CC BY
6
УДК 519.725
DOI: 10.17586/0021-3454-2023-66-7-568-575
ФОРМИРОВАНИЕ
МНОЖЕСТВ ТРОИЧНЫХ ГОЛД-ПОДОБНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ДЛЯ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ И ОБРАБОТКИ ЦИФРОВОЙ ИНФОРМАЦИИ
В. Г. Стародубцев*, В. В. Мышко
Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, Санкт-Петербург, Россия,
vgstarod@mail. ru
Аннотация. Представлены наборы векторов индексов децимации троичных М-последовательностей (МП) с проверочными полиномами hMn(x) для периодов N = 3S-1 < 20000, сформированных в конечных полях GF(3S) (S = 3, 5, 7, 9). Наборы включают как известные индексы децимации, так и вновь полученные, позволяющие формировать множества троичных Голд-подобных последовательностей с объемом N+2 и низким уровнем значений периодической взаимно корреляционной функции. Для значения S = 5 к пяти известным индексам децимации дополнительно получено 4 индекса, для S = 7 к семи известным индексам получено 10 индексов децимации, а для S = 9 к девяти известным дополнительно получено 9 индексов децимации.
Ключевые слова: конечные поля, примитивные полиномы, корреляционная функция, М-последователь-ности, индексы децимации
Ссылка для цитирования: Стародубцев В. Г., Мышко В. В. Формирование множеств троичных Голд-подобных последовательностей для систем передачи и обработки цифровой информации // Изв. вузов. Приборостроение. 2023. Т. 66, № 7. С. 568—575. DOI: 10.17586/0021-3454-2023-66-7-568-575.
FORMATION OF SETS OF TERNARY GOLD-LIKE SEQUENCES FOR DIGITAL INFORMATION TRANSMISSION AND PROCESSING SYSTEMS
V. G. Starodubtsev*, V. V. Myshko
A. F. Mozhaisky Military^ Space Academy, St. Petersburg, Russia vgstarod@mail.ru
Abstract. Sets of vectors of decimation indices IS(id1, id2, ..., idn) of ternary M-sequences (MS) with verification polynomials hMp(x) for periods N = 3S-1 < 20000 formed in finite fields GF(3S) for S = 3, 5, 7, 9 are presented. The sets include both the well-known decimation indices and the newly obtained indices that allow formatting sets of ternary Goldlike sequences (GLS) with a volume of N+2 and a low level of values of the periodic cross-correlation function. For the value S = 5, four additional indices were obtained to five known decimation indices, for S = 7, ten decimation indices were added to seven known indices, and for S = 9, nine decimation indices were additionally obtained to nine known indices.
Keywords: finite fields, primitive polynomials, correlation function, M-sequences, decimation indices
For citation: Starodubtsev V. G., Myshko V. V. Formation of sets of ternary Gold-like sequences for digital information transmission and processing systems. Journal of Instrument Engineering. 2023. Vol. 66, N 7. P. 568—575 (in Russian). DOI: 10.17586/0021-3454-2023-66-7-568-575.
В современных системах передачи и обработки цифровой информации для повышения помехозащищенности по отношению к преднамеренным помехам широко используются как двоичные, так и недвоичные фазоманипулированные сигналы с расширенным спектром (СРС), формируемые на основе псевдослучайных последовательностей [1, 2]. В системах связи с кодовым многостанционным доступом в настоящее время применяются фазоманипулированные сигналы на основе двоичных последовательностей Голда (111 ), Касами и др. [3—5].
© Стародубцев В. Г., Мышко В. В., 2023
Переход от двоичных к недвоичным фазоманипулированным СРС на основе троичных Голд-подобных последовательностей (ГПП) определяется тем, что данные конструкции характеризуются увеличением числа множеств сигналов с эквивалентными корреляционными свойствами при сопоставимых периодах. Например, в поле GF(26) имеется 6 примитивных полиномов, 6 предпочтительных пар М-последовательностей (МП), для которых можно сформировать 6 множеств ПГ с периодом N = 63 и максимальным значением модуля взаимной корреляционной функции (ПВКФ) |Rmax| = 17. В поле GF(34) имеется 8 примитивных полиномов, для которых формируются 8 множеств троичных ГПП с периодом N = 80 и |Rmax| = 17. В поле GF(2 ) для 16 примитивных полиномов можно сформировать 16 множеств ПГ с периодом N = 255 и |Rmax| = 31, а в поле GF(35) для 22 примитивных полиномов формируются уже 99 множеств троичных ГПП с периодом N = 242 и |Rmax| = 28.
