CC BY
45
ART 171046 УДК 372.851
Евдокимова Ирина Сергеевна,
магистрант ФГБОУ ВО «Смоленский государственный университет» г. Смоленск irkadyrk@yandex.ru
Шатохина Анастасия Андреевна,
магистрант ФГБОУ ВО «Смоленский государственный университет», г. Смоленск kosha4ka67@mail.ru
Изучение логически истинных предложений в школе
Аннотация. В статье рассматриваются основные понятия теории логики, которые изучают в школьном курсе математики и информатики: логически истинное предложение (логическая истина), предикат, ложное высказывание, законы. Приведены основные законы логики и примеры их использования на конкретных задачах. Авторами подчеркивается специфика изучения понятия «логически истинные предложения» в школьном курсе. В статье приведены примеры применения логического мышления на разных этапах деятельности при изучении математики и информатики. Ключевые слова: логическая истина, предикат, квантор, ложное высказывание, законы логики, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, расширение логической истины.
Раздел: (01) отдельные вопросы сферы образования.
Проблема внедрения элементов математической логики в школьную математику и информатику в настоящее время привлекает пристальное внимание научно-педагогических кругов.
Понятие логически истинного предложения (логической истины), очевидно, следует считать центральным логическим понятием, представляющим логику в различных рассуждениях и доказательствах. В настоящей статье предлагается разработка введения этого понятия для нужд школьной математики и информатики. Содержание статьи доступно ученикам старших и средних классов и может быть использовано учителем в его повседневной работе.
Каждая наука имеет свой специфический словарь. Так, в физическом словаре можно встретить слова «масса», «путь», «время», «скорость» «ускорение», «сила», «электрон» и другие; в химическом словаре - «молекула», «реакция», «магний» и другие; в математическом словаре - «единица», «число», «сложение», «многоугольник» и другие.
Постараемся выяснить, какие слова входят в логический словарь и какие предложения называются логически истинными. Для этой цели рассмотрим предложение: «Если все люди смертны и все герои - люди, то все герои смертны». Конечно, это предложение истинное. Заменим в нем слова «люди», «смертны», «герои» соответственно словами «животные», «дышат», «киты». Получим новое предложение: «Если все животные дышат и все киты - животные, то все киты дышат». Это также истинное предложение. При любой такой замене мы всегда будем получать истинные предложения. Слова из научного словаря служат в предложении носителями того, что принято называть содержанием или смыслом предложения.
Следовательно, наше предложение обладает удивительной стойкостью: его истинность не нарушается при замене содержания. Если мы «очистим» предложение от содержания, то останется его форма:
«Если все |_|1 |_|2 и все |_|3 есть |_|1 ,то все |_|3 |_|2».
ISSN 2304-120Х
ниепт
научно-методический электронный журнал
ниегп
issN 2304-120X Евдокимова И. С., Шатохина А А Изучение логически истинных предложений в школе // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2017. - № V11. - 0,6 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/171046.htm.
научно-методический электронный журнал
И эта форма такова, что, подставляя в нее одни и те же слова в одинаково нумерованные просветы, мы будем всегда получать истинные предложения.
Такие предложения, истинность которых зависит только от формы и не зависит от содержания, называются логически истинными предложениями (л-истинными) или просто логическими истинами (л-истинами).
Логических истин бесконечно много. Вот некоторые из них:
1) Я пойду или не пойду в кино.
2) Если треугольник не равнобедренный и не прямоугольный, то он не равнобедренный и прямоугольный.
3) Из того, что если я отдыхаю, то я читаю, следует, что если я не читаю, то я не отдыхаю.
4) Если существует х, такое, что Цх) =0, то не для всех х не имеет места f (х) = 0.
Слова, из которых строится форма предложения, составляют логический словарь. Это такие слова, как «и», «или», «не», «если..., то...», «тогда и только тогда», «существует», «все», «некоторые», «никакой» и другие.
