Математическая модель статики НДС в теле с микродефектами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 622.243.2:622.831.2.02

д.т.н., проф. Литвинский Г. Г.

(ДонГТИ, г. Алчевск, ЛНР, ligag@ya.ru)

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТАТИКИ НДС В ТЕЛЕ С МИКРОДЕФЕКТАМИ

Последовательно изучена новая континуальная модель статики напряженно-деформированного состояния (НДС) произвольно нагруженного твердого тела с микродефектами. Расширены и уточнены понятия сплошности и поврежденности путем ввода сдвиговых и разрывных микродефектов. Рассмотрены особенности и ограничения их матричного представления. Впервые установлена связь между углом внутреннего трения материала и соотношением размеров разрывных и сдвиговых микродефектов в их Z-ансамбле. Показано, что распределение напряжений в теле предопределяется уровнем предельных состояний на микросдвигах, тогда как деформации на микросдвигах предопределяются уровнем упругих деформаций на главном направлении нагрузки.

Ключевые слова: поврежденность, сплошность, микродефекты, микросдвиг, микроразрыв, Z-ансамбль, матрица микродефектов, теория НДС, математическая модель, упругие и дефектные области, алгоритм расчета, напряжения, деформации.

Науки о земле

1 Актуальность и цель исследований

В связи с незатухающим интересом исследователей к проблеме описания поведения сложных гетерогенных структур в условиях объемного напряженно-деформированного нагружения были достигнуты значительные результаты [1-9 и др.].

Исследования в этом направлении побуждались стремлением понять суть и адекватно описать приемлемыми математическими моделями сложный клубок термомеханических явлений, связанных с деформированием и разрушением материалов естественного и искусственного происхождения под действием многообразных внешних и внутренних факторов.

Однако эти задачи механики деформируемого твердого тела и горной геомеханики еще далеки от своего завершения. Так, из поля внимания многих исследований выпали проблемы формирования внутренней структуры тела, задачи устойчивости ее развития, обоснования микромеханических основ теорий пластичности, ползучести и разрушения.

В данной работе в рамках поставленной проблемы рассмотрена новая континуально-механическая модель микродефектного тела. В ее основу были положены накоп-

ленные к настоящему времени экспериментальные данные и ранее установленные в механике деформированного твердого тела базовые законы.

К числу исходных предпосылок, которые положены нами в основу изучения НДС микродефектного тела и не накладывают существенных ограничений на достоверность и общность получаемых выводов, следует отнести следующие:

- в твердом теле всегда имеются микродефекты, они расположены стохастически равномерно, при этом тело в целом квазиизотропно;

- микродефекты в теле представлены в виде микросдвигов, микроразрывов и их ансамблей [6];

- задана фиксированная на данный промежуток времени исходная структура микродефектов в виде матрицы Wij [6], т. е. рассматривается квазистатическая задача без рассмотрения временных эффектов их поведения;

- главный вектор и главный момент внешней нагрузки равны нулю, т. е. рассматривается статическое равновесие.

Эти и принятые далее условия являются достаточно гибкими и не приводят к существенному ограничению общности решаемой задачи.

Науки о земле

Цель исследования — разработать теоретическое описание напряженно-деформированного состояния (НДС) микродефектного тела при произвольно заданной внешней нагрузке.

Идея работы состоит в использовании ранее предложенной математической модели микродефектного тела, в котором существует структура из поврежденностей сдвигового и разрывного типов, и закономерностей ограничения напряжений и деформаций на микросдвигах.

Объектом исследований является образованная внутри тела структура микродефектов в виде сдвигов и разрывов и ее влияние на НДС; предмет исследований — закономерности НДС в теле с микродефектами.

Основные задачи исследования:

1) дополнить и уточнить основные понятия и определения структурной мезо- и микромеханики и описания микродефектов матрицами;

2) выполнить оценку соотношений между сдвиговыми и разрывными микродефектами при возникновении их ансамблей;

3) разработать математическую модель и алгоритм расчета НДС микродефектного тела;

4) привести демонстрационный пример расчета НДС тела с заданной матрицей микродефектов.

Выполненные исследования являются продолжением и существенным образом опираются на результаты работ автора [10-12 и др.], где представлена новая матричная теория микро- и мезодефектов в твердом теле, связанная с главными площадками НДС.

2 О закономерностях распределения микродефектов

На первом этапе решения задачи о НДС микродефектного тела необходимо сделать некоторые дополнения, уточнить основные понятия и определения, чтобы устранить возможную неоднозначность и двойное толкование ряда положений.

Остановимся на базовых формулировках геометрической теории микродефектов.

