CC BY
73
Я • 7universum.com
жк. UNIVERSUM:
/Yv\ ПСИХОЛОГИЯ И ОБРАЗОВАНИЕ
ФОРМИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ ЗНАНИИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ КУРСА МАТЕМАТИКИ В ТЕХНИЧЕСКОМ ВУЗЕ
Подскребко Эльвира Николаевна
канд. физ.-мат. наук, доцент Национального исследовательского
Томского политехнического университета, 634050, РФ, г. Томск, проспект Ленина 30 E-mail: podskrebko@tpu.ru
Устинова Ирина Георгиевна
канд. техн. наук, доцент Национального исследовательского Томского политехнического университета, 634050, РФ, г. Томск, проспект Ленина 30
E-mail: igu@tpu.ru
Подберезина Елена Ивановна
канд. физ.-мат. наук, доцент Национального исследовательского
Томского политехнического университета, 634050, РФ, г. Томск, проспект Ленина 30
E-mail: pei@tpu.ru
Некряч Евгений Николаевич
канд. техн. наук, доцент Национального исследовательского Томского политехнического университета, 634050, РФ, г. Томск, проспект Ленина 30
E-mail: nen@tpu.ru
Формирование системы знаний при изучении курса математики в техническом ВУЗе // Universum: Психология и образование : электрон. научн. журн. Подскребко Э.Н. [и др.]. 2016. № 3-4 (22) . URL: http://7universum.com/ru/psy/archive/item/3040
THE FORMATION OF THE SYSTEM OF KNOWLEDGE IN THE STUDY OF MATHEMATICS COURSE IN A TECHNICAL COLLEGE
Elvira Podskrebko
Candidate of Physico-Mathematical Sciences, associate of professor of National Research Tomsk Polytechnic University,
634050, Russia, Tomsk, Lenin Avenue, 30
Irina Ustinova
Candidate of Engineering sciences, associate ofprofessor of National Research Tomsk Polytechnic University, 634050, Russia, Tomsk, Lenin Avenue, 30
Elena Podberezina
Candidate of Physico-Mathematical Sciences, associate ofprofessor of National Research Tomsk Polytechnic University, 634050, Russia, Tomsk, Lenin Avenue, 30
Evgeniy Nekryach
Candidate of Engineering sciences, associate ofprofessor of National Research Tomsk Polytechnic University, 634050, Russia, Tomsk, Lenin Avenue, 30
АННОТАЦИЯ
В статье показана необходимость введения в курс математики в виде знакомства с элементами теории множеств и математической логики, что зачастую в настоящее время исключается из курса математики в вузе в связи с сокращением аудиторных лекционных часов. Обоснована важность выкладочной культуры и культуры логической в успешном освоении курса математики. Знакомство с элементами теории множеств и математической логики позволяет путем использования математической символики и теорем математической логики сокращать запись математического текста, следовать правилам логического вывода, оценивать истинность утверждений. Приведены рекомендации к изучению курса математики: определение системообразующего элемента класса элементов соответствующего вида, изучение внутренних свойств класса путем доказательства соответствующих теорем, изучение свойств класса, определяющих его место в ранее
сформированной структуре классов. На примере класса дифференцируемых функций показан процесс изучения класса функций. Приведены примеры задач темы «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» на иллюстрацию физического и геометрического смысла производной, на элементы логической культуры, на соотношение классов непрерывных и дифференцируемых функций. Статья может быть полезной преподавателям математики.
ABSTRACT
The article shows the need to introduce in the course of mathematics, in the form of a familiarity with the elements of set theory and of mathematical logic, which is often currently excluded from the mathematics course at the university in connection with the reduction of classroom lecture hours. It substantiates the importance of culture obtain of formulas and cultural of logic in the successful study of the mathematics. Introduction to set theory and mathematical logic allow the use of mathematical symbols and theorems mathematical logic to reduce the entry of mathematical text, follow the rules of logical inference, to assess the truth of the allegations. Recommendations are given for the study of the mathematics. This are a definition of a system-forming element of class of elements relevant type, the study of the intrinsic properties of the class, by proving the corresponding theorems, a study of properties of the class that define its place in the structure of the previously formed classes. On example, a class of differentiable functions shows the process of studying the class of the functions. There are examples of problems the theme "Differential calculus of functions of one variable" to illustrate the physical and geometric meaning of the derivative, on elements of the logical culture, on the ratio of classes of continuous and differentiable functions. The article can be useful to teachers of mathematics.