Одна из основных задач логики - изучение логических истин. Но критерий истинности в логике принципиально отличен от критерия истинности в естественных науках. Действительно, логическая истинность предложения связана с синтаксической структурой предложения, а не с его содержанием, а истинность, например, в физике или биологии связана с её содержанием. Поэтому для установления логической истинности не требуется совершать путешествия, наблюдать, экспериментировать, нужно заняться анализом форм предложений. А вот для проверки того, будет ли предложение «Волга впадает в Каспийское море» истинным, необходимо совершить путешествие или поверить тому, кто это сделал.
В математике критерий истинности во многом определяется структурой предложений. Действительно, математик, отвечая на заданный вопрос, не спешит взяться за лопату или сесть за микроскоп. Свой ответ он всегда связывает со значками, изображенными на бумаге. При аксиоматическом построении математики теорему можно рассматривать как утверждение о логической истинности некоторого условного предложения. Например, теорема из эвклидовой геометрии «Сумма углов треугольника равна 180°» (если расшифровать ее и представить на языке первичных понятий и отношений, а в посылках отметить все аксиомы) будет хотя и очень громоздкой и сложной, но все же логической истиной.
Прежде чем перейти к более детальному обсуждению логических истин и их употребления в математических рассуждениях, вкратце познакомимся с основными понятиями и символикой, используемыми в математической логике.
Высказыванием называется предложение, о котором имеет смысл спросить, истинно оно или ложно. Например, «2 > 3», «не существует наибольшего простого числа» - высказывания, а «5 + 3», «х > 3» высказываниями не будут. Для обозначения высказываний мы используем буквы р, я, г, ... . Об истинном высказывании говорят, что его истинностное значение - «истина» («и»), а, о ложном - что его истинностное значение - «ложь» («л»).
Переменной называется буква (например, х) с соотнесенным с ней классом объектов, называемых значениями переменной.
Предикатом называется предложение, содержащее хотя бы одно переменное и обращающееся в высказывание для некоторых наборов значений всех переменных, входящих в предложение. Например, х > 3, с областью значений для х - классом действительных чисел, будет предикатом. При х = 5 мы получаем из него истинное высказывание 5 > 3, а при х = 0 - ложное высказывание 0 > 3. Предикаты х > 3 или х2 >
научно-методический электронный журнал
x называются одноместными, так как в них входит единственная переменная х, а предикат х - y = 0 - двухместным из аналогичных соображений. Заметим, что предложение «Для каждого х найдется такое у, что х - у = 0» следует отнести не к предикатам, а к высказываниям. В этом предложении замена переменных записями их значений бессмысленна.
В нашей школе предикат называют предложением с переменными. За рубежом распространены термины «замкнутое предложение» и «открытое предложение» для высказывания и предиката соответственно.
Договоримся обозначать предикаты с помощью символов P (x), P(x,y), Q(z),... .
Из высказываний и предикатов с помощью приставки «не» (знак «~») и четырех логических связок «и» (знак «л»), «или» (знак «V»)» «если..., то...» (знак «^»), «тогда и только тогда» (знак «^») составляются более сложные предикаты и высказывания. Приставка называется отрицанием, а связки, в порядке их записей, называются конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией, эквивалентностью. Так, например, о сложном предикате p ^ Q (x) мы будем говорить как об импликации высказывания p с предикатом Q (x).
В логике особую роль играют еще две приставки: «для каждого x (y,z,...)» и «существует такое x (у, z,...)». Первую из них называют квантором общности и обозначают (Vx)((Vy), (Vz),...), вторую - квантором существования и обозначают (3x)((3y), (3z),...). Приставляя квантор к одноместному предикату, мы получаем высказывание. Например, из предиката «x > 0» мы получаем высказывания:
(Vx)(x >0) и (3x)(x > 0).
В логике принято однозначно определять истинностное значение сложного высказывания через истинностные значения входящих в него высказываний, пользуясь следующей договоренностью.
Отрицание истинного высказывания ложно, и отрицание ложного высказывания истинно.
Конъюнкция двух высказываний истинна в единственном случае, когда оба высказывания истинны.
Дизъюнкция двух высказываний ложна в единственном случае, когда оба высказывания ложны.
Импликация двух высказываний ложна в единственном случае, когда условие (первое высказывание в импликации) истинно, а заключение (второе высказывание в импликации) ложно.