Вводя понятия микродефектов Wij с

помощью матрицы второго порядка [10], подчеркнем сходство и различие между разрывными (/' = j) и сдвиговыми (/' Фj) их типами. Оба типа микродефектов показывают относительную площадь каждого из нарушений и ее ориентацию относительно главных площадок НДС (рис. 1).

Микроразрывы Wii ориентируются главным образом параллельно главным площадкам НДС при действии растягивающих деформаций, причем при сжимающих деформациях они закрываются. Полезно различать два типа разрывов: а) связанные с Z-ансамблем Wznn; б) условно свободные (не входящие в ансамбли) разрывы на площадках с растягивающими деформациями Wrnn.

Микросдвиги Wij (1) возникают благодаря

действию сдвигающих деформаций, которые, как известно, ориентированы вдоль максимальных касательных напряжений, действующих под углом 45° к главным площадкам НДС. Порядок индексов показывает направление сдвигов на диагональной плоскости. Так, если на главных площадках действуют напряжения о > > 03, то, соответственно, знаки микросдвигов будут W12 > 0 > W21; W2з > 0 > Ш32 и т. д., а в общем случае Wij = -W

(Wn Wu W13 Л

3x3

W21 W22 W V W31

23

W32 W3

33 J

(1)

0 <

W,4

< 1, Wj = -Wß, W' > 0.

По аналогии с матрицей микродефектов (1)

вводим матрицу сплошностей

T

(2)

T

3x3

= 1 - W- 'j

(T11 T12 т Л

T21 T22 T23

V T31 T32 T33 J

(2)

T- = T- 0 < T- < 1 j j" ij - '

Науки о земле

которые всегда положительны и являются, по сути, алгебраическим дополнением к

матрице микродефектов

Wч

Обобщая матрицы (1) и (2), которые описывают только отдельные структурные дефекты, введем результирующие по заданным направлениям г, j, к = 1, 2, 3 главных площадок с учетом сложения множеств и исключения их пересечений:

а) суммарную на главных площадках площадь микродефектов (3):

Wct = WJ +

Wu

+ Wk -

W-ч

W■kl -

-\Wu\ (\Wy\ + WkI);

(3)

б) площадь сплошностей (4):

Тс1 = 1 - Wc, (4)

при этом соблюдаются неравенства:

0 < Wci < 1; 0 < Щ < 1.

Важно отметить, что по направлению сжимающих напряжений микроразрывы Wii быстро залечиваются и исчезают, поэтому следует при их определении принимать дополнительные условия:

^ > 0 ^ Щ; ^ 0 и Тц ^ 1. (5)

Рисунок 1 Схема 2-ансамблей микродефектов тп в разных плоскостях

Такая особенность микроразрывов — открываться при растягивающих деформациях и закрываться при сжимающих — заметным образом усложняет расчетные алгоритмы.

3 Конфигурация Z-ансамбля микродефектов

До настоящего времени остается нерассмотренным вопрос о зависимостях, раскрывающих соотношение между микроразрывами Wzjj и микросдвигами Wzij,

т. е. какова конфигурация Z-ансамбля микродефектов (рис. 2). Здесь оперяющим концы 2-ансамбля микроразрывам присвоено обозначение Wzjj (рис. 2), в отличие от иной природы микроразрывов, возникающих обособленно вне Z-ансамбля и обозначаемых Щг;; .

Для определения соотношения длин сдвигов Wzij и разрывов Wzii воспользуемся хорошо экспериментально изученными данными о значениях угла внутреннего трения материалов при их объемных испытаниях с помощью стабиломет-ров [12].

Wz„„, Wn и Wm

Рисунок 2 Геометрические соотношения в 2-ансамбле между микросдвигом Щу и оперяющими его микроразрывами Wzjj

ISSN 2077-1738. Сборник научных трудов ДонГТИ 2022. № 28 (71)

Науки о земле

Угол внутреннего трения ф представляет собой наклон огибающей наибольших кругов напряжений диаграммы О. Мора и всегда уменьшается по мере роста минимальной компоненты напряжений (рис. 3). Для большинства известных материалов угол внутреннего трения в области за пределом их прочности на одноосное сжатие может изменяться в пределах 0 < р < 30...350.

На рисунке 3 показан паспорт прочности на диаграмме О. Мора, построенной в осях нормальных о и касательных т напряжений. На ней отражены основные элементы паспорта прочности материала: показатели прочности на одноосные растяжение 00 и сжатие ос , нормальное оп и касательное тп( напряжения на площадке разрушения, угол внутреннего трения р. С позиций аналитической теории прочности [12] здесь показаны когезия разрыва 00, зачастую равная в каменных материалах одноосному растяжению, и когезия сдвига Т), равная так называемому коэффициенту сцепления по устаревшей терминологии механики горных пород.