Ключевые слова: системообразующий элемент, класс элементов, операционная система.
Keywords: system-forming element, class of elements, operating system.
I. Цели и задачи курса высшей математики в техническом вузе
Изучение курса высшей математики в техническом вузе преследует следующие цели:
1. Освоение универсального математического языка и основ научной методологии для изучения естественных наук и основанных на них технических дисциплин.
2. Формирование полноценного запаса знаний, включающего максимально возможное число понятий и методов науки, отвечающих запросам современного уровня развития техники и технологий.
3. Воспитание высокой математической культуры.
Важность воспитания высокой математической культуры подчеркивали многие математики. Приведем высказывание известного российского математика Л.А. Люстерника: «То реальное, чем могут университеты вооружить своих питомцев и что последним пригодится в любой их деятельности, - это главным образом высокая математическая культура, культура выкладочная и культура логическая» [6].
Культура выкладочная предполагает устойчивое владение навыками и умениями реализации стандартных алгоритмов, а также навыками выполнения различного рода преобразований, позволяющих представить имеющуюся информацию в форме, обеспечивающей возможность применения методов соответствующего математического аппарата. И если культура выкладочная существенно зависит от специфики математического аппарата изучаемого раздела, то культура логическая указывает на то общее, что присуще математическим суждениям, а именно на общие правила математического мышления.
Использование математической символики и некоторых теорем математической логики позволяет сокращать запись математического текста, следовать правилам логического вывода, оценивать истинность утверждений.
II. Специфика курса высшей математики
Математика является одной из самых сложных для понимания, усвоения и применения дисциплин. Ее изучение требует значительных временных, интеллектуальных и волевых усилий.
Универсальность языка математики и эффективность ее методов обусловлена высокой степенью абстрактности ее понятий, дедуктивным характером изложения и предельно лаконичной формой представления материала.
Студенты первого курса имеют слабое представление о том, что значит понять математическое определение, условие и доказательство теоремы, установить структурно-логические связи изучаемого материала. Чаще всего знание этих вопросов подменяется субъективным отражением своего восприятия.
Полноценное освоение любого математического курса предполагает знание его теоретико-множественных и логических основ.
Приведем еще одну цитату А.А. Ляпунова [7]: «Основу культуры математической мысли закладывает курс математического анализа, и именно в этом сейчас его основное значение. ... Прежде всего, необходимо строгое изложение основ».
III. Примеры введения в курс математики
Первые занятия посвящены знакомству с элементами теории множеств [1]. При этом рассматриваются такие вопросы, как понятие множества, соотношения между множествами, операции над множествами и их свойства. Для геометрической иллюстрации операций над множествами привлекаются диаграммы Эйлера-Венна [2].
Практикуется доказательство теоретико-множественных включений и равенств, основанное на определениях операций и их свойствах. При этом формируется умение строго следовать определениям в процессе суждений.
Понятие взаимнооднозначного соответствия позволяет сравнивать множества по количеству элементов. Вводится понятие мощности множества. Акцентируется внимание на понятии бесконечного множества (актуальной бесконечности) [4].
Знакомство с элементами математической логики [5] начинается с понятия простого высказывания, над которым определяется операция отрицания высказывания. Для двух простых высказываний определяются операции: конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность двух высказываний.
Вводятся понятия одноместного предиката и логических операций над одноместными предикатами с геометрической иллюстрацией множеств их истинности на диаграммах. К ним относятся операции квантификации, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентности.
Поскольку большая часть теорем в курсе математики формулируется в форме импликации, то особое внимание уделяется понятиям необходимых и достаточных условий и, соответственно, различным видам формулировок теорем. При этом студенты учатся записывать формулировки теорем с помощью логической символики.
Укажем три теоремы из курса математической логики, наиболее часто используемые в доказательных процессах.
1. Теорема отрицания кванторов.
