механизме хрупкого разрушения твердых тел. Поскольку непосредственная проверка гипотез механики разрушения на микроуровне чрезвычайно затруднена [11, 12], правильность исходных предположений анализируется прежде всего сопоставлением их рассчитываемых следствий с данными известных макроэкспериментов.
2. Особенность напряженного состояния в окрестности фронта дефекта
Пусть в некоторой области под действием квазиод-нородного напряженного состояния с компонентами
, определенными относительно некоторой мировой системы координат, происходит самоподдерживающее-ся распространение трещины, представляемое как последовательность микроразрушений и возникновения дефектов в виде поверхностей разрыва структуры [1, 2].
Выберем систему координат х, у, z, связанную с некоторым только что возникшим дефектом, который и примем за исходный для нашего рассмотрения. Согласно [1, 2] будем полагать, что новый дефект с нормалью к его плоскости \|/ (рис. 1) возникает вблизи малого линейного /-участка фронта исходного дефекта с нормалью у в том случае, если усилие R^ в структурной связи по направлению \|/ достигает теоретической прочности Ra. Эти чрезвычайно быстрые акты потери устойчивости структуры из-за разрыва структурных связей перемежаются периодами формирования сингулярной составляющей напряжений вокруг нового дефекта, каждый из которых завершается не установлением равновесия, а новым разрывом и новым неравновесным состоянием [8-10].
Для равновесных состояний трещины в нагруженном твердом теле принято учитывать влияние конфигурации трещины на структуру особенности в ее острие [13, 14]. При этом задача ставится как определение особенности равновесного напряженного состояния (в том
0 У
\У
’ 1
ф
С
Рис. 1. Общий случай ориентации дефекта с нормалью \|/, возникающего в окрестности г-участка фронта, ограничивающего дефект с нормалью у. Ориентация задается последовательным поворотом на угол тангажа 0, а затем на угол крена ф
числе и коэффициентов интенсивности напряжений) в окрестности трещины фиксированного размера и конфигурации для заданного напряженного состояния области. Для распространяющейся трещины такая постановка не отражает физики процесса. Действительно, рассчитываемые известными методами значения коэффициентов интенсивности будут неограниченно расти по мере увеличения длины трещины, немедленно опровергая какие-либо предположения о постулируемом равновесии. Поэтому механизм распространения трещины правильнее рассматривать (см. [15]) как череду двух неравновесных процессов: формирование сингулярности в окрестности фронта разрушения и затем последующее разрушение. Но разрушение и образование нового фронта — это одновременно и исчезновение предшествующего фронта и разгрузка предшествующей сингулярности. Эти два процесса взаимосвязаны, чередуются и локализованы в окрестности перемещающегося острия. К тому же влияние каждой возникающей сингулярности резко уменьшается на удалении от фронта разрушения, а по времени исчезает так же быстро, как и появляется. Поэтому в первом приближении, в противовес рассмотрению состояний распространяющейся трещины как равновесных, правильнее предполагать, что равновесия распространяющейся трещины в окружающей области не достигается, а напряжение в области, по мере такого быстрого распространения в ней трещины, в первом приближении в целом не успевает измениться.
На первый взгляд может показаться, что такое допущение физически неверно. Однако здесь стоит отметить, что микроразрыв отдельной структурной связи как потеря взаимной связи двух смежных структурных элементов по своей сути, как отмечает В.В. Новожилов,
происходит по типу потери устойчивости и значительно превышает скорость распространения звука в среде. Но каждый микроразрыв не оказывает влияния на прилегающие элементы и связи между ними до тех пор, пока в окрестности возникшего микроразрыва из-за появившейся неравновесности не начнется движение и формирование новой особенности напряженно-деформированного состояния. Только развившись в достаточной степени и растянув следующую связь, эта особенность создаст необходимые условия для следующего микроразрыва. Поэтому, во-первых, скорость микроразрушений и скорость роста трещины суть различные понятия и последняя как раз и определяется скоростью распространения возмущения напряженного состояния в среде. Во-вторых, возникающая особенность напряженно-деформированного состояния даже в статической, равновесной постановке, согласно известным классическим решениям теории упругости, локальна и сингулярна, то есть стремится к нулю при удалении от особой точки, а значит и не сильно влияет на отдаленные части области.
Что же касается неравновесного процесса [15], то здесь формирование области сингулярности завершается прежде, чем будет достигнуто равновесие. Процесс формирования сингулярности неизбежно прерывается разрывом ближайшей связи. Нет и не может быть у фронта разрушения такого “микропроцессора”, который “отслеживал” бы формирование сингулярности в его окрестности и не “позволял” бы близлежащей связи разрываться до тех самых пор, пока самые отдаленные части области и сингулярность путем многократных обменов взаимодействиями не достигнут взаимного равновесия. Все намного проще и естественней. Образовавшийся разрыв — это новый дефект, и вокруг него начинает формироваться особенность под действием окружающего напряженного состояния, зависящая от ориентации образовавшегося разрыва. Поэтому для описания формирования сингулярности использование статических решений механики разрушения без особых оговорок (особенно прямой попыткой вычисления коэффициентов интенсивности по достигнутой длине трещины и ее конфигурации) лишено какого-либо физического смысла.
