CC BY
0
ИНФОРМАТИКА И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ INFORMATICS AND INFORMATION PROCESSING
УДК 519.725
DOI: 10.17586/0021-3454-2024-67-2-107-115
ФОРМИРОВАНИЕ МНОЖЕСТВ ПЯТЕРИЧНЫХ ГОЛД-ПОДОБНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ДЛЯ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ ЦИФРОВОЙ ИНФОРМАЦИИ
В. Г. Стародубцев*, В. В. Ткаченко
Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, Санкт-Петербург, Россия
*
vka@mil.ru
Аннотация. Представлены наборы векторов индексов децимации ^ = (/л, id2, ..., idn), на основе которых формируются множества пятеричных голд-подобных последовательностей в конечных полях GF(5S) (5" = 3, 4, 5, 6) на основе М-последовательностей с проверочными полиномами ИМП(х) для периодов N = 55 - 1 < 20 000. Наборы включают как известные индексы децимации, полученные в работах Трахтенберга, Хеллесета, Кумара и удовлетворяющие условию НОДО'д, 55 - 1) = 1 (НОД — наибольший общий делитель), так и вновь полученные индексы, позволяющие формировать множества пятеричных голд-подобных последовательностей объема У5 = N + 1 с низким уровнем значений периодической взаимно корреляционной и автокорреляционной функций. Для рассмотренных значений 5 приведены граничные оценки максимального значения модуля корреляционной функции |^тах|.
Ключевые слова: конечное поле, последовательность Голда, корреляционная функция, М-последо-вательность, индекс децимации
Ссылка для цитирования: Стародубцев В. Г., Ткаченко В. В. Формирование множеств пятеричных голд-подобных последовательностей для систем передачи цифровой информации // Изв. вузов. Приборостроение. 2024. Т. 67, № 2. С. 107—115. DOI: 10.17586/0021-3454-2024-67-2-107-115.
FORMATION OF SETS OF FIVE-FOLD GOLD-TYPE SEQUENCES FOR DIGITAL INFORMATION TRANSMISSION SYSTEMS
V. G. Starodubtsev*, V. V. Tkachenko
A. F. Mozhaisky Military Space Academy, St. Petersburg, Russia * vka@mil.ru
Abstract. Sets of vectors of decimation indices Is = (id1, id2, ■ ■■, idn) for the formation of sets of five-fold Gold-type sequences in finite fields GF(5S) (S = 3, 4, 5, 6) based on M- sequences with verification polynomials hMn(x) for periods N = 5s - 1 < 20 000, are presented. The sets include both the well-known decimation indices obtained by Trachtenberg, Helleset, Kumar and satisfying the condition LCD(idi, 5S - 1) = 1 (LCD is the largest common divisor), and the newly found indices that allow the formation of sets of five-fold Gold-type sequences with volumes VS = N + 1 and low levels of periodic auto- and the cross-correlation functions. For the considered values of S, boundary estimates of the maximum value of the correlation function modulus |Rmax| are given.
Keywords: finite fields, Gold sequences, correlation function, M-sequences, decimation indices
For citation: Starodubtsev V. G., Tkachenko V. V. Formation of sets of five-fold Gold-type sequences for digital information transmission systems. Journal of Instrument Engineering. 2024. Vol. 67, N 2. P. 107—115 (in Russian). DOI: 10.17586/0021-3454-2024-67-2-107-115.
© Стародубцев В. Г., Ткаченко В. В., 2024 JOURNAL OF INSTRUMENT ENGINEERING. 2024. Vol. 67, N 2
Одним из направлений повышения защищенности систем передачи цифровой информации (СПЦИ) по каналам спутниковой связи от преднамеренных помех является применение фазоманипулированных сигналов с расширенным спектром (СРС), формируемых на основе псевдослучайных последовательностей (ПСП) [1, 2]. В настоящее время в основном используются двоичные ПСП, в качестве которых выступают как непосредственно М-последовательности (МП), так и производные последовательности, формируемые на их основе путем децимации символов МП, например, последовательности Голда, Касами или Гордона—Миллса—Велча [3—6].