Эквивалентность двух высказываний истинна в двух случаях, когда оба высказывания одновременно истинны и одновременно ложны.
Принятую договоренность удобно представить в таблицах. Приведем, например, таблицы для отрицания и импликации.
л
И
И
Л
2 1
p ^ q
И И И
И л л
л И И
л И л
1 2 1
В последних столбцах таблиц (порядок заполнения столбцов указан под чертой) отмечены истинностные значения соответственно высказываний ~ р и р ^ q при выбранных истинностных значениях высказываний р и д.
ниегп
issn 2304-120X Евдокимова И. С., Шатохина А А Изучение логически истинных предложений в школе // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2017. - № V11. - 0,6 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/171046.htm.
научно-методический электронный журнал
Высказывание (Ух)Р(х) истинно в одном случае, когда для каждого значения х высказывание Р(х) будет истинным.
Предикат Р(х) называется истинным, если и только если (Ух)Р(х) - истинное высказывание.
Высказывание (Зх)Р(х) истинно в одном случае, когда найдется хотя бы одно значение х, при котором высказывание Р(х) будет истинным [1].
Эта сводка правил позволяет находить истинностное значение сложного высказывания, если известны истинностные значения составляющих его высказываний. На примере покажем, как это делается практически:
(5 > 1V 1 = 0) ^ ~(5 = 0)
И И Л И И Л
1 2 1 3 2 ~Г
Таким образом, приведенное высказывание истинно.
Уточним понятие логической истины и познакомимся с методикой проверки логической истинности данного предложения.
Простейшим типом л-истины является логически истинное высказывание, в которое не входят предикаты и кванторы и которое, следовательно, формируется из высказываний с помощью логических связок.
Пример. Если треугольник АВС прямоугольный и равнобедренный, то он прямоугольный.
Убедимся в том, что нами записана л-истина. Для этого рассматриваемое высказывание символически запишем так: (р/\ цНр. Это высказывание будет л-истиной тогда и только тогда, когда при замене в нем р и ц любыми высказываниями будем получать истинные высказывания. Но истинностное значение сложного высказывания представляет функцию от истинностных значений составляющих его компонентов. В разбираемом случае этими компонентами будут высказывания. Следовательно, при проверке логической истинности высказывания следует забыть о действительных истинностных значениях компонентов р и я и придать им любые возможные истинностные значения. Если при этом окажется, что для любых наборов истинностных значений компонентов мы будем получать истинные высказывания, то мы имеем дело с л-истиной.
Эти элементарные расчеты удобно свести в таблицу. Поскольку для высказываний р и ц логически допустимы четыре набора значений (л, и), (и, и), (л, л,), (и, л), то таблица будет иметь вид:
(р/\ ц) ^р Л ЛИИЛ И ИИИИ Л ЛЛИЛ И ЛЛИИ
1 2 1 3 1
Приведенная таблица называется таблицей истинности для высказывания (р л Я)^ р. Для таблицы характерно, что столбец под номером 3, заполняемый последним, состоит целиком из букв «и», что и служит необходимым и достаточным признаком логической истинности высказывания (р л я)^ р, т. е. принадлежности его к классу л-истин. Понятно также, что любое высказывание формы (р л я)^ р также будет л-исти-ной, так как его таблица истинности совпадает с приведенной. А вот высказывание формы (р V я)^ р, как легко проверить, л-истиной не будет.
научно-методический электронный журнал
Общую таблицу истинности для высказываний одной формы называют также таблицей истинности для этой формы.
Метод таблиц истинности позволяет установить логическую истинность и некоторых предложений, содержащих кванторы, но его нельзя рассматривать как универсальный метод распознавания л-истин среди такого рода предложений. Следующие два примера иллюстрируют это положение.
