Формула Коула-Коула и фрактальность среды Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 553.98:004.032.26+553.078+550.34.016+551.24

ФОРМУЛА КОУЛА-КОУЛА И ФРАКТАЛЬНОСТЬ СРЕДЫ

Владимир Викторович Филатов

Акционерное общество «Сибирский научно-исследовательский институт геологии, геофизики и минерального сырья», 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный пр., 67, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник, тел. (383)222-47-22, e-mail: [email protected]

Рассмотрены особенности процессов вызванной поляризации во фрактальной среде. Рассмотрена связь фрактальных параметров среды с параметрами частотной дисперсии, входящими в формулу Коула-Коула, и с процессами релаксации.

Ключевые слова: вызванная поляризация, релаксация, фрактал, самоподобные процессы, частотная дисперсия.

COLE-COLE EQUATION AND FRACTAL MEDIA

Vladimir V. Filatov

Joint-stock company «Siberian Research Institute of Geology, Geophysics and Mineral Resources», 630091, Russia, Novosibirsk, Krasny Prospect 67, Doctor of Science, main scientific associate, tel. (383)222-47-22, e-mail: [email protected]

Features of processes of the induced polarization in fractal medium are discussed. Relation of fractal parameters of the medium with the Cole-Cole parameters of a frequency dispersion and with relaxation processes are considered.

Key words: induced polarization, relaxation, self-similar process, fractal, frequency dispersion.

Электрические свойства - одна из комплексных проблем в исследовании конденсированных сред. Особое место здесь занимают вопросы, связанные с поляризационными эффектами, обусловленными процессами переноса заряда. Большие сложности возникают при попытках разделить вклады в измеряемые величины различных механизмов транспорта заряда. Согласно теории Дебая, идеальный объект характеризуется одним временем релаксации, но, как правило, даже однородные объекты с трудом описываются этой теорией. Большой интерес для исследователей представляет природа релаксационных процессов, связанных с неоднородностью среды.

Известно, что многие явления, происходящие в пористых флюидонасы-щенных средах под воздействием электромагнитного поля, или не имеют строгого описания, или требуют для такого описания большего количества параметров, фактически не определяемых с точки зрения практики. Этим обусловлено появление при описании таких явлений феноменологических подходов, в которых теория явления не зависит от реальной физической кинетики процесса, но которые позволяют использовать для конденсированных сред относительно небольшое количество параметров.

Один из наиболее известных вариантов такого подхода связан с введением «фактора последствия» - нелокального во времени соотношения между пара-

метрами, входящими в уравнения материальных связей. Такая связь может быть представлена в виде интеграла типа свертки, конкретный вид которого определяется видом ядра интегрального оператора, которое, в свою очередь, определяется моделью функции «памяти».

Процессы, обладающие подобными свойствами, называются эредитарны-ми и известны уже давно. Основные принципы эредитарности сформулировал итальянский математик В. Вольтерра, посвятивший развитию идеи эредитарно-сти в применении к физическим и экологическим задачам ряд научных работ [11]. Он же предложил использовать для описания эредитарных процессов интегральные уравнения, носящие его имя, - уравнения Вольтерры.

В современной электроразведке начало применения принципов эредитар-ности можно связать с работой В.В. Кормильцева [2], в которой он ввел дисперсию в уравнения электродинамики, записав выражение для тока в виде:

t

jit) = g(0)[£(0 + \К t - х Е х dx , (1)

О

тем самым заложив основы такого феноменологического подхода.

Функция памяти е (т) здесь характеризует процесс релаксации проводимости среды, но этот процесс и описывающие его уравнения практически не изучались и свелись к использованию формулы Коула-Коула при описании дисперсии электрических свойств.

Модель Коула-Коула была заимствована геофизиками из теории несовершенных диэлектриков, что было вполне оправдано. Геофизические среды являются проводниками электрического тока с низкой электропроводностью. Такие проводники можно рассматривать одновременно как диэлектрики с утечкой электрического тока [3, 1]. В теории диэлектрической релаксации достаточно подробно рассмотрены математические модели, позволяющие описать отклик, который представляется более сложным, чем простой закон Дебая, в частности, описываемый соотношением Коула-Коула, в котором частотная дисперсия определяется функцией комплексной восприимчивости.

*(ю) =-(2)

1 + (/юх0)

Модель Коула-Коула определяется одним временем релаксации. В реальной среде гетерогенность зачастую определяет множество времен релаксации. При этом можно выделить два случая. Сначала рассмотрим вариант, когда среда обладает свойством самоподобия.