В настоящей работе будем только предполагать, что вид формирующейся сингулярности, структура соотношений, описывающих ее на всем временном промежутке формирования до последующего разрыва, могут быть аппроксимированы известным классическим решением задачи о распределении напряжений в окрестности острия трещины разреза в статической постановке. Максимальные значения коэффициентов интенсивности определяются не длиной трещины, а исключительно прочностью растягиваемой при этом структурной связи. Впрочем, как отмечено во введении, все рассуждения о микромеханизмах макропроцессов при конструировании структурных моделей могут быть всего лишь прав-
доподобными рассуждениями, степень достоверности которых не может быть проверена иначе, как сопоставлением их непреложных следствий с результатами макроэкспериментов.
Поэтому будем полагать, что на структуру особенности в окрестности рассматриваемого фронта из всей совокупности фронтов дефекта влияет только собственный фронт. Само разрушение происходит на участке нарастания напряжений [16] так, что формирующаяся сингулярность может быть принята в простейшем ква-зистатическом плоском приближении [17-19] (см. рис. 1):
=
1
5 0 1 36.^
—сое-------сое \К1 +
4 2 4 2 1 1
і 5 . 6 3 . 36 .
+ | sln— + — sln— |К11
4 2 4 2
а06 =
3 6 1 36
—соз — + — соз— \К1 +
4 2 4 2 1 1
I 3 . 6 3 . 36 .
+ | - — sln— -— sln— \К11 4 2 4 2
2пг
1
1 • 6 1 . 36'
—зт— + — sln— \К1 + 4 2 4 2 1 1
(1)
63
36
+ 1 — соз — + — соз— \К
4 2 4
^22 = М(СТГГ + ^66 )>
= Кш . 6
ТГ2 ---------- >
л/2пг 2
Кш 0
т02 =-/г=cosT, л/2пг 2
где агг, а00, аг0, а22, тГ2, т02 — компоненты напряженного состояния в цилиндрической системе координат г, 0, г, связанной с г-фронтом у-дефекта.
Неравновесность процесса разрушения предполагает неравновесность особенности (1) в окружающей области с напряженным состоянием а у. Коэффициенты интенсивности напряжений К1, Кп, Кш соответственно по первой, второй и третьей модам нагружений, характеризующие неравновесные состояния, предполагаются всего лишь пропорциональными напряжениям в области и степени развития этой сингулярности как некоторому параметру длины, зависящему от времени t формирования сингулярности:
I = I(г).
Этот параметр может быть назван “эффективной” длиной дефекта, но в действительности длиной трещины не является (см. [9, 10]):
К = а ууу/ п1 (г), причем К1 > 0,
кп = т худ/пСО, (2)
кш = т ^7^(0.
Здесь а^, тху, т^ — компоненты тензора напряжений в системе координат х, у, г, связанной с г-фронтом рассматриваемого у-дефекта в области на достаточном удалении от особенности.
Как видно из предыдущего обсуждения, имеется принципиальное отличие использованной в настоящей работе трактовки соотношений (1), (2) от классической. Как отмечается в [9, 10], если в классическом решении для статического случая агу и его компоненты а, т осу, т у — это напряжения на бесконечном расстоянии от острия трещины-разреза, то для рассматриваемого неравновесного квазистатического приближения под последними достаточно понимать компоненты неискаженного дефектом напряженного состояния рассматриваемой области.
В классическом решении (для равновесного состояния) I — длина трещины разреза. В рассматриваемом здесь случае это всего лишь некоторый параметр, описывающий формирующуюся сингулярность, в каком-то смысле “эффективный” размер дефекта. Сами же выражения (1), (2) всего лишь принятый вид аппроксимации неравновесной сингулярной составляющей напряжений в окрестности возникшего фронта разрушения.
В настоящей работе под дефектом, вместо такого достаточно сложного объекта классической теории разрушения, как трещина, понимается более простой объект: его граница — фронт, собственно и являющийся источником сингулярности (1). В этом случае плоскость дефекта ограничивается непрерывной совокупностью фронтов, а сам дефект просто сводится к этой совокупности более простых объектов.
Представляет интерес также неочевидный случай формирования сингулярности напряжений в окрестности фронта дефекта с берегами, сомкнутыми действующими в среде сжимающими напряжениями ауу < 0. Не будем “умножать сущность” введением уместного в других случаях понятия трения и попытаемся обойтись уже введенными понятиями отсутствия или возникновения взаимодействия между структурными элементами среды. Прежде всего, условимся, что при соприкосновении берегов дефекта полного восстановления связей в хрупком теле не происходит и оно не рассматривается (это иной механизм, требующий специального рассмотрения). С другой стороны, очевидно, что связи возникают, но носят ярко выраженный односторонний характер: они препятствуют взаимному проникновению материала берегов, но не препятствуют их расхождению. Это, по-видимому, происходит потому, что взаимодействие возникает между парами противостоящих элементов,
причем между достаточно малым их числом. По мере сближения берегов число таких пар увеличивается, а при разведении — уменьшается. Однако собственно взаимодействие пар позволяет элементам смещаться по нормали к взаимодействию, так что трение по поверхности дефекта хрупких тел определяется скорее эффектами зацепления из-за неровностей этой поверхности и проявляется на цепочках выходящих на поверхность дефекта элементов структуры, значительно более длинных, чем размер одного элемента.
