CC BY
20
формирование оптимального портфеля
в условиях российского фондового рынка
а.е. лещенко
Российская экономическая академия им. Г. В. Плеханова
Математическая формализация задачи формирования оптимального портфеля ценных бумаг впервые была предложена американским экономистом, нобелевским лауреатом Г. Марковицем. По Марковицу структура портфеля должна обеспечивать инвестору желаемое значение доходности при наименьшем риске. В качестве меры риска принимается стандартное отклонение доходности портфеля.
Доходность Щ актива i в период под номером I рассчитывается по формуле:
Е =
Р + Р - Р -1 Р-1
где Р1 — цена акции в текущем периоде;
Dt — дивиденд, начисленный в текущем периоде;
Р-1 — цена акции в предыдущий период. Для расчета средней доходности В. используется следующая формула:
1 т
е=т I %,
т t=1
где Т — количество периодов, для которого рассчитывается средняя доходность.
Доходность портфеля определяется соотношением:
n
Ер = 1
•=1
где wi> 0, i = 1,..., ^доля инвестиций в ценные бумаги типа i, входящие в портфель, или удельный
вес каждого актива, причем
n
I т = 1.
Риск портфеля ценных бумаг оценивается стандартным отклонением стр, вычисляемым на основе дисперсии его доходности:
n n
о2 = 11 мпщ^у, •=1 ;=1
где Cov¡J.—ковариация доходностей г-й и у-й ценных бумаг.
Задача оптимизации портфеля ставится следующим образом: необходимо минимизировать критерий
2
ст р =
11 WiWjCovij
•=1 j=l
^ тт
при ограничениях:
N
I WiE(Яг) - Е(Яр) = 0 I Wi - 1 = 0 .
i=l
Портфель, имеющий наименьшее значение риска для заданного значения доходности, называется эффективным. На графике множество эффективных портфелей представлено отрезком выше точки перегиба кривой (эффективная граница), ограничивающей допустимое множество портфелей.
Оптимальный портфель выбирается из множества эффективных портфелей. Его выбор носит субъективный характер и зависит от склонности инвестора к риску и значения желаемой доходности. Таким образом, оптимальным может быть любой из эффективных портфелей. Предпочтения инвестора описываются кривой безразличия. Оптимальный портфель определяется точкой касания кривой безразличия и эффективной границы.
Для иллюстрации применения на практике описанной выше теории формирования портфеля ценных бумаг были отобраны 15 акций ведущих российских эмитентов: ЛУКОЙЛ (ЬКОН); НК ЮКОС (УиКО); СИБНЕФТЬ Сургутне-
фтегаз (SNGS); Единая энергетическая система, РАО (обыкновенная) (EESR); Единая энергетическая система, РАО (привилегированная) (EESRP); Аэрофлот — Российские авиалинии (ЛБЫ); Череповецкий МК Северсталь (СНМБ); Мосэнерго (MSNG); Ленэнерго (LSNG); Уралсвязьинформ (URSI); Иркутскэнерго (IRGZ); Ростелеком ^ТКМ); Сбербанк России (SBER); Татнефть (1АШ).
Ограниченность отраслевой принадлежности (2/3 компаний, чьи акции были отобраны, принадлежат нефтегазовой и энергетической отрасли) объясняется некоторой сложностью отбора российских бумаг для анализа ввиду небольших объемов торгов по большинству из них. Также представлены транспорт, металлургия, связь и банковский сектор. Активно торгуемыми, т. е. ликвидными, является достаточно ограниченное число бумаг, так называемые «голубые фишки» — это акции компаний
=1
преимущественно нефтегазового и энергетического секторов экономики.
В качестве статистической базы для расчетов использовались архивы итогов торгов ценных бумаг Российской торговой системы (РТС) за период с 01.07.2000 - 31.12.2005 г. Расчетный период - месяц — был взят исходя из того, что период существования современного российского фондового рынка не позволяет использовать в качестве одного периода квартал. В принципе, чем объясняющих переменных больше, тем точнее результаты производимых расчетов.
Расчет основных характеристик ценных бумаг — средней месячной доходности с учетом дивидендных выплат R. и дисперсии о2, — выполненный с помощью программы Excel, будет иметь следующий вид (табл. 1 и рис. 1).
Таблица 1
Значения средней доходности и стандартного отклонения
Наименование акции С 01.07.2000 г. по 31.12.2005 г.
