CC BY
19
УДК 553.98:004.032.26+553.078+550.34.016+551.24
РЕЛАКСАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ И СТРУКТУРНЫЕ ОСОБЕННОСТИ СРЕДЫ
Владимир Викторович Филатов
АО «Сибирский научно-исследовательский институт геологии, геофизики и минерального сырья», 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный пр., 67, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник, тел. (383)222-47-22, e-mail: filatov@sniiggims.ru
Рассмотрены особенности процессов релаксации во фрактальной среде и связь фрактальных параметров с параметрами частотной дисперсии и с некоторыми структурными характеристиками среды.
Ключевые слова: вызванная поляризация, релаксация, фрактал, самоподобные процессы, частотная дисперсия.
STRUCTURAL FEATURES OF HETEROGENEOUS MEDIUM AND RELAXATION OF MEDIUM'S PARAMETERS
Vladimir. V. Filatov
«Siberian Research Institute of Geology, Geophysics and Mineral Resources» JSC, 630091, Russia, Novosibirsk, 67 Krasny Prospect, D. Sc., Main Scientific Associate, tel. (383)222-47-22, e-mail: filatov@sniiggims.ru
Features of relaxation's processes of a in a fractal medium and Relation of fractal arguments with arguments of the frequency dispersion and with some structural features of a medium are considered.
Key words: induced polarization, relaxation, self-similar process, fractal, frequency dispersion.
Известно, что многие явления, происходящие в пористых флюидонасы-щенных средах под воздействием электромагнитного поля, реально могут быть описаны только на основе некоторых феноменологических подходов, в которых теория явления не зависит от реальной физической кинетики процесса, но которые позволяют использовать для конденсированных сред относительно небольшое количество параметров.
Один из наиболее известных вариантов таких подходов связан с введением «фактора последствия» - нелокального во времени соотношения между параметрами, входящими в уравнения материальных связей. Такая связь может быть представлена в виде интеграла типа свертки, конкретный вид которого определяется видом ядра интегрального оператора, которое, в свою очередь, определяется моделью функции «памяти». В современной электроразведке начало применения такой модели можно связать с работой В.В. Кормильцева [1], в которой он ввел дисперсию в уравнения электродинамики, записав выражение для тока в виде:
t
j(t) = а(0)[E(t) - Jm (x)E(t - x)dx, (1)
0
тем самым заложив основы такого феноменологического подхода.
Собственно говоря, в уравнении (1) в явном виде записано влияние на реально измеряемые компоненты процесса релаксации свойств среды (в данном случае проводимости), характеристику которого и дает функция «памяти» т( т). Но следует отметить, что сам этот процесс и описывающие его уравнения детально не изучались.
Феноменологический подход свелся к рассмотрению в диспергирующих средах обычной системы уравнений Максвелла, в которой уравнения материальных связей представляются в виде интегралов свертки. Линейность такой модели позволяла переходить к решениям уравнений Максвелла в частотном варианте и изучать диспергирующие среды, ограничиваясь набором параметров, входящих, например, в формулу Коула-Коула, записывая дисперсию сопротивления в виде:
р(ю) = р
где комплексная восприимчивость
1 -Ло(1 1
1 + (гют0)
с
У
хО'ю) = 1
1 + (¿ЮТф )с
определяет параметры дисперсии в соответствии с моделью Коула-Коула.
Таким образом, практически процесс релаксации полностью заменялся значениями двух параметров. Но достаточно ли этих параметров для описания свойств гетерогенной среды?
Известно, что параметры электромагнитных полей, распространяющихся в фрагментированных флюидонасыщенных горных породах, несут в себе информацию о литологии пород трещиноватости, пористости, наличии различного рода нарушений и локальных включений, а также о составе и фазовом состоянии флюидов-заполнителей порового пространства коллекторов.
Рассмотрим модельный пример релаксации удельного сопротивления при упругом воздействии, так называемый сейсмоэлектрический эффект первого рода (СЭЭ1). В этом случае процесс релаксации может быть описан уравнением в дробных производных, решение которого записывается в виде функций Миттаг-Леффлера [5]:
(Ю УП
еДО = Е(-1)П--t > 0,0 <у< 1.
П:0 Г(Уп+1)
Однако реальные процессы релаксации в эксперименте достаточно хорошо описываются одним из асимптотических приближений таких функций имеющего вид экспоненциального закона Уильямса-Уотса [5]:
Г
еу (7) □ ехр--.
Г(1 + у)
Практически СЭЭ1 также описывался двумя параметрами: амплитудой и показателем спада V. Заметим, что этот эффект также существенно зависит от литологических и петрофизических параметров горных пород.
В порядке эксперимента была рассмотрена возможность прогноза таких параметров по характеристикам СЭЭ1. На рис. 1 показан результат прогноза по двум упомянутым параметрам.
Номер образца
Рис. 1. Относительная ошибка прогноза коэффициента пористости по амплитуде СЭЭ1и показателю спада на двух коллекциях образцов (1-14 - теригенные, 15-21 - карбонатные)
Ситуация существенно меняется в случае использования полных кривых изменения сопротивления. В этом случае связи между параметрами характеризуются аттрактором, моделирующим поведение динамической системы, которая определяет процесс изменения сопротивления в результате упругого воздействия. Подробнее схема использования такого подхода рассмотрена в работе [2]. По полным кривым изменения сопротивления можно получить удовлетворительные прогнозные оценки (рис. 2).
10-
11.|1.|||1 llll-.l1 llllll.ll
10
15
20
25
30
35
40
Порядковый номер образца
Рис. 2. Прогноз пористости по полным кривым релаксации сопротивления
5
Таким образом, можно сделать вывод о целесообразности изучения и использования функций «памяти» или, другими словами, непосредственно процессов релаксации параметров среды.