Переход от двоичных к недвоичным фазоманипулированным СРС на основе пятеричных голд-подобных последовательностей (ГПП) позволяет увеличить число множеств сигналов с эквивалентными корреляционными свойствами при сопоставимых периодах, что обеспечивает повышение структурной скрытности передаваемых сигналов в СПЦИ.
Основными характеристиками множеств синтезируемых ПСП являются максимальное значение модуля периодической взаимно корреляционной функции (ПВКФ) |^тах| и объем множества К£. При синтезе множеств ПСП стремятся к снижению |^тах| и увеличению К£.
Разработке алгоритмов формирования множеств двоичных и недвоичных последовательностей с хорошими автокорреляционными и взаимно корреляционными свойствами посвящено большое число публикаций [6—14]. В [6] показано, что множества двоичных последовательностей Голда образуются на основе предпочтительных пар МП, имеющих трехуровневую ПВКФ при нечетных значениях £ и четных £ = 2mod4, а также четырехуровневую ПВКФ — при четных значениях £ = 0 mod4.
При формировании множеств недвоичных последовательностей с низким уровнем взаимной корреляции также используются предпочтительные пары недвоичных МП. При этом
£
число уровней ПВКФ может увеличиваться. В [7—9] для полей GF(p ) при нечетных значениях £ получены индексы децимации недвоичных МП, на основе которых определяются предпочтительные пары МП при формировании множеств ГПП. В работах [10—14] проанализирована взаимная корреляция р-ичных МП с последовательностями, полученными путем их децимации.
Целью настоящей статьи является определение в полях GF(5£) при £ = 3, 4, 5, 6 векторов индексов децимации I? = (гф1, ¡¿2, ..., на основе которых формируются множества ГПП с низким уровнем взаимной корреляции.
Для нечетных значений £ максимальное значение модуля корреляционной функции удовлетворяет граничной оценке, полученной в [7]:
|*тах| = 1 + р(£+1)/2. (1)
Для четных значений £ получены граничные оценки модуля ПВКФ множеств ГПП:
|Ятах| = -1 + к58/2, к = 2, 3, 4, 5. (2)
££
Пятеричные МП с периодом N = 5 - 1 формируются над конечными полями GF(5 ).
Символы ф (г = 0, ..., N - 1) МП в каноническом виде определяются выражением [2, 6, 13]:
4 = %1 (аг), (3)
где №£1(а) — функция следа примитивного элемента а из поля GF(5£) в поле GF(5).
При исследовании корреляционных свойств СРС наибольшее распространение получили периодические автокорреляционные функции (ПАКФ) и ПВКФ при циклическом сдвиге сигналов. Известно, что корреляционные свойства СРС полностью определяются корреляционными свойствами ПСП [2—6].
Форма представления элементов последовательностей А1 определяет вид пространства, в котором вычисляется корреляционная функция, и способ нахождения расстояния между сигнальными точками, т.е. метрику пространства.
Если элемент al i = exp(/2ra/3) (i = 0, 1, 2, 3, 4) последовательности Al принадлежит пятеричному комплекснозначному алфавиту, то используется метрика в евклидовом пространстве. При этом для вычисления ПАКФ и ПВКФ последовательностей Al и Ak с периодом N справедливы следующие выражения [1, 2, 5, 6]:
N-1
Rii(т) = Z aita*,t+т; t=0 N-1
Rk (т) =Z altaktt+т ,
(4)
t=0
*
где al t+т — комплексно сопряженный элемент; т — циклический сдвиг, принимающий дискретные значения; сдвиг (l + т) вычисляется по mod N.
Если элемент aj i принадлежит простому полю GF(p) = (0, 1, ..., p - 1), то используется метрика Хемминга при p = 2 или метрика Ли при p > 2. При этом расстояния между элементами i и j в метрике Хемминга и метрике Ли определяются выражениями
dxu (i, j) = (i + j) mod 2 = i 0 j; (5)
dЛи<Л j) = ■
(6)
\ | i-7 |, если | i-] |< p/2, IР- | i - 7 |, если | i - 7 |> р /2.
Можно дать следующую интерпретацию расстоянию Ли между двумя элементами. Если р элементов равномерно расположить на окружности в порядке возрастания их номеров от 0 до р - 1, то расстояние Ли определяется числом участков окружности при движении от одного элемента к другому по кратчайшей дуге.