[ (V х<еМ :а(х) ) (3 хеЫ: [ а( х)),
[(3 хеЫ :а(х) ) (V хеЫ: а(х) ).
Эта теорема позволяет записывать отрицание определения в позитивной форме и, следовательно, делает его доступным для практического применения. Примерами являются определения неограниченной и расходящейся последовательностей, недифференцируемой функции и так далее.
2. Теорема контрапозиции.
(V хеЫ :а(х) ^ /3(х) ) (V хеЫ: [ /3(х) ^ [а(х)).
Эта теорема, как правило, применяется в тех случаях, когда доказательство утверждения
является сложным или даже неизвестным.
По правилу контрапозиции формулируются следствия теорем, имеющие форму импликации. Например, следствием известной теоремы «Если функция (х) дифференцируема в точке х0 е X, то она непрерывна в этой точке» является утверждение «Если функция (х) разрывная в точке х0, то она не дифференцируема в этой точке».
3. Теорема отрицания импликации.
Теорема утверждает, что для опровержения импликации достаточно привести один контрпример. Например, контрпримером к утверждению «Если предел общего члена числового ряда равен нулю, то этот ряд сходится», является
Необходимо знать и виды теорем. Если имеются две теоремы:
V хеМ: а(х) ^ /3(х)
V хеМ: Р(х) ^ а(х), то они называются взаимно обратными.
Если же известно, что только одна из приведенных выше импликаций является теоремой, то об истинности обратного к ней утверждения ничего сказать нельзя. Требуется дополнительное исследование. Например, известна теорема «Если числовая последовательность сходится, то она ограничена». Обратное утверждение «Если числовая последовательность ограничена, то она сходится» может быть истинным, а может быть и ложным. Например, числовая
( V хеМ: а(х) ^ р(х) )
1 (V хеМ :а(х) ^ @(х) ) 3 х: (а(х) л 1 /3(х)).
гармонический ряд
последовательность х
(-1)"
ограничена и сходится, а числовая
п
п
последовательность хи = (-1)" ограничена, но не является сходящейся.
Если каждое из утверждений
V хеМ : а(x) ^ ß(x)
V хеМ : "[а(х) ^ [ß(х) является теоремой, то они называются взаимно противоположными.
Однако если известно, что только одно из этих утверждений является истинным, то об истинности другого ничего сказать нельзя без дополнительных исследований.
Воспользуемся предыдущим примером. Известна теорема «Если числовая последовательность сходится, то она ограничена». Противоположное к ней утверждение «Если числовая последовательность расходится, то она не ограничена» теоремой не является. Существуют расходящиеся последовательности как неограниченные, например хи = (-1)nn, так и ограниченные, например, хи = (-\)n.
Для анализа условий теорем студент должен быть знаком не только с понятием необходимых и достаточных условий, но и существенных условий. Если теорема записана в виде импликации
V хеМ :а(х) ^ ß(x),
то условие а(х) - достаточное для условия ß(х), а условие ß(х) -необходимое, «которое нельзя обойти», для условия а( х).
В случае, когда а = а ла2, то есть а состоит из двух одновременно выполняющихся свойств а и а2, то свойство а называется существенным для условия ß(х), если
V xgM :а(х) а а(х) ^ ß(x), [ (V хеМ): а2(х) ^ ß(х).
Аналогично и для а2.
Приведем пример: известна теорема «Всякая неубывающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел» [3]. Пусть М(х) - множество всех
числовых последовательностей. Пусть условие ах (х): хи - неубывающая
последовательность; условие а2 (х): хи - ограниченная сверху последовательность; условие /(х): хи - сходящаяся последовательность. Тогда теорема записывается в виде
V хеМ(х):ах(х) л а(х) ^ /(х). Каждое из условий ах (х) и а2 (х) - существенные для сходимости последовательности, так как утверждение
V хеМ(х): а(х) ^ /(х) не является теоремой. Контрпримером к этому утверждению является последовательность хи = (-1)п. Утверждение
VхеМ(х): а2(х) ^ /(х) также не является теоремой. Контрпримером к этому утверждению является
(-1)"
последовательность хи =
п
п
Таким образом, каждое из условий теоремы существенно. В совокупности они достаточны для сходимости последовательностей указанного вида. При этом условие а2(х) является необходимым условием ее сходимости.