Также достоинство троичных фазоманипулированных сигналов заключается в том, что при сдвиге на 120° данные сигналы представляют собой эквидистантную систему сигналов [1, 2].
Вопросам формирования множеств двоичных и недвоичных последовательностей с низким уровнем взаимной корреляции посвящено большое количество публикаций [6—13]. Основополагающей является работа [6], в которой представлены результаты по формированию множеств двоичных ПГ с периодом N = 2-1, трехуровневой ПВКФ с максимальным значением модуля для нечетных S:
Rmax| = 21/2(N+1)1/2+1, (1)
и четырехуровневой ПВКФ с максимальным значением модуля для четных S:
s Rmax| = 2(N+1)1/2+1. (2)
В [7] для полей GF(p ) при нечетных значениях S получены выражения для индексов децимации idk (k = 1, 2, 3...) недвоичных МП, на основе которых определяются предпочтительные пары МП при формирования множеств ГПП с верхней границей взаимной корреляции
Rmax| = 1+^(S+e)/2, (3)
где e = НОД^, к) — наибольший общий делитель параметров S и к.
Рассмотрены два варианта вычисления индексов децимации:
i1dk = (p2k+1)/2, (4)
s i2dk = p2k-pk+1. (5)
В работе [8] для полей GF(3 ) при простом нечетном S приведено выражение для индекса децимации при формировании множеств ГПП с верхней границей взаимной корреляции |Rmax| = 1+p(S+1)/2:
hd = 2p(S-1)/2+1. (6)
Наряду с поиском предпочтительных пар недвоичных МП большое внимание уделяется вопросам формирования множеств последовательностей, для которых выполняется условие НОД(^, p -1) = 2. В [9, 10] для нечетных значений S и индексов децимации определены
S/2
верхняя граница для значений взаимной корреляции R
max 1+(p+1p 72 и мощность полученных множеств последовательностей. В [11—13] для четных значений S и индексов децимации, для которых НОД(^, p -1) > 2, также определены мощности множеств и максимальные значения взаимной корреляции. Данные работы позволяют с более общих позиций подойти к формированию недвоичных ГПП.
Целью настоящей статьи — определение в полях GF(3S) при S = 3, 5, 7, 9 полных наборов индексов децимации id для формирования множеств ГПП с корреляционными свойствами, удовлетворяющими граничным оценкам, полученным в [7, 8].
Множества троичных ГПП, так же как и множества двоичных ПГ, формируются на основе предпочтительных пар МП. Троичные МП с периодом N = 3S - 1 формируются над
конечными полями GF(3 ). Символы du i = 0...N-1, МП в каноническом виде определяются выражением [3, 8, 12]
di = tr5i(ai), (7)
где trS1(a) — функция следа примитивного элемента а из поля GF(3S) в поле GF(3).
Рассмотрим формирование ГПП для нечетных значений S = 3, 5, 7, 9.
Троичные последовательности для S = 3 с периодом N = 33-1 = 26 формируются в конечном поле GF(33) с примитивным полиномом fx) = x3+2x+1. В поле GF(33) имеется
полинома h1(x) = x +2x+1,
h5(x) = x3+2x2+x+1, h7(x) = x3+x2+2x+1,
четыре примитивных Ип(х) = х3+2х2+1.
Нижние индексы в полиномах ^¿(х) здесь и далее соответствуют минимальным
показателям степени корней данных полиномов и равны индексам децимации ¡¿а базисной
МП с ^мп(х) = И1(х). Все МП в поле GF(3 ) могут быть получены путем децимации символов
базисной МП по данным индексам.