Среднемесячный доходность акции R Среднеквадратичное отклонение, о;
1. LKOH 0,03091 0,10852
2. YUKO 0,04848 0,24665
3. SIBN 0,06398 0,15615
4. SNGS 0,02878 0,12353
5. EESR 0,03036 0,14905
6. EESRP 0,04440 0,14432
7. AFLT 0,03860 0,11185
8. CHMF 0,06054 0,14346
9. MSNG 0,03391 0,17194
10. LSNG 0,03117 0,16999
11. URSI 0,02371 0,14765
12. IRGZ 0,03489 0,13239
13. RTKM 0,01131 0,13977
14. SBER 0,06627 0,16013
15. TATN 0,03888 0,13660
7,00
6,00
5,00
s
а я 4,00
л
о о 3,00
s
и о 2,00
ч
1,00
0,00
sibn» sber
chmf
af eesrp lt tatN yuko
lkon . ■ irgz eesr msng »
sngs ursi ♦ lsng
rtkm ■
6,00 11,00 16,00 21,00 26,00 Риск акций среднего квадратичного отклонения, %
Рис. 1. Значения средней доходности и среднего квадратичного отклонения
Охарактеризовать степень взаимосвязи и направления изменения доходностей двух ценных бумаг позволяют рассчитываемые значения кова-риации стЛВ и корреляции рЛВ: 1
О AB-
(n-1)
- Ra )(Rbj - Rb )
где ЯА1 — значение доходности актива А в период (месяц) Р,
Яв 1 — значение доходности актива В в период (месяц) ^
ЯА — средняя доходность актива А;
Яв — средняя доходность актива В;
п — число периодов, за которые регистрировались доходности активов А и В.
Из табл. 2 видно преобладание положительных значений ковариаций для отобранных ценных бумаг. Это говорит о том, что их доходности изменяются в одном направлении.
Формула для коэффициента корреляции имеет
вид:
р лв = ст ав / (ст лств ).
Таблица коэффициентов корреляции используется для анализа. Величина коэффициента корреляции может находиться в пределах от — 1 до 1. Если коэффициент корреляции по абсолютной величине близок к 1, то связь между доходностью рассматриваемых ценных бумаг тесная. При его величине, близкой к 0, — связь слабая. Если коэффициент отрицательный, то связь обратная, если положительный — прямая. Рассчитанные для данного набора акций значения коэффициентов корреляции и ковариации приведены в табл. 2 и 3.
Анализ табл. 3 выявил высокие положительные значения коэффициента корреляции среди значительного количества ценных бумаг.
Если портфель формируется из активов с коэффициентом корреляции, стремящимся к +1, то уменьшение риска не достигается. Если в портфель объединяются активы с коэффициентом корреляции, близким к 0, то его риск уменьшается при увеличении количества таких активов.
Если в портфель объединяются активы с коэффициентом корреляции, близким к — 1, то можно сформировать портфель с наименьшим риском.
При анализе данных табл. 1 и рис. 1 можно видеть, что возможно выделить несколько групп акций, позволяющих произвести формирование портфелей с различными соотношениями риска-доходности и различными наборами входящих в них акций исходя из целей и критериев инвестирования:
t=1
Таблица 2
Ковариационная матрица для 15 акций
Ковариационная матрица (15 акций)
\ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
\ LKOH YUKO SIBN SHGS EESR EESRP AFLT СHMF MSNG LSNG URSI IRGZ RTKM SBER TATH
1 LKOH 0,01196 0,01144 0,00741 0,01146 0,00868 0,00872 0,00139 0,00658 0,00945 0,00280 0,00759 0,00364 0,00919 0,00971 0,00939
2 YUKO 0,01144 0,06177 0,01886 0,01483 0,01722 0,01576 0,00397 0,01747 0,01558 -0,00619 0,01413 0,01395 0,01470 0,01492 0,01373