В последние годы при описании свойств неоднородных сред все больше внимания уделяется методам и представлениям фрактальной геометрии, стараются учитывать новый инвариант - самоподобие (или в более общем случае - самоаффинность), присущее многим законам природы и бесчисленным явлениям в ней.

Модели, базирующиеся на этих представлениях, и лежат в основе обоснования дисперсии электрических свойств гетерогенных сред в работах [4, 5].

Среда при этом представляется в виде иерархической совокупности соподчиненных кластеров.

Схемы, рассмотренные в этих работах (с учетом замечания, приведенного выше), формально могут быть использованы для обоснования зависимостей типа Коул-Коула и в случае изучения поляризационных явлений в гетерогенной геологической среде.

Отметим, что для случая вызванной поляризации обоснование применимости формулы Коула-Коула было рассмотрено М.С. Ждановым [12], что способствовало более широкому ее распространению.

Подход, связанный с использованием фрактальных представлений о среде, позволяет по-новому взглянуть на проблемы частотной дисперсии. Рассмотрим два момента, связанных с описанием процесса релаксации удельной проводимости в диспергирующей среде. Обратимся к уравнению (1). Процесс релаксации определяется ядром интегрального оператора, представляющим собой фактически функцию «памяти». Можно показать [4], что в среде, обладающей свойствами самоподобия, в общем случае функция памяти имеет следующую структуру:

1 ítЛ

= I , (3)

т2

W

где т - время релаксации, F(t) - некоторая безразмерная гладкая функция.

Фрактальная модель фактически приводит к множеству релаксационных процессов, каждый из которых обладает своей функцией "памяти". При этом эффективный релаксационный процесс во всей системе есть сумма всех процессов самоподобного (фрактального) множества.

Используя Меллин-преобразование, можно аналитически рассчитать релаксацию процессов самоподобного (фрактального) множества, не конкретизируя вида функции памяти F(t).

Для примера рассмотрим конкретную модель фрактальности среды, в которой иерархия кластеров описывается соотношением

Rl=Ro4l %i = tqS7 </<Z2 ть£>1,

где Щ - число, определяющее размер кластера данного уровня; т/ - соответствующее время релаксации. В этом случае можно записать выражение для комплексной восприимчивости в виде [7, 8]:

1

z(p) = \ D/. Л

1 + R(ico)

где

-i-i

R(i со) =

4

—df +iQk

X сл(й?/)0'юто)

k=-L

^ - "пространственно-временная'

фрактальная размерность, Си - величина, определяемая значениями Меллин-

2п

образа функции памяти F, а = —.

1п

Если в разложении ограничиться нулевой гармоникой, то комплексная восприимчивость приобретает вид стандартной зависимости Коула-Коула (2):

Х(®) =-,

1 + (/сот) /

где показатель с определяется величиной фрактальной размерности , а время релаксации

т =

с0- V/)

Мй,

Таким образом, в случае фрактальной среды множество времен релаксации самоподобных множеств кластеров может быть сведено к обычной модели Ко-ула-Коула с временем релаксации, определяемым параметрами самоподобия.

Другой вариант, когда исследуемая среда имеет сложную многокомпонентную структуру, в которой каждая компонента по-разному реагирует на приложенное внешнее поле, причем релаксация каждой компоненты слабо зависит от того, как происходит релаксация в других частях вещества. В этом случае можно сказать, что релаксация каждой компоненты идет по своему избранному каналу, а в среде как в едином целом развивается релаксационный процесс одновременно по нескольким каналам. В такой многоканальной релаксации необходимо вводить функцию памяти для каждого канала. В этом случае [7]

= ■

1

1 +

" N

Е (/соти)

п=1

-V

-1

Зависимость комплексной восприимчивости от суммы вкладов компонент мультифазной среды отмечена и в работе [12], хотя и в несколько иной форме.

Еще один аспект, связанный со спецификой процессов во фрактальной среде, обусловлен возможностью описания таких процессов уравнениями в дробных производных. В работах, опирающихся на фрактальную модель среды, показано, что процессы релаксации во фрактальной среде описываются уравнениями с дробными производными [9].

Как правило, это уравнения типа «уравнения сверхмедленной релаксации»:

-^ + —1/(0 = 0, с<\ ,

£ЙС То

где оператор дробного дифференцирования определяется выражением

С1си{1) _ с/

(к

"СО

I-

■с/т

Как уже отмечалось, именно такой подход, позволяет получить зависимость Коула-Коула в достаточно общем случае. Решения уравнений в дробных

производных задаются обобщенными функциями. В данном случае решение выражается функцией Миттаг-Леффлера [6]:

00 ( , чСП

Л(0 = ЛОЕ(-1)и7Г^' ?>0'0<с-1- (4)

п=о Псп + 1)

В последнее время для интерпретации данных ВП стал использоваться метод, в котором, по аналогии с диэлектрической спектроскопией, в качестве интерпретируемой характеристики рассматривается распределение времени релаксации (РВР) элементарной релаксационной модели Дебая, где РВР - непрерывная функция, характеризующая весовой вклад разномасштабных структурных элементов [10].