IV. Некоторые рекомендации к изучению курса математики
Перечислим отдельные приемы, которые позволяют заинтересованно, сознательно и активно построить свою собственную систему знаний.
1. В задачу преподавателя входит такая организация учебного процесса, при которой студент знает, что он изучает, зачем изучает и как изучает. При этом в процессе осмысления нового материала важно научить студента задавать себе вопросы и находить на них ответы с целью достижения полного понимания материала, начиная с терминов, доказательств и заканчивая его структурно-логической организацией.
2. Как правило, изучение новой темы начинается с основополагающего понятия, которое является системообразующим элементом, так как определяет целый класс элементов соответствующего вида. Такое определение должно
быть проанализировано как алгоритм, позволяющий сформировать операционную систему класса, и как логическая форма, которая дает возможность работать с ним в доказательных процессах. Кроме того, следует выяснить его геометрический и физический смыслы, указывающие на возможности его практического применения.
3. Изучение внутренних свойств класса формирует операционную систему класса, существенно расширяющую алгоритмические возможности системообразующего элемента и возможности его практического применения.
4. Процесс изучения свойств класса осуществляется путем доказательства соответствующих теорем. При этом доказательство выступает как необходимый математический метод решения определенного класса задач, обусловленных потребностями самого математического аппарата, его практическими приложениями, а также организацией изучаемого материала.
Доказательство учит правильно рассуждать, делать верные выводы на основе имеющейся информации, воспитывает привычку к аргументации, способствует осознанному применению теоретических положений.
Изучение доказательных утверждений предполагает знание видов теорем, методов доказательств, умений анализировать условия теорем с точки зрения необходимых, достаточных и существенных условий, иллюстрировать теорему геометрически и физически, если это возможно, и знать ее теоретические и практические приложения.
5. Изучаются и свойства класса, определяющие его место в ранее сформированной структуре классов, а построением соответствующей структурно-логической схемы завершается его изучение.
V. Пример изучения класса дифференцируемых функций одного аргумента
Этот класс предназначен для отыскания динамических характеристик причинно-обусловленных явлений и процессов реального мира.
Очевидно, что в данном случае основополагающим является понятие функции, дифференцируемой в точке. Однако в целях актуализации изучения данного класса приходится сначала вводить понятие производной, которое в свою очередь предваряется решением, например, следующих задач: о мгновенной скорости материальной точки, движущейся прямолинейно; о нахождении углового коэффициента касательной.
Определим производную функции f (х) в точке х0 как предел вида
ш ду = ш f(х0+ах) - f(ха) = f(х), (1)
дх ^ О Д х Ах ^ О д х
Из определения предела и данного равенства вытекает необходимый признак существования производной, указывающий на структуру ее приращения в точке х :
А у = A А х + а( А х) А х, (2)
где A = f'(х0), lim а(Ах) = О.
А х ^ О
Анализируя равенство (2), отмечаем, что все входящие в него величины А у, A А х, а( А х) А х являются бесконечно малыми при А х ^ О. Слагаемое A А х есть приращение некоторой линейной функции у = Ах + B, Vx е R. Более того, при A ф О и А х ^ О имеет место эквивалентность А у ~ A А х, то есть A А х - главная часть приращения функции f (х) в точке х0.
Ответ на вопрос «Для любой ли функции f (х), определенной в окрестности точки х0, можно указать линейную функцию у = Ax + B, такую, что приращение функции f (х) в точке х0 будет иметь вид
А у = A А х + а( А х) А х, А х ^ О (3)
но A - произвольная константа, lim а(Ах) = О » зависит от вида функции f (х)
А х ^ О
и точки х .
Поэтому естественно выделить класс функций, определенных в некоторой окрестности точки х0, удовлетворяющих условию (3), который называется классом функций, дифференцируемых в этой точке. При этом часть
приращения функции, линейная относительно Ах: А Ах, называется дифференциалом функции /(х) в точке х0.