3 SIBH 0,00741 0,01886 0,02476 0,01022 0,00396 0,00957 0,00169 0,00935 0,00719 0,00447 0,00795 -0,00036 0,00341 0,00924 0,01145
4 SNGS 0,01146 0,01483 0,01022 0,01549 0,01044 0,00952 0,00073 0,00703 0,01184 0,00273 0,00756 0,00286 0,00987 0,01136 0,01046
5 EESR 0,00868 0,01722 0,00896 0,01044 0,02256 0,01821 0,00324 0,01016 0,01183 0,00780 0,01328 0,00599 0,01619 0,01323 0,01132
6 EESRP 0,00872 0,01676 0,00957 0,00952 0,01821 0,02115 0,00478 0,01156 0,01029 0,00586 0,01134 0,00411 0,01276 0,01396 0,00932
7 AFLT 0,00139 0,00397 0,00169 0,00073 0,00324 0,00478 0,01270 0,00777 0,00127 0,00315 0,00311 0,00274 0,00157 0,00313 0,00117
8 СН]^ 0,00658 0,01747 0,00935 0,00703 0,01016 0,01156 0,00777 0,02090 0,00862 -0,00016 0,00916 0,00507 0,00743 0,00984 0,00847
9 MSNG 0,00946 0,01658 0,00719 0,01134 0,01133 0,01029 0,00127 0,00662 0,03002 0,00159 0,00973 0,00379 0,01039 0,00302 0,01261
10 LSNG 0,00280 -0,00619 0,00447 0,00278 0,00780 0,00586 0,00315 -0,00016 0,00159 0,02934 0,00831 -0,00572 0,00579 0,00194 0,00279
11 URSI 0,00759 0,01413 0,00795 0,00756 0,01323 0,01134 0,00311 0,00916 0,00973 0,00881 0,02214 0,00530 0,01343 0,00715 0,00379
12 IRGZ 0,00364 0,01395 -0,00036 0,00286 0,00599 0,00411 0,00274 0,00507 0,00379 -0,00573 0,00530 0,01760 0,00505 0,00652 0,00496
13 RTKM 0,00919 0,01470 0,00в41 0,00987 0,01619 0,01276 0,00157 0,00748 0,01039 0,00579 0,01343 0,00505 0,01934 0,01262 0,01131
14 SBER 0,00971 0,01492 0,00924 0,01136 0,01323 0,01396 0,00318 0,00984 0,00802 0,00194 0,00715 0,00682 0,01262 0,02604 0,00851
15 TATN 0,00939 0,01873 0,01145 0,01046 0,01132 0,00932 0,00117 0,00847 0,01261 0,00279 0,00879 0,00496 0,01131 0,00851 0,01895
Таблица 3
Корреляционная матрица для 15 акций Корреляционная матрица (15 акций)
\ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
\ LKON YUKO SIBN SNGS EESR EESRР AFLT CНМF МSNG LSNG URSI RGZ RTKM SBER ТАТN
1 LKON 1,00000 0,42102 0,43060 0,84171 0,52830 0,54859 0,11298 0,41644 0,49925 0,14927 0,48680 0,24961 0,59653 0,55014 0,62352
2 YUKO 0,42102 1,00000 0,48213 0,47942 0,46119 0,46383 0,14187 0,48622 0,38497 -0,14544 0,38205 0,42075 0,41987 0,37198 0,54749
3 SIBN 0,43060 0,48213 1,00000 0,52173 0,37906 0,41835 0,09502 0,41099 0,26390 0,16584 0,33962 -0,01708 0,37964 0,36388 0,52873
4 SNGS 0,84171 0,47942 0,52173 1,00000 0,55855 0,52601 0,05210 0,39063 0,54899 0,13028 0,40812 0,17216 0,56306 0,56584 061080
5 EESR 0,52830 0,46119 0,37906 0,55855 1,00000 0,83360 0,19141 0,46792 0,45447 0,30327 0,59408 0,29894 0,76531 0,54597 0,54737
6 EESRР 0,54859 0,46383 0,41835 0,52601 0,83360 1,00000 0,29172 0,55004 0,40857 0,23538 0,52419 0,21202 0,62307 0,59485 0 46574
7 AFLT 0,11298 0,14187 0,09502 0,05210 0,19141 0,29172 1,00000 0,47682 0,06507 0,16334 0,18523 0,18249 0,098э1 0,17484 0,07543
8 CНМF 0,41644 0,48622 0,41099 0,39063 0,46792 0,55004 0,47682 1,00000 0,34400 -0,00655 0,42588 0,26306 0,36724 0,42184 0,42543
9 МSNG 0,49925 0,38497 0,26390 0,54699 0,45447 0,40857 0,06507 0,34400 1,00000 0,05362 0,37742 0,16396 0,42572 0,28687 0,52898
10 LSNG 0,14927 -0,14544 0,16584 0,13028 0,30327 0,23538 0,16334 -0,00655 0,05362 1,00000 0,34551 -0,25042 0,24008 0,07036 0,11843
11 URSI 0,46880 0,38205 0,33962 0,40812 0,59408 0,52419 0,18523 0,42588 0,37742 0,34551 1,00000 0,26681 0,64323 0,29771 0,42903