Базисная МП с И1(х) = х +2х+1 в каноническом виде, т.е. с начальным состоянием 0 12 ¿о = й"3;1а = 0, ¿1 = й"3;1а = 0, ¿2 = йзда = 2, формируемая в соответствии с (6), может быть
представлена в виде матрицы размерности [8*10]
FMn =
0 0 0 0 0 0 0 0
0 2 1 1 0 1 2 2
2 2 0 2 1 1 0 1
1 0 1 2 2 0 2 1
0 1 2 2 0 2 1 1
1 0 1 2 2 0 2 1
1 2 2 0 2 1 1 0
1 2 2 0 2 1 1 0
2 1 1 0 1 2 2 0
(8)
в которой МП записывается последовательно по строкам.
В табл. 1 приведены значения ПВКФ (и число этих значений на одном периоде) базисной МП вида (8) с полиномом И1(х) и остальных МП с И(х), формируемых путем децимации базисной МП по соответствующим индексам децимации ¡¿¿.
Таблица 1
Число n значений ПВКФ МП1 и МП,- с периодом N=26 при
Полиномы R(t) и г(т)*
M(x) - hi(x) -13 -10 -7 -4 -1 2 5 8 11 14
-0,50 -0,38 -0,27 -0,15 -0,04 0,08 0,19 0,31 0,42 0,54
h1(x) - h5(x) 3 17 6
h1(x) - h7(x) 3 17 6
M(x) - hn(x) 1 3 6 3 6 3 4
* Величине Я(х) соответствуют значения в верхней строке, г(т) — в нижней.
Трехуровневой ПВКФ обладают две пары МП: И1(х) — Ь5(х) и И1(х) — ^7(х). Данные пары называются предпочтительными и могут быть использованы для формирования множеств ГПП [7]. Индекс децимации ¡¿1 = 5 соответствует выражению (4), а ¡¿2 = 7 — выражениям (5) и (6).
При замене И1(х) на И5(х) и И7(х) можно получить еще две предпочтительные пары: И5(х) — Ь17(х) и И7(х) — М7(х). Все предпочтительные пары обладают ПВКФ, которая принимает три значения:
ад = [-10(3); -1(17); 8(6)]. (9)
На рис. 1 показан график ПВКФ предпочтительной пары МП с И5(х) — ^17(х).
Таким образом, при £ = 3 вектор индексов децимации для формирования множеств троичных ГПП имеет вид
Is(M, id2) = !з(5, 7), что соответствует результатам, полученным в [7, 8].
m
6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12
/
Ч--- -1 ! i 10 ¥ 15 25
5 20
\ /
\ /
V
Рис. 1
Для каждой из четырех МП с периодом N = 3-1 = 26 можно сформировать по два множества ГПП объемом Vs = V3 = 28 с трехуровневой ПВКФ. Число уровней при вычислении взаимной корреляции различных последовательностей множества ГПП может отличаться от значений в выражении (9).
Всего можно сформировать Ms = M3 = 4 множества ГПП с проверочными полиномами hmm(x) = hi(x)h5(x), hmm(x) = hi(x) h1(x), hmm(x) = hs(x)hn(x), hmrn(x) = h1(x) hi1(x).
Реализация устройств формирования множеств троичных ГПП может быть осуществлена как аппаратным, так и программным способом.
При аппаратном способе устройство формирования представляет собой совокупность двух регистров сдвига с линейной обратной связью (РС ЛОС), сумматоры и умножители по mod 3 в цепи обратной связи которых расставляются в соответствии с коэффициентами примитивных полиномов. Ячейками регистра сдвига являются устройства, которые могут находиться в трех состояниях. В одном регистре выставляется фиксированное ненулевое начальное состояние, а во втором регистре для получения всех последовательностей множества поочередно выставляются все возможные начальные состояния. Выходные сигналы регистров поступают на сумматор по mod 3, являющийся выходом устройства. Например, для полинома hmro(x) = h5(x)h17(x) первый регистр формируется в соответствии с полиномом
3 2 3 2
h5(x) = x +2x +x+1, а второй — в соответствии с h17(x) = x +2x +1.