Поэтому есть основание предполагать, что в случае нормальных сжимающих напряжений так называемый “эффективный” размер дефекта при расчете сингулярности напряжений исчезающе мал по сравнению с “эффективным” размером дефекта в случае сдвиговых напряжений. Последний, в свою очередь, меньше “эффективного” размера дефекта, используемого при расхождении берегов дефекта, вызванном растяжением области. Именно в этом смысле в выражениях для коэффициентов интенсивности напряжений (2) К1 принимается равным нулю для нормальной сжимающей компоненты напряжения и из всех компонент сингулярных напряжений остаются только сдвиговые составляющие, описывающие в том числе и “перехлест” одной грани поверхности с другой из-за происходящих сдвигов. Этим развиваемый подход отличается от подхода, развитого Б. Полем [20] и рассматривающего дефект как эллиптическую трещину. В этой работе попытка описания эффектов, сопровождающих смыкание берегов, не проводилась и, по понятным причинам, крайне затруднена.
Впрочем, как и в обсуждаемом выше случае, все приведенные рассуждения могут быть всего лишь постулированы правдоподобным утверждением о том, что для сомкнутого дефекта сингулярная составляющая решения от сжимающей дефект компоненты напряжений исчезает. При этом возникающие от сжатия берегов дефекта взаимодействия расположенных на них структурных элементов только уменьшают приведенную (свободную от возникших связей) длину дефекта и не меняют структуру оставшейся сингулярной составляющей напряжений, формирующейся под действием сдвигающих компонент напряжения в окрестности фронта дефекта.
Однако любой из этих двух путей введения вышеприведенных упрощений требует установления доказательного соответствия их непреложных следствий результатам макроэкспериментов. Этому посвящены нижеследующие разделы работы.
После некоторого обоснования принимаемых упрощений остается определить направление ^-площадки с наибольшим значением усилия в структурной свя-
зи. Итак, пусть ^-площадка задается относительно г-фронта ^-дефекта поворотом вокруг фронта на угол 0 (тангаж) и вращением вокруг г-направления на угол ф (крен) (рис. 1). Примем за а расстояние между центрами структурных элементов среды [1, 2]. Тогда усилие Я^
в ^-связи структуры [1, 2] пропорционально приведенному нормальному напряжению 0^ [9] по ^-площадке:
Rv =
(З)
W’
где
3 0 1 З0|
—cos— + — cos— \а yy +
4 г 4 г уу
уу
(4)
3 . 0 3 . 36 ,
+ | - — sin— sin— It cos ф +
4 2 4 2 1
0
+ Tzy cos-2Sin29 +
„ ( 0 • 0 V 2
+ ад cos2ct-sm^txy Isin Ф-
Следуя B.B. Новожилову [1, 2], будем полагать, что прочность хрупкой среды определяется исключительно прочностью ее структурных связей на разрыв и новый дефект структуры возникает на ^-площадке, нормальной направлению действия максимального растяжения R-щ. Запишем соответствующие условия экстремума
относительно 0 и ф:
3R.,, Эа,
w
Э0 Э0
З . 0 З . З0
- sin - sin
З 0 9 З0 l
+ | — cos---------cos— \т о
8 г 8 г
cos2 ф -
1 • 0 • „
- — т_, sin—sln2ф-
г ^ г
і і • 0 і 0 і • г
- 2ц| - — sin— а 1Л, - — cos —т\ sin ф = О,
г г уу г г ху
(5)
dRV =
Эф Эф
3 0 і З0
cos + cos \а уу +
4 г 4 г уу
уу
3 . 0 З , З0
+ |----sin---sin— \тsln2ф +
4 г 4 г 1
0
+ 2т cos—cos 2ф +
Г 0 0
+ 2ц| cos ^ а уу - sin ^ т, \ sin2ф = О.
(б)
Ранее (см. [8, 9]) автору удалось получить точное многозначное решение для отклонения направления распространения микроразрушения при смешанном нагружении трещины без использования принимаемых другими авторами [21, 22] ограничений на величину этого отклонения:
Г
0 = 2arctg
а
уу
4то
а
уу
і
+ — 4тоу г
л
(7)
Это позволило [8, 9] сконструировать получисленный алгоритм, описывающий самоорганизацию микроразрушений при смешанном плоском нагружении. Продолжением указанного подхода является представленное в настоящей работе обобщение на случай произвольного пространственного нагружения фронта, приводящее к системе нелинейных алгебраических уравнений (5), (6). Получение точного решения такой системы аналитически, в общем виде, без опасности потери значимых корней представляет значительные трудности. Поэтому система (5), (6) решалась численно методом хорд. Первые две пары исходных приближений удобно выбирать в окрестности ранее полученного точного решения задачи о смешанном нагружении (7). Решение, уточненное последующими итерациями, в общем случае всегда отличается от первоначального приближения (7).
Решение 0 и ф системы (5), (6), как и (7), в общем случае также многозначно и соответствует нескольким экстремальным значениям приведенного растягивающего напряжения а^., из которых выбирается решение, приводящее к максимальному значению а^.
3. Микродефект как совокупность ограничивающих его фронтов
Плоскость локального дефекта, как оговорено выше, представляется в виде непрерывной совокупности ограничивающих его фронтов. При этом каждому фронту, ограничивающему исходный ^-дефект, соответствуют свои значения 0ехй., фех(г из (5), (6). Положение локального фронта будем задавать углом поворота вокруг оси у — углом курса £, лежащим в плоскости дефекта. Тогда среди совокупности фронтов, ограничивающих дефект, может быть найден активный фронт, создающий максимальное растягивающее усилие на соответствующей ему ^-площадке:
дауу (0extr , фextr )
dZ
= О.