12 IRGZ 0,24961 0,42075 -0,01708 0,17216 0,29894 0,21202 0,18249 0,26306 0,16396 -0,25042 0,28681 1,00000 0,26877 0,30278 0,27000
13 RTKM 0,59653 0,41987 0,37964 0,56306 0,76531 0,62307 0,09881 0,36724 0,42572 0,24008 0,64323 0,26877 1,00000 0,55535 0,58368
14 SBER 0,55014 0,37198 0,36388 0,56584 0,54597 0,59485 0,17484 0,42184 0,28667 0,07036 0,29771 0,30278 0,55535 1,00000 0,38322
15 ТАТТС 0,62352 0,54749 0,52873 0,61080 0,54737 0,46574 0,07543 0,42543 0,52898 0,11843 0,42903 0,27000 0,58368 0,38322 1,00000
1) с относительно высокой средней месячной доходностью 6,0 — 6,5 % и относительно высоким риском 14 - 16 % - SBER, SIBN, СНМБ;
2) акции со средней месячной доходностью в диапазоне 3-4 % и относительно меньшим риском 11 - 14 % - LKOH, ЛБЕТ, SNGS, IRGZ, ТЛТ^
3) акции со средней месячной доходностью 3-4 % и относительно большим риском 14 - 17 % - MSNG, EESR, EESRP, LSNG;
4) акции с меньшей доходностью или высоким риском - RTKM, URSI, УиКО.
Можно предположить, что акции первой группы могут стать основой портфелей большей доходности и повышенного риска. Акции второй группы - основой портфелей с наименьшими рисками, но и меньшей доходности. Участие в портфелях акций третьей группы будет связано с их корреляционными соотношениями с акциями, определяющими цели портфелей, - повышенная доходность или пониженный риск. Акции четвертой группы, вероятнее всего, не будут представлены в портфелях.
При оптимизации доли отдельных типов ценных бумаг могут оказаться отрицательными. Такие портфели в работе не рассматриваются. Выбираются только портфели с положительными долями акций.
Состав десяти портфелей, из которых портфели № 3 — 10 являются эффективными, представлен в табл. 4. Из таблицы следует, что нет ни одного портфеля со всеми положительными долями. Это связано с тем, что доходности ряда ценных бумаг сильно коррелированны между собой (см. табл. 3), имея при этом разброс по доходности от 2 до 6 раз, что является особенностью российского фондового рынка. Поэтому для формирования оптимального портфеля отдельные типы акций, доходности которых заметно коррелированны с другими, следует исключить из списка. Или, учитывая разброс по доходности при высокой корреляции, формировать эффективные портфели из разных наборов акций для конкретных диапазонов доходности и рисков.
В табл. 4 выделен столбец, отражающий доли акций в портфеле № 3, имеющем минимальное значение риска. На графике этот портфель будет находится в точке перегиба кривой, ограничивающей допустимое множество портфелей.
Из всех 15 акций для диапазона доходностей 3 — 6,5 % исключаем акции следующих компаний:
УиКО — значения долей акции в портфелях во всем диапазоне доходностей отрицательные;
URSI — значения долей акции в портфелях во всем диапазоне доходностей отрицательные;
EESR — значения долей акции в портфелях во всем диапазоне доходностей отрицательные;
SNGS — имеет доходность меньшую, а риск больший, чем, например, ЬКОН при коэффициенте корреляции 0,84;
RTKM — имеют самый низкий показатель доходности (1,13 %) и риск, близкий к границе рисков второй группы акций (13,98 %), при одновременно высоком коэффициенте корреляции с другими акциями (ЬКОН, ТАТ^.