При программном способе произвольная последовательность множества, например последовательность с hmm(x) = h5(x)h17(x), также образуется посредством суммирования двух МП. Первая МП формируется путем децимации базисной МП с h1(x) вида (8) по индексу id1 = 5 с ее произвольного символа, а вторая МП образуется путем децимации базисной МП по индексу id2 = 17 поочередно с ее различных символов. В результате могут быть получены все 28 последовательностей множества троичных ГПП.
В общем случае выражения для ПВКФ и объема множеств ГПП для нечетных значений S имеют следующий вид:
^гпп(Т) = [(-3(S +1)/2 -1); -1; (3(S+1)/2 -1)], (10)
Vs = 3S+1 = N+2.
(11)
Троичные последовательности с периодом N = 3 -1 = 242 формируются в конечном поле GF(35) с примитивным полиномом fx) = h1(x) = x5+2x+1. В поле GF(35) имеется 22 примитивных полинома, на основе которых могут быть получены все МП путем децимации базисной МП по индексам: 5, 7, 13, 17, 19, 23, 25, 31, 35, 41, 43, 47, 49, 53, 61, 67, 71, 79, 125, 131, 161.
В соответствии с (4) определены известные индексы децимации id1 = 5, id2 = 41; в соответствии с (5) — id3 = 7, id4 = 35, а в соответствии с (6) — id5 = 19.
На основе анализа взаимно корреляционных свойств всевозможных пар МП с периодом N = 242 были получены 4 новых индекса децимации, позволяющие формировать множества ГПП с трехуровневой ПВКФ и верхней границей взаимной корреляции, удовлетворяющей (3): ¡¿6 = 17, ¡¿7 = 49; ¡¿8 = 61, ¡¿9 = 67.
Таким образом, при £ = 5 общий вектор индексов децимации для формирования множеств троичных ГПП имеет вид
Щл, ¡¿2, ..., ¡¿9) = 15(5, 7, 17, 19, 35, 41, 49, 61, 67). (12)
Для каждой из 22 МП с периодом N = 242 можно сформировать по 9 множеств ГПП объемом У5 = 244, ПВКФ которых принимает три значения:
Ягпп(Т) = [-28; -1; 26]. (13)
Всего можно сформировать М£ = М5 = 99 множеств ГПП с проверочными полиномами ^ГППг(х) = И^х)-Ик(х), где индексы] и к соответствуют индексам примитивных полиномов. Например, если Агпш(х) = И1(х) И5(х), то при замене полинома к1(х) на произвольный примитив-
5 4 2
ный полином ^125(х) = х +х +х +х+1, получим проверочный полином десятой степени множества ГПП ^гпш(х) = ^125(х)'^5125 1шх1242(х) = ^125(х)'^141(х) = ^125(х)'^47(х). В поле GF(35) выпол-
5 3 2
няется равенство И141(х) = И47(х) = х +2х +2х +х+1, так как оба полинома имеют одинаковые
47 141 181 59 177
корни а , а , а , а , а , являющиеся р-сопряженными элементами. Взаимно корреляционная функция двух последовательностей множества ГПП с ^гпп2(х)=Л125(х)Л47(х) показана на рис. 2.
Д(т)
20 10 0 -10 -20 -30 -40
0 50 100 150 200 250 т
Рис. 2
В общем виде выражения для ПВКФ и объема множеств ГПП с периодом N = 242 удовлетворяют выражениям (10) и (11).
Троичные последовательности с периодом N = 3 -1 = 2186 формируются в конечном
7 7 2 7
поле GF(3 ) с полиномом _Дх) = И1(х) = х +х +2х+1. В поле GF(3 ) имеется 156 примитивных полиномов, на основе которых могут быть получены МП путем децимации базисной МП по соответствующим индексам. В качестве примера приведено по 20 начальных и конечных индексов: 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 55, 59, 61, ... 647, 673, 689, 691, 697, 701, 713, 715, 719, 725, 727, 1097, 1103, 1121, 1133, 1187, 1205, 1211, 1367, 1457.
В соответствии с (4) для формирования множеств ГПП определены известные индексы децимации ¡¿1 = 5, ¡¿2 = 41, ¡¿з = 365, в соответствии с (5) — ¡¿4 = 7, ¡¿5 = 73, ¡¿6 = 107, а в соответствии с (6) — ¡¿7 = 55.