Уменьшение угла внутреннего трения р по мере роста минимальной компоненты напряжений вносит дополнительные трудности при решении задач прочности в геомеханике.

Зададимся вопросом, какая связь существует между конфигурацией Z-ансамбля и углом внутреннего трения р, который является одним из обобщенных показателей прочностных свойств материала. Для этого используем расчетную схему Z-ансамбля, представленную на рисунке 4.

На рисунке 4 штриховой линией, соединяющей концы микроразрывов, показана плоскость макроразрушения материала сдвигом при его сжатии, угол наклона которой ап(, как известно, равен

апг = 450 + р / 2. (6)

т

Рисунок 3 Определение угла внутреннего трения на диаграмме О. Мора

i

Рисунок 4 К определению соотношения размеров разрывных и сдвиговых микродефектов 2-ансамбля при сжатии материала

Из рисунка 4 путем несложных геометрических построений получаем искомое соотношение размеров микроразрывов и микросдвигов в Z-ансамбле:

ь = Г2

а

где а, Ь — полудлины соответственно микросдвигов и разрывов (рис. 4).

Очевидно, что переход в область объемного НДС увеличения минимальной ком-

1 + Sinp Cosp

-1

(7)

Науки о земле

поненты напряжений 03 неизбежно приводит к уменьшению соотношения Ь / а между микроразрывами и микросдвигами, а значит, и формы Z-ансамбля микродефектов.

Если перейти к более общему случаю описания прочностных показателей материала с помощью аналитической теории прочности [12], то получим обобщение на случай многоосного сжатия, когда представительное соотношение для а /Ь зависит от НДС. Для этого воспользуемся исходной базовой формулой паспорта прочности [12] в соответствии с рисунком 3:

Kt ] =

( \а с

^L + 1

V

0

(8)

tg 9) =

d Kt ]

do„

= а ■

Vnt ]

(Cn + C0 )

(9)

линейную аппроксимацию (8), которая показана на рисунке 5. Это уравнение (8) пригодно для описания материалов, у которых угол внутреннего трения р < 40°, а его погрешность не превышает ± 5 %. С учетом (9) окончательно запишем

b р° 6 6

- = — = — 9 = — arctg a 30 п п

а\кш ]

Л

v Cn + с0 J

■ (10)

где \гы ] — предельное значение касательных напряжений на площадке сдвига П, Па;

Г0, 00 — когезии соответственно сдвига и отрыва, Па;

а — параметр хрупкости материала, отражающий соотношение сухого и жидкостного трения на площадке сдвига;

оп — нормальные напряжения на площадке сдвига, Па.

Тогда можем найти значение для угла внутреннего трения р из выражения

где р выражено в радианах, 0 < р < 0,5 рад.

Такого рода аппроксимация позволяет не только упростить расчетные алгоритмы, но и получить оценки угла внутреннего трения по измеренным экспериментально конфигурациям микродефектов.

Из рисунка 1 можно понять, что вся совокупность микроразрывов Wznn по любому направлению п образуется двумя микросдвигами Wzkn и Wzmn, т. е. такими, у которых второй индекс совпадает с указанным направлением.

Поскольку в 2-ансамбле микродефектов должно соблюдаться соотношение между размерами сдвигов и разрывов Ь/а, то каждый 2-ансамбль Wij и привносит микроразрывы Wzjj, относительная площадь участка которых равна, согласно (7),

Wzjj = - ( W

a

+

W

k

(11)

которое следует подставить в (7) и определить а/Ь.

Как следует из (9), соотношение а/Ь уменьшается по мере увеличения действующих на площадке сдвига нормальных напряжений оп.

Таким образом, если опираться на экспериментальные данные, полученные при лабораторных испытаниях материалов по определению их угла внутреннего трения р, можно заключить, что в среднем по всей выборке геометрия 2-ансамбля подчиняется зависимости (7).