Из анализа результатов в табл. 4 также видно, что одна группа акций имеет на всем диапазоне доходностей 3 — 6,5 % относительно стабильную положительную долю в портфелях (ЬКОН от 0,1126 до 0,15623; IRGZ от 0,3232 до 0,3281; LSNG от 0,1524 до 0,1968); акции другой — положительную долю, но с изменением величины в зависимости от доходности портфеля (SIBN от 0,10771 до 0,31361; АБЕГ от 0,2849 до 0,1395); акции третьей группы — на части диапазона доходностей имеют отрицательные доли и, вероятно, будут представлены либо в портфелях с низким риском и меньшей доходностью порядка 3,5 — 4,0 %, либо в портфелях
Таблица 4
Доходности портфелей — соотношение долей акций в портфеле (15 акций)
Показатель Номер портфеля
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Доходность, % 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50
Риск портфеля, % 6,79 6,74 6,72 6,74 6,79 7,00 7,32 7,76 8,29 8,89
ЕКОН 0,11262 0,11574 0,11885 0,12197 0,12509 0,13132 0,13755 0,14379 0,15002 0,15625
уико -0,07886 -0,07985 -0,08084 -0,08183 -0,08282 -0,08480 -0,08677 -0,08875 -0,09073 -0,09271
SIBN 0,10771 0,12242 0,13713 0,15183 0,16654 0,19595 0,22537 0,25478 0,28419 0,31361
0,17545 0,14779 0,12014 0,09249 0,06484 0,00953 -0,04577 -0,10107 -0,15638 -0,21168
EESR -0,16114 -0,15782 -0,15450 -0,15118 -0,14786 -0,14122 -0,13458 -0,12795 -0,12131 -0,11467
EESRP 0,05463 0,05528 0,05593 0,05659 0,05724 0,05854 0,05985 0,06115 0,06246 0,06376
АБЕГ 0,28495 0,27456 0,26416 0,25377 0,24338 0,22260 0,20181 0,18103 0,16024 0,13946
СНМБ -0,01921 -0,00692 0,00536 0,01764 0,02993 0,05449 0,07906 0,10363 0,12819 0,15276
0,04738 0,05158 0,05579 0,05999 0,06420 0,07261 0,08102 0,08944 0,09785 0,10626
0,15240 0,15557 0,15874 0,16191 0,16508 0,17142 0,17776 0,18410 0,19044 0,19678
-0,05639 -0,05630 -0,05621 -0,05612 -0,05603 -0,05584 -0,05566 -0,05547 -0,05529 -0,05511
IRGZ 0,32320 0,32355 0,32390 0,32425 0,32460 0,32530 0,32600 0,32671 0,32741 0,32811
RTKM 0,16773 0,13218 0,09663 0,06108 0,02553 -0,04557 -0,11667 -0,18777 -0,25887 -0,32997
SBER -0,10462 -0,07870 -0,05277 -0,02685 -0,00093 0,05092 0,10276 0,15461 0,20645 0,25830
TATN -0,00584 0,00092 0,00768 0,01445 0,02121 0,03474 0,04826 0,06179 0,07532 0,08885
Сумма долей 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000
Таблица 5
Доходности портфелей — соотношение долей акций в портфеле (10 акций)
Показатель Номер портфеля
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Доходность, % 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50
Риск портфеля, % 7,17 7,05 6,99 7,01 7,10 7,47 8,07 8,85 9,78 10,81
ЕКОН 0,35927 0,31085 0,26243 0,21401 0,16559 0,06874 -0,02810 -0,12494 -0,22178 -0,31863
SIBN 0,07103 0,09368 0,11632 0,13897 0,16162 0,20691 0,25221 0,29750 0,34280 0,38809
EESRP -0,03883 -0,05337 -0,06790 -0,08244 -0,09697 -0,12604 -0,15511 -0,18418 -0,21325 -0,24232
АБЕТ 0,32777 0,31531 0,30285 0,29039 0,27793 0,25301 0,22809 0,20316 0,17824 0,15332
СНМБ -0,10041 -0,07157 -0,04274 -0,01390 0,01494 0,07262 0,13030 0,18797 0,24565 0,30333
MSNG 0,05342 0,05269 0,05196 0,05123 0,05049 0,04903 0,04757 0,04610 0,04464 0,04318
LSNG 0,16149 0,16111 0,16073 0,16035 0,15997 0,15921 0,15845 0,15769 0,15694 0,15618
IRGZ 0,27537 0,27036 0,26534 0,26032 0,25531 0,24527 0,23524 0,22521 0,21517 0,20514
SBER -0,09884 -0,06338 -0,02792 0,00754 0,04300 0,11392 0,18484 0,25576 0,32668 0,39760
тато -0,01027 -0,01567 -0,02107 -0,02648 -0,03188 -0,04268 -0,05348 -0,06428 -0,07509 -0,08589
Сумма долей 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000
с повышенным риском и большей доходностью порядка 6,0 — 6,5 %.
На следующем этапе произведем расчеты портфелей для 10 акций (см. табл. 5).
Из анализа данных в табл. 5 можно принять решение об исключении следующих акций:
EESRP — значения долей акции в портфелях во всем диапазоне доходностей отрицательные;
TATN — значения долей акции в портфелях во всем диапазоне доходностей отрицательные;
ЕКОН — в диапазоне доходностей портфелей 5,0 — 6,5 % акции имеют отрицательное значение долей в портфелях.