Анализ взаимно корреляционных свойств различных МП с периодом N = 2186 позволил получить 10 новых индексов децимации, на основе которых можно сформировать дополнительные множества ГПП с трехуровневой ПВКФ и верхней границей взаимной корреляции, удовлетворяющей (3). Это индексы 11, 53, 61, 199, 227, 347, 391, 439, 547, 551.
Таким образом, при £ = 7 общий вектор индексов децимации для формирования множеств троичных ГПП имеет вид
Щл, ¡¿2, ..., ¡¿17) = 17(5, 7, 11, 41, 53, 55, 61, 73, 107,
199, 227, 347, 365, 391, 439, 547, 551). (14)
Для каждой из 156 МП с периодом N = 2186 можно сформировать по 17 множеств ГПП объемом У7 = 2188, ПВКФ которых принимает три значения:
Ягпп(Т) = [-82; -1; 80]. (15)
Всего можно сформировать М$ = М7 = 1326 множеств троичных ГПП. В качестве примера для ¡¿16 = 547 приведем полином ^ГПП1(х) = Л1(х)Л547(х) и полином ^ГПП2(х) = = ^1187(х)-Л1187.547то^2186(х) = к1187(х)-к47(х), который получается при замене М(х) на произвольный примитивный полином Л1187(х).
В общем виде выражения для ПВКФ и объема множеств ГПП с периодом N = 2186 также удовлетворяют соотношениям (10) и (11).
Троичные последовательности с периодом N = 39-1 = 19682 формируются в конечном поле GF(39) с полиномом _Дх) = М(х) = х9+х4+х2+1. В поле GF(39) имеется 1008 примитивных полиномов. В качестве примера приведено также по 20 начальных и конечных индексов: 5, 7, 11, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 55, 59, 61, 67, ..., 9935, 9953, 9959, 10097, 10115, 10121, 10169, 10175, 10193, 10601, 10607, 10655, 10661, 10691, 10853, 10925, 10931, 12365, 12383, 13121.
В соответствии с (4) были определены известные индексы децимации ¡¿1 = 5, ¡¿2 = 41, /¿з = 365, ¡¿4 = 3281, в соответствии с (5) — ¡¿5 = 7, ¡¿6 = 73, ¡¿л = 323, ¡¿8 = 703, а в соответствии с (6) — ¡¿с, = 163.
На основе анализа взаимно корреляционных свойств МП получено 9 новых индексов децимации, позволяющих формировать множества ГПП с верхней границей взаимной корреляции, удовлетворяющей (3): ¡л =19, 161, 1151, 2813, 3047, 3361, 3515, 3937, 4921 (/ = 10, .,18), и трехуровневой ПВКФ
Ягпш(Т) = [-244; -1; 242]. (16)
Отметим, что на основе известных индексов децимации ¡¿3 = 365 и ¡¿8 = 703, полученных в соответствии с (4) и (5) при £ = 9, к = 3 и НОД (£, к) = 3, формируются множества последовательностей с увеличенным значением |Ктах| = 730 и трехуровневой ПВКФ, удовлетворяющей (3):
Ягпт(т) = [-730; -1; 728]. (17)
Кроме того, было получено 7 новых индексов децимации: 547, 679, 835, 1049, 1979, 2627, 3227, позволяющих формировать множества ГПП с |Ктах| = 728 и четырехуровневой ПВКФ
Ягпго(Т) = [-244; -1; 242, 728]. (18)
Таким образом, при £ = 9 множества троичных ГПП в соответствии с ПВКФ вида (16)—(18) можно разделить на три типа.
Первому типу с ПВКФ вида (16) соответствует вектор индексов децимации
Ы^1, ¡¿2, ..., ¡¿16) = М5, 7, 19, 41, 73, 161, 163, 323, 1151, 2813,
3047, 3281, 3361, 3515, 3937, 4921). (19)
Для каждой из 1008 МП с периодом N = 19682 можно сформировать по 16 множеств ГПП объемом У9 = 19684, всего можно сформировать 8064 множества ГПП первого типа. Второму типу с ПВКФ (17) соответствует вектор индексов децимации
Ы^т, ¡¿18) = М365, 703). (20)
Для каждой МП можно сформировать по 2 множества ГПП объемом У9 = 19684, всего можно сформировать 1008 множеств ГПП второго типа.