При формировании пятеричных множеств ГПП целесообразно использовать представление элементов в конечных полях. При вычислении корреляционных функций ПСП и соответственно СРС используется метрика в евклидовом пространстве.
Рассмотрим формирование ГПП для нечетных значений £ = 3, 5.
Пятеричные последовательности для £ = 3 с периодом N = 53 - 1 = 124 формируются в конечном поле GF(53) с примитивным полиномом Д(х) = И1(х) = х3 + 3х + 2. В поле GF(53) имеется двадцать примитивных полиномов с индексами децимации idj (] = 1, 2, ..., 20) символов базисной МП, формируемой на основе Ъ1(х): 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 33, 37, 39, 43, 47, 49, 63, 69, 73, 99.
Индексы децимации соответствуют нижним индексам в полиномах к(х) и являются минимальными показателями степени корней данных полиномов. Все МП в поле GF(53) могут быть получены путем децимации символов базисной МП по данным индексам. Например, МП, образованная из базисной МП по индексу децимации i¿п = 17, имеет проверочный полином И17(х) = х3 + 4х + 2.
Примитивные полиномы в поле GF(53) приведены в табл. 1 в виде коэффициентов при переменной х для соответствующих индексов децимации. Например, полином И17(х) = х3 + 4х + 2 записывается как 1042.
Таблица 1
idj f idj f idj f, idj f idj f
1 1032 11 1323 21 1242 39 1203 63 1033
3 1143 13 1442 23 1043 43 1343 69 1412
7 1113 17 1042 33 1312 47 1223 73 1222
9 1302 19 1213 37 1102 49 1322 99 1403
Множество пятеричных ГПП формируется на основе предпочтительных пар (ИИ) МП [6]. Для определения ПП МП с периодом N = 124 проанализированы взаимно
3
3
корреляционные свойства МП с проверочным полиномом Л1(х) = x +3x+2 и остальных девятнадцати МП. Условию (1) удовлетворяют две МП с индексами id1 = 13, id2 = 21 и проверочными полиномами h13(x) = x3 + 4x + 4x + 2, h21(x) = x 3 + 2x + 4x + 2, обладающие трехуровневой ПВКФ:
R(T) = (-26, -1, 24). (7)
Таким образом, для полинома h1(x) имеются две ПП ПМ: h1(x)—h13(x) и h1(x)—h21(x). На основании ПП МП формируются множества пятеричных ГПП, проверочные полиномы которых hmn(x) равны произведению проверочных полиномов ПП МП. Например, hrarn(x) = h1(x)h13(x), hmrn(x) = h1(x)h21(x) [14].
С целью формирования проверочного полинома ГПП для произвольного примитивного полинома необходимо индексы множителей полинома hmm(x) или hmm(x) умножить на индекс произвольного по mod N. Например, для h73(x) проверочные полиномы ГПП равны hraro(x) = h73(x)h33(x), hrm4(x) = h73(x)h9(x). На рис. 1 показан график ГПП с полиномом
/?ГПП4(х) = /?7з(х) Ы(х).
R
20 10 0 -10 -20
п п II
1
J 1
г fl I 1 n
1
i 1 ■
20
40
60 Рис. 1
80
100
120
Таким образом, при S = 3 вектор индексов децимации для формирования множеств пятеричных ГПП имеет вид
Is = I3 = (13, 21), (8)
что соответствует результатам, полученным в [7, 8].
Для каждого примитивного полинома поля GF(53) можно сформировать по два множества с трехуровневой ПВКФ. Всего можно синтезировать MS = M3 = 40 множеств ГПП с объемом, аналогичным случаям p = 2 и 3 [6]:
Vs = V3 = N + 2 = 126. (9)
Синтез множеств пятеричных ГПП может быть выполнен как аппаратным, так и программным способом.
Аппаратная реализация устройства формирования пятеричных ГПП представляет собой совокупность двух регистров сдвига с линейной обратной связью, сумматоры и умножители по mod 5 в цепи обратной связи которых расставляются в соответствии с коэффициентами примитивных полиномов. На рис. 2 показана схема устройства формирования множества ГПП с проверочным полиномом hrm4(x) = h73(x)h9(x).