(8)
В решении (8), как и в решении (5), (6), представляют интерес корни, обеспечивающие максимальное значение приведенных растягивающих напряжений .
4. Распространение трещины как последовательность локальных микроразрушений. Влияние вида напряженного состояния на механизм разрушения и прочность хрупкого тела
Матрица В' направляющих векторов ортогональной системы координат, составленная для нового микродефекта из векторов-столбцов х', у', г' (это соответственно направление нового разрушения, его нормаль и фронт),
может быть получена из аналогичной матрицы В для предыдущего микродефекта последовательным вращением ю® на угол £ вокруг оси у (угол курса), затем ю(0) на угол 0 вокруг оси г (тангаж) и, наконец, ю(ф) на угол ф вокруг оси г (крен):
В' = ю(ф)т(0)т(°В. (9)
Следуя подходу [8, 9], будем и для пространственного случая полагать, что разрушение ^-связи снимает сингулярные напряжения в окрестности г-фронта, а новый дефект возникает в г-направлении на расстоянии а от исходного дефекта. Полученная в (9) ориентация нового у'-дефекта является исходной для последующего дискретного неравновесного этапа микроразрушения. При этом, под действием напряжений области а^ вокруг совокупности фронтов возникшего у --дефекта начинает формироваться совокупность новых особенностей и т. д.
Не предполагается, что ориентация исходного у-де-фекта в точности соответствует какой-либо ориентации в последовательности реальных микроразрушений. Напротив, именно в связи с хаосом дефектов структуры реальных тел ориентация дефекта, выбираемого в качестве начального, в какой-то мере должна быть случайна [23]. Тем поразительнее обнаруженная в численных экспериментах самоорганизация микроразрушений, приводящая к закономерной ориентации распространения трещин. При этом оказалось, что явления, описываемые в рамках плоской задачи [8, 9], являются частным случаем излагаемой в настоящей работе общей постановки для пространственного нагружения области.
В данной работе приведены результаты численных экспериментов при нулевом значении коэффициента Пуассона (ц = 0). Этим удается показать, что описываемые ниже механизмы разрушения имеют место без привлечения дополнительного понятия Сен-Венана об эквивалентных напряжениях. Сам круг моделируемых нагружений максимально расширен для рассмотрения всевозможных их видов. Наряду с ориентацией каждого возникающего дефекта анализировались величина приведенного растягивающего напряжения а^. (4); фактическая степень влияния каждой компоненты пространственного напряженного состояния области на а^., а соответственно и на прочность области; ориентация трещины в среднем, оцениваемая по ориентации двух последовательных микродефектов.
В результате численных экспериментов оказалось, что только при равномерном трехосном растяжении (а1 = а2 = а3 > 0) трещина распространяется строго по ориентации начального дефекта. Во всех остальных случаях направление распространения трещин не совпадает с ориентацией исходных дефектов и в различной степени зависит от вида напряженного состояния области. Также оказалось, что во всех случаях величина угла
0 сходится к некоторому стабильному по модулю значению ±08( уже после нескольких шагов микроразрушения, причем 0 < 08( < 2аг^дД/2 = 70.5°, что соответствует закономерностям распространения трещин при смешанном нагружении [8, 9].
Детально рассмотрим полученные численно закономерности ориентации микроразрушений и образующихся из них трещин при различных видах пространственного нагружения области.
При неравномерном трехосном растяжении (а1 > > а2 > а3 > 0) ориентация шагов микроразрушений изменяется скачками и постепенно приближается к ориентации площадок действия максимальных напряжений а1 независимо от направления начального дефекта (рис. 2). При этом угол тангажа 0 быстро уменьшается до нулевого значения (08( = 0) и каждый возникающий дефект ориентируется перпендикулярно направлению а1. Согласно (2), (4) последнее означает, что на усилие в структурной связи (3) и соответственно на прочность области не оказывают влияние растяжения меньшей интенсивности а2 и а3, что соответствует результатам известных экспериментов с хрупкими материалами [24]. Трещина, как результат образования микроразрушений, ориентируется по нормали к наибольшему растягивающему напряжению в области. Таким образом, результаты предлагаемой модели в этом случае соответствуют классической гипотезе прочности Галилея о решающем влиянии максимальных растягивающих напряжений на прочность тел.
При растяжении-сжатии (а1 > 0 > а2 > а3) микроконфигурация трещины качественно меняется и становится зигзагообразной, т. е. 0 = 08( 1де 0 < 08( <
< 2аг^дД/2, что соответствует результатам, полученным для смешанного нагружения [8, 9]. Причем максимальное по модулю значение 08( соответствует случаю значительных составляющих сжатия (|а3| >~ 2а1). Активный фронт трещины г, вычисляемый на каждом шаге по формуле (9), стабилизируется вдоль промежуточной составляющей напряжений а2. Поскольку в этом случае плоскость каждого возникающего дефекта ориентируется под углом как к а1, так и к у и параллельна а2, на усилие в структурной связи (3), на приведенное растяжение (4) и соответственно на прочность области влияют как растяжение а1 , так и большее сжатие а3 и не оказывает влияние промежуточная составляющая напряжения а2 (это также подтверждается в экспериментах с хрупкими материалами [24]). Ориентация трещины в среднем перпендикулярна растяжению а1 , и это единственное направление распространения трещины при начальных дефектах любой ориентации. Появление такой трещины, в экспериментах обычно называемой трещиной растяжения, разгружает разделенную на части область и приводит к исчерпанию ее прочности (рис. 3).