Пусть значениями для х и у служат действительные числа. Высказывание (Vx)(3y)(x << y) Л ~(3x)(Vy)(x > y)) ^ (Vx)(3y)(x > y) представляет л-истину, поскольку оно имеет форму (p Л q)^ p. А высказывание (Vx)(3y)(x > y) ^ ~(3x)(Vy)(~(x > y)) хотя и является л-истиной, как мы убедимся ниже, но метод таблиц истинности оказывается слишком грубым, чтобы обнаружить этот факт. Действительно, если обратить внимание лишь на его построение из высказываний, то мы получим форму р ^ ~ q, которая, очевидно, не будет формой логической истины, так как в третьем столбце таблицы истинности для таких высказываний присутствует буква «л».
p ^ ~ q
И Л Л И И И И Л Л И Л И Л И И Л
1 3 2 1
Выше мы встречались с примерами л-истин, являющихся высказываниями. Рассмотрим теперь логическую истину - предикат (1 Ф 0 л х > 1) ^ (1 Ф 0). Убедимся, что мы записали действительно л-истину. Заменим входящие в предикат двухместные предикаты х Фу и х > у предикатными символами Р(х, у) и Q(x, у) соответственно, а 1 и 0 - буквами а и Ь:
(Р(а, Ь) л 0(х, а)) ^Р(а, Ь).
Мы получили форму данного предиката. Такую же форму имеет, например, и предикат ((АВ) 1 ^)лх ||(АВ)) ^ (АВ) 1 где (АВ) и (Ой) - конкретные прямые, а х - переменная, значениями которой являются произвольные прямые.
Любой предикат полученной формы будет истинным, так как при допустимой подстановке он обращается в высказывание, представляющее собой л-истину уже встречающегося нам типа (р л я)^ р, например, (1 ф 0 л 0 > 1) ^ (1 ф 0).
При доказательстве логической истинности предложения можно взамен таблицы прибегнуть к рассуждениям. Покажем на примере, как это делается.
Если а > 0 или а > 1, то из а > 0 следует а> 1. Переходя к символической записи, получим (~р V q) ^ (р ^ q).
Будем считать р и я произвольными, но фиксированными высказываниями. Убедимся, что любые высказывания такой формы - истинные высказывания. Действительно, каждое из них может быть ложным только в одном случае, когда посылка в импликации истинная, а заключение ложное. Но этот случай не вмещается в нашу форму, так как при ложном заключении р ^ обязательно истинно р и ложно я, что влечет, в свою очередь, ложность посылки ~р V д.
Для опровержения утверждения, что данное предложение представляет собой л-истину, необходимо и достаточно найти контрпример, т. е. ложное высказывание той же формы, что и предложение.
научно-методический электронный журнал
Пример. Пусть р - треугольник равносторонний; q - все углы в треугольнике конгруэнтны. Составим предложение (p ^ q) ^ (~p ^ ~q). За контрпример можно взять высказывание
(0 > 1 ^ 1 > 0) ^ (~(0 > 1) ^ ~(1 > 0)). л И И л И л л л И
1 2 1 4 2 1 3 2 1
Логические истины рассмотренного нами типа назовем в-логическими истинами. Форма в-логических истин характеризуется тем, что она состоит только из букв и связок и любая в-логическая истина получается из такой формы заменой букв предложениями.
Рассмотрим второй и более сложный тип л-истин, который мы назовем к-логиче-скими истинами. Их логическая структура существенно определяется характером вхождения кванторов.
Пример 1. (Ух)(3у)(х > у) ^ ~(Зх)(Уу)(~(х > у)).
Запишем форму/этого предложения:
(Ух)(Зу)Р(х,у) ^ ~(Зх)(Уу)(~Р(х,у)).
Убедимся, что любое предложение такой формы истинно. Действительно, допустим противное, что нашлось такое х0, для которого при любом у Р ( х0, у) - ложное высказывание. Но в таком случае мы получаем противоречие с посылко; в которой утверждается, что для любого х, в частности и для х0, найдется у, такое, что Р (х, у) -истинное высказывание.
Пример 2. Некто утверждал, что предложение «Если для фигур х и ъ найдется фигура у, подобная х и ъ, то х подобна ъ» равносильно предложению «Для любой фигуры у, если х подобна у и у подобна ъ, то х подобна ъ». Можно ли логически оправдать это утверждение?
Запишем утверждение символически:
((3y)(x~yлy~z) ^ х^) ^ (Уу)((х~у л y~z) ^ х^).