С этого этапа начинаем формирование портфелей с повышенным доходом. Производим расчет портфелей для 7 акций (табл. 6).
Доходности портфелей — соотноше
Следует отметить появление на этом этапе портфеля с положительными долями (портфель № 6).
Исключаем из портфеля акцию:
MSNG — в диапазоне доходностей портфелей 5,0 — 6,5 % акции имеют отрицательное значение долей в портфелях.
Производим расчет портфелей для 6 акций (см. табл. 7).
Из табл. 7 видно, что эффективные портфели с номерами 6 — 10 могут быть применены для инвестирования в диапазоне доходностей 4,2 — 6,0 % при рисках 7,5 — 10,8 %. Если инвестора интересуют максимальные доходности 6,0 — 6,5 %, которые могут обеспечить акции из текущего набора, то исключаем акции LSNG, IRGZ. В портфеле с
Таблица 6
е долей акций в портфеле (7 акций)
Показатель Номер портфеля
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Доходность, % 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50
Риск портфеля, % 7,96 7,64 7,41 7,29 7,28 7,60 8,32 9,34 11,97 13,46
SIBN 0,08047 0,10007 0,11966 0,13926 0,15885 0,19804 0,23723 0,27642 0,31561 0,35480
АБЕТ 0,38076 0,35939 0,33802 0,31665 0,29528 0,25255 0,20981 0,16707 0,12433 0,08159
СНМБ -0,16476 -0,13017 -0,09557 -0,06098 -0,02638 0,04281 0,11200 0,18120 0,25039 0,31958
MSNG 0,17730 0,15303 0,12876 0,10449 0,08022 0,03168 -0,01686 -0,06540 -0,11394 -0,16248
LSNG 0,23635 0,22076 0,20517 0,18958 0,17399 0,14282 0,11164 0,08046 0,04928 0,01811
IRGZ 0,39702 0,37091 0,34479 0,31868 0,29257 0,24035 0,18813 0,13591 0,08369 0,03147
SBER -0,10714 -0,07399 -0,04084 -0,00769 0,02545 0,09175 0,15805 0,22434 0,29064 0,35694
Сумма долей 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000
Таблица 7
Доходности портфелей — соотношение долей акций в портфеле (6 акций)
Показатель Номер порт )еля
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Доходность, % 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00 4,25 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50
Риск портфеля, % 8,55 8,09 7,74 7,51 7,41 7,45 7,62 8,32 9,41 10,77 12,31
SIBN 0,08897 0,10741 0,12584 0,14427 0,16270 0.18113 0,19956 0,23642 0,27328 0,31015 0,34701
АБЕГ 0,39678 0,37322 0,34965 0,32609 0,30253 0.27897 0,25541 0,20828 0,16116 0,11404 0,06691
СНМБ -0,14525 -0,11333 -0,08140 -0,04948 -0,01755 0.01437 0,04630 0,11015 0,17400 0,23785 0,30170
0,29541 0,27173 0,24806 0,22439 0,20071 0.17704 0,15337 0,10602 0,05868 0,01133 -0,03601
IRGZ 0,49546 0,45588 0,41629 0,37670 0,33712 0.29753 0,25794 0,17877 0,09960 0,02042 -0,05875
SBER -0,13137 -0,09490 -0,05844 -0,02197 0,01449 0.05096 0,08742 0,16035 0,23328 0,30621 0,37914
Сумма долей 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000
доходностью 6,5 % они имеют отрицательные значения долей, а в портфеле с доходностью 6,0 % имеют минимальное присутствие 0,01-0,02. При формировании портфелей с меньшими доходнос-тями эти акции могут быть представлены. Исключение этих акций вызовет снижение доли акции АБЕГ, обеспечивающей доходность в 2 раза менее требуемой и уже имеющей малое присутствие в портфеле (0,0669).
Производим расчет портфелей для 4 акций (табл. 8).
Из табл. 8 видно, что в диапазоне доходностей портфелей 5,0 - 6,0 % доли акций имеют положительные значения. В портфеле представлены акции различных отраслей - нефтяной, транспортной, металлургической и банковского сектора. Для формирования портфелей с предполагаемой доходностью 6,0 - 6,5 % необходимо исключить из рассмотрения акцию АБЕГ.
Производим расчет портфелей для 3 акций (табл. 9).