Первый регистр формируется в соответствии с полиномом h73(x) = x3 + 2x2 + 2x + 2, а второй — в соответствии с h9(x) = x3 + 3x2 + 2. Ячейки (Я) регистра сдвига представляют собой устройства, которые могут находиться в пяти состояниях и строиться с помощью трех триггеров. В первом регистре выставляется фиксированное ненулевое начальное состояние, во втором для получения всех последовательностей множества ГПП поочередно выставляются все возможные начальные состояния. На схеме в качестве начальных состояний регистров используются первые три символа канонической формы записи МП с полиномами h73(x) и h9(x) на основе символов d базисной МП вида (3) с полиномом h1(x). Коэффициенты умножения в умножителях по mod 5 равны обратным по сложению коэффициентам hi примитив-
7П
0
ных полиномов. Символы с выходов регистров поступают на сумматор по mod 5, являющийся выходом устройства.
к1Ъ(х)
mod 5
mod 5 Н
-h2=3
-hj=3
-ho=3
Я2 Я1 Яо
T
d22=0
T
d73=3
T,
do=3
mod 5
h9(x) >
Я2 Я1 Яо
ГПП
d36=0
-h2=2
d?7=2
T
di8=4
-ho=3
Рис. 2
Для программной реализации процедуры формирования множества ГПП требуется знать символы ф базисной МП в соответствии с (3) и индексы децимации ¡¿у вида (8) соответствующих множителей проверочного полинома ^ГПП(х).
Например, произвольная у-я последовательность (/ = 0, ..., 123) из множества ГПП объемом У3 = N + 2 = 126 с ИГПП(х) = И73(х)И9(х) формируется из символов ф базисной МП в соответствии с выражением
ФгППг = (й?73г тоё124 + ^(г+^тоёш) тоё 5, 1 = 0, ..., 123. (10)
Первое слагаемое в (10) отвечает за формирование МП с фиксированным начальным состоянием и индексом децимации ¡ф = 73, второе — за формирование МП с произвольным сдвигом у и индексом = 9. В множество ГПП непосредственно входят МП с полиномами ¿73(х) и Й9(х).
Пятеричные последовательности множества ГПП для £ = 5 с периодом N = 55 - 1 = 3124 формируются в конечном поле GF(55) с примитивным полиномом У(х) = И1(х) = х + 4х + 2. В поле GF(53) имеется двести восемьдесят примитивных полиномов с индексами децимации ц {/ = 1, 2,., 280) символов базисной МП, формируемой на основе Ъ1(х): 1, 3, 7, 9, 13, 17, 19, 21, 23, 27, ..., 1739, 1743, 1823, 1843, 1849, 1869, 1873, 2349, 2369, 2499 (приведено по десять первых и последних индексов).
Примитивные полиномы в поле GF(55) для перечисленных выше индексов децимации приведены в табл. 2.
Таблица 2
idi f idi f idi fi idi f idi f
1 13 113412 23 130313 1823 110333 1873 123402
3 100143 17 142022 27 103233 1843 131243 2349 102202
7 102413 19 122333 1739 141023 1849 140102 2369 102302
9 133032 21 120242 1743 112433 1869 114102 2499 120003
На основе анализа взаимно корреляционных свойств МП были получены как известные индексы децимации ¡ф1 = 13, = 21, ¡ф3 = 149, ¡ф4 = 313 [7, 8], так и новые ¡ф5 = 481, ¡ф6 = 521, на основе которых формируются 1111 МП и соответственно множества ГПП с периодом N = 3124.
Общий вектор индексов децимации имеет вид
15 = (13, 21, 149, 313, 481, 521). (11)
5
5
Все 1111 МП, а также последовательности множества ГПП обладают ПВКФ, которая принимает три значения:
Я(т) = [-126, -1, 124]. (12)
На рис. 3 показан фрагмент ПВКФ длиной 150 символов множества ГПП с ^гпп(х) = Ы(х) Й521(Х).
Я
100 50 0 -50 -100
1 1
1
1
1 !