Нахождение РВР предполагает решение интегрального уравнения вида

<х>

v{t)=\g{x)F{t,x)dx,

о

где g(x) - функция РВР, /■'(/, х) - известная функция, представляющая свертку модельного спада поляризационного процесса с реальным сигналом в источнике. В работе [10] в качестве функции F рассматривается дебаевский спектр. При этом в самом простом случае интегральное уравнение можно записать как

v(t) = jg(T)i[exp(-i / x)dx.

о

Идеальным было бы использовать в качестве ядра функцию (4), но с точки зрения практики это обернется достаточно громоздкими вычислениями. Но если вернуться к функции (4), можно отметить одно из ее асимптотических приближений. Это экспоненциальный закон Уильямса-Уотса [9], где показатель степени определяется фрактальной размерностью среды:

ev{t)U ехр

Xf

г(1+у)

Использование этого выражения в качестве ядра вместо дебаевских экспонент позволяет получить параметры РВР более точно. Это можно увидеть из рисунка 1, где показаны РВР для варианта дебаевского ядра и ядра, построенного на основе экспоненциального закона Уильямса-Уотса.

Таким образом, использование фрактальной модели среды и уравнений в дробных производных позволяет взглянуть на вопросы обоснования параметров, входящих в формулу Коула-Коула с более общих позиций, в частности, на вопросы связи этих параметров со свойствами неоднородной среды. Концепция функции памяти позволяет при определенных условиях поставить вопрос о восстановлении процесса релаксации электрических свойств среды, не задаваясь его конкретным видом, что, в свою очередь, может позволить расширить круг решаемых прогнозных задач.

0.25 0.2 0.15

от

0.1 0.05

0 Л -9 -1 П 1 1 Т 0 о 1 1 п 1 1 Q

103 102 10 ' 10° 10' 102 103 10 10 10 10° 101 102 103 t t

Рис. 1. Результат восстановления РВР для суммарной модели с тремя различными параметрами Cole-Cole (тп равняется 0.1, 1, 10): а) - вариант дебаевского спектра; б) - вариант экспоненциального закона Уильямса-Уотса

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Каменецкий Ф.М., Тригубович Г.М. Феноменология вызванной поляризации // Геофизика. - 2013.- №1. С. 80-83.

2. Кормильцев В.В. Вызванная поляризация в уравнениях электродинамики. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1981. - 44 с.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. - М.: Наука, 1982. -

620 с.

4. Новиков В.В., Комкова О.А. Диэлектрическая релаксация Коул-Коула // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. - 2004. - № 5. - С. 61-64.

5. Хамзин А.А., Нигматуллин Р.Р., Попов И.И. Микроскопическая модель недебаев-ской диэлектрической релаксации. Закон Коула-Коула и его обобщение // Теоретическая и математическая физика. - 2012. - Т. 173. - № 2. - С. 314-331.

6. Goreno R., Loutchko J., Luchko Yu. Computation of the Mittag-Leffer function and its derivatives // Fract. Calc. Appl. Anal. - 2002. - Vol. 5. - P. 491-518.

7. Khamzin A.A., Nigmatullin R.R, Popov I.I Log-periodic corrections to the Cole-Cole expression in dielectric relaxation // Physica A. - 2013. - Vol. 392. - № 1. - P. 136-148.

8. Khamzin A.A., Nigmatullin R.R, Popov I.I Description of the anomalous dielectric relaxation in disordered systems in the frame of the Mori-Zwanzig formalism // Journal of Physics: Conference Series. - 2012. - Vol. 394. - P. 012013-1-6.

9. Mainardi, F. and Goreno, R. Time-fractional derivatives in relaxation processes: a tutorial survey // Fract. Calc. Appl. Anal. - 2007. - Vol. 10. - P. 269-308.

10. Tarasov А., Titov К. Relaxation time distribution from time domain induced polarization measurements // Geophys. J. Int. - 2007. - Vol. 170. - P. 31-43.

11. Volterra V. Theory of Functionals and of Integral and Integro-differential Equations. London. Blackie & Son. - 1931. - 226 p.

12. Zhdanov M. Generalized effective-medium theory of induced polarization // Geophysics. - 2008. - Vol. 73. - N 5. - P. F197-F211.

© В. В. Филатов, 2016

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5

g

0.4 0.3 0.2 0.1

.А

i.

i.

.Л