С целью упрощения расчетов вместо зависимости (7) можно использовать ее

b/a 1.5

1

0.5

0 20 30 ф 40

Рисунок 5 Сопоставление графиков исходного уравнения (7) и его линейной аппроксимации (10)

Науки о земле

Кроме того, при наличии растягивающих деформаций е j < 0, величина которых превышает предельные для данного материала е]- <-\ег ], появляются микроразрывы, не связанные с Z-ансамблями, которые обозначим Wjj. Тогда в сумме все микроразрывы по направлению jj, вызванные соответствующими микросдвигами и деформациями растяжения, равны

^=^+а (^+^). (12)

Предыдущие оценки относились главным образом к телу, подвергнутому сжатию. При появлении деформаций растяжения в материале, у которого прочность на растяжение меньше прочности на сжатие (ог < ос), 7-ансамбли микродефектов могут вырождаться в микроразрывы, ориентированные перпендикулярно деформациям растяжения, т. е. (а / Ь) ^ 0.

Следовательно, основные проблемные вопросы по определению структуры микродефектов решены, и можно перейти к определению НДС тела с микродефектами.

4 Математическая модель расчета НДС микродефектного тела

В качестве основной предпосылки математической модели считаем микродефектное тело квазиоднородным с равномерным распределением по всему объему всех типов микродефектов, а определение параметров НДС производим раздельно для упругой и микродефектной областей.

Материал в исходном состоянии считаем квазиоднородным и изотропным, а распределение напряжений будем определять для произвольной совокупности дефектов сдвига и разрыва, представленной матрицей (1).

В рамках обычных решений теории упругости напряженное состояние тела в точке будет задано тремя напряжениями о^, действующими на главных площадках. Однако следует иметь в виду, что в микродефектном теле уже нельзя гово-

рить о напряжении в точке, поскольку необходимо рассматривать некоторый представительный объем материала, содержащий в среднем все типы микродефектов и выполняющий роль точки в континуальной теории деформаций и напряжений.

Рассмотрим в материале характерный объем в виде куба единичных размеров, грани которого ориентированы по главным площадкам с ортами г, j, к. В общем случае на тело действуют макронапряжения Ог (г = 1, 2, 3), причем принимаем, что

о1 > о2 > о3 (рис. 6).

На каждой грани куба пунктирными кривыми условно показаны границы между областями упругими (сплошности Тек ) и микродефектными (поврежденности Wck). На этих условно выделенных участках Тек и Wck действуют соответствующие нормальные напряжения: среднеинтегральные по всей площади о, на упругих о и и микродефектных оV участках, условно отделенных друг от друга штриховыми кривыми.

Согласно известным уравнениям теории упругости, дополненным соотношениями для упругого (и-агеа) и микродефектного агеа) участков тела, средние нормальные напряжения равны

onij = (oi + oi) / 2 unu'j = (oui + UU') / 2,

anwy = (ow^ + UW') / 2,

(13)

где ог, оиг, о~№г — нормальные напряжения на, соответственно, общих, упругих и сдвиговых площадках с ориентацией г;

оПу, опиу, о1Шу — средние нормальные напряжения на, соответственно, общих, упругих и сдвиговых диагональных площадках с ориентацией г, j.

Максимальные касательные напряжения т на площадках, наклоненных к глав-и

ным под 45 градусов, будут равны (рис. 7)

Науки о земле

K = (с, - с,) /

Tuij = 1 (cui - cui

TWj =| [cw, - cw,

(14)

) / 2.

На рисунке 7 по аналогии с рисунком 6 площадка условно разделена на две области: упругую Ту и микросдвиговую Wij, в каждой

из которых действуют соответствующие нормальные и касательные напряжения.

Рисунок 6 Совокупность нормальных напряжений на главных площадках в материале с микродефектами

anu,

Рисунок 7 Совокупность касательных и нормальных напряжений на диагональной площадке i, j по направлению максимального сдвига Ту

На рисунке 7 показаны все напряжения, действующие на диагональной площадке ^ единичного куба: касательные напряжения общие Ту , которые слагаются из напряжений

Шу и тwij, согласно (13), на упругих Ту и

микродефектных Wij участках диагональной

плоскости, и средние нормальные напряжения иПу, оппу, от^у согласно (14). Для

определения сдвиговых (касательных) напряжений тwij, действующих на микросдвигах Wij, в качестве основного уравнения примем условие прочности, которое ограничивает их пределом прочности Pwij :

if

'ij

- PWj Kjj

then TWj- ="! , (i j (15)

> Pwij j I Pwij

Отсюда следует, что касательные напряжения на микросдвигах всегда находятся в границах -Pwij < тwij < ^^у .

При разгрузке материала происходит пропорциональное упругое снижение напряжений на всех площадках вплоть до момента, пока на сдвиговых площадках Wij не будет достигнуто отрицательное значение сдвиговой прочности: Ту < -Pwij ^ тwij = -^^у . После этого

дальнейшая разгрузка происходит при фиксированном предельном значении касательных напряжений Pwij на сдвиговых

площадках Wij вплоть до момента очередного нарушения неравенств (15) при изменении внешней нагрузки.