Третьему типу с ПВКФ (18) соответствует вектор индексов децимации
Ы^19, ¡¿20, ¡¿25) = М547, 679, 835, 1049, 1979, 2627, 3227). (21)
Для каждой МП можно сформировать по 7 множеств ГПП, всего можно построить 3528 множеств ГПП третьего типа.
Основные корреляционные и мощностные характеристики множеств ГПП для нечетных значений параметра £ приведены в табл. 2.
Таблица 2
S N Индексы децимации |Rmax| Значения уровней ПВКФ VS Ms
известные новые
3 26 5, 7 10 -10, -1, 8 28 4
5 242 5, 7, 19, 35, 41 17, 49, 61, 67 28 -28, -1, 26 244 99
7 2186 5, 7, 41, 55, 73, 107, 365 11, 53, 61, 199, 227, 347, 391, 439, 547, 551 82 -82, -1, 80 2188 1326
9 19682 5, 7, 41, 73, 163, 323, 3281 19, 161, 1151, 2813, 3047, 3361, 3515, 3937, 4921 244 -244, -1, 242 19684 8064
9 19682 365, 703 730 -730, -1, 728 19684 1008
9 19682 547, 679, 835, 1049, 1979, 2627, 3227 728 -244, -1, 242, 728 19684 3528
Таким образом, в работе получены полные наборы индексов децимации idi для формирования множеств троичных ГПП с корреляционными свойствами, удовлетворяющими граничным оценкам, полученным в [7, 8]. Наборы, представленные в виде векторов индексов децимации Is(i'di) в соответствии с выражениями (12), (14), (19)—(21), включают как известные, так и вновь полученные индексы, позволяющие формировать новые множества троичных ГПП как с трехуровневой, так и четырехуровневой ПВКФ.
Полученные множества троичных ГПП могут быть использованы в системах передачи и обработки цифровой информации в режиме кодового многостанционного доступа при формировании троичных эквидистантных фазоманипулированных сигналов наряду с двоичными сигналами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение: Пер. с англ. М.: Изд. дом „Вильямс", 2003. 1104 с.
2. Ипатов В. П. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов. Принципы и приложения / Пер. с англ.; Под ред. В. П. Ипатова. М.: Техносфера, 2007. 488 с.
3. Golomb S. W., Gong G. Signal Design for Good Correlation for Wireless Communication, Cryptography and Radar. Cambridge Univ. Press, 2005. 438 p.
4. CDMA: прошлое, настоящее, будущее / Под ред. Л. Е. Варакина и Ю. С. Шинакова. М.: МАС, 2003. 608 с.
5. Yang Y., Tang X. Generic Construction of Binary Sequences of Period 2N with Optimal Odd Correlation Magnitude Based on Quaternary Sequences of Odd Period N // IEEE Trans. Inform. Theory. 2018. Vol. 64, N 1. P. 384.
6. GoldR. Maximal recursive sequences with 3-valued recursive cross-correlation functions // IEEE Trans. Inform. Theory. 1968. Vol. 14, N 1. P. 154.
7. Trachtenberg H. M. On the cross-correlation functions of maximal recurring sequences: Ph.D. Dissertation Theses. Univ. Southern California, Los Angeles, CA, 1970.
8. Dobbertin H., Helleseth T., Kumar P. V., Martinsen H. Ternary M-sequences with three-valued cross-correlation function: New decimations of Welch and Niho type //IEEE Trans. Inform. Theory. 2001. Vol. 47, N 4. P. 1473.
9. Muller E. N. On the cross-correlation of sequences over GF(p) with short periods // IEEE Trans. Inform. Theory. 1999. Vol. 45, N 1. P. 289.
10. Hu Z., Li X., Mills D., Muller E., Sun W., Williems W., Yang Y., Zhang Z. On the cross-correlation of sequences with the decimation factor d=(pn+1)/(p+1)-(pn-1)/2 // Applicable Algebra Eng. Commun. Comput. 2001. Vol. 12. P. 255.