Рис. 2. Механизм распространения трещин при неравномерном растяжении (случай а! = а, а2 = 0.3а, аз = 0.1а, где а > 0): а — Самоорганизация последовательных микроразрушений при неравномерном растяжении в гладкие трещины. Ориентация последовательно возникающих дефектов независимо от ориентации исходных дефектов 1 и 2 устанавливается по нормали к наибольшему растяжению а!. б—Следы плоскостей трещин на гранях куба, выбранного в качестве представительного объема. Трещины 1 и 2 возникают последовательными микроразрушениями из показанных на рис. 2, а исходных дефектов. Плоскости обеих трещин нормальны наибольшему растяжению а!. Расположение и ориентация исходных дефектов в выбранном объеме приняты случайными. в — Изменение значений относительных приведенных растягивающих напряжений от этапа к этапу микроразрушений в окрестности перемещающегося фронта для трещин, возникающих из дефектов различной ориентации 1 и 2. Приведенные напряжения для исходного дефекта 2 меньше, чем для дефекта 1. Поскольку область теряет несущую способность уже с появлением трещины 1, то трещина из дефекта 2 даже не развивается.
При сжимающих напряжениях а2 и а3 и малых растяжениях а1 (а1 <~ 0.5| а 3|) ориентация распространяющихся трещин оказывается неединственной, микроконфигурация трещины остается зигзагообразной, угол отклонения 0 последующего дефекта от предыдущего достигает наибольшего значения ± 2агС^Д/2. Различная ориентация исходных дефектов приводит к образованию различным образом ориентированных, в том числе и наклонных, трещин (рис. 4). Однако при прочих равных условиях, именно нормальной к а1 трещине соответствует наибольшее приведенное напряжение одновременно на всех этапах микроразрушения и распространение такой трещины представляется предпочтительнее остальных. Тем более, что в реальном теле, содержащем хаос дефектов [23], всегда найдется дефект, инициирующий распространение трещины.
Таким образом, во всех случаях неравномерных растяжений или растяжений-сжатий для исчерпания прочности достаточно первой трещины, разделяющей область на части. Эта трещина, как видно выше, развивается перпендикулярно а1 и в экспериментах обычно называется трещиной растяжения. Разделенная на части
область разгружается, появление или развитие остальных трещин предотвращается и какое-либо сопротивление ее нагружению становится невозможно (рис. 2-4). Действительно, область, нагруженная равновесным пространственным напряженным состоянием, одной из компонент которого является растяжение, при образовании трещины перпендикулярно направлению растяжения неизбежно разгружается. Берега трещины расходятся и какое-либо дальнейшее равновесное нагружение области таким образом, чтобы восстановить в ней растягивающее напряжение, оказывается невозможно. Область, в смысле восприятия нагружения прежнего вида, оказывается разрушенной и не способной такое нагружение воспринять.
При любых случаях неравномерного сжатия (а3 <
< а2 < а1 < 0) различным образом ориентированные начальные дефекты приводят к возникновению различным образом ориентированных трещин с зигзагообразной микроструктурой. Их общая особенность — максимальная величина угла тангажа 0 на микроуровне (081 = 2аг^д/^2) и строгая ориентация фронтов разрушения (2- и 2г-направлений) по направлению действия
J_______________________________I___________________________I___________________________I___________________________I___________________________I___________________________I____________________________I___________________________I___________________________I___________________________\.
и 5 10 15 П
Рис. 3. Механизм распространения трещин при трехмерном растяжении-сжатии (случай а! = а, а2 = -0.1а, а3 = -0.3а, где а > 0): а — Самоорганизация последовательных микроразрушений при трехмерном растяжении-сжатии в гладкую поверхность разрушения из дефекта 2 с начальной ориентацией, нормальной растяжению. Поверхность зигзагообразной микроконфигурации развивается в направлении наибольшего сжатия из дефекта 1 любой ориентации, отличной от ориентации, нормальной направлению нагружения. Существует ориентация дефекта (дефект 3), для которой значения приведенных напряжении на всех этапах развития трещины имеют максимальные значения. б — Следы плоскостей трещин на гранях куба, выбранного в качестве представительного объема. Трещины 1, 2 и 3 возникают микроразрушениями из показанных на рис. 3, а исходных дефектов. Все три трещины нормальны направлению растяжения области а!. Расположение и ориентация исходных дефектов в выбранном объеме приняты случайными. в — Изменение значений относительных приведенных растягивающих напряжений от этапа к этапу микроразрушений в окрестности перемещающегося фронта для трещин, возникающих из дефектов 1, 2 и 3 различной ориентации. Значения приведенных напряжений, имеющие место при распространении дефектов 1 и 2, меньше по величине, чем значения приведенных напряжений для дефекта 3. Область теряет несущую способность уже с появлением зигзагообразной трещины 3, так что гладкая трещина из дефекта 2 и зигзагообразная трещина из дефекта 1 не успевают развиться.