В упругой области, которую принято называть сплошностью Ту или и-агеа и которая является дополнением к дефектной области Wij (Ж-агеа), согласно соотношению

T = 1 -

у

W

У

(16)

действуют упругие касательные напряжения тПу . Здесь Ту, Wjj — сплошность и по-

врежденность на диагональной площадке между главными площадками i и j.

Науки о земле

Определим базовое уравнение связи между упругими тиу и сдвиговыми тwjj касательными напряжениями на упругих Ту и сдвиговых Wjj площадках. Исходя из условий равновесия на главных и диагональных площадках, должны соблюдаться суммы

О = ощ ■ Tci + GWi • Wci, Tij = TUij . Tij + TWj . Wij,

(i j (17)

где Ту — среднеинтегральное значение напряжений сдвига для всей площади тела, Па.

Тогда из условий равновесия сил на всей рассматриваемой площадке находим из (17) касательное напряжение на упругой ее части (и-агеа) по формуле

™И = (?и -™Ц • Wii )/ Tii .

(18)

Уравнение (18) является основным для вычисления упругих касательных напряжений ти^ по всегда известным предельным

значениям (15) касательных напряжений тWj■ на микросдвигах. Таким образом, касательные напряжения тwij и ти^ на участках W-area и и-агеа каждой диагональной площадки с индексом jj ■ = 1, 2, 3) определены.

Опираясь на подобную (15) трактовку нормальных напряжений оwi на сдвиговых площадках W-area как предельных для материала, которые не могут превышать его прочность при соответствующем предельном состоянии, можем записать условия, которым они должны удовлетворять:

if

< Pw;,

> Pw-

- у

then ow,- =

о ]

, (19)

где [ог ] — показатель предела прочности материала в соответствии с принятой теорией прочности, в случае идеальной пластичности [ог ] = 2Pwij .

После определения оwi находим нормальное напряжение ои1 на соответст-

вующей упругой площадке из первого уравнения (17):

ощ = (о, - ^ • WCi)/ Тс,. (20)

Для завершения задачи о напряженном состоянии материала с дефектами необходимо найти значения (13-14) всех нормальных напряжений на упругих и сдвиговых участках каждой из площадок i, j, k (г, j, k = 1, 2, 3) по заданным внешним нагрузкам в виде среднеинтегральных нормальных о, макронапряжений, а также с учетом вычисленных по формулам (15 -18) микронапряжений тwij и ти^.

Напряжения ои,, оwi выражаются по

определению через уже ранее определенные касательные и нормальные напряжения тиу, тwij, оПу по формулам

= ОПу + ту =0 ^ +Ч ,

0и = ОПиу + Шу = ОПЩ + тЩ , (21)

= о1Шу + т^ = о+ т.

В качестве контрольного уравнения проверки используем основное соотношение между нормальными напряжениями на ьплощадке:

О = ощ • Тсi + оWi • Wci. (22)

На основании полученных для вычисления напряжений соотношений можно перейти к следующему этапу решения задачи: рассмотрению особенностей распределения деформаций в теле с микродефектами.

5 Определение деформаций в микродефектном теле

Алгоритм определения деформаций в какой-то мере аналогичен вышеизложенному алгоритму для напряжений. Существенным отличием является порядок решения и базовые предпосылки. Если при определении напряжений мы исходили из формулирования условий напряженности на сдвиговых площадках (прочность на сдвигах была предопределяющей для по-

Науки о земле

следующих результатов), то в случае разработки алгоритма для изучения деформаций, наоборот, упругие деформации предопределяют деформационное состояние тела в целом, а деформации на площадках сдвига играют подчиненную (пассивную) роль.

На рисунке 8 показан некий выделенный представительный объем тела в виде единичного куба с единичными ортами i, j, к вдоль главных действующих напряжений 01 > 02 > 03.

На каждой грани куба пунктирными кривыми условно показаны границы между областями упругими (сплошности Тек) и микродефектными (поврежденности Wck ). На этих условно выделенных участках действуют соответствующие продольные деформации:

£к — полные (среднеинтегральные по всей грани куба);

£Пк, swk — соответственно упругие и микродефектные деформации.