1
1
0
20
40
100
120
140
60 80 Рис. 3
Всего можно сформировать М5 = 1120 множеств ГПП с периодом N = 3124, каждое из которых включает 3124 последовательности с ЪГПП(х) и две „чистых" МП:
У5 = N + 2 = 3126. (13)
В общем случае выражения (7), (12) для ПВКФ и выражения (9), (13) для объема множеств ГПП при нечетных значениях £ = 3, 5 имеют вид
Ягпп(Т) = [(-5
(£ +1)/2
-1); -1; (5
(£ +1)/2
-1)],
^ = 5£+1 = N + 2.
(14)
(15)
Максимальное значение ПВКФ в (12) удовлетворяет условию (1).
Рассмотрим процедуру формирования множеств ГПП для четных значений £ = 4, 6.
Множества пятеричных ГПП для £ = 4 с периодом N = 54 - 1 = 624 формируются в конечном поле GF(54) с примитивным полиномом /(х) = И1(х) = х4 + х2 + 2х + 2. В поле GF(54) имеется 48 примитивных полиномов с индексами децимации 18 из которых приведены в табл. 3.
Таблица 3
¡¿а / ¡ш / ¡¿а / ¡ш / ¡¿а / ¡ш /
1 10122 17 11212 29 13302 239 11113 323 10133 373 120022
7 11013 19 13023 31 12203 313 10132 343 13203 469 10442
11 10123 23 13043 37 11202 319 14043 349 14202 499 11303
4
4 , 2
Анализ взаимно корреляционных свойств МП при £ = 4 показал, что ПВКФ ПП МП, а также множеств ГПП является четырехуровневой и достигается при двух индексах децимации ¡<¡1 = 49, ¡02 = 217:
Я(т) = [-26, -1, 24, 49]. (16)
На рис. 4 показан фрагмент ПВКФ длиной 125 символов множества ГПП с периодом N = 624 и полиномом ИГПП(х) = М(х) ^49(х).
Я
30
0 20 40 60 80 100 120
Рис. 4
Всего можно сформировать М4 = 96 множеств ГПП с периодом N = 624 объемом
¥4 = N + 2 = 626. (17)
Множества пятеричных ГПП для £ = 6 с периодом N = 56 - 1 = 15 624 формируются в конечном поле GF(56) с примитивным полиномом /(х) = к1(х) = х6 + х2 + 2х + 2. В поле GF(56) имеется 720 примитивных полиномов с индексами децимации ¡ц, 12 из которых приведены в табл. 4.
Таблица 4
Примитивные полиномы в поле GF(56) с /(х) = х6 + х2 + 2х + 2 __
¡ш / ¡ш / ¡ш / ¡ш / ¡ш / ¡¿а /
1 1000122 13 1143012 19 1010343 9343 1440203 11719 1000113 11869 1223202
11 1113023 17 1241342 23 1314323 9349 1012422 11849 1043132 12499 1130003
Анализ взаимно корреляционных свойств МП при £ = 6 показал, что существует два типа ПП МП. Первый тип обладает трехуровневой ПВКФ, которая формируется при двух индексах децимации = 313, ¡¿2 = 601:
Я1(т) = [-1 - 5М+1, -1, -1 + 58/2+1] = [-626, -1, 624]. (18)
Максимальное значение модуля ПВКФ удовлетворяет граничной оценке (2) при к = 5:
|Ятах 11 = 1+//м = 626. (19)
Формируемые при этом множества будем обозначать ГПП1.
Второй тип обладает шестиуровневой ПВКФ, которая формируется при четырех индексах децимации ¡ц = 253, ¡ш4 = 373, ¡^ = 397, ¡¿6 = 4093:
Я2(т) = [-1 - 58/2, -1, -1 + 5 м, -1 + 2-58/2, -1 + 3-58/2, -1 + 4-5м] =
= [-126, -1, 124, 249, 374, 499]. (20)
Формируемые при этом множества обозначаются ГПП2, максимальное значение модуля ПВКФ соответствует оценке (2) при к = 4:
|Ятах|2 = -1 + 4-58/2 = 499. (21)
На рис. 5 показан фрагмент шестиуровневой ПВКФ длиной 125 символов множества
ГПП2 с периодом И= 15 624 и полиномом /?гпш(Х) = МОО ^^(х). Л
420 280 140 0
-140
20 40 60 80
Рис. 5
100
120
Всего можно сформировать М6д = 1440 множеств ГПП1 и М6,2 = 2880 множеств ГПП2 с периодом N = 16 624 и объемом
У6 = N + 2 = 16 626. (22)
Основные корреляционные и мощностные характеристики множеств ГПП приведены в
табл. 5.