Таблица 8
Доходности портфелей — соотношение долей акций в портфеле (4 акции)
Показатель Номер портфеля
1 2 3 4 5
Доходность, % 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50
Риск портфеля, % 9,41 9,16 9,65 10,78 12,38
SIBN 0,21093 0,24422 0,27752 0,31081 0,34411
АБЕГ 0,77061 0,56498 0,35935 0,15372 -0,05191
СНМБ -0,09405 0,01304 0,12014 0,22723 0,33433
SBER 0,11252 0,17776 0,24300 0,30824 0,37348
Сумма долей 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000
Таблица 9
Доходности портфелей — соотношение долей акций в портфеле (3 акции)
Показатель Номер портфеля
1 2 3 4 5
Доходность, % 6,00 6,20 6,30 6,40 6,50
Риск портфеля, % 14,84 12,33 11,87 12,05 12,85
SIBN 0,18610 0,26615 0,30617 0,34620 0,38622
СНМБ 1,01935 0,63834 0,44783 0,25733 0,06682
SBER -0,20544 0,09551 0,24599 0,39647 0,54695
Сумма долей 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000
Из табл. 9 видно, что имеется возможность сформировать эффективные портфели из акций СНМБ- SBER в диапазоне предполагаемых доходностей 6,3 - 6,5 %. Портфель с доходностью около 6,3 % будет иметь минимальный риск около 11,87 % при рисках акций, входящих в портфель, 14,3 - 16,0 %.
Аналогично процессу формирования портфелей с повышенными доходностями и, как следствие, большими рисками можно произвести формирование портфелей с минимальными рисками, но и меньшими доходностями.
Начиная с момента анализа результатов (см. табл. 5), можно начать выделение акций с меньшим риском, которые имеют положительные доли в портфелях с доходностями 3,5 - 5 %. Результаты последовательных расчетов и исключения акций из состава портфелей вследствие отрицательности их долей в портфелях и корреляционных соотношений представлены в таблицах 10 - 12.
Из анализа коэффициентов корреляции (см. табл. 3) видно, что акции нефтяных компаний ИКОН и SIBN имеют коэффициент корреляции 0,43060. При этом ИКОН имеет по сравнению с
Таблица 10
Доходности портфелей — соотношение долей акций в портфеле (9 акций)
Показатель Номер портфеля
1 2 3 4 5 6
Доходность, % 3,25 3,50 3,75 4,00 4,50 5,00
Риск портфеля, % 7,15 7,02 7,01 7,13 7,69 8,62
ЕКОН 0,20294 0,20292 0,20291 0,20289 0,20285 0,20282
SIBN 0,00719 0,07249 0,13779 0,20310 0,33370 0,46431
SNGS 0,15350 0,08418 0,01485 -0,05447 -0,19313 -0,33178
EESRP -0,12196 -0,10240 -0,08283 -0,06326 -0,02413 0,01501
АБЕТ 0,29107 0,28782 0,28456 0,28131 0,27480 0,26829
MSNG 0,03569 0,04200 0,04832 0,05463 0,06726 0,07989
LSNG 0,18629 0,17409 0,16188 0,14967 0,12526 0,10085
IRGZ 0,25634 0,25903 0,26171 0,26440 0,26978 0,27516
тато -0,01106 -0,02013 -0,02920 -0,03827 -0,05641 -0,07455
Сумма долей 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000
Таблица 11
Доходности портфелей — соотношение долей акций в портфеле (6 акций)
Показатель Номер портфеля
1 2 3 4 5 6
Доходность, % 3,25 3,50 3,75 4,00 4,50 5,00
Риск портфеля, % 7,37 7,15 7,09 7,19 7,84 8,97
ЕКОН 0,32413 0,25598 0,18783 0,11968 -0,01662 -0,15293
SIBN -0,04592 0,02813 0,10217 0,17621 0,32430 0,47239
АБЕТ 0,25907 0,26465 0,27023 0,27581 0,28696 0,29812
MSNG 0,03659 0,03514 0,03368 0,03223 0,02932 0,02641
LSNG 0,18473 0,17054 0,15635 0,14215 0,11376 0,08538
IRGZ 0,24139 0,24557 0,24975 0,25392 0,26228 0,27063
Сумма долей 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000
Таблица 12
Доходности портфелей — соотношение долей акций в портфеле (5 акций)
Показатель Номер портфеля
1 2 3 4 5 6
Доходность, % 3,25 3,50 3,75 4,00 4,50 5,00
Риск портфеля, % 7,42 7,17 7,11 7,21 7,85 8,97
ЕКОН 0,35272 0,28343 0,21414 0,14485 0,00628 -0,13230
SIBN -0,04336 0,03058 0,10452 0,17846 0,32635 0,47423
АБЕТ 0,26052 0,26604 0,27156 0,27708 0,28812 0,29917
LSNG 0,18519 0,17098 0,15677 0,14255 0,11413 0,08570
IRGZ 0,24493 0,24897 0,25301 0,25705 0,26512 0,27319
Сумма долей 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000
SIBN меньший риск (0,10852 против 0,15615), меньшую среднюю доходность (0,03091 против 0,06398), но и несколько большие коэффициенты корреляции с другими акциями (кроме LSNG). В этой точке можно сделать выбор из вариантов: — оставляем портфели с 5-ю акциями (ЕКОН-SIBN-AБLT-LSNG-IRGZ) и диапазоном до-
ходностей 3,75 — 4,5 % и портфель с минимальным риском 7,11 % при доходности 3,75 %; исключаем акции ЕКОН и имеем портфели с меньшим числом акций в управлении, а также портфель с несколько большим риском (минимальным) и с несколько большей доходностью в этой точке (табл. 13).