Равенство (3), записанное в виде
/ (х0 + Ах) - / (х0) = ААх + о(Ах), Ах ^ 0 показывает, что приращение функции /(х) в точке х0 приближается приращением линейной относительно Ах функцией ААх с точностью до о(А х) при А х ^ 0, а для самой функции /(х) имеет место представление
/(х) = /(х0) + А(х - х0) + о(х - х0), х ^ х0.
Доказательство теоремы об эквивалентности понятий дифференцируемой в точке х0 функции и функции, имеющей производную в этой точке, позволяют
использовать оба определения в процессе формирования операционной системы класса, то есть находить правила дифференцирования функций, полученных в результате выполнения арифметических операций, обращения функции, композиции функций, а также параметрического и неявного задания функции. При изучении данного класса производная выступает главным образом как инструмент для решения прикладных задач, так как понятие дифференцируемой функции предназначено для описания свойств функций этого класса. Непрерывность дифференцируемой функции указывает на место дифференцируемых функций в структуре ранее рассмотренных классов функций в окрестности точки х .
Заметим, что при изучении этого класса производная выступает как инструмент решения прикладных задач, а понятие дифференцируемой в точке х0 функции предназначено для описания этого класса. Поэтому для производной приводится ее механический смысл и геометрическая интерпретация.
Оба определения участвуют в формировании операционной среды класса, другими словами, позволяют получить правила дифференцирования функций при различных способах их задания.
Теорема о непрерывности дифференцируемой функции указывает на принадлежность дифференцируемой функции классу непрерывных функций, что завершает формирование класса дифференцируемых функций.
Если список основных теоретических сведений, упорядоченных в логической последовательности, составляет содержание курса, то соответствующее множество планируемых целевых умений определяет план его изучения.
Эти умения и навыки отражены в кодификаторе [10].
Для реализации плана освоения материала разработаны варианты заданий, состоящие из восьми задач на проверку полноценности овладения основными понятиями курса.
VI. Некоторые задачи темы «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» VI. 1. Задачи на иллюстрацию физического смысла производной
1. Если s (t) - закон движения материальной точки, то — = v(t) -
dt
мгновенная скорость неравномерного движения в момент времени t .
dm
2. Если m(x) - масса неоднородного стержня [0, x], то — = р(x) -
dx
локальная плотность стержня в точке x.
Задача. Имеется тонкий неоднородный стержень AB длиной 20 см. Известно, что для любой точки C стержня, отстоящей от A на расстоянии l см, масса куска стержня определяется по формуле m = 312 + 5l. Найдите линейную плотность стержня в точке, отстоящей от точки A на расстоянии l = 5 см. Ответы: 1) 20. 2) 10. 3) 35. 4) 100.
3. Если q(x) - количество электричества, протекающее за время [0, t], dq
то — = J (t ) - сила переменного тока в момент времени t. dt
Задача. Количество электричества 2 (в кулонах), протекающее через поперечное сечение проводника, изменяется по закону 2 = 3 I2 + 2?. Найдите силу тока (в амперах) в конце пятой секунды.
Ответы: 1) 17 А. 2) 32 А. 3) 85 А. 4) 30 А.
4. Если а(1) - угол поворота шкива, то = ) - угловая скорость
Л
вращения.
5. Если т = / (I) - количество вещества, вступившего в реакцию за время I,
Лт
то — - скорость химической реакции в момент времени I.
Л
Задача. Зависимость между количеством вещества, получаемого в некоторой химической реакции, и временем I выражается уравнением
X = Л(1-е ~к') . Определите скорость реакции.
Ответ: 1) -Лкее ~к'. 2) - Л (1 - ек). 3) Лке ~к'. 4) Л (1 - е ~к'). VI. 2. Задачи на иллюстрацию геометрического смысла производной
Задача. Какой из предложенных графиков в окрестности точки х0 удовлетворяет условиям /'(х) = -1 [11]?
Задача. Для функции у = л] - х укажите А у и Лу в точке х0 = -1 при А х = -1. Приведем координаты точек Л(0;1); ^ (-2;0); .0(-2;1); В(-2;2).
1) Лу = ГС, йу = ГБ. 2) Л у = ВС, йу = ВБ. 3) Лу = ГВ, йу = АБ. 4) Лу = АВ, йу = СБ.