Таблица 5
__Характеристики пятеричных множеств ГПП___
S N Индексы децимации |Rmax| Rmax/N Значения ПВКФ VS Ms
известные новые
3 124 13, 21 26 0,21 -26, -1, 24 126 40
4 624 49, 217 49 0,08 -26, -1, 24, 49 96 626
5 3124 13, 21, 149, 313 481, 521 126 0,04 -126, -1, 124 1120 3126
6 15624 313, 601 626 0,04 -626, -1, 624 15626 1440
6 15624 253, 373, 397, 4093 499 0,03 -126, -1, 124, 249, 374, 499 15626 2880
Таким образом, в статье получены векторы индексов децимации IS = (id1, ia2, ..., idn), на основе которых формируются множества пятеричных ГПП в конечных полях
GF(5 ) для периодов N = 5 - 1 < 20 000. Для нечетных значений S = 3, 5 ПВКФ множеств ГПП удовлетворяет граничной оценке |Rmax| = 1+p(S+1)/2, полученной в [7, 8]. Для значения S = 4 граничная
S/2
оценка четырехуровневой ПВКФ равна |Rmax| = -1+2p . Для S = 6 существуют две граничные
S/2+1 s/2
оценки: |^max| 1 = - 1 + p для трехуровневой ПВКФ и |Rmax|2 = -1 + 4p — для шестиуровневой ПВКФ.
Полученные множества ГПП могут быть использованы в СПЦИ в режиме кодового многостанционного доступа при формировании пятеричных фазоманипулированных сигналов с расширенным спектром, а также для синтеза производных систем сигналов, допускающих аналитическое представление в конечных полях.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение / Пер. с англ. М.: Вильямс, 2003. 1104 с.
2. Ипатов В. П. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов. Принципы и приложения / Пер. с англ. М.: Техносфера, 2007. 488 с.
3. Golomb S. W., Gong G. Signal Design for Good Correlation for Wireless Communication, Cryptography and Radar. Cambridge University Press, 2005. 438 p.
4. Yang Y., Tang X. Generic Construction of Binary Sequences of Period 2N With Optimal Odd Correlation Magnitude Based on Quaternary Sequences of Odd Period N // IEEE Trans. Inf. Theory. 2018. Vol. 64, N 1. P. 384.
5. CDMA: прошлое, настоящее, будущее / Под ред. Л. Е. Варакина и Ю. С. Шинакова. М.: МАС, 2003. 608 с.
6. GoldR. Maximal recursive sequences with 3-valued recursive cross-correlation functions // IEEE Trans. Inf. Theory. 1968. Vol. 14, N 1. P. 154.
7. Trachtenberg H.M. On the cross-correlation functions of maximal recurring sequences. Ph.D. dissertation. Univ. Southern California, Los Angeles, CA, 1970.
8. Dobbertin H., Helleseth T., Kumar P. V., Martinsen H. Ternary M-sequences with three-valued cross-correlation function: New decimations of Welch and Niho type // IEEE Trans. Inf. Theory. 2001. Vol. 47, N 4. P. 1473.
9. Стародубцев В. Г., Мышко В. В. Формирование множеств троичных голд-подобных последовательностей для систем передачи и обработки цифровой информации // Изв. вузов. Приборостроение. 2023. Т. 66, № 8. С. 568—575.
10. Muller E. N. On the cross-correlation of sequences over GF(p) with short periods // IEEE Trans. Inf. Theory. 1999. Vol. 45, N 1. P. 289.
11. Hu Z., Li X., Mills D., Muller E., Sun W., Williems W., Yang Y., Zhang Z. On the cross-correlation of sequences with the decimation factor d=(pn+1)/(p+1)-(pn-1)/2 // Applicable Algebra Eng. Commun. Comput. 2001. Vol. 12. P. 255.