Упругие участки тела должны подчиняться общим уравнениям теории упругости, в частности обобщенному закону Гу-ка, согласно которому деформации на всех главных площадках равны

£п1 = [оп1 - v(опj + опк )] / Е, (23)

где V — коэффициент Пуассона;

Е — продольный модуль упругости, Па. На главной площадке с максимальным нормальным напряжением 01 продольные деформации будут однородными, т. е. равны

(24)

Рисунок 8 Действие продольных деформаций £, £п, £w на главных площадках j, у, к в материале с микродефектами

Учитывая, что полные боковые деформации слагаются из вклада упругих и сдвиговых компонент с учетом размеров упругой Тс и микродефектной Wc зон, окончательно получаем

£2 = £п2 • Те2 + £w2 • Wc2, £3 = £п3 • Те3 + £w3 • Wc3.

Качественная картина распределения касательных (сдвиговых) деформаций представлена на рисунке 9, который выполнен по аналогии со схемой распределения касательных напряжений (рис. 7).

£1 = £П1;

£w1 = £п1.

Однако если упругие деформации £П2, £п3 по другим главным направлениям следуют зависимостям (23), то деформации на микросдвигах £W2, £w3 будут следовать законам идеально пластического тела (т. е. условию несжимаемости) и поэтому будут равны

sw2 = sw3 =-0,5 • su1.

(25)

Рисунок 9 Сдвиговые у^ и средние нормальные ещ деформации на диагональных площадках в материале с микродефектами

Науки о земле

Формулы для вычисления касательных деформаций для областей U-area и W-аrea на диагональной плоскости ^ имеют обычный вид:

Yij = (si - sj )/2, yuij = (sui - suj ) / 2,

Ywij = (swi - swj )/2.

(27)

W :=

0,2

-0,2 0,1 0 -0,3 0 0,1

J

В соответствии с формулами (2) получим следующие значения для матрицы сплошностей и микродефектов:

( 1 0,8 0,7 ^

Т =

0,8 0,7

0,9 1

1

0,9

J

Вычисляем значения обобщенных для каждой главной площадки микродефектов Жс и сплошности Тс (пренебрегая, ввиду малости, произведением множеств для повышения наглядности результатов):

Wc =

Г 0,5 ^ 0,3 0,4

Тс =

J

Г 0,5 ^ 0,7 0,6

J

6 Демонстрационный пример расчета НДС тела с микродефектами

С целью достижения обозримости результатов расчета НДС зададимся исходными данными, которые, с одной стороны, близки к реальным показателям материала — песчаника средней прочности, а с другой — имеют в большинстве своем округленные целочисленные значения.

Поскольку расчеты НДС ведутся в некоторый фиксированный момент времени (статика), следует иметь в виду, что исходные данные о структурном строении материала, которые отражаются матрицей миродефектов ||Ж||, на самом деле нельзя

назначать произвольно, поскольку она формируется в итоге предшествующей истории нагружения материала.

Условно зададимся матрицей микродефектов, значения которой не противоречат ограничениям, указанным в (1):

( 0,0 0,2 0,3^

Внешнее нагружение условного единичного образца осуществляем путем одноосного сжатия о1 = 120, о2 = о3 = 0, что дает соответствующие матрицы для нормальных и касательных напряжений с размерностью в МПа:

(120^ ( 0 60 60^

о :=

0 0

т =

-60 0 0 -60 0 0

Как условия предела прочности на одноосное сжатие, если для простоты считать материал идеально пластичным, принимаем предел сдвига ^^ и показатель прочности на одноосное сжатие ос:

Pw = 40 МПа, ос = 2Pw = 80 МПа .

Для вычислений с использованием индексированных переменных MathLab условия прочности на сдвигах при идеальной пластичности материала записываем в виде

т^,7 := ^ (\ти | < РМ/, , ^ ' ^ )) ,

что после подстановки в (15) даст значения касательных напряжений на сдвиговых (диагональных) участках W-area материала:

( 0 40 40^ тw = -40 0 0 ч-40 0 0 ^

Находим нормальные напряжения на главных площадках W-area с микросдвигами согласно (18):

( 80 ^

ow =

V 0 J

По формуле (19) находим значения упругих напряжений на главных площадках со сплошностями (U-area):

0

Науки о земле

оп =

Г160 ^ 0 0

После этого можно найти касательные напряжения на упругих участках тела и-агеа по каждому направлению согласно (18):

^ 0 65 68,57^ -65 0 0

та =

v-68,57 0 0 ,

Для проверки правильности вычислений используем итоговые равенства (17), численное значение которых совпадает с исходным полем напряжений при одноосном сжатии.

Осталось вычислить средние нормальные напряжения по каждой из осей г, j, к главных площадок:

(120 60 60^

оп =

опп =

60 0 0

v 60 0 0 ,

Г160 80 80 л

80 0 0

v 80 0 0 ,

Г80 40 40 ^

= 40 0 0

v 40 0 0 ,

ОН'П =

Для проверки правильности результатов воспользуемся уравнениями (22), которые должны дать исходное поле приложенных напряжений, после чего убеждаемся в корректности расчетов.