11. Seo E. Y., Kim Y. S., No J. S., Shin D. J. Cross-correlation distribution of p-ary m-sequence of period p4k-1 and its decimated sequences by ((p2k+1)/2) // IEEE Trans. Inform. Theory. 2008. Vol. 54, N 7. P. 3140.
12. Seo E. Y., Kim Y. S., No J. S., Shin D. J. Cross-correlation distribution of p-ary m-sequence and its (p+1) decimated sequences with shorter period // IEICE Trans. Fund. Electron., Commun. Comput. Sci. 2007. Vol. E90-A, N 11. P. 2568.
13. Jang J. W., Kim Y. S., No J. S., Helleseth T. New family of p-ary sequences with optimal correlation property and large linear span // IEEE Trans. Inform. Theory. 2004. Vol. 50, N 8. P. 1839.
Сведения об авторах
Виктор Геннадьевич Стародубцев — канд. техн. наук, доцент; ВКА им. А. Ф. Можайского, кафедра технологий и средств автоматизации обработки и анализа информации космических средств; преподаватель, E-mail: vgstarod@mail.ru Василий Васильевич Мышко — канд. техн. наук, доцент; ВКА им. А. Ф. Можайского, кафедра тех-
нологий и средств автоматизации обработки и анализа информации космических средств; ст. преподаватель, E-mail: vka@mail.ru
Поступила в редакцию 17.03.2023; одобрена после рецензирования 27.03.2023; принята к публикации 31.05.2023.
REFERENCES
1. Sklar B. Digital Communications: Fundamentals and Applications, Prentice Hall, 2 edition, 2001, 1079 р.
2. Ipatov V.P. Spread Spectrum and CDMA. Principles and Applications, NY, John Wiley and Sons Ltd., 2005, 488 р.
3. Golomb S.W., Gong G. Signal Design for Good Correlation for Wireless Communication, Cryptography and Radar, Cambridge University Press, 2005, 438 p.
4. Varakin L.E. and Shinakov Yu.S., ed., CDMA: proshloye, nastoyashcheye, budushcheye (CDMA: Past, Present, Future), Moscow, 2003, 608 р. (in Russ.)
5. Yang Y., Tang X. IEEE Trans. Inf. Theory, 2018, no. 1(64), pp. 384.
6. Gold R. IEEE Trans. Inf. Theory, 1968, no. 1(14), pp. 154.
7. Trachtenberg H.M. On the cross-correlation functions of maximal recurring sequences, Candidate's thesis, Univ. Southern California, Los Angeles, CA, 1970.
8. Dobbertin H., Helleseth T., Kumar P.V., Martinsen H. IEEE Trans. Inf. Theory, 2001, no. 4(47), pp. 1473.
9. Muller E.N. IEEE Trans. Inf. Theory, 1999, no. 1(45), pp. 289.
10. Hu Z., Li X., Mills D., Muller E., Sun W., Williems W., Yang Y., Zhang Z. Applicable Algebra Eng. Commun. Comput., 2001, vol. 12, p. 255.
11. Seo E.Y., Kim Y.S., No J.S., Shin D.J. IEEE Trans. Inf. Theory, 2008, no. 7(54), pp. 3140.
12. Seo E.Y., Kim Y.S., No J.S., Shin D.J. IEICE Trans. Fund. Electron., Commun. Comput. Sci., 2007, no. 11(E90-A), pp. 2568.
13. Jang J.W., Kim Y.S., No J.S., Helleseth T. IEEE Trans. Inf. Theory, 2004, no. 8(50), pp. 1839.
Data on authors
PhD, Associate Professor; A. F. Mozhaisky Military Space Academy, Department of Technologies and Means of Automation of Processing and Analysis of Space Facilities Information; Lecturer, E-mail: vgstarod@mail.ru PhD, Associate Professor; A. F. Mozhaisky Military Space Academy, Department of Technologies and Means of Automation of Processing and Analysis of Space Facilities Information; Senior Lecturer, E-mail: vka@mail.ru
Received 17.03.2023; approved after reviewing 27.03.2023; accepted for publication 31.05.2023.
Victor G. Starodubtsev Vasiliy V. Myshko