12. Seo E. Y., Kim Y. S., No J. S., Shin D. J. Cross-correlation distribution of p-ary m-sequence of period p4k-1 and its decimated sequences by ((p2k+1)/2) // IEEE Trans. Inf. Theory. 2008. Vol. 54, N 7. P. 3140.
13. Seo E. Y., Kim Y. S., No J. S., Shin D. J. Cross-correlation distribution of p-ary m-sequence and its (p+1) decimated sequences with shorter period // IEICE Trans. Fund. Electron., Commun. Comput. Sci. 2007. Vol. E90-A, N 11. P. 2568.
14. Jang J. W., Kim Y. S., No J. S., Helleseth T. New family of p-ary sequences with optimal correlation property and large linear span // IEEE Trans. Inf. Theory. 2004. Vol. 50, N 8. P. 1839.
Сведения об авторах
Виктор Геннадьевич Стародубцев — канд. техн. наук, доцент; ВКА им. А. Ф. Можайского, кафедра технологий и средств автоматизации обработки и анализа информации космических средств; преподаватель; E-mail: vgstarod@mail.ru Владимир Викторович Ткаченко — канд. техн. наук; ВКА им. А. Ф. Можайского, кафедра технологий и
средств автоматизации обработки и анализа информации космических средств; старший преподаватель; E-mail: vka@mil.ru
Поступила в редакцию 15.11.2023; одобрена после рецензирования 23.11.2023; принята к публикации 17.12.2023.
REFERENCES
1. Sklar B. Digital Communications: Fundamentals and Applications, Prentice Hall, 2001, 1079 р.
2. Ipatov V.P. Spread Spectrum and CDMA. Principles and Applications, NY, John Wiley and Sons Ltd., 2005, 488 р.
3. Golomb S.W., Gong G. Signal Design for Good Correlation for Wireless Communication, Cryptography and Radar, Cambridge University Press, 2005, 438 p.
4. Yang Y., Tang X. IEEE Trans. Inf. Theory, 2018, no. 1(64), pp. 384.
5. Varakin L.E. and Shinakov Yu.S., ed., CDMA: proshloe, nastoyashchee, budushchee (CDMA: Past, Present, Future), Moscow, 2003, 608 p. (in Russ.)
6. Gold R. IEEE Trans. Inf. Theory, 1968, no. 1(14), pp. 154.
7. Trachtenberg H.M. On the cross-correlation functions of maximal recurring sequences, Candidate's thesis, Univ. Southern California, Los Angeles, CA, 1970.
8. Dobbertin H., Helleseth T., Kumar P.V., Martinsen H. IEEE Trans. Inf. Theory, 2001, no. 4(47), pp. 1473.
9. Starodubtsev V.G., Myshko V.V. Journal of Instrument Engineering, 2023, no. 7(66), pp. 568-575. (in Russ.)
10. Muller E.N. IEEE Trans. Inf. Theory, 1999, no. 1(45), pp. 289.
11. Hu Z., Li X., Mills D., Muller E., Sun W., Williems W., Yang Y., Zhang Z. Applicable Algebra Eng. Commun. Comput., 2001, vol. 12, p. 255.
12. Seo E.Y., Kim Y.S., No J.S., Shin D.J. IEEE Trans. Inf. Theory, 2008, no. 7(54), pp. 3140.
13. Seo E.Y., Kim Y.S., No J.S., Shin D.J. IEICE Trans. Fund. Electron., Commun. Comput. Sci., 2007, no. 11(E90-A), pp. 2568.
14. Jang J.W., Kim Y.S., No J.S., Helleseth T. IEEE Trans. Inf. Theory, 2004, no. 8(50), pp. 1839.
Data on authors
Victor G. Starodubtsev — PhD, Associate Professor; A. F. Mozhaisky Military Space Academy, De-
partment of Technologies and Automation Tools for Processing and Analysis of Space Equipment Information; Lecturer; E-mail: vgstarod@mail.ru Vladimir V. Tkachenko — PhD, Associate Professor; A. F. Mozhaisky Military Space Academy, De-
partment of Technologies and Automation Tools for Processing and Analysis of Space Equipment Information; Senior Lecturer; E-mail: vka@mil.ru
Received 15.11.2023; approved after reviewing 23.11.2023; accepted for publication 17.12.2023.