VI. 3. Задачи на элементы логической культуры Задача. Постройте диаграмму взаимного расположения множеств функций: Я - множество функций {/(х)}, удовлетворяющих условиям теоремы Ролля: а) /(х) - непрерывна на [а, Ь]; б) дифференцируема на (а, Ь); в) /(а) = /(Ь). О - множество функций { /(х)}, заданных на [а, Ь], для которых существует такая точка с е (а, Ь), что /'(х0) = 0.
/ к \
/ / \ \ ! \
(О) (©) 14 ;*; ( °=к )
1) 2) V ЧхС^ 3) 4)
Задача. Постройте диаграмму взаимного расположения следующих множеств:
В - множество всех функций, дифференцируемых в точке х0; К - множество всех функций, имеющих касательную в точке с абсциссой
ХА
Задача. Заполните пропуск в высказывании «Равенство /"(х0) = 0 есть .... условие точки перегиба графика дважды дифференцируемой функции».
1) Достаточное.
2) Необходимое.
3) Необходимое и достаточное.
4) Равенство /"(х0) = 0 не связано с существованием точки перегиба графика функции.
Задача. Выберите верное утверждение «Существование касательной
к графику функции у = /(х) в точке х0 есть
1) Необходимое условие ее дифференцируемости в этой точке.
2) Достаточное условие ее дифференцируемости в этой точке.
3) Необходимое и достаточное условие ее дифференцируемости в этой точке.
4) Существование касательной к графику функции в некоторой его точке никак не связано с существованием ее производной в этой точке.
VI. 4. Задачи на соотношение классов непрерывных и дифференцируемых функций
Задача. Исследуйте на непрерывность и дифференцируемость в точке х0 = 0 функцию [9]
/ (х)
X 81п| - 1-1
е 15 х) , х ф 0
0,
х
0.
В качестве ответа укажите два числа, соответствующие результатам Вашего исследования, из следующей таблицы.
<
х0 - точка непрерывности х0 - точка разрыва В точке х0 функция дифференцируема В точке х0 функция не дифференцируема
1 2 3 4
Эта функция терпит разрыв в точке = 0 и, следовательно, не дифференцируема в этой точке. Ответ: 2, 4.
Задача. Исследуйте на непрерывность и дифференцируемость в точке = 0 функцию
I (X) =
■ I 3
X 81П| -
е [ 5 х1, х ф 0
0, , х = 0.
В качестве ответа укажите два числа, соответствующие результатам Вашего исследования, из следующей таблицы.
<
X0 - точка непрерывности X0 - точка разрыва В точке X0 функция дифференцируема В точке X0 функция не дифференцируема
1 2 3 4
В точке х0 = 0 заданная функция непрерывна, но не дифференцируема. Ответ: 1, 4.
Задача. Исследуйте на непрерывность и дифференцируемость в точке х0 = 0 функцию
I (х) =
2 Л _
x ООБ—, x ф 0
x
0,
X = 0.
В качестве ответа укажите два числа, соответствующие результатам Вашего исследования, из следующей таблицы.
<
X0 - точка непрерывности X0 - точка разрыва В точке X0 функция дифференцируема В точке X0 функция не дифференцируема
1 2 3 4
В точке x0 = 0 заданная функция дифференцируема и непрерывна. Ответ: 1, 3.
VII. Заключение
Опыт преподавания курса математики в техническом вузе показывает, что изучение элементов теории множеств и математической логики
способствует качественному формированию основных понятий и доказательной базы курса.
При этом изучение нового материала организуется как процесс построения целостной системы знаний, начиная с основополагающего понятия с последующим изучением отвечающего этому понятию класса элементов. Полученный класс изучается с точки зрения его внутренних свойств -операционной системы, определяющей возможности его теоретического и практического применений. Заканчивается изучение класса определением его места в структуре ранее изученного материала.
Для оценки качественной стороны содержания и организации учебного процесса на кафедре высшей математики Томского политехнического университета проводился педагогический эксперимент, показавший повышение абсолютной успеваемости в экспериментальных потоках студентов на 7 %, а уровня качества на 24 % [8].
Список литературы:
1. Асеев Г.Г., Абрамов О.М., Ситников Д.Э. Дискретная математика: учеб. пособие. - Ростов на Дону: Феникс, 2003. -144 с.