Его формой будет следующее выражение:
((Зу)(Р(х,у)лР(у^)) ^ Р(х^)) ~ (Уу)((Р(х,у)лР(у^)) ^ Р(х^)).
Докажем, что любое предложение такой формы - л-истина. Поскольку при фиксированных х, ъ двухместный предикат Р(х, ъ) обратится в высказывание, а трехместный предикат Р (х, у) л Р (у, ъ) - в одноместный предикат относительно у, то нам достаточно доказать, что высказывание ((Зу^(у) ^ р) ^ ^у)^(у) ^ р) истинно.
Разобьем доказательство на два частных случая:
1) Высказывание р истинно. В этом случае правая и левая части эквивалентности одновременно истинны.
2) Высказывание р ложно.
а) Высказывание (Зу^(у) истинно. Тогда левая часть - сложное высказывание. Теперь рассмотрим у0, для которого @(у0) истинно. Тогда @(у0) ^ Р ложно и правая часть также ложное высказывание, а эквивалентность - истинное высказывание.
б) Высказывание (Зу^(у) ложно. Тогда левая часть - истинное высказывание. Но в этом случае Q(y) при любом у - ложное высказывание, а значит, ) ^ р -истинное высказывание, и поэтому правая часть эквивалентности также истинное высказывание, как и вся эквивалентность.
Поскольку логические истины целиком характеризуются своей формой, то при систематизации, изучении и использовании логических истин, естественно, обращаются к их формам.
ниегп
issn 2304-120X Евдокимова И. С., Шатохина А А Изучение логически истинных предложений в школе // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2017. - № V11. - 0,6 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/171046.htm.
научно-методический электронный журнал
Форма логической истины называется логическим законом (л-законом).
Соответственно, вводятся понятия в-логического закона (в-закона) и к-логиче-ского закона (к-закона).
Как, например, из закона коммутативности а + Ь = Ь + а для сложения действительных чисел подстановкой мы получаем математические истины 2 + 1 = 1 + 2 и 1,3 + 0,7 = 0,7 + 1,3, так и из логических законов подстановкой в них конкретных предикатов и высказываний мы получаем логические истины.
Приведем список некоторых известных л-законов.
В-1 p V ~p Закон исключенного третьего
В-2 ~(p Л ~p) Закон противоречия
В-3 p p Закон двойного отрицания
В-4 (p Л q) ^ p Закон упрощения
В-5 (p ^ q) ~ (~q ^ ~p) Закон контрапозиции
В-6 (p ^ q) ~ (~p V q)
В-7 ~(p Vq) « (~p Л ~q) Закон двойственности
В-8 ((p ^ q) Л p) ^ q Закон отделения
К-1 ~(Vx)P(x) « (3x)~P(x)
К-2 (Vx)P(x) ^ P(y) Закон снятия V
К-3 (Vx)(p Л Q(x) « (p Л (Vx)Q(x)) Закон ограничения
К-4 (3x)(Vy)P(x,y) ^ (Vy)(3x)P(x, y) Закон коммутативности
Дополнительно к этому списку л-законов опишем, не вдаваясь в детали, один очень естественный и простой способ образования новых л-истин и л-законов из уже известных.
Если в предложении заменить входящие в него простые предложения сложными, то полученное предложение называется расширением первоначального.
Расширение л-истины будет опять л-истиной потому, что конструкция расширения из простых предложений с помощью связок и кванторов начиная с некоторого момента осуществляется по программе, предписанной формой начальной л-истины. Например, предложение ((х>0^1 = 0)л2>1)^2>1 будет логически истинным предложением как расширение л-истины (1 = 1Л 2 > 1) ^ 2 > 1.
Аналогично можно говорить о расширении формы предложения вообще и логического закона в частности. Очевидно, что расширение л-закона опять будет л-законом [2].
Пример 1. Возьмем закон отделения ((p ^ q) Лр) ^ q. Его расширениями будут
л-законы: (((р V q) ^ ~r) Л (р Л q)) ^ ~r, ((~q ^ (р ^ r)) Л ~q) ^ (р ^ r) и т. д.
В этих законах сохранена структура закона отделения, которую удобно изобразить так: ((|_|i ^ |—12) л |_|i) ^ |—12.