Отметим, что один из наиболее общих подходов к описанию сред с «памятью», по-видимому, рассмотрен в работах [3, 6], где показано, что в среде, обладающей свойствами самоподобия, в общем случае функция «памяти» имеет следующую структуру:
* * -т)=7 ' (Т) •
где т - время релаксации, Е^) - некоторая безразмерная гладкая функция.
Во фрактальной среде можно построить процесс релаксации, не задаваясь видом функции «памяти». Например, можно описать комплексную восприимчивость во фрактальной модели гетерогенной проводящей среды, в которой неоднородности образованы кластерами, с иерархией, описываемой соотношением
Я1= ЯоЛ1 Т =То^ -11 < I < 12 Л, 1,
где Я[ - число, определяющее размер кластера данного уровня, т - соответствующее ему время релаксации. В этом случае можно записать выражение для комплексной восприимчивости [6], которое в определенном приближении приобретает вид стандартной зависимости Коула-Коула:
^(ю) =-,
1 + (¿ют) 7
1п л
где показатель степени а 7 = - «пространственно-временная» фрактальная размерность.
Отметим, что это значение показателя в формуле Коула-Коула остается не совсем ясным. Рассмотренная модель позволяет дать вполне наглядное истолкование такого показателя, а именно: значение df связывает изменение времен релаксации с изменением размеров неоднородностей. Например, при df = 1/2 линейное изменение времени релаксации соответствует квадратичному изменению размеров неоднородностей. Именно такая связь т-г2 закладывается при интерпретации данных ВП, например, в работе [7]. Учитывая, что обычно показатель степени в формуле Коула-Коула берется равным 1/2, это вполне объяснимо.
Отметим еще один момент. Фрактальная модель фактически приводит к множеству релаксационных процессов, каждый из которых обладает своей функцией «памяти». При этом эффективный релаксационный процесс во всей системе есть сумма всех процессов самоподобного (фрактального) множества.
При этом среда может быть (и, как правило, является) мультифрактальной. При этом наблюдается сложный процесс, обусловленный комбинацией временных спадов, соответствующих набору различных параметров Коула-Коула. В связи с этим можно вспомнить методику интерпретации данных ВП, построенную по аналогии с диэлектрической спектроскопией, базирующуюся на концепции распределения времен релаксации (РВР), когда нормированная макроскопическая функция релаксации /(1) представляется в виде суммы экспоненциальных функций с подходящими амплитудами и временами релаксации. Аналогичная методика в электроразведке получила название «дебаевская декомпозиция» [4, 7].
При этом предполагается непрерывное распределение времен релаксации, и задача декомпозиции сводится к решению интегрального уравнения:
где g(т) - функция РВР, ¥(г, т) - известная функция, представляющая свертку
модельного спада поляризационного процесса с реальным сигналом в источнике. В работах [5, 6] в качестве такой функции рассматривается Дебаевская релаксация.
Такой подход к описанию неэкспоненциальной релаксации, каким, собственно, является процесс спада поляризации, очевидно, основывается на предположении, что релаксирующая макроскопическая система состоит из подходящего числа подсистем, каждая из которых релаксирует с собственным временем релаксации. Несомненно, что это предположение может быть справедливо для многих систем, но также несомненно и то, что такое разбиение на подсистемы имеет реальный физический смысл только в том случае, когда число подсистем конечно и сравнительно невелико.
Но мы уже видели, что процесс релаксации в фрактальных подсистемах не является дебаевским. Поэтому целесообразно искать не просто РВР, а распределение двух параметров, входящих в формулу Коула-Коула. В этом случае можно воспользоваться аналогом уравнения (2), взяв в качестве функции F функцию Миттаг-Лефлера. Но модельный эксперимент показывает, что в качестве F достаточно взять асимптотическое приближение типа Уильямса-Уотса:
С помощью такого распределения, пользуясь соотношением времен релаксации и размеров неоднородностей, приведенными выше, также можно получить информацию о структуре среды.
(2)
о
ис (г, т) = ехр
г
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кормильцев В.В. Вызванная поляризация в уравнениях электродинамики. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1981. - 44 с.
2. Филатов В.В. Динамические системы и задачи геолого-геофизического прогноза // Разведка и охрана недр. - 2012. - № 2. - С. 85-90.
3. Хамзин А.А., Нигматуллин Р.Р. Попов И.И. Микроскопическая модель недебаевской диэлектрической релаксации. Закон Коула-Коула и его обобщение // Теоретическая и математическая физика. - 2012. - Т. 173, № 2. - С. 314-331.
4. Application of the Debye decomposition approach to time domain induced polarization profiling data: a mining example / G. Gurin, A. Tarasov, Yu. Ilyin, K. Titov // 3 rd International Workshop on Induced Polarization (6-9 April). Abstracts. - Oleron Island, France, 2014. -P.104-105.
5. Goreno R., Loutchko J., Luchko Yu. Computation of the Mittag-Leffer function and its derivatives // Fract. Calc. Appl. Anal. - 2002. Vol. 5. - P. 491-518.
6. Khamzin A.A., Nigmatullin R.R, Popov I.I. Log-periodic corrections to the Cole-Cole expression in dielectric relaxation // Physica A. - 2013. - Vol. 392, N 1. - P. 136-148.
7. Tarasov А., Titov К. Relaxation time distribution from time domain induced polarization measurements // Geophys. J. Int. - 2007. - Vol. 170, N 1. - P. 31-43.
© В. В. Филатов, 2017