промежуточного напряжения а 2 (рис. 5), так что последнее не оказывает влияния на величину приведенных напряжений и соответственно на хрупкую прочность. Этот теоретически полученный в данной работе факт достоверно установлен и в многочисленных экспериментах над хрупкими материалами (см. например обзор в [24], исследования Брауна [25]). Примечательно, что наибольшие приведенные растягивающие напряжения на каждом из этапов микроразрушения возникают для трещин, проходящих вдоль направления наибольшего сжатия а3. Поэтому распространение таких трещин, при прочих равных условиях, предпочтительнее остальных. Впрочем, при неравномерном сжатии, этих трещин оказывается далеко недостаточно для исчерпания прочности области. Отдельные части разрушенной области оказываются сжаты меньшим сжимающим напряжением а1 и напряженное состояние области в целом не меняется. Область, несмотря на возникновение по-
верхностей раздела, может воспринимать сжатие приложенного вида. Нормали к плоскостям распространения наклонных трещин лежат в плоскости а1 -а3. Для таких наклонных трещин приведенные растягивающие напряжения на каждом втором этапе микроразрушений (^-этапах по [9]) по величине оказываются меньше (аналогично результатам для смешанного нагружения [8, 9]), чем приведенные напряжения для трещин, проходящих вдоль а3. Поэтому наклонные трещины могут появиться только после дополнительного нагружения области. В этом случае область дробится наклонными трещинами на отдельности (рис. 5). По описанным выше причинам исчерпания прочности области при этом, собственно, может еще и не происходить. В [26, 27] автором настоящей статьи сформулирована специальная теорема, в которой строго доказывается снижение уровня напряженного состояния области при сдвиге по поверхности раздела. Поэтому только появление доста-
—I—I—I—I______I___I__I__I__I__I__I__I__I__I__I__►
0 5 10 15 П
Рис. 4. Механизм распространения трещин при двустороннем равномерном сжатии и малом растяжении в третьем направлении (случай а1 = 0.01а, а2 =-а, а3 =-а, где а > 0):
а — Самоорганизация последовательных микроразрушений в поверхности разрушения исключительно зигзагообразной конфигурации при направлениях исходных дефектов, отличных от нормальных к приложенному нагружению. Поверхности 1 и 2 образованы из различным образом ориентированных дефектов, имеющих различные наклоны к осям нагружения. Показана возможная ориентация исходного дефекта 1, когда зигзагообразная трещина в целом ориентирована по нормали к растяжению. б — Следы плоскостей трещин на гранях куба, выбранного в качестве представительного объема. Трещины 1 и 2 возникают последовательными микроразрушениями из обозначенных на рис. 4, а исходных дефектов. Показаны трещина 1, нормальная направлению растяжения а1, и трещина 2, наклонная к осям нагружения. Расположение и ориентация исходных дефектов в выбранном объеме приняты случайными. в — Изменение значений относительных приведенных растягивающих напряжений от этапа к этапу микроразрушений в окрестности перемещающегося фронта для трещин 1 и 2, возникающих из соответствующих дефектов различной ориентации. Наклонная трещина 2 характеризуется приведенными растягивающими напряжениями, в целом меньшими, чем для трещины 1, распространяющейся по нормали к растяжению. Поэтому трещина 1 распространяется первой, область теряет при этом свою несущую способность.
точно наклоненных трещин и последующий сдвиг по ним изменяют напряжения в области и снижают ее общую несущую способность. Именно эти наклонные трещины и называют обычно в экспериментах трещинами сдвига, хотя причиной их возникновения по-прежнему остаются микроразрывы из-за микрорастяжений в окрестности дефектов. Известны и экспериментальные работы, например [28], где указывается, что плоскости сдвига, наблюдаемые при трехосном испытании хрупких материалов, развиваются только в запредельной стадии деформирования и гипотеза Мора о сдвиговом механизме разрушения в хрупких материалах не подтверждается.
Таким образом, общим для всех типов разрушения, происходящего по механизму дробления, является возможность дальнейшего нагружения после возникновения первых, соосных а3, трещин до возникновения достаточно наклоненных трещин, развития сдвигов по
этим трещинам и исчерпания прочности области. Значения величин углов наклона трещин к направлению аз определяются исключительно возможностью формирования растягивающих усилий в структурных связях на каждом из этапов микроразрушений. Значения углов наклона трещин не могут превысить величины аг^д/^2 = 35.3°, как и для смешанного нагружения [8, 9]. Во всяком случае, как и в экспериментах с хрупкими материалами [24, 25], эти значения никогда не приближаются к 45°.
При равенстве меньших составляющих сжатия (0 > а1 = а2 > а3) ориентация трещин становится безразлична к повороту вокруг а3. Различным образом ориентированные начальные дефекты приводят к возникновению различным образом ориентированных трещин. Первая трещина проходит вдоль направления наибольшего сжатия а3, поскольку только для этой ориентации поддерживается наибольшее приведенное
Рис. 5. Механизм распространения трещин при трехосном неравномерном сжатии (случай = -0.1а, а2 = -0.3а, а3 = -а, где а > 0):
а — Самоорганизация последовательных микроразрушений при трехосном неравномерном сжатии области исключительно в поверхности разрушения зигзагообразной конфигурации при любых направлениях исходных дефектов, отличных от нормальных к осям сжатия. Поверхности, образованные из соответствующих различным образом ориентированных дефектов 1, 2 и 3, имеют различные наклоны к осям нагружения. При этом каждая зигзагообразная трещина в целом, равно как и каждое установившиеся направление микроплощадок разрушения в них, ориентирована вдоль направления действия промежуточного сжатия. б — Следы плоскостей трещин на гранях куба, выбранного в качестве представительного объема. Трещины 1, 2 и 3 возникают последовательными микроразрушениями из обозначенных на рис. 5, а исходных дефектов. Показаны трещина 1, соосная направлению наибольшего сжатия а3, и трещины 2 и 3, наклонные к направлению наибольшего сжатия и приводящие к эффекту дробления. Расположение и ориентация исходных дефектов в выбранном объеме приняты случайными. в — Изменение значений относительных приведенных растягивающих напряжений от этапа к этапу микроразрушений в окрестности перемещающегося острия для трещин, возникающих из дефектов 1, 2 и 3 различной ориентации. Семейство наклонных трещин 2 и 3 с учетом всех этапов микроразрушений характеризуется приведенными растягивающими напряжениями, меньшими, чем для трещины 1, распространяющейся вдоль направления наибольшего сжатия. Причем приведенные растягивающие напряжения для них тем меньше, чем больше наклон трещины. Поэтому трещина 1 распространяется первой, но область при этом не теряет несущую способность и может воспринимать, по крайней мере, сжимающую нагрузку прежнего вида.