Вкратце коснемся вопроса о том, как используется логическая истина в рассуждениях. С помощью логически истинных предложений истина переносится с одних предложений на другие. Например, если принять за истинные высказывания: «треугольник АВС прямоугольный или равнобедренный» (р V q) и «треугольник АВС не равнобедренный» (~q), то из л-истинного высказывания ((р V q) Л ~q) ^ р мы заключаем, что высказывание р также будет истинным.
Но в математических рассуждениях обращают на себя внимание две особенности: во-первых, истинность посылок носит чисто условный характер, и поэтому в математике предпочитают говорить не об истинности предложений, а об отношении следования между ними; во-вторых, математическая теория строится как упорядоченная система аксиом, определений, теорем, в которой при доказательстве последующей теоремы можно пользоваться предыдущими аксиомами, определениями и теоремами.
ниегп
issn 2304-120X Евдокимова И. С., Шатохина А А Изучение логически истинных предложений в школе // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2017. - № V11. - 0,6 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/171046.htm.
научно-методический электронный журнал
Поэтому целесообразно говорить, что «предложение р (высказывание или предикат) логически следует из предложений р, г, ..., в», когда импликация ^ л г л ... л s) ^ р представляет собой логическую истину и «предложение р следует из предложений р, г, ..., в» или «предложение^лгл ...лз) ^ р - теорема», когда р логически следует из р, г,...в и всех предшествующих аксиом, определений и теорем, принятых или доказанных в рассматриваемой теории.
Приведем простой пример теоремы. Пусть а и Ь - прямые, лежащие в одной плоскости, и пусть р - прямые а и Ь параллельны; я - прямые а и Ь совпадают; г -прямые а и Ь пересекаются. Тогда предложение (р V ~q) ^ ~г будет теоремой, так как если внести определение параллельных прямых р ^ ^ V ~г) как посылку, то получим логическую истину: ((р ^ ^ V ~г)) л р л ~q) ^ ~г.
Выскажем теперь несколько общих замечаний и советов учителю, которого заинтересовала идея логического закона.
Для удобства разделим логическую подготовку школьника на три этапа и охарактеризуем каждый из них.
Подготовительный этап. В процессе обучения надо обращать внимание на логическую структуру предложении, на то, как в них входят слова «и», «или», «не», «если..., то...», «необходимо», «достаточно», «все», «некоторые» и другие, постепенно приучать находить истинность или ложность сложных предложений в зависимости от их логического строения и истинностных значений составляющих их предложений. Ученик должен, например, твердо усвоить, что 5 > 5 - истинное высказывание.
Краеугольным камнем логической подготовки ученика, очевидно, следует считать правильное понимание им условного предложения. Он должен без колебаний относить предложения «Если 0 > 1, то 1 = 1» или «Если 0= 1, то 1 = 2» к истинным высказываниям и не должен возмущаться тем, что арифметический закон х = у ^ хъ = уъ справедлив при любых значениях х, у, ъ, и в частности для х = 1, у = 2, ъ = 3 или х = 1, у = 2, ъ = 0.
Многие выпускники средних школ делают грубые ошибки и при выводах, связанных с условными предложениями. Например, из аксиомы «Для любых точек А и В, если Аф В, то найдется прямая, проходящая через А и В» они заключают, что точки или прямые существуют, а также не могут понять, почему для системы, состоящей из единственной прямой и единственной точки на ней, эта аксиома справедлива.
Обучение логике серьезно облегчается и приносит больший эффект, если в разумных пределах и там, где это дает преимущества, пользоваться логической символикой. Следует обучить школьника записывать символически простые фразы, например «все рациональные числа - действительные числа» или «некоторые действительные числа - рациональные числа», основные логические законы, например (р ^ q) ^ (~q ^ ~р) или ~(Ух)Р(х) ^ (Ух)~Р(х).
Формирование понятия о логическом законе. Идея логического закона должна формироваться у ученика постепенно, и не следует стремиться к формальным и строгим определениям. Вначале нужно выделять примеры логических истин, подчеркивая их отличие от не логических, фактических истин. Затем научить замечать общую форму логических истин, прибегая к символике, доказывать простые логические законы и опровергать ошибочные гипотезы о логической истинности предложений.