Таблица 13
Доходности портфелей — соотношение долей акций в портфеле (4 акции)
Показатель Номер портфеля
1 2 3 4 5 6
Доходность, % 3,50 3,75 4,00 4,25 4,50 5,00
Риск портфеля, % 7,96 7,57 7,41 7,51 7,85 9,13
SIBN 0,00239 0,08323 0,16406 0,24489 0,32572 0,48739
АБиГ 0,30053 0,29762 0,29471 0,29180 0,28889 0,28307
LSNG 0,28793 0,24513 0,20232 0,15952 0,11672 0,03112
IRGZ 0,40915 0,37403 0,33891 0,30379 0,26867 0,19843
Сумма долей 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000
-^э- 6
Из анализа результатов, пред- 7,00 ставленных в табл. 13, можно заключить, что имеем возможность сформировать эффективные портфели из акций SIBN-АБLT-LSNG-IRGZ в диапазоне предполагаемых доходностей 4,0 - 5,0 %. Портфель с доходностью около 4,0 % будет иметь минимальный риск около 7,41 % при рисках акций, входящих в портфель, 11,2 - 17,0 %.
Графическая иллюстрация соотношений рисков и доходностей некоторых портфелей, сформированных выше, представлена на рис. 2.
На основании анализа, проведенного в данной работе, можно сделать следующие выводы об особенностях российского рынка ценных бумаг.
1. Короткий срок существования фондового рынка делает затруднительным использование в качестве расчетного периода больший временной отрезок (например, квартал). Поэтому на современном этапе развития российского фондового рынка для расчетов рекомендуется использовать месяц.
2. Сложность отбора российских бумаг для анализа объясняется небольшим объемом торгов и ограниченностью отраслевой принадлежности большинства из них (2/3 компаний, чьи акции были отобраны, принадлежат нефтегазовой и энергетической отрасли). Последнее в свою очередь может объяснить преобладание высоких положительных значений коэффициентов корреляции (например, LKOH/SNGS - 0,84), что при большом разбросе по доходностям (от 2 до 6 раз) и по рискам (1,5 раза) влечет за собой появление в портфеле отрицательных долей отдельных типов ценных бумаг. Отсюда
10,50 12,50
Риск портфеля, %
акции мин. риски - SIBN - АБКГ -LSNG - IRGZ акций - SIBN- АБКГ - СНМБ - LSNG - IRGZ - SBER акции выс. дох. - SIBN -СНМБ - SBER
Рис. 2. Риск - доходность портфеля
следует необходимость исключения из портфеля одной из ценных бумаг, имеющих высокий коэффициент корреляции. Результаты работы (рис. 2, табл. 7, 9, 13) показывают возможность формирования из исходного набора акций групп эффективных портфелей с различным количеством акций и желаемым прогнозируемым соотношением риска и доходности:
- эффективные портфели с меньшими рисками 7,5 - 9,0 % из 4 акций (SIBN-АFLT-LSNG-IRGZ);
- эффективные портфели с большими предполагаемыми доходами 6,0 - 6,5 % из 3 акций (SIBN-СHMБ-SBER);
- эффективные портфели с умеренными предполагаемыми доходностями в диапазоне 4,5 - 6,0 % и рисками из 6 акций (SIBN-АFLT-СHMБ-LSNG-IRGZ-SBER), имеющие положительные доли акций в этом диапазоне.
Выбор оптимального портфеля из сформированных выше эффективных будет зависеть от субъективных предпочтений инвестора, его склонности к риску и значения ожидаемой им доходности.