напряжение на каждом из этапов микроразрушений. Наконец для одноосного сжатия (а3 < 0, а1 = а2 = 0) (рис. 6) появление такой трещины практически означает исчерпание прочности области. Действительно, хотя возникающие вертикальные отдельности продолжают воспринимать продольную нагрузку, уже незначительное последующее нагружение приведет к появлению незначительно наклоненных трещин, по которым неизбежно происходит сдвиг. При этом зрительно будет казаться, что область разрушается путем образования продольных отдельностей, соосных сжатию, по классическому механизму разрушения хрупких материалов при одноосном сжатии, объясняемому ранее, как правило, только при помощи гипотезы образования при одноосном сжатии растягивающих (эквивалентных) напряжений.
5. Заключение
Таким образом, эффекты самоорганизации разрушения в хрупких телах можно описать:
1. рассматривая распространение трещины в соответствии с подходом В.В. Новожилова как дискретный неравновесный процесс микроразрушений,
2. применяя сформулированный В.В. Новожиловым структурный критерий разрушения и гипотезу о растягивающих микронапряжениях как о единственной причине разрушения хрупких тел с дефектами структуры,
3. не используя принцип равновесия при анализе особенности напряженного состояния в окрестности фронта,
4. заменяя принцип равновесия предположением о возможности аппроксимации формирующейся в окрест-
Рис. 6. Механизм распространения трещин при одноосном сжатии (случай а! = а2 = 0, а3 = -а, где о > 0):
а — Самоорганизация последовательных микроразрушений исключительно в поверхности разрушения зигзагообразной конфигурации при направлениях исходных дефектов, отличных от нормального к оси приложенного сжатия. Поверхности, образованные из различным образом ориентированных дефектов 1, 2, 3 и 4, имеют различный наклон к оси нагружения. б — Следы плоскостей трещин на гранях куба, выбранного в качестве представительного объема. Трещины 1, 2, 3 и 4 возникают последовательными микроразрушениями из обозначенных на рис. 6, а исходных дефектов. Показаны трещина 1, соосная направлению наибольшего сжатия а3, и трещины 2 и 3, наклонные к направлению наибольшего сжатия и приводящие к эффекту дробления. Расположение и ориентация исходных дефектов в выбранном объеме приняты случайными. в — Изменение значений относительных приведенных растягивающих напряжений от этапа к этапу микроразрушений в окрестности перемещающегося фронта для трещин, возникающих из дефектов 1, 2, 3 и 4 различной ориентации. Семейство наклонных трещин 2, 3 и 4 с учетом всех этапов микроразрушений характеризуется приведенными растягивающими напряжениями, меньшими, чем для трещины 1, распространяющейся вдоль направления наибольшего сжатия. Причем приведенные растягивающие напряжения для них тем меньше, чем больше наклон трещин. Поэтому трещина 1 распространяется первой. Область при этом, казалось бы, как и для случая неравномерного трехосного сжатия, не должна терять несущую способность и могла бы воспринимать, по крайней мере, сжимающую нагрузку прежнего вида. Однако при появлении первой сколь угодно мало наклоненной трещины неизбежно происходит сдвиг по образовавшейся поверхности раздела и несущая способность одноосно нагруженной области этим исчерпывается. В этом смысле значительно наклоненные трещины при одноосном сжатии не возникают.
ности дискретно образующихся фронтов особенности напряжений всего лишь в форме соотношений линейной механики разрушения,
5. заменяя сложный объект механики разрушения — трещину — более простым — фронтом разрушения как естественным источником возникновения сингулярности напряжений.
При этом, с единых позиций удается описать локализацию трещины в плоскости, перпендикулярной направлению наибольшего растяжения области, независимость направления роста трещины от меньших растяжений при неравномерном произвольном трехосном растяжении, влияние сжимающей составляющей напряжений на прочность хрупкой области при неравномерном трехосном растяжении-сжатии, рост трещины вдоль направления сжатия при одноосном сжатии; сформули-
ровать модель множественного локального трещино-образования и дробления при сжатии и прояснить природу так называемых трещин сдвига в хрупких телах.
Предложенная модель развития разрушения описывает механизм самоорганизации микроразрушений и локализации трещин и может быть использована при формулировке феноменологической теории хрупкой прочности и запредельного деформирования твердых тел с дефектами структуры.
Автор благодарен академику РАН В.А. Бабешко и его ученикам—профессорам Е.В.Глушкову и Н.В.Глуш-ковой — за многолетнюю поддержку в работе, а также доктору Р. Блуменфельду [29] за обсуждение научных результатов [8, 9] автора настоящей статьи на конференции в феврале 1995 года в г. Марселе (Франция) и их активную популяризацию [30, 31].