2. Диаграммы Эйлера - Венна / [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://studopedia.net/1_5573_diagrammi-eylera-venna.html (дата обращения: 12.03.2016).
3. Камынин Л.И. Курс математического анализа. - М.: Изд-во МГУ, 2001. -423 с.
4. Капитонова Ю.В., Кривой С.Л., Летичесвский А.А. и др. Лекции по дискретной математике. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 624 с.
5. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. - М.: КомКнига, 2006. - 240 с.
6. Люстерник Л.А. Молодость математической школы // Успехи математических наук. - 1967. - Т. 22, № 2(134). - С. 199-239.
7. Ляпунов А.А. О реформе математических программ // Математика в школе. - 1973. - № 2. - С. 57-60.
8. Пестова Н.Ф., Подскребко Э.Н., Кан Л.А. Традиции и новые направления в методике преподавания математики // Известия Томского политехнического университета. - 2000. - Т. 303, № 3. - С. 216-221.
9. Подскребко Э.Н. Разработка адаптивного курса математики для студентов первого курса технического вуза // Уровневая подготовка специалистов: электронное обучение и открытые образовательные ресурсы: тезисы докл. к Всерос. конф. (Томск 20-21 марта 2014 г.). - Томск, 2014. - С. 212-214.
10. Подскребко Э.Н., Пестова Н.Ф., Кан Л.А. Высшая математика. Контролирующие материалы для организации самостоятельной работы студентов. - Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2012. - 369 с.
11. Ustinova I., Lazareva E. Performance criteria of learning math tests // Proceedings of 2015 International Conference on Interactive Collaborative Learning (ICL) (Florence 20-24 September 2015). - Florence, 2015. -P. 686-689.
References:
1. Aseev G.G., Abramov O.M., Sitnikov D.E. Discrete mathematics. Rostov-on-Don, Feniks Publ., 2003. 144 p. (In Russian).
2. Euler - Venn Diagrams. Available at: http://studopedia.net/1_5573_diagrammi-eylera-venna.html (accessed 12 March 2016).
3. Kamynin L.I. Course of mathematical analysis. Moscow, MGU Publ., 2001, 423 p. (In Russian).
4. Kapitonova Yu.V., Krivoy S.L., Letichevskiy A.A., Luckiy G.M. Lectures on Discrete Mathematics. St. Petersburg, BChV-Petersburg Publ., 2004. 624 p. (In Russian).
5. Kolmogorov A.N., Dragalin A.G. Mathematical logic. Moscow, KomKniga Publ., 2006. 240 p. (In Russian).
6. Lyusternik L.A. Youth School of Mathematics. Uspekhi matematicheskikh nauk [Successes of Mathematical Sciences]. 1967, V. 22, no. 2(134), pp. 199-239 (In Russian).
7. Lyapunov A.A. On the reform math programs. Matematika v shkole [Mathematics in School]. 1973, no. 2, pp. 57-60. (In Russian).
8. Pestova N.F., Podskrebko E.N., Kan L.A. Tradition and new directions in the methodology of teaching mathematics. Izvestiia Tomskogo politekhnicheskogo universiteta [Bulletin of the Tomsk Polytechnic University]. 2000, V. 303, no. 3, pp. 216-221. (In Russian).
9. Podskrebko E.N. Development of adaptive mathematics course for first-year students of a technical college. Urovnevaia podgotovka spetsialistov: elektronnoe obuchenie i otkrytye obrazovatel'nye resursy [Proc. of the All-Russian Conf. "Layered training: e-learning and open educational resources"]. Tomsk, 2014, pp. 212-214. (In Russian).
10. Podskrebko E.N., Pestova N.F., Kan L.A. Higher Mathematics. Controlling materials for the organization of independent work of students. Tomsk, Izd-vo Tomskogo politekhnicheskogo universiteta Publ., 2012. 369 p. (In Russian).
11. Ustinova I., Lazareva E. Performance criteria of learning math tests. Proceedings of 2015 International Conference on Interactive Collaborative Learning (ICL) (Florence 20-24 September 2015). Florence, 2015. P. 686-689.