Анализ полученных результатов показывает, что даже при наличии сравнительно умеренных нарушений сплошности тела, представленных в исходной матрице микродефектов ||Ж||, наблюдаются значительные различия в напряжениях на главных и диагональных площадках с микродефектами Ж-агеа и на участках вне них,

т. е. на сплошности и-агеа. Так, можно отметить (рис. 10), что напряжения = 160 МПа на упругих участках и-агеа тела вдвое превышают нормальные напряжения на микродефектных участках Ж-агеа = 80 МПа. Это убедительно демонстрируют круги напряжений на диаграмме О. Мора, построенные по результатам вычислений.

Следующий этап расчетов — определение всех типов деформаций согласно уравнениям (23-26). Для получения численных результатов деформаций зададимся исходными данными по деформационным свойствам материала, в качестве которого примем горную породу типа песчаника средней прочности:

Е := 2• 104, у := 0,2, G := Е[2-(1 + у)]-1, G = 8,33 • 103,

где Е — продольный модуль упругости (модуль Юнга), МПа;

у — коэффициент Пуассона;

G — модуль сдвига материала, МПа.

Все полные продольные и сдвиговые деформации будут равны (26)

е-103 =

Г 6 ^ -1,2 -1,2

Г 0 3,6 3,6^

у -103 =

J

-3,6 0 -3,6 0

0 0

т, 60

40

20

1 МПа о щ

\/ OW\

0 20 40 60 80

100 120 140 160 ст, МПа

Рисунок 10 Диаграмма напряжений О. Мора с кругами для нормальных полных о\, упругих аы\ и микродефектных напряжений

Науки о земле

От этих деформаций £, у, вычисленных по обычным формулам теории упругости, значительно отличаются продольные и сдвиговые деформации £и, уи на упругих участках тела согласно (23-25)

( 8 ^

su -103 =

-1,6 -1,6

J

уи -103 =

Г 0 4,8 4,8^ -4,8 0 0

V-4,8 0 0 J

а на участках с микродефектами W-area будут действовать деформации£w, уw, определяемые по формулам (23), (26):

( 8 ^

sw -103 =

-5,6 -5,6

J

yw -103 =

Г 0 6,8 6,8^ -6,8 0 0 -6,8 0 0

Полученные численные значения деформаций показывают, что при наличии микродефектов соблюдаются следующие соотношения между напряжениями и деформациями:

ои1 > о1 > ОWl, £и1 > £Щ > £l, ум^12 > Уи12 > У12.

Это значит, что всегда при «прямом» на прессе лабораторном испытании микродефектного тела мы получим заниженное значение модуля продольной упругости и завышенный показатель коэффициента Пуассона.

Памятуя об этих соотношениях, можно более достоверно судить о деформационных и прочностных показателях материалов с одной стороны, а с другой — получить возможность с большей надежностью проводить лабораторные их испытания.

В целом предложенная математическая модель и алгоритм расчета НДС микроде-

фектного тела позволяют перейти на новый уровень оценки деформационно-прочностных показателей материала и, тем самым, повысить адекватность и надежность оценки прочности, несущей способности и деформируемости инженерных конструкций и природных образований под действием силовых нагрузок.

Выводы

Кратко резюмируя полученные результаты, можно заключить, что в работе предложены новая математическая модель и алгоритм расчета НДС при действии статических нагрузок на тело с микродефектами, в которых:

а) расширены и уточнены понятия сплошности и поврежденности путем ввода сдвиговых и разрывных микродефектов, дополненные особенностями и ограничениями на их матричное представление;

б) рассмотрены особенности геометрической теории микродефектов и закономерности их распределения в теле;

в) изучены закономерности, которым подчиняется конфигурация Z-ансамбля микродефектов, впервые получена численная оценка соотношения размеров микросдвигов и микроразрывов;

г) предложена континуальная математическая модель определения НДС на упругих (U-area) и сдвиговых (W-area) участках тела, в которой при определении напряжений учитывается их предельное состояние на микросдвигах, а в случае нахождения деформаций упругие деформации £и1 на

U-area предопределяют деформационное состояние тела в целом, тогда как деформации на площадках сдвига £Wl (W-area) играют подчиненную (пассивную) роль;

д) демонстрационный пример расчета НДС подтвердил, что даже умеренные значения поврежденности тела вызывают существенные различия напряжений и деформаций на микродефектных и упругих участках и всего тела в целом.