Литература
1. Новожилов В.В. К основам теории равновесных трещин в упругих
телах // ПММ. - 1969. - Т. 33. - Вып. 2. - С. 212-222.
2. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой
прочности // ПММ. - 1969. - Т. 33. - Вып. 5. - С. 797-812.
3. Irwin G.R. Plastic zone near a crack and fracture toughness // Proc. 7th Ordinate Material Research Conf. (Sagamore) Syracuse Univ., 1960. -P. IV-63-IV-78.
4. Dugdale D.A. Yielding of steel containing slits // J. Mech. and Phys. Solids. - 1960. - No. 8. - P. 100-104.
5. Баренблатт Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении // Журн. прикл. механ. и техн. физики. - 1961. - № 4. - С. 3-56.
6. Черепанов Г.П. Механика разрушения. - М.: Наука, 1974. - 640 с.
7. Rice J.R. A part-independent integral and approximate analysis of strain
concentration by notes of crack // Trans. ASME, J. Appl. Mech. -1968. - No. 35. - P. 379-386.
8. Стоян В.П. Закономерности распространения трещин в хрупких телах в условиях смешанного нагружения // Краснодар, 1984. -17 с. - Деп. в ВИНИТИ, 1984, № 6753-84.
9. Stoyan V.P. Fractal surfaces as self organization of microfractures // Fractal Reviews in the Natural and Appl. Sci. - London: Chairman & Hall, 1995. - P. 121-132.
10. Стоян В.П. Распространение трещин в хрупких телах как результат самоорганизации локальных микроразрушений. Пространственная задача // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. - 1999. - № 1. - С. 51-56.
11. Новожилов В.В. Пути развития теории деформирования поликристаллов // Нелинейные модели и задачи механики деформируемого твердого тела. - М.: 1984. - С. 11-24.
12. Черных К.Ф. О нелинейной теории трещин // ПММ. - 1998. -Т. 62. - Вып. 5. - С. 871-883.
13. Афян Б.А., Паушто М. Б. // Исследования по упругости и пластичности. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1986. - Вып. 15. - С. 7-12.
14. Amestoy A., Leblond J.B. // Int. J. Solid Structure. - 1992. - V. 29. -No. 4. - Р 465-501.
15. НиколисГ., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. - М.: Мир, 1979. - 420 с.
16. Никифоровский В.С., Шемякин Е.И. Динамическое разрушение твердых тел. - Новосибирск: Наука, 1979. - 270 с.
17. Sneddon I.N. The distribution of stress in the neighborhood of crack in the elastic solid // Proc. Roy. Soc., 1946. - V. A 187. - P. 229-256.
18. Broek D. Elementary engineering fracture mechanics. - The Nague: Nijhoff, 1982. - 386 p.
19. Kobayashi A.S. Linear fracture mechanics of elastic material // Computational Methods in the Mechanics of Fracture / Ed. by S.N. Atluri. -New-Holland: Elsevier Sci. Publ. B.V., 1986. - P. 12^48.
20. Поль Б. Макроскопические теории пластического течения и хрупкого разрушения // Математические основы теории разрушения. -М.: Мир, 1975. - Т. 2. - С. 336-521.
21. Erdogan F., Sih G.C. On the crack extension in plates under plate loading and transverse shear // J. Basic Engineering, Trans. ASME. -1963. - V. 85. - P. 519-526.
22. Cottrel B., Rice J.R. Slightly curved of kinked crack // Int. J. of Fracture. - 1980. - V. 16. - P. 155-169.
23. Бабешко В.А. К проблеме исследования динамических свойств трещиноватых тел // ДАН СССР. -1989. - Т. 304. - № 2. - С. 318321.
24. Ставрогин А.Н., Протосеня А.Г. Пластичность горных пород. -М.: Недра, 1979. - 300 с.
25. Brown E.T Fracture of rock under uniform compression // Proc. of 3rd Congr. Int. Soc. Rock. Mech. - Elsevier Sci. Publ., 1974. - V. 2A. -P. 111-117.
26. Стоян В.П. К развитию методов описания дискретности и пористости в рамках механики сплошных сред. - Краснодар, 1989. -24 с. - Деп. в ВИНИТИ, 1989, № 7204-В89.
27. Стоян В.П. Необратимые большие скольжения сыпучей среды как упругого тела с множественными поверхностями раздела // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. - 1999. -№ 4. - С. 30-36.
28. Brown E.T., Hudson J.A., Hardy M.P, Fairhurst C. Controlled failure of hollow rock cylinders in uniaxial compression // Rock Mech. -1972. - V. 4. - P. 1-24.
29. Blumenfeld R. A theory for the morphology of Laplacian growth via statistics of equivalent many-body systems // Fractal Reviews in the Natural and Appl. Sci. - London: Chairman & Hall, 1995. - P. 24-35.
30. Blumenfeld R. A minimal model for crack propagation in amorphous materials // 1995 MRS Fall Meeting, Symp. Q, Fracture-instability dynamics, scaling, and ductile/brittle behavior, 27 November - 1 December, 1995.
31. Blumenfeld R. Nonequilibrium brittle fracture propagation: Steady state, oscillations and intermittency // Phys. Rev. Lett. - 1996. - V. 76. -P. 3703.