Выработка навыков использования логических законов в рассуждениях. Естественно, важнейшим условием успешного решения задачи о логической подготовке школьника следует считать хорошую логическую подготовку самого учителя. Если учитель глубоко понял идею логического закона, убедился в преимуществах созна-
тельного и явного использования логических законов в рассуждениях и доказательствах и приобрел соответствующие практические навыки, то он непременно будет уделять должное внимание логической подготовке своих учеников.
Но пока дело обстоит не так. В педагогических кругах еще распространено традиционное мнение, отводящее логике в школьной математике в общем-то закулисную роль: ею пользуются, но о ней мало говорят. При таком подходе многие ученики, имея смутное представление об отношении следования, способны лишь заучить доказательство, но часто беспомощны в своих попытках самостоятельно его выполнить. Очевидно, обучение логике должно быть составной частью обучения математике. Логический анализ доказательств и ошибок в доказательствах, внимание к логическим законам, используемым в доказательствах, специальные логические упражнения и т. д. - все это должно органически включаться в школьную математику.
В новых стабильных и экспериментальных учебниках заметно вырос удельный вес логических элементов. Хочется надеяться, что совершенствование учебников в этом направлении будет продолжаться.
Выводы. Форма предложения конструируется из предложений следующим образом:
А. Если предложение - бескванторное высказывание, то в нем сохраняют логические связки и скобки, а высказывания заменяют буквами р, я, г, ...
Б. Если предложение содержит кванторы или является предикатом, то в нем сохраняют скобки, переменные, логические связки и кванторы; заменяют все конкретные предикаты буквами Р, Q, R, ... (с добавлением, если требуется, скобок и запятых), а имена всех конкретных объектов - буквами а, Ь, с ... .
Два предложения имеют общую форму, если они одинаково составлены из высказываний, предикатов, логических связок, кванторов и диен конкретных объектов. Предложение называется логически истинным, если оно истинно одновременно со всеми предложениями, имеющими с ним общую форму.
Форма логически истинного предложения называется логическим законом. Многолетний опыт работы в педагогическом институте убедил авторов в том, что идеи логической истины и логического закона в их семантическом толковании с успехом могут быть приняты за центральные и унифицирующие идеи логической подготовки школьника и учителя.
Ссылки на источники
1. Ивин А. А. Логика: Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 2004. - С. 70.
2. Челпанов Г. И. Учебник логики. - М.: Прогресс, 1994. - С. 105.
Irina Evdokimova,
Graduate Student, Smolensk State University, Smolensk i rkad yrk@yandex.ru Anastasiya Shatokhina,
Graduate Student, Smolensk State University, Smolensk kosha4ka67@mail.ru
The study of logically true sentences in school
Abstract. The article discusses the main concepts of the theory of logic, which is taught in the school course of mathematics and computer science: logically true sentence (logical truth), predicate, false statement, laws. The basic laws of logic and examples of their use in specific tasks are presented. The authors emphasize the specificity of "logically true sentences" concept study in a school course. The article presents examples of logical thinking use at different stages of activity during the study of mathematics and computer science. Key words: logical truth, predicate, quantifier, false statement, laws of logic, conjunction, disjunction, implication, equivalence, logical truth extension.
ISSN 2304-120X
ниепт
научно-методический электронный журнал
научно-методический электронный журнал
References
1. Ivin, A. A. (2004). Logika: Ucheb. posobie dlja vuzov, Vyssh. shk., Moscow, p. 70 (in Russian).
2. Chelpanov, G. I. (1994). Uchebnik logiki /G.I. Chelpanov, Progress, Moscow, p. 105 (in Russian).
Рекомендовано к публикации:
Утёмовым В. В., кандидатом педагогических наук; Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»
Поступила в редакцию Received 01.11.17 Получена положительная рецензия Received a positive review 15.11.17
Принята к публикации Accepted for publication 15.11.17 Опубликована Published 30.11.17
© Концепт, научно-методический электронный журнал, 2017 © Евдокимова И. С., Шатохина А. А., 2017
www.e-koncept.ru
977230412017311