Опираясь на полученные результаты статики НДС микродефектного тела, мож-

ISSN 2077-1738. Сборник научных трудов ДонГТИ 2022. № 28 (71)

Науки о земле

но перейти к решению основной проблемы реономной микромеханики — обоснованию, составлению и решению фундаментальных кинетических уравнений роста и

Библиографический список

залечивания микродефектов в теле с учетом воздействующих на него переменных термосиловых воздействий, чему будут подчинены последующие публикации.

1. Шермергор, Т. Д. Теория упругости микронеоднородных сред [Текст] / Т. Д. Шермергор // М. : Наука, 1977. — 400 с.

2. Макклинток, Ф. Деформация и разрушение материалов [Текст] / Ф. Макклинток, А. Аргон // М. : Мир, 1970. — 444 с.

3. Повреждение материалов в конструкциях. Анализ. Предсказание. Предотвращение [Текст] : пер. с англ. / Дж. Коллинз ; под ред. Э. И. Григолюка. — М., 1984. — 624 с.

4. Boudifa, M. A micromernanical model for ¡пе^т1с du^ile damage predi^ion in ро1ус^таШпе meтals for meтal forming [Text] / M. Boudifa, K. Saanouni, J.-L. Chaвoche // 1пт. J. Mem. Sci. — 2009. — Vol. 51. — P. 453-464.

5. Черепанов, Г. П. Механика разрушения [Текст] / Г. П. Черепанов. — М. — Ижевск : Изд-во ИКИ, 2012. — 872 с.

6. Сосновский, Л. Концепции поврежденности материалов [Текст] / Л. Сосновский, С. Щербаков // Обзор: Вестник ТНТУ. — 2011. — Спецвыпуск. — Ч. 1. — С. 14-23.

7. Биргер, И. А. Детерминированные и статистические модели суммирования повреждений [Текст] /И. А. Биргер //Проблемы прочности. — 1978. — № 11. — С. 3-11.

8. Золотаревский, Р. Ю. Фрагментация и текстурообразование при деформации металлических материалов [Текст] /Р. Ю. Золотаревский, В. В. Рыбин. — СПб. : Изд-во Политехн. ун-та, 2014. — 208 с.

9. Ставрогин, А. Н. Экспериментальная физика и механика горных пород [Текст] / А. Н. Ставрогин, Б. Г. Тарасов. — СПб. : Наука, 2001. — 343 с.

10. Литвинский, Г. Г. Ансамбли и структуры микродефектов в твердом теле (горной породе) [Текст] /Г. Г. Литвинский // Сб. науч. трудов ДонГТИ. — Алчевск : ГОУ ВО ЛНР «ДонГТИ», 2022. — № 26 (69). — С. 5-15.

11. Литвинский, Г. Г. Фрагментация напряжений в теле с микродефектами [Текст] / Г. Г. Литвинский // Сб. науч. трудов ДонГТИ. — Алчевск : ГОУ ВО ЛНР «ДонГТИ», 2022. — № 27 (70). — С. 5-17.

12. Литвинский, Г. Г. Аналитическая теория прочности горных пород и массивов [Текст] / Г. Г. Литвинский. — Донецк : Норд-Пресс, 2008. — 207 с.

© Литвинский Г. Г.

Рекомендована к печати д.т.н., проф., зам. директора РАНИМИАН ДНРДрибаном В. А., к.т.н., доц., проректором по научной работе ДонГТИ Смекалиным Е. С.

Статья поступила в редакцию 05.09.2022.

Doctor of Technical Sciences, Prof. Litvinsky G. G. (DSTI, Alchevsk, LPR, ligag@ya. ru) MATHEMATICAL MODEL OF THE SSS STATICS IN A BODY WITH MICRODEFECTS

A new continuum model of statics of the stress-strain state (SSS) of an arbitrarily loaded solid body with microdefects is consistently studied. The concepts of continuity and damage are expanded and clarified by introducing shear and discontinuous microdefects. The features and limitations of their matrix representation are considered. For the first time, the link has been determined between the angle of internal friction of the material and the ratio of sizes of discontinuous and shear microdefects in their Z-ensemble. It is shown that the distribution of stresses in the body is predetermined by the level of limiting states on the microshiftes, while deformations on the microshiftes are predetermined by the level of elastic deformations on the main direction of load.

Key words: damage, continuity, microdefects, microshift, microfracture, Z-ensemble, microdefect matrix, SSS theory, mathematical model, elastic and defect areas, calculation algorithm, stresses, deformations.